聊城大学
本科生毕业论文
题 目：矩阵初等变换及其应用专业代码： 070101 作者姓名： 学 号： 单 位： 指导教师： 年 月
日
目 录
前言 ...................................................................................................................................................... 1 1. 矩阵及其初等变换的概念 .............................................................................................. 1 2. 矩阵初等变换的应用 ......................................................................................................... 2
2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用 ............................................................................. 2
2.1.1 将矩阵化为阶梯型 ............................................................................................... 2 2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 ................................................................ 2 2.1.3求伴随矩阵和矩阵的逆 ....................................................................................... 3 2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 . .................................................................................. 5 2.1.5矩阵的特征值和特征向量 . .................................................................................. 6 2.1.6 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组 . ........................................ 7 2.2利用矩阵初等变换求利润问题 ...................................................................................... 8
结论 ................................................................................................................................................... 10 参考文献 . ......................................................................................................................................... 11 致谢 ................................................................................................................................................... 12
1
摘 要
矩阵是线性代数中最基本也是最重要的概念之一，它能把抽象的问题用矩阵的形式表示出来，并且通过矩阵的计算得出结果. 本文主要通过矩阵的概念讨论了矩阵的运算和性质，进而讨论用途广泛的矩阵初等变换及其应用，比如通过初等变换求逆矩阵和矩阵的秩等.
关键词：矩阵; 初等变换; 逆矩阵; 秩
Abstract
The matrix is one of the most important concepts in linear algebra, it can make the abstract problem in matrix form, and obtains the result through the calculation of matrix. This paper mainly through the concept of matrix operations are discussed and the properties of matrix, and then discuss the elementary transformation of matrix and its application in wide use, for example through the elementary transformation of matrix inversion and the rank of a matrix.
Keywords: matrix; elementary transformation; inverse matrix;matrix of rank
矩阵的初等变换及其应用
前 言
在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的初等变换及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的. 这就使矩阵成为数学中一个应用广泛的概念，而作为矩阵的一种运算方法，初等变换在矩阵的研究中具有很重要的意义. 本文主要写了矩阵初等变换在线性代数中的应用以及生活中在计算利润方面的应用.
1. 矩阵及其初等变换的概念
矩阵的概念和矩阵的三种初等变换：
定义1[1] 由sn 个数排列成s 行（横的）n 列（纵的）的表
⎡a 11a 12 a 1n ⎤⎢a 21a 22 a 2n ⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢⎥⎣a s 1a s 2 a sn ⎦
成为一个s ⨯n 矩阵.
定义2[1] 所谓数域P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换： （1）以P 中的一个非零的数乘矩阵的某一行；
（2）把矩阵的某一行的c 倍加到另一行，这里c 是P 中的任意一个数； （3）互换矩阵中两行的位置.
同样的我们可以给出初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
定义3[1] 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
2. 矩阵初等变换的应用
2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用
矩阵的初等变换是矩阵的计算中必要的步骤. 在矩阵计算时，首先需要对它进行初等变换，化成单位矩阵，阶梯形矩阵等简单的矩阵，使计算简便.
2.1.1 将矩阵化为阶梯型
当矩阵A 经过初等变换变成矩阵B 时，我们写成
A →B
我们称形式如
⎡012-1⎤⎡121-12⎤⎡12-1⎤
⎢0001⎥, ⎢00102⎥，⎢021⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0000⎥⎦⎢⎣00023⎥⎦⎢⎣003⎥⎦
的矩阵为阶梯矩阵. 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零，则它的下面的行也全为零.
例1[2]
0-1-1⎡0
⎢14-10⎢A =
⎢-1-42-1⎢
811⎣24-10⎡1⎢00-1-1A →⎢
⎢-1-42-1⎢
811⎣2
⎡1⎢0 →⎢
⎢0⎢⎣0
4-100-1-100
00
2⎤2⎥⎥ 0⎥⎥0⎦2⎤⎡1
⎢02⎥⎥→⎢⎢00⎥
⎢⎥0⎦⎣0
4-10
0-1-100
13
2⎤⎡1
⎢02⎥⎥→⎢⎢0-12⎥⎥⎢1-4⎦⎣0
4-102⎤
0-1-12⎥⎥ 00-24⎥
⎥
00-22⎦
2⎤2⎥⎥ -24⎥
⎥
0-2⎦
这样就把A 变成了一个阶梯型矩阵.
