统计学第八章假设检验 练习题作业
8.1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N（4.55,0.108² ），现在测 定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否 认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（α=0.05）？
解：已知：μ =4.55，,σ ²=0.108² ，N=9， x =4.484 双侧检验 小样本，σ 已知，∴用Z统计量 H 0 :μ =4.55 H1 :μ ≠4.55 Z α =0.05，α /2=0.025，查表得： =1.96 计算检验统计量： (x ) =（4.484-4.55）/(0.108/3)=-1.833 Z / n
0.025
决策： ∵Z值落入接受域， ∴在α=0.05的显著水平上接受 H 0 。
结论：有证据表明现在生产的铁水平均含碳量与以前没有显著差 异，可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
8.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种 元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿 命服从正态分布，σ=60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元 件是否合格。
解：已知N=36，σ =60， x =680，μ =700 左侧检验 ∵是大样本，σ 已知 ∴采用Z统计量计算 H 0 ：μ ≥700 H1 ：μ
计算检验统计量：
Z x / n
=（680-700）/(60/6)=-2
决策： ∵Z值落入拒绝域， ∴在α=0.05的显著水平上拒绝 H 0，接受 H 1 。 结论： 有证据表明这批灯泡的使用寿命低于700小时，为不合格产品。
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤，其标准差为30 公斤。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样，平均产量为 270公斤。这种化肥是否使小麦明显增产（α=0.05）？
解：已知μ =250，σ =30，N=25， x =270，α =0.05 右侧检验 ∵小样本，σ 已知 ∴采用Z统计量 ∵α =0.05，∴ Z =1.645 H 0 ：μ ≤250 H1 ：μ >250 计算统计量：
x / n =（270-250）/(30/5)=3.33
Z
结论： Z统计量落入拒绝域，在α=0.05的显著性水平上，拒绝 H 0 ，接 受 H1 。
决策：有证据表明，这种化肥可以使小麦明显增产。
8.4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开 工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重 量（单位：千克）如下： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常 (α=0.05) 。 解：
如图所示： 本题采用单样本t检验。
H0
：μ =100 H1 ：μ ≠100 基本统计量： α =0.05，N=9，x =99.978， S S=1.2122， x =0.4041 检验结果： t=-0.005，自由度f=8， 双侧检验P=0.996，单侧检验P=0.498 结论：t统计量落入接受域，在α =0.05的显著性水平上接
受H 0。 决策：有证据表明这天的打包机工作正常。
8.5 某种大量生产的袋装食品，按规定每袋不得少于250克。今 从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不 符合标准的比例超过5％就不得出厂，问该批食品能否出厂 (α=0.05)？
解：已知N=50，P=6/50=0.12，
大样本，右侧检验，采用Z统计量。α =0.05，Z =1.645
H0
： P ≤5%
0
H1
Z
： P >5%
0
( p - p0 ) p0 (1 - p 0 ) n
=
0.12 - 0.05 =2.26 0.05 * 1 - 0.05） （ 50
结论：因为Z值落入拒绝域，所以在α =0.05的显著水平上，拒绝 H 0 ，接 受 H 1。 决策：有证据表明该批食品合格率不符合标准，不能出厂。
8.6 某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下寿命 超过25000公里的目前平均水平。对一个由15个轮胎组成的随机样本做 了试验，得到样本均值和标准差分别为27000和5000公里。假定轮胎 寿命服从正态分布，问该厂的广告是否真实？ (α=0.05)
解：N=15， x =27000，S=5000 小样本正态分布，σ未知，用t统计量计算。 右侧检验，自由度N-1=14， α=0.05，即 t =1.77 H 0 ：μ≤25000 H 1 ：μ>25000
x- 27000 - 25000 t 1.55 S/ n 5000 / 15
结论： 因为t值落入接受域，所以接受 H 0，拒绝 H 1 。
决策：有证据证明，该厂家生产的轮胎在正常行驶 条件下使用寿命与目前平均水平25000公里无显著 性差异，该厂家广告不真实。
