必修三数学 算法的基本思想 教案
三维目标
1．正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点． 2．通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路．
3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
教学重点：算法的含义及应用．
教学难点：写出解决一类问题的算法． 课时安排 1课时
教学过程 导入新课
思路1. 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．
思路2. 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念． 思路3. 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．
推进新课 新知探究 提出问题
1．解二元一次方程组有几种方法？
⎧x －2y ＝－1，①
2．结合实例⎨ 总结用加减消元法解二元一次方程组的步
2x ＋y ＝1，②⎩
骤．
⎧x －2y ＝－1，①
3．结合实例⎨
⎩2x ＋y ＝1，②
总结用代入消元法解二元一次方程组的步
骤．
4．请写出解一般二元一次方程组的步骤． 5．根据上述实例谈谈你对算法的理解． 6．请同学们总结算法的特征． 7．请思考我们学习算法的意义． 讨论结果：
1．代入消元法和加减消元法． 2．回顾二元一次方程组 ⎧⎨x －2y ＝－1，①⎩2x ＋y ＝1②
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①＋②×2，得5x ＝1. ③
第二步，解③，得x ＝1
5
第三步，②－①×2，得 5y ＝3. ④
第四步，解④，得y ＝3
5⎧⎪x ＝15，
第五步，得到方程组的解为⎨
⎪⎩y ＝35.
3．用代入消元法解二元一次方程组
⎧⎨x －2y ＝－1，①⎩2x ＋y ＝1，②
我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得 x ＝2y －1. ③
第二步，把③代入②，得2(2y －1) ＋y ＝1. ④ 第三步，解④得
y ＝35
. ⑤
第四步，把⑤代入③，得x ＝2×31
51＝5⎧x ＝1，第五步，得到方程组的解为⎪⎨
5
⎪⎩y ＝35.
4．对于一般的二元一次方程组
⎧⎨a 1x ＋b 1y ＝c 1，
①⎩a 2x ＋b 2y ＝c 2，
②
其中a 1b 2－a 2b 1≠0，可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b 2－②×b 1，得 (a 1b 2－a 2b 1) x ＝b 2c 1－b 1c 2. ③
第二步，解③，得x ＝b 2c 1－b 1c 2
a 1b 2－a 2b 1
第三步，②×a 1－①×a 2，得 (a 1b 2－a 2b 1) y ＝a 1c 2－a 2c 1. ④
第四步，解④，得y ＝
a 1c 2－a 2c 1
a 1b 2－a 2b 1
21111222
12222111
b c －b c ⎧x ＝
⎪a b －a b ，
第五步，得到方程组的解为⎨
a c －a c y ＝⎪⎩a b －a b .
5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可
以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤． 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．
7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．
应用示例
思路1
1在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．(4 000以内的素数表见教科书附录1)
分析：1. 查表判断936是否为素数： (1)如果936是素数，则分解结束；
(2)如果936不是素数，则进行第2步．
2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468. 3．查表判断468是否为素数： (1)如果468是素数，则分解结束；
(2)如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数． 重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数． 解：算法步骤如下：
1．判断936是否为素数：否．
2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468. 3．判断468是否为素数：否．
4．确定468的最小素因数：2. 936＝2×2×234. 5．判断234是否为素数：否．
6．确定234的最小素因数：2 936＝2×2×2×117. 7．判断117是否为素数：否．
8．确定117的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×39.
9．判断39是否为素数：否．
10．确定39的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×3×13. 11．判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束． 分解结果是936＝2×2×2×3×3×13. 点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法.
变式训练
设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．
分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．
首先，对两个数分别进行素因数分解： 840＝23×3×5×7， 1 764＝22×32×72. 其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.
接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1 764的因数，23
是840的因数，因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2. 同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1. 这样，就确定了840与1 764
211
的最大公因数为2×3×7＝84.
解：算法步骤如下：
1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7； 2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72； 3．确定它们的公共素因数：2,3,7；
4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1； 5．最大公因数为22×31×71＝84.
例2 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码) 将假银元找出来吗？
分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．
图1
解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：
1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．
2．取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：
图2
1．把银元分成3组，每组3枚．
2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n 枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．
从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作．
思路2
例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数； (2)设计一个算法，判断35是否为质数．
分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．
解：(1)①用2除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除7. ②用3除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以3不能整除7. ③用4除7，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除7. ④用5除7，得到余数2. 因为余数不为0，所以5不能整除7.
⑤用6除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以6不能整除7. 因此，7是质数．
(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除35.
②用3除35，得到余数2. 因为余数不为0，所以3不能整除35. ③用4除35，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除35.