2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换
有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理. 这就是所谓的矩阵分块.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
⎡E m ⎢⎣00⎤ E n ⎥⎦
对它进行两行(列) 对换；某一行(列) 左乘(右乘) 一个矩阵P ；一行(列) 加上另一行(列) 的P (矩阵) 倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
⎡0
⎢E ⎣m E n ⎤⎡P 0⎤⎡E m
, ⎢⎥, ⎢00⎥0E n ⎦⎣⎦⎣0⎤⎡E m
, ⎢⎥P ⎦⎣0P ⎤⎡E m
, ⎢E n ⎥⎦⎣P 0⎤
, E n ⎥⎦
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
⎡A B ⎤
⎢C D ⎥⎣⎦
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
⎡0
⎢E
⎣n E m ⎤⎡A B ⎤⎡C D ⎤
=⎢⎥⎢⎥0⎦⎣C D ⎦⎣A B ⎥⎦ (1)
⎡P 0⎤⎡A B ⎤⎡PA PB ⎤
⎢ (2) =⎢⎥⎢⎥⎥D ⎦⎣0E n ⎦⎣C D ⎦⎣C
⎡E m ⎢
⎣P
0⎤⎡A B ⎤⎡A ⎢C D ⎥=⎢C +PA E n ⎥⎦⎣⎦⎣
B ⎤
(3)
D +PB ⎥⎦
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择P ，可使C +PA =0. 例如A 可逆时，选P =-CA -1，则
C +PA =0. 于是(3)的右端成为
B ⎡A ⎤
⎢0D -CA -1B ⎥ ⎣⎦
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例2 设
⎡A 0⎤-1
A , D T =⎢. 可逆，求. T ⎥
⎣C D ⎦⎡A 0解 ⎢
⎣C D
E 0
0⎤⎡A 0E →⎢-1E ⎥⎦⎣0D -CA
⎡E 0⎤
→⎥⎢E ⎦⎣0
E
A -1
-D -1CA -1
0⎤⎥ D -1⎦
所以，T
-1
⎡A -1=⎢-1-1⎣-D CA 0⎤
. -1⎥D ⎦
2.1.3求伴随矩阵和矩阵的逆
定义4[3] n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得
AB =BA =E
这里E 是n 级单位矩阵. 这里如果矩阵B 适合，那么就称B 是A 的逆矩阵， 记为A -1.
定义5[1] 设A ij 是矩阵
⎡a 11a 12 a 1n ⎤⎢a 21a 22 a 2n ⎥
⎥ A =⎢
⎢ ⎥⎢⎥a n 1a n 2 a nn ⎣⎦
中元素a ij 的代数余子式，矩阵
⎡A 11⎢A 21
A *=⎢
⎢ ⎢⎣A n 1
称为A 的伴随矩阵.
A 12 A 1n ⎤A 22 A 2n ⎥⎥ ⎥
⎥
A n 2 A nn ⎦
2⎤⎡12
例3[4] 求A =⎢21-2⎥的伴随矩阵.
⎢⎥⎢⎣2-21⎥⎦解 先求代数余子式
A 11=
1-2
-21
=-3，A 12=-
2-22
1
=-6, A 13=
21
2-2
=-6,
同理可求得A 21=-6, A 22=-3, A 23=6, A 31=-6, A 32=6, A 33=-3
⎡-3-6-6⎤
⎥. 所以A *=⎢-6-36⎢⎥
⎢⎣-66-3⎥⎦
矩阵的基本求法有：定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法. 这里用初等矩阵法来求矩阵的逆.
2⎤⎡12
例4 求A =⎢21-2⎥的逆矩阵.
⎢⎥⎢⎣2-21⎥⎦解 用初等变换，得
2100⎤2100⎤⎡12⎡12
⎥−⎢0-3-6-210⎥(A E )=⎢21-2010−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎢0-11⎥⎣2-21001⎥⎦⎣0-33⎦
21⎡12−−→⎢⎢0-3-6-2
⎢92⎣00⎡
⎢120⎢−−→⎢010
⎢
⎢001⎢⎣
5
92929
49192-9
⎡
⎢12200⎤
⎢⎥10⎥−−→⎢012⎢-21⎥⎦⎢001⎢⎣
2⎤1⎡-⎥100⎢99⎥⎢22-⎥−−→⎢0109⎥9⎢1⎥⎢0012
⎢9⎥9⎦⎣
⎤
100⎥
⎥21-0⎥33⎥221⎥
-999⎥⎦22⎤99⎥ 12⎥
-⎥99⎥21⎥-
99⎥⎦
2⎤⎡12
1
所以A -1=⎢21-2⎥.
