《指数函数的图像和性质》课堂实录
四川省什邡中学 杨琴
一、从实际问题引入指数函数概念
师：请大家思考这样一个问题：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？
生：y=2
师：再思考下面一个问题：一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 生：(思考片刻；得出)y=0.84
x x x x 师：y=2，y=0.84是一类不同于以前我们所学函数的新函数，这一类函数叫做指数函
x 数，它的一般形式是y=a. 今天我们将学习指数函数的概念、图像和性质.
(板书课题)
师：我们在学习指数运算时已知知道，指数x 可以是正整数、负整数和零，也可以是分
x 数即x 可以是有理数. 事实上，x 也可以是无理数，此时a 的值也是一个确定的实数，因此
指数x 可以取全体实数.
下面我们思考一下，为了使x 可以取全体实数，对y=a中的底数a 应该有什么要求？大家可以先举几个例子来作试验，看一看底数是哪些数时，指数不能取全体实数，底数是哪些数时，指数可以取全体实数.
(学生举出了不少例子：如(-2)，0等，并说出了底数的取值限制及理由，然后教师启发学生归纳出对a 的取值的规定及其理由. 学生归纳只得出a ＞0，教师补上a≠1.) 师：(启发学生总结) 为什么规定a ＞0且a≠1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？ 当a=0时，若x ＞0，则a ≡0；若x≢0，则a 无意义.
当a ＜0时，a 不一定有意义.
当a=1时，y=1=1是常量.
因此，为了避免上述情况，并保证定义域是全体实数，我们规定a ＞0且a≠1. 下面，请同学们说“指数函数的定义”. x x x x x x x
生：函数y=a(a＞0，a≠1)叫做指数函数.
[定义的引入是经过“实际问题→与指数运算类比→对底数a 的讨论”三步完成的，一个新概念的引入，往往是为了解决实际问题和理论问题，而且往往经历由感性到理性的抽象概括过程，指数函数的定义就是这样.]
二、通过图象研究指数函数的性质
师：下面我们来研究指数函数的性质，大家先想一想，对函数通常研究哪些性质？ 生：定义域、值域、单调性和图象.
师：好！对于指数函数，我们就先研究这几个问题.
[让学生对所学习的目标有一个整体的认识]
师：我们已经知道指数函数的定义了，那么它的定义域呢？
生：实数集.
师：为了帮助我们更好地研究指数函数的其他性质，我们先画出指数函数的图像.
x x ⎛1⎫x 请大家用描点法，在同一个平面直角坐标系中画出y=2和y = ⎪的图像. ⎝2⎭
(学生画图像，教师巡视，教师用投影仪把画图像的过程演示一遍，引导学生分析y=2x ⎛1⎫x 和y = ⎪图像的不同之处在于a 的取值不同，并画出y=a当a ＞1和0＜a ＜1的图象的⎝2⎭
示意图)
师：现在我们利用指数函数的图象来观察指数函数的性质，先观察值域.
生：y ＞0. 因为图象都在x 轴的上方.
师：那么，怎样从图象观察函数的单调性呢？
生：当a ＞1时，y=a的图象从左到右逐渐上升，这表示y=a是增函数；当0＜a ＜1时，x x y=a的图象从左到右逐渐下降，这表示y=a是减函数.
师：我们再观察图象，可以看到无论是a ＞1还是0＜a ＜1，y=a的图象都通过一个共同的点，这是哪一点呢？
生：点(0，1). x x x x
师：点(0，1) 是个关键点，以这个点为分界，从图象中可以看出y 值变化的范围，大家能不能看出来？先看a ＞1时的图象.
生：a ＞1时，在第一象限的y 值大于1，第二象限的y 值小于1，即a ＞1时，若x ＞0，则y ＞1；若x ＜0，则0＜y ＜1.
