动点轨迹方程的求法 1

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x +y =1，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数λ(λ>0)（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，

则有 22MN

MQ =λ，

即 MO -ON MQ =λ，

x 2+y 2-1

(x -2) +y

2222=λ． 2222整理得(λ-1) x +(λ-1) y -4λx +(1+4λ) =0，这就是动点M 的轨迹方

程．

若λ=1，方程化为x =55，它表示过点(, 0) 和x 轴垂直的一条直线； 44

2λ2

21+3λ22λ2

2（x －2）+y =2, 0) 为圆心，若λ≠1，方程化为，它表示以(2λ-1(λ-1) 2λ-1

+3λ2

λ-2为半径的圆．

二、代入法

若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 （1986年全国）已知抛物线y =x +1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

解：设P (x , y ), B (x 1, y 1) ，由题设，P 分线段AB 的比λ=

∴ x =2AP =2， PB 3+2x 11+2y 1, y =. 1+21+2

解得x 1=3331x -, y 1=y -. 2222

2又点B 在抛物线y =x +1上，其坐标适合抛物线方程，

∴ (3133y -) 2=(x -) +1. 2222

整理得点P 的轨迹方程为

121(y -) 2=(x -), 333

其轨迹为抛物线．

三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

例3 （1986年广东）若动圆与圆(x +2) +y =4外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是

（A ）y -12x +12=0

（B ）y +12x -12=0

（C ）y +8x =0

（D ）y -8x =0

解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是y =-12(x -1) ．选（B ）．

例4 （1993年全国）一动圆与两圆x +y =1和x +y -8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为

（A ）抛物线（B ）圆

（C ）双曲线的一支（D ）椭圆

解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有 [1**********]

MO =r +1,

MC =r +2,

MC -MO =1.

动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）．

四、参数法

若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的