⎥9⎢
⎢⎣2-21⎥⎦
2.1.4求矩阵的秩、向量组的秩 极大线性无关组
定义6[5] 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
定义7[6] 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 例如向量组a 1=(2, -1, 3, 1) ，a 2=(4, -2, 5, 4) ，a 3=(2, -1, 4, -1) 的秩就是2.
⎡1-2-1
⎢-242[7]
例5 求A =⎢
⎢2-10⎢
33⎣3
02⎤
6-6⎥⎥的秩. 23⎥
⎥34⎦
解
⎡1-2-102⎤⎡1-2-1
r 2+2r 1
⎢-24⎥r 3-2r 1⎢0026-604-2r 1⎥−r −A =⎢−→⎢⎢2-1023⎥⎢032⎢⎥⎢
3334⎦6⎣3⎣09⎡1-2-102⎤⎡1-2⎢03⎥⎢0322-1r 3-3r 2r +2r 43⎥−−−−−→⎢−→⎢⎢00⎢000-31⎥⎢⎥⎢0006-2⎣⎦⎣00
2⎤⎡1-2-1
⎢03r 2r 3
6-2⎥2r r 34⎥−−−→⎢
⎢092-1⎥6
⎥⎢3-2⎦0⎣00-102⎤22-1⎥⎥0-31⎥
⎥
000⎦0
02⎤
2-1⎥⎥3-2⎥
⎥6-2⎦
所以R (A ) =3.
2.1.5矩阵的特征值和特征向量 (1）矩阵的特征值与特征向量的概念
设ζ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数λ0 存在一个非零向量ξ，使得
ζξ=λ0ξ
那么λ0称为ζ的一个特征值，而ξ称为ζ的属于特征值λ0的一个特征向量. （2）矩阵的特征多项式与特征方程的概念
行列式f (λ) =λE -A 称为矩阵A 的特征多项式. λE -A =0称为矩阵A 的特征方程.
特征方程λE -A =0是λ的n 次方程，它的n 个根就是矩阵A 的n 个特征值. （3）特征值和特征向量的求法
先由特征方程λE -A =0求出矩阵A 的全部特征值λi (i =1, 2, , n ) ，其中可能有重根. 然后对每个不同的特征值λi ，分别解齐次方程组(λi E -A )x =0. 设
r (λi E -A ) =r i ，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A 关于特征值λi 的线性无关
的特征向量）ξ1, ξ2, , ξn -r i ，则矩阵A 属于特征值λi 的全部特征向量为
k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r i ξn -r i ，其中k 1, k 2, , k n -r i 是不全为零的任意常数.
⎡3-2-4⎤
例6 求A =⎢-26-2⎥的特征值与特征向量.
⎢⎥⎢⎣-4-23⎥⎦
λ-3
解 λE -A =
24
242
=
λ-7
07-λ
242
λ-6
2
λ-6
2
λ-3λ-3
=(λ-7)(λ2-5λ-14) =(λ-7) 2(λ+2)
⎡424⎤⎡212⎤⎡-1⎤⎡-1⎤
⎥→⎢000⎥, 得α=⎢2⎥，α=⎢0⎥；212当λ=7时，7E -A =⎢12⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎢⎣424⎥⎦⎣000⎥⎦⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦4⎤⎡1-41⎤⎡-52⎡2⎤
当λ=-2时，-2E -A =⎢2-82⎥→⎢02-1⎥, 得α3=⎢1⎥.
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
2-5⎥0⎥⎢⎢⎣4⎦⎢⎣00⎦⎣2⎥⎦
所以A 的特征值是λ1=λ2=7, λ3=-2，相应的特征向量分别是
k 1α1+k 2α2, k 3α3，其中（k 1，k 2）≠（0,0），k 3≠0
2.1.6 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组
定义8【8】 设向量组为a 1, a 2, , a m ，以a 1, a 2, , a m 为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r (A ) ，若r (A ) =m ，则
a 1, a 2, , a m 线性无关，若r (A )
例7【9】 判断下列向量组的线性相关性.