8.7 某种电子元件的寿命x（单位：小时）服从正态分布，现测得16只元 件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为这些元件的平均寿命大于225小时（α=0.05）？ 解：已知 x =241.5，S=98.726，N=16 小样本正态分布，σ未知，t统计量 右侧检验，α=0.05，自由度N-1=15，即 t =1.753 H 0 ：μ≤225 H ：μ>225
1
t
x- 241.5 - 225 0.67 S/ n 98.726 / 16
结论：因为t值落入接受域，所以接受 H 0，拒绝 H 1 。 决策：有证据表明，元件平均寿命与225小时无显著性差异，不能认为 元件的平均寿命显著地大于225小时。
8.08 随机抽取9个单位，测得结果分别为： 85 59 66 81 35 57 55 63 66 以a=0.05的显著性水平对下述假设进行检验：
σ²≤100 H1 : σ²＞100 α= 0.05，n=9，自由度= 9 - 1 = 8， S² =215.75， =63 x 采用χ²检验 临界值(s): χ² =15.5 ） 2 (9 - 1) * 215.75 2 （n - 1 S 17.26 15.5 检验统计量： 2 100 决策：在 a = 0.05的水平上拒绝 H 0 结论: σ²＞100
H0 :
8.9 A、B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布， 2 2 2 2 且 A 63 ， B 57 。从A厂生产的材料中随机抽取81个样品，测 2 得 x A 1070kg/cm ；从B厂生
产的材料中随机抽取64个样品，测 得 x B 1020kg/cm 2 。根据以上调查结果，能否认为A、B两厂生产的材料平均 抗压强度相同(α=0.05)？
解：大样本，σ²已知，采用Z统计量 H 0 : 1 - 2 = 0 H1 : 1 - ≠ 0 2 已知：α= 0.05 n1 = 81 n2 = 64 双侧检验：Z =1.96
Z ( x A - xB ) - ( A - B )
2
2 A
nA
2 B
1070 - 1020 - 0 63 57 81 64
2 2
0.5 1.96
nB
决策：在α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论:可以认为A、B两厂生产的材料平均抗压强度相同。
8.10 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方 法的效率更高。劳动 效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配 方法中各抽取12件产品，记录下各自的装 配时间（分钟）如下：
甲法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时 间有无显著差别(α=0.05)？ 解： 正态总体，小样本，σ²未知但相同，独立样本t检验 H 0 : 甲-乙 = 0 H 1 : 甲 - 乙 ≠ 0
由Excel制表得：
由图可知：
已知：α= 0.05，n1 = n2=12 2 2 x甲 =31.75 x乙 =28.67 S甲=10.20 S乙 =6.06 t=1.72 t∈(-1.72,1.72)接受，否则拒绝。 t=(31.75-28.67)/(8.08* 0.41)=0.93 0.93∈(-1.72,1.72) 决策：在α= 0.05的水平上接受H 0 。 结论: 两种方法的装配时间无显著不同。
8.11 调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43个患 慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数 据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点 (α=0.05)？
解：两个总体比例之差，采用Z检验。 H0 : P - P ≤ 0 1 2 H1 : P - P ＞0 1 2 α= 0.05，n1 = 205，n2=134 p1 =20.98%, p2 =9.7% Z=11.28%/0.028=4.03>1.645 决策：在α= 0.05的水平上拒绝 H 0 。 结论: 调查数据能支持“吸烟者容易患慢性气管炎 ”这种观点。
Z 1.645
8.12 为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款 数额不能超过60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。 银行经理想了解在同样项目条件 下，贷款的平均规模是否明显地超 过60万元，还是维持着原来的水平。 一个n=144的随机样本被抽出，测得 x=68.1万元，s=45。用 α=0.01的显著性水平，采用p值进行检验。 解： H 0 : μ≤60 H1 : μ＞60 α= 0.01，n = 144， x =68.1，s=45 临界值(s):1%
x- =(68.1-60)/(45/12)=2.16 / n 将Z的绝对值2.16录入，得到的函数值为0.9846 1-0.9846=0.0154=1.54%>1% 决策：在 α= 0.01的水平上接受 H 0 。 结论: 贷款的平均规模维持着原来的水平。
检验统计量: Z
8.13 有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验 证，研究人员把自愿参与实
验的22000人员随机分成两组，一组人员每星 期服用三次阿司匹 林（样本1），另一组人员在相同的时间服用安慰剂 （样本2）。