师：0＜a ＜1呢？
(学生回答出相应的结论，教师在启发学生观察指数函数的图像及其性质的同时在大屏幕上填表)
[研究指数函数的性质是这节课的教学重点，本节课是紧紧围绕着指数函数的图象进行的，先画出图象，然后通过图象观察指数函数的性质. 因为人在观察中，总是有选择地以少数事物作为知觉对象，对这些少数对象往往知觉得比较清晰，从而由此出发去感知其他事物，让学生的注意力集中的指向与所研究的目的密切相关的图象，就会加深感受性.]
三、通过“多通道协同记忆法”记忆指数函数的性质
师：我们研究了指数函数的定义域、值域、单调性和数值变化等性质，现在请同学们阅读并记住这些性质.
[教师用几分钟的时间让学生阅读和记忆所学的知识是必要的，根据艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘的过程有先快后慢的特点，不重要的和未经复习的内容容易遗忘，而强烈的记忆意图会产生注意力集中的效果，因此及时强化记忆，趁热打铁是巩固记忆的一种重要手段.] 师：大家说，指数函数的性质哪一条不好记？
(学生议论，大多数认为数值变化情况这一条不好记.)
师：那么怎么能记住这一条性质呢？
生：通过图象来记忆.
师：还有没有其他办法，大家再想一想.
生：因为a ＞1时y=a是增函数，则x ＞0时，y=a＞a =1，x ＜0时，0＜y=a＜a =1即利用函数的单调性来记.
师：这个办法很好，把数值变化与指数函数的单调性结合起来了，这就是说，如果记不住指数函数的数值变化规律，利用指数函数的单调性也可以得到. 还有其他办法吗？我们知道，a 与1有关，x 与0有关，y 与1有关，如果分别把a ，x ，y ；1，0，1写成两行，中间用大于或小于号连接(板书如下) ，那么大家能发现什么规律吗？
a ，x ，y
＞ ＞ ＞
＞ ＜ ＜
＜ ＞ ＜
＜ ＜ ＞
1 0 1
(同学们经过研究，可以发现一个记住这条性质的办法：即a 和x 同时取大于或小于号时，y 取大于号；一个取大于号，一个取小于号时，y 取小于号.)
[学生对于指数函数的数值变化这条性质不容易记住，也容易混淆，在这里花一点时间，让学生抓住记忆的关键点，找出记忆的规律，采取多种渠道进行记忆，不仅可以培养学生的记忆能力，而且可以减轻课堂教学短时记忆的压力. 同时，也可以稍稍放慢一下教学节奏，使教学有张有驰.]
四、通过例题掌握指数函数的性质
[例1]比较下列各组数的大小：
(1)1.7和1.7
(2)0.8-0.12.53x x 0x 0和0.8
3-0.2 (3)π和π
[本题主要是帮助学生掌握指数函数的单调性和数值变化，其中(1)、(2)两题学生可以
-33顺利解出；第3题可利用π＜1，π＞1解出]
[例2]指出下列不等式中a 的范围： -3
a -20且a ≠1)
(本题是指数函数性质的逆向应用、解略)
[逆向思维的训练是数学思维训练的一个重要方面，在平时的教学中，教师的确应随时注重对学生的逆向思维能力的培养.]
师：这节课我们学习了指数函数的定义、图象和性质，这些性质是通过对图象的观察得到的，那么这些性质能不能用推理的方法得到呢？请同学们在课后思考.
[课堂结束语不仅是对内容的概括，还引导学生对学习的内容进行更深入的思考，为下节课的学习留下悬念.]
五、布置作业
阅读课本有关内容
作业：课本上的习题（略）
研究题
1. 画出y=2的图象.
2.求y=2的单调区间.
[作业中适当布置一些研究题，可以激发学生的学习兴趣，也能满足学有余力的学生的学习要求.]
六、反思：
1. 注重学生自主学习活动，发挥新教材素质教育功能.