α1=(1142)T , α2=(1-1-24)T , α3=(-323-11)T , α4=(13100)T
解 把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有
142⎤α142⎤α142⎤1⎡1⎡11⎡111
⎢1-1-2⎢0-2-62⎥α-α⎢0-1-31⎥(α2-α1) 4⎥α21⎢⎥→⎢⎥2⎥2→⎢
3-11⎥α33-1⎥1(α+3α) ⎢-32⎢0515-5⎥α3+3α1⎢01
1⎢⎥⎢⎥⎢⎥53
αα-α13100025-20000⎣⎦4⎣⎦41⎣⎦α-α+α-α
41214⎡11
⎢0-1-3→⎢
0⎢00
⎢
0⎣00
2⎤1
1⎥12(α2-α1) ⎥
0⎥1(α+3α) +1(α-α)
3121⎥20⎦5
α4-2α1+α2
α
α
所以向量组的秩是2，可见向量组α1, α2, α3, α4线性相关，极大线性无关组是
α1, α2.
2.2利用矩阵初等变换求利润问题
利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解.
例8【10】 一个工厂生产甲、乙两种产片，需用A 、B 、C 三种原料，为了监控生产，使企业利润最大，在满足下面表格的条件下，如何确定计划期甲、乙两种产品的产量，才能使获得的利润最大？ 数据表：
我们就可以用矩阵：
⎛943600⎫ ⎪ 452000⎪ 3103000⎪⎝⎭
来表示这些复杂的数据. 若给出产品的单价向量P （单位：千克/件），原材料，成本的向量C(单位：千元/吨) ，X 是订单向量（单位：件）.
⎛1⎫
⎪90⎛⎫⎛30⎫
P = 144⎪⎪, C = 2⎪, X = 50⎪⎪.
⎝⎭⎝⎭ 1⎪
⎝⎭
设甲、乙产品的单位成本向量Y=（y 1，y 2），则
⎛94⎫
⎪T
Y =C 45⎪=(2024).
310⎪⎝⎭
售出甲、乙产品所获得利润为：P T X -YX =(P T -Y ) X =9900-1800=8100千元.
现在若已知甲、乙产品的单位利润K=（70 120）（单位：千元/件）. 若用S 表示利润，变量X 1，X 2分别表示甲、乙两种产品的件数. 列出方程组：
求maxS=70X 1+120X 2
⎧9X 1+4X 2≤3600
⎪4X 1+5X 2≤2000⎪st ⎨ ⎪3X 1+10X 2≤3000⎪X 1, X 2≥0⎩
用单纯形法，引进松弛变量X j ≥0(j =3, 4, 5) 令s=-s,既可得单纯形矩阵迭代表.
跌代表
如果把表中相关的变量去掉，就是对矩阵进行初等变换，即
4⎛9
5 4
310
70120⎝
10000110
03600⎫⎛7. 8
⎪
02000⎪ 2. 5
→ 0. 303000⎪⎪ ⎪ 3400⎭⎝
0101000
0-0. 42400⎫
⎪
1-0. 5500⎪
→ ⎪0-0. 16240⎪
0-1. 2-3600⎪⎭
⎛0
1 0 0⎝
0010
1-3. 121. 16840⎫
⎪
00. 4-0. 2200⎪
0-0. 12-0. 16240⎪
⎪
0-13. 6-5. 2-42800⎪⎭
通过对表中的数据进行分析，我们就可得出一下结果：当生产甲、乙两种产品分别为200件和240件时，工厂可获得最大利润42800千元.
通过以上实例，让我们看到矩阵解决实际问题是非常简单的，对于处理类似的经济问题时，都有它独特的方法.
结 论
矩阵是线性代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，例如：运筹学、统计学. 因此，对矩阵及其初等变换的研究是有重要意义的.
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].北京：高等教育出版社，
2009.
[2] 王品超. 高等代数新方法[M].济南:山东教育出版社, 1989.12. [3] 李永乐. 线性代数[M].北京：北京大学出版社，2001.4. [4] 钱吉林. 线性代数概论[M]. 武汉: 华中师范大学出版社, 2000.
[5] 同济大学应用数学系. 线性代数第五版[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6] 李小刚，刘吉定等. 线性代数及其应用[M]北京：科学出版社，2006.
[7] 王燕华. 矩阵初等变换在线性代数中的应用[J].考试周刊，2011:14-18
[8] 赵立新，曾文才. 利用矩阵的初等变换求方阵地特征值[J].大学数学报，2004:34-40 [9] 倪臣敏，孙逊. 矩阵初等变换在线性代数中的应用[J].四川教育学院学报,2008:8-12 [10] 李秀英. 矩阵的初等变换在初等数论中的应用[J].通化师院学报,1998:50-60
致 谢
历时将近两个多月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了. 尤其要强烈感谢我的论文指导老师—杨洁老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进. 在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！
感谢这篇论文所涉及到的各位学者. 本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.
感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中提供热情的帮助.