持续3年之后进行检测，样本1中与104人患心脏病，样本2中有189人患 心脏病。以 a=0.05的显著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病 发生率。 解：
H 0：p1 - p2 0
α= 0.05 n1 = n2 =11000 p1=0.95%, p2=1.72% 临界值(s): Z =1.645 Z=-0.77%/0.001466=-4.98
H1 : p1 - p2 0
8.14 某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为7.0cm，方差为0.03cm。 今从一批螺栓中抽取80个测量其口径，得平均值为6.97cm，方差 为0.0375cm。假定螺栓口径为正态分布，问这批螺栓是否达到规 定的要求 (a=0.05)？
1．样本均值的检验 α= 0.05 , n = 80 临界值(s): Z 1.96 2 在-1.96~1.96之间接受；否则拒绝。 检验统计量: Z=(6.97-7)/(0.173/8.94)= -1.55∈(-1.96,1.96) 决策：在 α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论: 这批螺栓口径均值达到规定的要求。
H0 : 7 H1: : 7
2．样本方差的检验：
H 0 : 2 0.03
H1 : 2 0.03
α= 0.05 n=80 df = 80- 1 = 79 S²=0.0375 x =6.97 临界值(s): 56.3089 ,100.7486 χ²∈(56.3089,100.7486）接受；否则拒绝 检验统计量: χ²=79*0.0375/0.03=98.75 ∈(56.30890337,105.4727499) 决策：在 α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论: 这批螺栓口径方差也达到规定的要求。
8.15 有人说在大学中，男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校 中随机抽取了25名男生和16名女生，对他们进行了同样题目的测试。测试结 果表明，男生的平均成绩为82分，方差为56分，女生的平均成绩为78分，方 差为49分。假设显著性水平 α=0.02，从上述数据中能得到什么结论。
解：
H1 : 1 2 0
H 0 : 1 2 0
n α= 0.02，n1= 25， 2 = 16，x1 =82，x 2 =78
， 临界值(s): 2.124742 2.12 决策：在 α= 0.02的水平上拒绝 H 0 。 结论: 在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。
S 56
2 1
S
2 2
49
统计学第八章假设检验 练习题作业
8.1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N（4.55,0.108² ），现在测 定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否 认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（α=0.05）？
解：已知：μ =4.55，,σ ²=0.108² ，N=9， x =4.484 双侧检验 小样本，σ 已知，∴用Z统计量 H 0 :μ =4.55 H1 :μ ≠4.55 Z α =0.05，α /2=0.025，查表得： =1.96 计算检验统计量： (x ) =（4.484-4.55）/(0.108/3)=-1.833 Z / n
0.025
决策： ∵Z值落入接受域， ∴在α=0.05的显著水平上接受 H 0 。
结论：有证据表明现在生产的铁水平均含碳量与以前没有显著差 异，可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
8.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种 元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿 命服从正态分布，σ=60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元 件是否合格。
解：已知N=36，σ =60， x =680，μ =700 左侧检验 ∵是大样本，σ 已知 ∴采用Z统计量计算 H 0 ：μ ≥700 H1 ：μ
计算检验统计量：
Z x / n
=（680-700）/(60/6)=-2
决策： ∵Z值落入拒绝域， ∴在α=0.05的显著水平上拒绝 H 0，接受 H 1 。 结论： 有证据表明这批灯泡的使用寿命低于700小时，为不合格产品。
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤，其标准差为30 公斤。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样，平均产量为 270公斤。这种化肥是否使小麦明显增产（α=0.05）？
解：已知μ =250，σ =30，N=25， x =270，α =0.05 右侧检验 ∵小样本，σ 已知 ∴采用Z统计量 ∵α =0.05，∴ Z =1.645 H 0 ：μ ≤250 H1 ：μ >250 计算统计量：
x / n =（270-250）/(30/5)=3.33
Z
结论： Z统计量落入拒绝域，在α=0.05的显著性水平上，拒绝 H 0 ，接 受 H1 。