2. 注重培养学生良好的学习方式，问答形式由“质问式”转向“对话式”，这样有利于学生自主学习能力提问，真正从被动接受老师的提问中解脱出来，层层推进，减少学生思维的障碍。
3. 以例带类，异中求同，启发学生的思维活动. x+3|x|
《指数函数的图像和性质》课堂实录
四川省什邡中学 杨琴
一、从实际问题引入指数函数概念
师：请大家思考这样一个问题：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？
生：y=2
师：再思考下面一个问题：一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 生：(思考片刻；得出)y=0.84
x x x x 师：y=2，y=0.84是一类不同于以前我们所学函数的新函数，这一类函数叫做指数函
x 数，它的一般形式是y=a. 今天我们将学习指数函数的概念、图像和性质.
(板书课题)
师：我们在学习指数运算时已知知道，指数x 可以是正整数、负整数和零，也可以是分
x 数即x 可以是有理数. 事实上，x 也可以是无理数，此时a 的值也是一个确定的实数，因此
指数x 可以取全体实数.
下面我们思考一下，为了使x 可以取全体实数，对y=a中的底数a 应该有什么要求？大家可以先举几个例子来作试验，看一看底数是哪些数时，指数不能取全体实数，底数是哪些数时，指数可以取全体实数.
(学生举出了不少例子：如(-2)，0等，并说出了底数的取值限制及理由，然后教师启发学生归纳出对a 的取值的规定及其理由. 学生归纳只得出a ＞0，教师补上a≠1.) 师：(启发学生总结) 为什么规定a ＞0且a≠1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？ 当a=0时，若x ＞0，则a ≡0；若x≢0，则a 无意义.
当a ＜0时，a 不一定有意义.
当a=1时，y=1=1是常量.
因此，为了避免上述情况，并保证定义域是全体实数，我们规定a ＞0且a≠1. 下面，请同学们说“指数函数的定义”. x x x x x x x
生：函数y=a(a＞0，a≠1)叫做指数函数.
[定义的引入是经过“实际问题→与指数运算类比→对底数a 的讨论”三步完成的，一个新概念的引入，往往是为了解决实际问题和理论问题，而且往往经历由感性到理性的抽象概括过程，指数函数的定义就是这样.]
二、通过图象研究指数函数的性质
师：下面我们来研究指数函数的性质，大家先想一想，对函数通常研究哪些性质？ 生：定义域、值域、单调性和图象.
师：好！对于指数函数，我们就先研究这几个问题.
[让学生对所学习的目标有一个整体的认识]
师：我们已经知道指数函数的定义了，那么它的定义域呢？
生：实数集.
师：为了帮助我们更好地研究指数函数的其他性质，我们先画出指数函数的图像.
x x ⎛1⎫x 请大家用描点法，在同一个平面直角坐标系中画出y=2和y = ⎪的图像. ⎝2⎭
(学生画图像，教师巡视，教师用投影仪把画图像的过程演示一遍，引导学生分析y=2x ⎛1⎫x 和y = ⎪图像的不同之处在于a 的取值不同，并画出y=a当a ＞1和0＜a ＜1的图象的⎝2⎭
示意图)
师：现在我们利用指数函数的图象来观察指数函数的性质，先观察值域.
生：y ＞0. 因为图象都在x 轴的上方.
师：那么，怎样从图象观察函数的单调性呢？
生：当a ＞1时，y=a的图象从左到右逐渐上升，这表示y=a是增函数；当0＜a ＜1时，x x y=a的图象从左到右逐渐下降，这表示y=a是减函数.
师：我们再观察图象，可以看到无论是a ＞1还是0＜a ＜1，y=a的图象都通过一个共同的点，这是哪一点呢？
生：点(0，1). x x x x
师：点(0，1) 是个关键点，以这个点为分界，从图象中可以看出y 值变化的范围，大家能不能看出来？先看a ＞1时的图象.
生：a ＞1时，在第一象限的y 值大于1，第二象限的y 值小于1，即a ＞1时，若x ＞0，则y ＞1；若x ＜0，则0＜y ＜1.