由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示真心的感谢！
聊城大学
本科生毕业论文
题 目：矩阵初等变换及其应用专业代码： 070101 作者姓名： 学 号： 单 位： 指导教师： 年 月
日
目 录
前言 ...................................................................................................................................................... 1 1. 矩阵及其初等变换的概念 .............................................................................................. 1 2. 矩阵初等变换的应用 ......................................................................................................... 2
2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用 ............................................................................. 2
2.1.1 将矩阵化为阶梯型 ............................................................................................... 2 2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 ................................................................ 2 2.1.3求伴随矩阵和矩阵的逆 ....................................................................................... 3 2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 . .................................................................................. 5 2.1.5矩阵的特征值和特征向量 . .................................................................................. 6 2.1.6 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组 . ........................................ 7 2.2利用矩阵初等变换求利润问题 ...................................................................................... 8
结论 ................................................................................................................................................... 10 参考文献 . ......................................................................................................................................... 11 致谢 ................................................................................................................................................... 12
1
摘 要
矩阵是线性代数中最基本也是最重要的概念之一，它能把抽象的问题用矩阵的形式表示出来，并且通过矩阵的计算得出结果. 本文主要通过矩阵的概念讨论了矩阵的运算和性质，进而讨论用途广泛的矩阵初等变换及其应用，比如通过初等变换求逆矩阵和矩阵的秩等.
关键词：矩阵; 初等变换; 逆矩阵; 秩
Abstract
The matrix is one of the most important concepts in linear algebra, it can make the abstract problem in matrix form, and obtains the result through the calculation of matrix. This paper mainly through the concept of matrix operations are discussed and the properties of matrix, and then discuss the elementary transformation of matrix and its application in wide use, for example through the elementary transformation of matrix inversion and the rank of a matrix.
Keywords: matrix; elementary transformation; inverse matrix;matrix of rank
矩阵的初等变换及其应用
前 言
在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的初等变换及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的. 这就使矩阵成为数学中一个应用广泛的概念，而作为矩阵的一种运算方法，初等变换在矩阵的研究中具有很重要的意义. 本文主要写了矩阵初等变换在线性代数中的应用以及生活中在计算利润方面的应用.
1. 矩阵及其初等变换的概念
矩阵的概念和矩阵的三种初等变换：
定义1[1] 由sn 个数排列成s 行（横的）n 列（纵的）的表
⎡a 11a 12 a 1n ⎤⎢a 21a 22 a 2n ⎥
⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢⎥⎣a s 1a s 2 a sn ⎦
成为一个s ⨯n 矩阵.
定义2[1] 所谓数域P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换： （1）以P 中的一个非零的数乘矩阵的某一行；
（2）把矩阵的某一行的c 倍加到另一行，这里c 是P 中的任意一个数； （3）互换矩阵中两行的位置.
同样的我们可以给出初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
定义3[1] 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
2. 矩阵初等变换的应用
2.1矩阵初等变换在线性代数中的应用
矩阵的初等变换是矩阵的计算中必要的步骤. 在矩阵计算时，首先需要对它进行初等变换，化成单位矩阵，阶梯形矩阵等简单的矩阵，使计算简便.
2.1.1 将矩阵化为阶梯型
当矩阵A 经过初等变换变成矩阵B 时，我们写成
A →B
我们称形式如
⎡012-1⎤⎡121-12⎤⎡12-1⎤
⎢0001⎥, ⎢00102⎥，⎢021⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0000⎥⎦⎢⎣00023⎥⎦⎢⎣003⎥⎦
的矩阵为阶梯矩阵. 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零，则它的下面的行也全为零.
例1[2]
0-1-1⎡0
⎢14-10⎢A =
⎢-1-42-1⎢
811⎣24-10⎡1⎢00-1-1A →⎢
⎢-1-42-1⎢
811⎣2
⎡1⎢0 →⎢
⎢0⎢⎣0
4-100-1-100
00
2⎤2⎥⎥ 0⎥⎥0⎦2⎤⎡1
⎢02⎥⎥→⎢⎢00⎥
⎢⎥0⎦⎣0
4-10
0-1-100
13
2⎤⎡1
⎢02⎥⎥→⎢⎢0-12⎥⎥⎢1-4⎦⎣0
4-102⎤
0-1-12⎥⎥ 00-24⎥
⎥
00-22⎦
2⎤2⎥⎥ -24⎥
⎥
0-2⎦
这样就把A 变成了一个阶梯型矩阵.