④用5除35，得到余数0. 因为余数为0，所以5能整除35. 因此，35不是质数．
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1 997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.
变式训练
请写出判断n (n ＞2) 是否为质数的算法．
分析：对于任意的整数n (n ＞2) ，若用i 表示2～(n －1) 中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n ，得到余数r . 判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作．
这个操作一直要进行到i 的值等于(n －1) 为止．
解：1. 给定大于2的整数n . 2．令i ＝2.
3．用i 除n ，得到余数r .
4．判断“r ＝0”是否成立．若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示．
5．判断“i ＞(n －1)”是否成立．若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第3步.
例2 写出用“二分法”求方程x 2－2＝0 (x ＞0) 的近似解的算法．
分析：令f (x ) ＝x 2－2，则方程x 2－2＝0 (x ＞0) 的解就是函数f (x ) 的零点． “二分法”的基本思想是：把函数f (x ) 的零点所在的区间[a ，b ]〔满足f (a )·f (b ) ＜0〕“一分为二”，得到[a ，m ]和[m ，b ]．根据“f (a )·f (m ) ＜0”是否成立，取出零点所在的区间[a ，m ]或[m ，b ]，仍记为[a ，b ]．对所得的区间[a ，b ]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a ，b ]“足够小”，则[a ，b ]内的数可以作为方程的近似解．
解：1. 令f (x ) ＝x 2－2，给定精度d .
2．确定区间[a ，b ]，满足f (a )·f (b ) ＜0.
a ＋b
3．取区间中点m ＝ 2
4．若f (a )·f (m ) ＜0，则含零点的区间为[a ，m ]；否则，含零点的区间为[m ，b ]．将新得到的含零点的区间仍记为[a ，b ]．
5．判断[a ，b ]的长度是否小于d 或f (m ) 是否等于0. 若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步．
当d
0.0052的近似解的一个算法．
点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续„„
变式训练
求方程f (x ) ＝x 3＋x 2－1＝0在区间[0,1]上的近似解，精度为0.01. 解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：
1．因为f (0)＝－1，f (1)＝1，f (0)·f (1)＜0，则区间[0,1]为有解区间，精度1－0＝1＞0.01；
2．取[0,1]的区间中点0.5； 3．计算f (0.5)＝－0.625；
4．由于f (0.5)·f (1)＜0，可得新的有解区间[0.5,1]，精度1－0.5＝0.5＞0.01；
5．取[0.5,1]的区间中点0.75； 6．计算f (0.75)＝－0.015 625；
7．由于f (0.75)·f (1)＜0，可得新的有解区间[0.75,1]，精度1－0.75＝0.25＞0.01；
„„
当得到新的有解区间[0.75,0.757 82]时，由于|0.757 82－0.75|＝0.007 82＜0.01，
该区间精度已满足要求，所以取区间[0.75,0.757 82]的中点0.753 91，它是方程的一个近似解.
例3 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河？请设计算法．
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．
解：具体算法如下： 算法步骤：
1．人带两只狼过河，并自己返回． 2．人带一只狼过河，自己返回．
3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回． 4．人带一只羚羊过河，自己返回． 5．人带两只狼过河．
点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.
变式训练
喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．
分析：本题主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．
解：算法一： 1．洗刷水壶． 2．烧水．
3．洗刷茶具． 4．沏茶．
算法二：
1．洗刷水壶．
2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具． 3．沏茶．
上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．
点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0是否有实数根． 解：算法步骤如下：
1．输入一元二次方程的系数：a ，b ，c .
2
2．计算Δ＝b －4ac 的值．
3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法．
点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t (分钟) ，通话费用为y (元) ，如何设计一个程序，计算通话的费用？
解：算法分析：
数学模型实际上为y 关于t 的分段函数． 关系式如下：
⎧0.22，0
y ＝⎨0.22＋0.1 t －3 ，t >3，t ∈Z ，
⎩0.22＋0.1 [t －3]＋1 ，t >3，t ∉Z .
其中[t －3]表示取不大于t －3的整数部分． 算法步骤如下： 1．输入通话时间t .
2．如果t ≤3，那么y ＝ 0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y ＝ 0.2＋0.1× (t －3) ；否则执行y ＝ 0.2＋0.1×( [t －3]＋1) ． 3．输出通话费用y . 课堂小结
1．正确理解算法这一概念．
2．结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法． 作业
课本本节练习1、练习2.