决策：有证据表明，这种化肥可以使小麦明显增产。
8.4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开 工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重 量（单位：千克）如下： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常 (α=0.05) 。 解：
如图所示： 本题采用单样本t检验。
H0
：μ =100 H1 ：μ ≠100 基本统计量： α =0.05，N=9，x =99.978， S S=1.2122， x =0.4041 检验结果： t=-0.005，自由度f=8， 双侧检验P=0.996，单侧检验P=0.498 结论：t统计量落入接受域，在α =0.05的显著性水平上接
受H 0。 决策：有证据表明这天的打包机工作正常。
8.5 某种大量生产的袋装食品，按规定每袋不得少于250克。今 从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不 符合标准的比例超过5％就不得出厂，问该批食品能否出厂 (α=0.05)？
解：已知N=50，P=6/50=0.12，
大样本，右侧检验，采用Z统计量。α =0.05，Z =1.645
H0
： P ≤5%
0
H1
Z
： P >5%
0
( p - p0 ) p0 (1 - p 0 ) n
=
0.12 - 0.05 =2.26 0.05 * 1 - 0.05） （ 50
结论：因为Z值落入拒绝域，所以在α =0.05的显著水平上，拒绝 H 0 ，接 受 H 1。 决策：有证据表明该批食品合格率不符合标准，不能出厂。
8.6 某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下寿命 超过25000公里的目前平均水平。对一个由15个轮胎组成的随机样本做 了试验，得到样本均值和标准差分别为27000和5000公里。假定轮胎 寿命服从正态分布，问该厂的广告是否真实？ (α=0.05)
解：N=15， x =27000，S=5000 小样本正态分布，σ未知，用t统计量计算。 右侧检验，自由度N-1=14， α=0.05，即 t =1.77 H 0 ：μ≤25000 H 1 ：μ>25000
x- 27000 - 25000 t 1.55 S/ n 5000 / 15
结论： 因为t值落入接受域，所以接受 H 0，拒绝 H 1 。
决策：有证据证明，该厂家生产的轮胎在正常行驶 条件下使用寿命与目前平均水平25000公里无显著 性差异，该厂家广告不真实。
8.7 某种电子元件的寿命x（单位：小时）服从正态分布，现测得16只元 件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为这些元件的平均寿命大于225小时（α=0.05）？ 解：已知 x =241.5，S=98.726，N=16 小样本正态分布，σ未知，t统计量 右侧检验，α=0.05，自由度N-1=15，即 t =1.753 H 0 ：μ≤225 H ：μ>225
1
t
x- 241.5 - 225 0.67 S/ n 98.726 / 16
结论：因为t值落入接受域，所以接受 H 0，拒绝 H 1 。 决策：有证据表明，元件平均寿命与225小时无显著性差异，不能认为 元件的平均寿命显著地大于225小时。
8.08 随机抽取9个单位，测得结果分别为： 85 59 66 81 35 57 55 63 66 以a=0.05的显著性水平对下述假设进行检验：
σ²≤100 H1 : σ²＞100 α= 0.05，n=9，自由度= 9 - 1 = 8， S² =215.75， =63 x 采用χ²检验 临界值(s): χ² =15.5 ） 2 (9 - 1) * 215.75 2 （n - 1 S 17.26 15.5 检验统计量： 2 100 决策：在 a = 0.05的水平上拒绝 H 0 结论: σ²＞100
H0 :
8.9 A、B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布， 2 2 2 2 且 A 63 ， B 57 。从A厂生产的材料中随机抽取81个样品，测 2 得 x A 1070kg/cm ；从B厂生
产的材料中随机抽取64个样品，测 得 x B 1020kg/cm 2 。根据以上调查结果，能否认为A、B两厂生产的材料平均 抗压强度相同(α=0.05)？
解：大样本，σ²已知，采用Z统计量 H 0 : 1 - 2 = 0 H1 : 1 - ≠ 0 2 已知：α= 0.05 n1 = 81 n2 = 64 双侧检验：Z =1.96
Z ( x A - xB ) - ( A - B )
2
2 A
nA
2 B
1070 - 1020 - 0 63 57 81 64
2 2
0.5 1.96
nB
决策：在α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论:可以认为A、B两厂生产的材料平均抗压强度相同。
8.10 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方 法的效率更高。劳动 效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配 方法中各抽取12件产品，记录下各自的装 配时间（分钟）如下：
甲法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时 间有无显著差别(α=0.05)？ 解： 正态总体，小样本，σ²未知但相同，独立样本t检验 H 0 : 甲-乙 = 0 H 1 : 甲 - 乙 ≠ 0