2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换
有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理. 这就是所谓的矩阵分块.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
⎡E m ⎢⎣00⎤ E n ⎥⎦
对它进行两行(列) 对换；某一行(列) 左乘(右乘) 一个矩阵P ；一行(列) 加上另一行(列) 的P (矩阵) 倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
⎡0
⎢E ⎣m E n ⎤⎡P 0⎤⎡E m
, ⎢⎥, ⎢00⎥0E n ⎦⎣⎦⎣0⎤⎡E m
, ⎢⎥P ⎦⎣0P ⎤⎡E m
, ⎢E n ⎥⎦⎣P 0⎤
, E n ⎥⎦
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
⎡A B ⎤
⎢C D ⎥⎣⎦
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
⎡0
⎢E
⎣n E m ⎤⎡A B ⎤⎡C D ⎤
=⎢⎥⎢⎥0⎦⎣C D ⎦⎣A B ⎥⎦ (1)
⎡P 0⎤⎡A B ⎤⎡PA PB ⎤
⎢ (2) =⎢⎥⎢⎥⎥D ⎦⎣0E n ⎦⎣C D ⎦⎣C
⎡E m ⎢
⎣P
0⎤⎡A B ⎤⎡A ⎢C D ⎥=⎢C +PA E n ⎥⎦⎣⎦⎣
B ⎤
(3)
D +PB ⎥⎦
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择P ，可使C +PA =0. 例如A 可逆时，选P =-CA -1，则
C +PA =0. 于是(3)的右端成为
B ⎡A ⎤
⎢0D -CA -1B ⎥ ⎣⎦
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例2 设
⎡A 0⎤-1
A , D T =⎢. 可逆，求. T ⎥
⎣C D ⎦⎡A 0解 ⎢
⎣C D
E 0
0⎤⎡A 0E →⎢-1E ⎥⎦⎣0D -CA
⎡E 0⎤
→⎥⎢E ⎦⎣0
E
A -1
-D -1CA -1
0⎤⎥ D -1⎦
所以，T
-1
⎡A -1=⎢-1-1⎣-D CA 0⎤
. -1⎥D ⎦
2.1.3求伴随矩阵和矩阵的逆
定义4[3] n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得
AB =BA =E
这里E 是n 级单位矩阵. 这里如果矩阵B 适合，那么就称B 是A 的逆矩阵， 记为A -1.
定义5[1] 设A ij 是矩阵
⎡a 11a 12 a 1n ⎤⎢a 21a 22 a 2n ⎥
⎥ A =⎢
⎢ ⎥⎢⎥a n 1a n 2 a nn ⎣⎦
中元素a ij 的代数余子式，矩阵
⎡A 11⎢A 21
A *=⎢
⎢ ⎢⎣A n 1
称为A 的伴随矩阵.
A 12 A 1n ⎤A 22 A 2n ⎥⎥ ⎥
⎥
A n 2 A nn ⎦
2⎤⎡12
例3[4] 求A =⎢21-2⎥的伴随矩阵.
⎢⎥⎢⎣2-21⎥⎦解 先求代数余子式
A 11=
1-2
-21
=-3，A 12=-
2-22
1
=-6, A 13=
21
2-2
=-6,
同理可求得A 21=-6, A 22=-3, A 23=6, A 31=-6, A 32=6, A 33=-3
⎡-3-6-6⎤
⎥. 所以A *=⎢-6-36⎢⎥
⎢⎣-66-3⎥⎦
矩阵的基本求法有：定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法. 这里用初等矩阵法来求矩阵的逆.
2⎤⎡12
例4 求A =⎢21-2⎥的逆矩阵.
⎢⎥⎢⎣2-21⎥⎦解 用初等变换，得
2100⎤2100⎤⎡12⎡12
⎥−⎢0-3-6-210⎥(A E )=⎢21-2010−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎢0-11⎥⎣2-21001⎥⎦⎣0-33⎦
21⎡12−−→⎢⎢0-3-6-2
⎢92⎣00⎡
⎢120⎢−−→⎢010
⎢
⎢001⎢⎣
5
92929
49192-9
⎡
⎢12200⎤
⎢⎥10⎥−−→⎢012⎢-21⎥⎦⎢001⎢⎣
2⎤1⎡-⎥100⎢99⎥⎢22-⎥−−→⎢0109⎥9⎢1⎥⎢0012
⎢9⎥9⎦⎣
⎤
100⎥
⎥21-0⎥33⎥221⎥
-999⎥⎦22⎤99⎥ 12⎥
-⎥99⎥21⎥-
99⎥⎦
2⎤⎡12
1
所以A -1=⎢21-2⎥.