必修三数学 算法的基本思想 教案
三维目标
1．正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点． 2．通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路．
3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
教学重点：算法的含义及应用．
教学难点：写出解决一类问题的算法． 课时安排 1课时
教学过程 导入新课
思路1. 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．
思路2. 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念． 思路3. 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．
推进新课 新知探究 提出问题
1．解二元一次方程组有几种方法？
⎧x －2y ＝－1，①
2．结合实例⎨ 总结用加减消元法解二元一次方程组的步
2x ＋y ＝1，②⎩
骤．
⎧x －2y ＝－1，①
3．结合实例⎨
⎩2x ＋y ＝1，②
总结用代入消元法解二元一次方程组的步
骤．
4．请写出解一般二元一次方程组的步骤． 5．根据上述实例谈谈你对算法的理解． 6．请同学们总结算法的特征． 7．请思考我们学习算法的意义． 讨论结果：
1．代入消元法和加减消元法． 2．回顾二元一次方程组 ⎧⎨x －2y ＝－1，①⎩2x ＋y ＝1②
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①＋②×2，得5x ＝1. ③
第二步，解③，得x ＝1
5
第三步，②－①×2，得 5y ＝3. ④
第四步，解④，得y ＝3
5⎧⎪x ＝15，
第五步，得到方程组的解为⎨
⎪⎩y ＝35.
3．用代入消元法解二元一次方程组
⎧⎨x －2y ＝－1，①⎩2x ＋y ＝1，②
我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得 x ＝2y －1. ③
第二步，把③代入②，得2(2y －1) ＋y ＝1. ④ 第三步，解④得
y ＝35
. ⑤
第四步，把⑤代入③，得x ＝2×31
51＝5⎧x ＝1，第五步，得到方程组的解为⎪⎨
5
⎪⎩y ＝35.
4．对于一般的二元一次方程组
⎧⎨a 1x ＋b 1y ＝c 1，
①⎩a 2x ＋b 2y ＝c 2，
②
其中a 1b 2－a 2b 1≠0，可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b 2－②×b 1，得 (a 1b 2－a 2b 1) x ＝b 2c 1－b 1c 2. ③
第二步，解③，得x ＝b 2c 1－b 1c 2
a 1b 2－a 2b 1
第三步，②×a 1－①×a 2，得 (a 1b 2－a 2b 1) y ＝a 1c 2－a 2c 1. ④
第四步，解④，得y ＝
a 1c 2－a 2c 1
a 1b 2－a 2b 1
21111222
12222111
b c －b c ⎧x ＝
⎪a b －a b ，
第五步，得到方程组的解为⎨
a c －a c y ＝⎪⎩a b －a b .
5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可
以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤． 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．
7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．
应用示例
思路1
1在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．(4 000以内的素数表见教科书附录1)
分析：1. 查表判断936是否为素数： (1)如果936是素数，则分解结束；
(2)如果936不是素数，则进行第2步．
2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468. 3．查表判断468是否为素数： (1)如果468是素数，则分解结束；
(2)如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数． 重复进行上述步骤，直到找出936的所有素因数． 解：算法步骤如下：
1．判断936是否为素数：否．
2．确定936的最小素因数：2. 936＝2×468. 3．判断468是否为素数：否．
4．确定468的最小素因数：2. 936＝2×2×234. 5．判断234是否为素数：否．
6．确定234的最小素因数：2 936＝2×2×2×117. 7．判断117是否为素数：否．
8．确定117的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×39.
9．判断39是否为素数：否．
10．确定39的最小素因数：3. 936＝2×2×2×3×3×13. 11．判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束． 分解结果是936＝2×2×2×3×3×13. 点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法.
变式训练
设计一个算法，求840与1 764的最大公因数．
分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．
首先，对两个数分别进行素因数分解： 840＝23×3×5×7， 1 764＝22×32×72. 其次，确定两数的公共素因数：2,3,7.
接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1 764的因数，23
是840的因数，因此22是这两个数的公因数，这样就确定了公共素因数2的指数为2. 同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1. 这样，就确定了840与1 764
211
的最大公因数为2×3×7＝84.
解：算法步骤如下：
1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7； 2．然后将1 764进行素因数分解：1 764＝22×32×72； 3．确定它们的公共素因数：2,3,7；
4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1； 5．最大公因数为22×31×71＝84.
例2 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码) 将假银元找出来吗？
分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．
图1
解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：
1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．
2．取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：
图2
1．把银元分成3组，每组3枚．
2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n 枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．
从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作．
思路2
例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数； (2)设计一个算法，判断35是否为质数．
分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．
解：(1)①用2除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除7. ②用3除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以3不能整除7. ③用4除7，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除7. ④用5除7，得到余数2. 因为余数不为0，所以5不能整除7.