由Excel制表得：
由图可知：
已知：α= 0.05，n1 = n2=12 2 2 x甲 =31.75 x乙 =28.67 S甲=10.20 S乙 =6.06 t=1.72 t∈(-1.72,1.72)接受，否则拒绝。 t=(31.75-28.67)/(8.08* 0.41)=0.93 0.93∈(-1.72,1.72) 决策：在α= 0.05的水平上接受H 0 。 结论: 两种方法的装配时间无显著不同。
8.11 调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43个患 慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数 据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点 (α=0.05)？
解：两个总体比例之差，采用Z检验。 H0 : P - P ≤ 0 1 2 H1 : P - P ＞0 1 2 α= 0.05，n1 = 205，n2=134 p1 =20.98%, p2 =9.7% Z=11.28%/0.028=4.03>1.645 决策：在α= 0.05的水平上拒绝 H 0 。 结论: 调查数据能支持“吸烟者容易患慢性气管炎 ”这种观点。
Z 1.645
8.12 为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款 数额不能超过60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。 银行经理想了解在同样项目条件 下，贷款的平均规模是否明显地超 过60万元，还是维持着原来的水平。 一个n=144的随机样本被抽出，测得 x=68.1万元，s=45。用 α=0.01的显著性水平，采用p值进行检验。 解： H 0 : μ≤60 H1 : μ＞60 α= 0.01，n = 144， x =68.1，s=45 临界值(s):1%
x- =(68.1-60)/(45/12)=2.16 / n 将Z的绝对值2.16录入，得到的函数值为0.9846 1-0.9846=0.0154=1.54%>1% 决策：在 α= 0.01的水平上接受 H 0 。 结论: 贷款的平均规模维持着原来的水平。
检验统计量: Z
8.13 有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验 证，研究人员把自愿参与实
验的22000人员随机分成两组，一组人员每星 期服用三次阿司匹 林（样本1），另一组人员在相同的时间服用安慰剂 （样本2）。
持续3年之后进行检测，样本1中与104人患心脏病，样本2中有189人患 心脏病。以 a=0.05的显著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病 发生率。 解：
H 0：p1 - p2 0
α= 0.05 n1 = n2 =11000 p1=0.95%, p2=1.72% 临界值(s): Z =1.645 Z=-0.77%/0.001466=-4.98
H1 : p1 - p2 0
8.14 某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为7.0cm，方差为0.03cm。 今从一批螺栓中抽取80个测量其口径，得平均值为6.97cm，方差 为0.0375cm。假定螺栓口径为正态分布，问这批螺栓是否达到规 定的要求 (a=0.05)？
1．样本均值的检验 α= 0.05 , n = 80 临界值(s): Z 1.96 2 在-1.96~1.96之间接受；否则拒绝。 检验统计量: Z=(6.97-7)/(0.173/8.94)= -1.55∈(-1.96,1.96) 决策：在 α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论: 这批螺栓口径均值达到规定的要求。
H0 : 7 H1: : 7
2．样本方差的检验：
H 0 : 2 0.03
H1 : 2 0.03
α= 0.05 n=80 df = 80- 1 = 79 S²=0.0375 x =6.97 临界值(s): 56.3089 ,100.7486 χ²∈(56.3089,100.7486）接受；否则拒绝 检验统计量: χ²=79*0.0375/0.03=98.75 ∈(56.30890337,105.4727499) 决策：在 α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论: 这批螺栓口径方差也达到规定的要求。
8.15 有人说在大学中，男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校 中随机抽取了25名男生和16名女生，对他们进行了同样题目的测试。测试结 果表明，男生的平均成绩为82分，方差为56分，女生的平均成绩为78分，方 差为49分。假设显著性水平 α=0.02，从上述数据中能得到什么结论。
解：
H1 : 1 2 0
H 0 : 1 2 0
n α= 0.02，n1= 25， 2 = 16，x1 =82，x 2 =78
， 临界值(s): 2.124742 2.12 决策：在 α= 0.02的水平上拒绝 H 0 。 结论: 在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。
S 56
2 1
S
2 2
49