⎥9⎢
⎢⎣2-21⎥⎦
2.1.4求矩阵的秩、向量组的秩 极大线性无关组
定义6[5] 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
定义7[6] 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 例如向量组a 1=(2, -1, 3, 1) ，a 2=(4, -2, 5, 4) ，a 3=(2, -1, 4, -1) 的秩就是2.
⎡1-2-1
⎢-242[7]
例5 求A =⎢
⎢2-10⎢
33⎣3
02⎤
6-6⎥⎥的秩. 23⎥
⎥34⎦
解
⎡1-2-102⎤⎡1-2-1
r 2+2r 1
⎢-24⎥r 3-2r 1⎢0026-604-2r 1⎥−r −A =⎢−→⎢⎢2-1023⎥⎢032⎢⎥⎢
3334⎦6⎣3⎣09⎡1-2-102⎤⎡1-2⎢03⎥⎢0322-1r 3-3r 2r +2r 43⎥−−−−−→⎢−→⎢⎢00⎢000-31⎥⎢⎥⎢0006-2⎣⎦⎣00
2⎤⎡1-2-1
⎢03r 2r 3
6-2⎥2r r 34⎥−−−→⎢
⎢092-1⎥6
⎥⎢3-2⎦0⎣00-102⎤22-1⎥⎥0-31⎥
⎥
000⎦0
02⎤
2-1⎥⎥3-2⎥
⎥6-2⎦
所以R (A ) =3.
2.1.5矩阵的特征值和特征向量 (1）矩阵的特征值与特征向量的概念
设ζ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数λ0 存在一个非零向量ξ，使得
ζξ=λ0ξ
那么λ0称为ζ的一个特征值，而ξ称为ζ的属于特征值λ0的一个特征向量. （2）矩阵的特征多项式与特征方程的概念
行列式f (λ) =λE -A 称为矩阵A 的特征多项式. λE -A =0称为矩阵A 的特征方程.
特征方程λE -A =0是λ的n 次方程，它的n 个根就是矩阵A 的n 个特征值. （3）特征值和特征向量的求法
先由特征方程λE -A =0求出矩阵A 的全部特征值λi (i =1, 2, , n ) ，其中可能有重根. 然后对每个不同的特征值λi ，分别解齐次方程组(λi E -A )x =0. 设
r (λi E -A ) =r i ，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A 关于特征值λi 的线性无关
的特征向量）ξ1, ξ2, , ξn -r i ，则矩阵A 属于特征值λi 的全部特征向量为
k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r i ξn -r i ，其中k 1, k 2, , k n -r i 是不全为零的任意常数.
⎡3-2-4⎤
例6 求A =⎢-26-2⎥的特征值与特征向量.
⎢⎥⎢⎣-4-23⎥⎦
λ-3
解 λE -A =
24
242
=
λ-7
07-λ
242
λ-6
2
λ-6
2
λ-3λ-3
=(λ-7)(λ2-5λ-14) =(λ-7) 2(λ+2)
⎡424⎤⎡212⎤⎡-1⎤⎡-1⎤
⎥→⎢000⎥, 得α=⎢2⎥，α=⎢0⎥；212当λ=7时，7E -A =⎢12⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎢⎣424⎥⎦⎣000⎥⎦⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦4⎤⎡1-41⎤⎡-52⎡2⎤
当λ=-2时，-2E -A =⎢2-82⎥→⎢02-1⎥, 得α3=⎢1⎥.
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
2-5⎥0⎥⎢⎢⎣4⎦⎢⎣00⎦⎣2⎥⎦
所以A 的特征值是λ1=λ2=7, λ3=-2，相应的特征向量分别是
k 1α1+k 2α2, k 3α3，其中（k 1，k 2）≠（0,0），k 3≠0
2.1.6 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组
定义8【8】 设向量组为a 1, a 2, , a m ，以a 1, a 2, , a m 为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r (A ) ，若r (A ) =m ，则
a 1, a 2, , a m 线性无关，若r (A )
例7【9】 判断下列向量组的线性相关性.