⑤用6除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以6不能整除7. 因此，7是质数．
(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除35.
②用3除35，得到余数2. 因为余数不为0，所以3不能整除35. ③用4除35，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除35.
④用5除35，得到余数0. 因为余数为0，所以5能整除35. 因此，35不是质数．
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1 997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.
变式训练
请写出判断n (n ＞2) 是否为质数的算法．
分析：对于任意的整数n (n ＞2) ，若用i 表示2～(n －1) 中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n ，得到余数r . 判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作．
这个操作一直要进行到i 的值等于(n －1) 为止．
解：1. 给定大于2的整数n . 2．令i ＝2.
3．用i 除n ，得到余数r .
4．判断“r ＝0”是否成立．若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示．
5．判断“i ＞(n －1)”是否成立．若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第3步.
例2 写出用“二分法”求方程x 2－2＝0 (x ＞0) 的近似解的算法．
分析：令f (x ) ＝x 2－2，则方程x 2－2＝0 (x ＞0) 的解就是函数f (x ) 的零点． “二分法”的基本思想是：把函数f (x ) 的零点所在的区间[a ，b ]〔满足f (a )·f (b ) ＜0〕“一分为二”，得到[a ，m ]和[m ，b ]．根据“f (a )·f (m ) ＜0”是否成立，取出零点所在的区间[a ，m ]或[m ，b ]，仍记为[a ，b ]．对所得的区间[a ，b ]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a ，b ]“足够小”，则[a ，b ]内的数可以作为方程的近似解．
解：1. 令f (x ) ＝x 2－2，给定精度d .
2．确定区间[a ，b ]，满足f (a )·f (b ) ＜0.
a ＋b
3．取区间中点m ＝ 2
4．若f (a )·f (m ) ＜0，则含零点的区间为[a ，m ]；否则，含零点的区间为[m ，b ]．将新得到的含零点的区间仍记为[a ，b ]．
5．判断[a ，b ]的长度是否小于d 或f (m ) 是否等于0. 若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步．
当d
0.0052的近似解的一个算法．
点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续„„
变式训练
求方程f (x ) ＝x 3＋x 2－1＝0在区间[0,1]上的近似解，精度为0.01. 解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解：
1．因为f (0)＝－1，f (1)＝1，f (0)·f (1)＜0，则区间[0,1]为有解区间，精度1－0＝1＞0.01；
2．取[0,1]的区间中点0.5； 3．计算f (0.5)＝－0.625；
4．由于f (0.5)·f (1)＜0，可得新的有解区间[0.5,1]，精度1－0.5＝0.5＞0.01；
5．取[0.5,1]的区间中点0.75； 6．计算f (0.75)＝－0.015 625；
7．由于f (0.75)·f (1)＜0，可得新的有解区间[0.75,1]，精度1－0.75＝0.25＞0.01；
„„
当得到新的有解区间[0.75,0.757 82]时，由于|0.757 82－0.75|＝0.007 82＜0.01，
该区间精度已满足要求，所以取区间[0.75,0.757 82]的中点0.753 91，它是方程的一个近似解.
例3 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河？请设计算法．
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．
解：具体算法如下： 算法步骤：
1．人带两只狼过河，并自己返回． 2．人带一只狼过河，自己返回．
3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回． 4．人带一只羚羊过河，自己返回． 5．人带两只狼过河．
点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.
变式训练
喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．
分析：本题主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．
解：算法一： 1．洗刷水壶． 2．烧水．
3．洗刷茶具． 4．沏茶．
算法二：
1．洗刷水壶．
2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具． 3．沏茶．
上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．
点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0是否有实数根． 解：算法步骤如下：
1．输入一元二次方程的系数：a ，b ，c .
2
2．计算Δ＝b －4ac 的值．
3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法．
点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t (分钟) ，通话费用为y (元) ，如何设计一个程序，计算通话的费用？
解：算法分析：
数学模型实际上为y 关于t 的分段函数． 关系式如下：
⎧0.22，0
y ＝⎨0.22＋0.1 t －3 ，t >3，t ∈Z ，
⎩0.22＋0.1 [t －3]＋1 ，t >3，t ∉Z .
其中[t －3]表示取不大于t －3的整数部分． 算法步骤如下： 1．输入通话时间t .
2．如果t ≤3，那么y ＝ 0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y ＝ 0.2＋0.1× (t －3) ；否则执行y ＝ 0.2＋0.1×( [t －3]＋1) ． 3．输出通话费用y . 课堂小结
1．正确理解算法这一概念．
2．结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法． 作业
课本本节练习1、练习2.