齐次线性方程组

齐次线性方程组Ax=0

一、基本理论

齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A). N(A)的一组基称为方程组的一个基础解系。 解空间的维数：dim N(A) = n - rank(A).

求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系.

二、Matlab实现

实现一：rref(A)将A化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系.

实现三：Matlab函数null(A)可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。

三、例子

例. 求解线性方程组

x1x1x12x13x1

2x22x22x24x26x2

3x32x33x33x3

5x44x4x419x424x4

x55x53x58x59x5

000 00

输入系数矩阵A

A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9]

A =

1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9

解一

R=rref(A)

R =

1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

原方程化为

x12x2

即

5x4x3

3x4

x52x5

00

x1x3

通解

2x25x4x53x42x5

x12x25x4x5251xx10220x33x42x5x20x43x52 xx01440

001xx

55

解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基

N=nulbasis(A)

N =

-2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1

Matlab的null(A)给出不同的结果 null(A)

ans =

-0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805

例. 求x1x2x3x40的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A)

ans =

-1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

实例

例. 配平下列化学方程式

(x1)C3H8(x2)O2(x3)CO2(x4)H2O

解. 碳、氢、氧的原子数目在反应前后相等

C:3x1x3

得如下方程组

H:8x12x4O:2x22x3x4

3x18x1

x3

2x2

2x3

2x4x4

00 0

A=[3 0 -1 0; 8 0 0 -2; 0 2 -2 -1]

A =

3 0 -1 0 8 0 0 -2 0 2 -2 -1

R=rref(A)

R =

1.0000 0 0 -0.2500 0 1.0000 0 -1.2500 0 0 1.0000 -0.7500

对应如下方程组

x4/4x1



x25x4/4 x33x4/4

取x44, 则x11, x25, x33. 配平后的化学方程式

C3H85O23CO24H2O

或直接调用 nulbasis(A) nulbasis(A)

ans =

0.2500 1.2500 0.7500 1.0000

齐次线性方程组Ax=0

一、基本理论

齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A). N(A)的一组基称为方程组的一个基础解系。 解空间的维数：dim N(A) = n - rank(A).

求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系.

二、Matlab实现

实现一：rref(A)将A化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系.

实现三：Matlab函数null(A)可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。

三、例子

例. 求解线性方程组

x1x1x12x13x1

2x22x22x24x26x2

3x32x33x33x3

5x44x4x419x424x4

x55x53x58x59x5

000 00

输入系数矩阵A

A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9]

A =

1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9

解一

R=rref(A)

R =

1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

原方程化为

x12x2

即

5x4x3

3x4

x52x5

00

x1x3

通解

2x25x4x53x42x5

x12x25x4x5251xx10220x33x42x5x20x43x52 xx01440

001xx

55

解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基

N=nulbasis(A)

N =

-2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1

Matlab的null(A)给出不同的结果 null(A)

ans =

-0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805

例. 求x1x2x3x40的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A)

ans =

-1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

实例

例. 配平下列化学方程式

(x1)C3H8(x2)O2(x3)CO2(x4)H2O

解. 碳、氢、氧的原子数目在反应前后相等

C:3x1x3

得如下方程组

H:8x12x4O:2x22x3x4

3x18x1

x3

2x2

2x3

2x4x4

00 0

A=[3 0 -1 0; 8 0 0 -2; 0 2 -2 -1]

A =

3 0 -1 0 8 0 0 -2 0 2 -2 -1

R=rref(A)

R =

1.0000 0 0 -0.2500 0 1.0000 0 -1.2500 0 0 1.0000 -0.7500

对应如下方程组

x4/4x1



x25x4/4 x33x4/4

取x44, 则x11, x25, x33. 配平后的化学方程式

C3H85O23CO24H2O

或直接调用 nulbasis(A) nulbasis(A)

ans =

0.2500 1.2500 0.7500 1.0000