α1=(1142)T , α2=(1-1-24)T , α3=(-323-11)T , α4=(13100)T
解 把行向量组成矩阵，用初等变换化成阶梯形，有
142⎤α142⎤α142⎤1⎡1⎡11⎡111
⎢1-1-2⎢0-2-62⎥α-α⎢0-1-31⎥(α2-α1) 4⎥α21⎢⎥→⎢⎥2⎥2→⎢
3-11⎥α33-1⎥1(α+3α) ⎢-32⎢0515-5⎥α3+3α1⎢01
1⎢⎥⎢⎥⎢⎥53
αα-α13100025-20000⎣⎦4⎣⎦41⎣⎦α-α+α-α
41214⎡11
⎢0-1-3→⎢
0⎢00
⎢
0⎣00
2⎤1
1⎥12(α2-α1) ⎥
0⎥1(α+3α) +1(α-α)
3121⎥20⎦5
α4-2α1+α2
α
α
所以向量组的秩是2，可见向量组α1, α2, α3, α4线性相关，极大线性无关组是
α1, α2.
2.2利用矩阵初等变换求利润问题
利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解.
例8【10】 一个工厂生产甲、乙两种产片，需用A 、B 、C 三种原料，为了监控生产，使企业利润最大，在满足下面表格的条件下，如何确定计划期甲、乙两种产品的产量，才能使获得的利润最大？ 数据表：
我们就可以用矩阵：
⎛943600⎫ ⎪ 452000⎪ 3103000⎪⎝⎭
来表示这些复杂的数据. 若给出产品的单价向量P （单位：千克/件），原材料，成本的向量C(单位：千元/吨) ，X 是订单向量（单位：件）.
⎛1⎫
⎪90⎛⎫⎛30⎫
P = 144⎪⎪, C = 2⎪, X = 50⎪⎪.
⎝⎭⎝⎭ 1⎪
⎝⎭
设甲、乙产品的单位成本向量Y=（y 1，y 2），则
⎛94⎫
⎪T
Y =C 45⎪=(2024).
310⎪⎝⎭
售出甲、乙产品所获得利润为：P T X -YX =(P T -Y ) X =9900-1800=8100千元.
现在若已知甲、乙产品的单位利润K=（70 120）（单位：千元/件）. 若用S 表示利润，变量X 1，X 2分别表示甲、乙两种产品的件数. 列出方程组：
求maxS=70X 1+120X 2
⎧9X 1+4X 2≤3600
⎪4X 1+5X 2≤2000⎪st ⎨ ⎪3X 1+10X 2≤3000⎪X 1, X 2≥0⎩
用单纯形法，引进松弛变量X j ≥0(j =3, 4, 5) 令s=-s,既可得单纯形矩阵迭代表.
跌代表
如果把表中相关的变量去掉，就是对矩阵进行初等变换，即
4⎛9
5 4
310
70120⎝
10000110
03600⎫⎛7. 8
⎪
02000⎪ 2. 5
→ 0. 303000⎪⎪ ⎪ 3400⎭⎝
0101000
0-0. 42400⎫
⎪
1-0. 5500⎪
→ ⎪0-0. 16240⎪
0-1. 2-3600⎪⎭
⎛0
1 0 0⎝
0010
1-3. 121. 16840⎫
⎪
00. 4-0. 2200⎪
0-0. 12-0. 16240⎪
⎪
0-13. 6-5. 2-42800⎪⎭
通过对表中的数据进行分析，我们就可得出一下结果：当生产甲、乙两种产品分别为200件和240件时，工厂可获得最大利润42800千元.
通过以上实例，让我们看到矩阵解决实际问题是非常简单的，对于处理类似的经济问题时，都有它独特的方法.
结 论
矩阵是线性代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，例如：运筹学、统计学. 因此，对矩阵及其初等变换的研究是有重要意义的.
参考文献
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2009.
[2] 王品超. 高等代数新方法[M].济南:山东教育出版社, 1989.12. [3] 李永乐. 线性代数[M].北京：北京大学出版社，2001.4. [4] 钱吉林. 线性代数概论[M]. 武汉: 华中师范大学出版社, 2000.
[5] 同济大学应用数学系. 线性代数第五版[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6] 李小刚，刘吉定等. 线性代数及其应用[M]北京：科学出版社，2006.
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[8] 赵立新，曾文才. 利用矩阵的初等变换求方阵地特征值[J].大学数学报，2004:34-40 [9] 倪臣敏，孙逊. 矩阵初等变换在线性代数中的应用[J].四川教育学院学报,2008:8-12 [10] 李秀英. 矩阵的初等变换在初等数论中的应用[J].通化师院学报,1998:50-60
致 谢
历时将近两个多月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了. 尤其要强烈感谢我的论文指导老师—杨洁老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进. 在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！
感谢这篇论文所涉及到的各位学者. 本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.
感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中提供热情的帮助.
由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示真心的感谢！