师：0＜a ＜1呢？
(学生回答出相应的结论，教师在启发学生观察指数函数的图像及其性质的同时在大屏幕上填表)
[研究指数函数的性质是这节课的教学重点，本节课是紧紧围绕着指数函数的图象进行的，先画出图象，然后通过图象观察指数函数的性质. 因为人在观察中，总是有选择地以少数事物作为知觉对象，对这些少数对象往往知觉得比较清晰，从而由此出发去感知其他事物，让学生的注意力集中的指向与所研究的目的密切相关的图象，就会加深感受性.]
三、通过“多通道协同记忆法”记忆指数函数的性质
师：我们研究了指数函数的定义域、值域、单调性和数值变化等性质，现在请同学们阅读并记住这些性质.
[教师用几分钟的时间让学生阅读和记忆所学的知识是必要的，根据艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘的过程有先快后慢的特点，不重要的和未经复习的内容容易遗忘，而强烈的记忆意图会产生注意力集中的效果，因此及时强化记忆，趁热打铁是巩固记忆的一种重要手段.] 师：大家说，指数函数的性质哪一条不好记？
(学生议论，大多数认为数值变化情况这一条不好记.)
师：那么怎么能记住这一条性质呢？
生：通过图象来记忆.
师：还有没有其他办法，大家再想一想.
生：因为a ＞1时y=a是增函数，则x ＞0时，y=a＞a =1，x ＜0时，0＜y=a＜a =1即利用函数的单调性来记.
师：这个办法很好，把数值变化与指数函数的单调性结合起来了，这就是说，如果记不住指数函数的数值变化规律，利用指数函数的单调性也可以得到. 还有其他办法吗？我们知道，a 与1有关，x 与0有关，y 与1有关，如果分别把a ，x ，y ；1，0，1写成两行，中间用大于或小于号连接(板书如下) ，那么大家能发现什么规律吗？
a ，x ，y
＞ ＞ ＞
＞ ＜ ＜
＜ ＞ ＜
＜ ＜ ＞
1 0 1
(同学们经过研究，可以发现一个记住这条性质的办法：即a 和x 同时取大于或小于号时，y 取大于号；一个取大于号，一个取小于号时，y 取小于号.)
[学生对于指数函数的数值变化这条性质不容易记住，也容易混淆，在这里花一点时间，让学生抓住记忆的关键点，找出记忆的规律，采取多种渠道进行记忆，不仅可以培养学生的记忆能力，而且可以减轻课堂教学短时记忆的压力. 同时，也可以稍稍放慢一下教学节奏，使教学有张有驰.]
四、通过例题掌握指数函数的性质
[例1]比较下列各组数的大小：
(1)1.7和1.7
(2)0.8-0.12.53x x 0x 0和0.8
3-0.2 (3)π和π
[本题主要是帮助学生掌握指数函数的单调性和数值变化，其中(1)、(2)两题学生可以
-33顺利解出；第3题可利用π＜1，π＞1解出]
[例2]指出下列不等式中a 的范围： -3
a -20且a ≠1)
(本题是指数函数性质的逆向应用、解略)
[逆向思维的训练是数学思维训练的一个重要方面，在平时的教学中，教师的确应随时注重对学生的逆向思维能力的培养.]
师：这节课我们学习了指数函数的定义、图象和性质，这些性质是通过对图象的观察得到的，那么这些性质能不能用推理的方法得到呢？请同学们在课后思考.
[课堂结束语不仅是对内容的概括，还引导学生对学习的内容进行更深入的思考，为下节课的学习留下悬念.]
五、布置作业
阅读课本有关内容
作业：课本上的习题（略）
研究题
1. 画出y=2的图象.
2.求y=2的单调区间.
[作业中适当布置一些研究题，可以激发学生的学习兴趣，也能满足学有余力的学生的学习要求.]
六、反思：
1. 注重学生自主学习活动，发挥新教材素质教育功能.
2. 注重培养学生良好的学习方式，问答形式由“质问式”转向“对话式”，这样有利于学生自主学习能力提问，真正从被动接受老师的提问中解脱出来，层层推进，减少学生思维的障碍。
3. 以例带类，异中求同，启发学生的思维活动. x+3|x|