实验名称：驻波法测振动频率 实验目的：
1、求出弦线线密度； 2、观察弦线上的驻波；
3、绘出弦线上横波波长与张力的关系； 4、测出弦振动的频率。
实验仪器：
电振音叉（频率约为100Hz ） 弦线 滑轮 砝码托 砝码（5个） 钢卷尺 螺丝刀 电子天平
实验原理：
1、 弦线上横波传播速度（一） 如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉的一个叉子顶端上，另一端绕过滑轮挂上砝码。闭合电源K 后，调节音叉断续器的接触点螺丝k '，使音叉维持稳定的振动，并将其振动沿弦线向滑轮一端传播，形成横波。当横波到达B 点后产生反射，由于前进波与反射波能够满足相干条件，在弦线上形成驻波，而任意两个相邻的波节（或波腹）间的距离都为波长的一半。适当调节砝码重量或弦长（音叉端到滑轮轴间的线长），在弦上将出现稳定的强烈的振动，即弦与音叉共振（弦振动频率应当和音叉的频率f 相等）。弦共振时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则
λ=2l n ，弦上的波速v 则为： 图1
v =λf （1）
2l
f （1’） 即：v =n
2、 弦线上横波传播速度（二）
若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取AB =ds 的微元段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微元段弦线ds 的质量为ρds 。在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为F T 1、F T 2，其方向为沿弦线的切线方向与x 轴交成α1、α2角。
由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作
用在微元段ds 上的张力的x 分量应该为零，即：F T 2cos α2-F T 1cos α1=0 （2） 又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为：
y
图
2
x
d 2y
F T 2sin α2-F T 1sin α1=ρds 2 （3）
dt
对于小的振动，可取ds ≈dx ，而α1、α2都很小，所以cos α1≈1，cos α2≈1， sin α1≈
tg α1，
⎛dy ⎫⎛dy ⎫
，式（2）将成为F T 2-F T 1=0，sin α2≈tg α2。又从导数的几何意义可知tg α1= ⎪， tg α2= ⎪
⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x +dx
即F T 1=F T 2=F T 表示张力不随时间和地点而变，为一定值。
d 2y ⎛dy ⎫⎛dy ⎫
式（3）将成为： F T ⎪-F T ⎪=ρdx 2 （4）
dx dt ⎝⎭x +ds ⎝dx ⎭x
2
⎛dy ⎫⎛dy ⎫⎛dy ⎫⎛d y ⎫
⎪dx 将 = ⎪+ ⎪按泰勒级数展开并略去二级微量，得： ⎪2⎪ ⎝dx ⎭x +dx ⎝dx ⎭x +dx ⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x
2⎛d 2y ⎫d 2y ⎛d 2y ⎫F d y T
将此式代入式（4），得： F T ⎪ （5） dx 2⎪⎪dx =ρdx dt 2 即：2=2⎪ ρ⎝dx ⎭x dt ⎝⎭x
2
d 2y 2d y 将式（5）与简谐波的波动方程相比较可知：在线密度为ρ、张力为F T 的弦线上，横波传播=v 22dt dx
速度v 的平方等于： v =3． 弦振动规律
2
F T
ρ
即： v =
F T
ρ
F T
（6）
将式（1）代入式（6），得出： v =λf =
ρ
即： λ=
1
f
F T
ρ
（7）
又将式（1’）代入式（6），整理后可得： f =
n F T
（8）
2l ρ
式（7）表示，以一定频率f 振动的弦，其波长λ将因张力F T 或线密度ρ的变化而变化的规律。
式（8）又表示出对于弦长l 、张力F T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于
n =1, 2, 3 的f 1, f 2, f 3 等多种频率，n =1的频率称为基频，n =2, 3的频率称为第一、第二谐频，但基频较
其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同，所以音色不同。例如具有同一基频的弦线和音叉，其音调是相同的，但听起来声音不同就是这个道理。
当弦线在频率为f 的音叉策动下振动时，适当改变F T 、l 和ρ，则可能和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三、…谐频，这时弦上出现2, 3, 4 个半波区。
实验内容
1、 测量弦的线密度
将所用弦线取下来，用钢卷尺测出其长度，在分析天平上称其质量m ，求出线密度ρ。或由（8）计算出线密度ρ。
2、 观察弦上的驻波
根据音叉频率f 和已知线密度ρ，求弦长在20~30cm附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力F T =? 参照上述计算的FT 值，选适当的砝码挂在弦上（弦长在130cm 左右），给电振音叉的线圈上通以50Hz ，1~2V的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下的观测：
（1） 使弦长从20cm 左右开始逐渐增加，当在n =1, 2, 3, 4个半波区几种情况下，弦共振时，分别测出弦长并算出波长λ。
（2） 使弦长l 大于n =1共振时的弦长，小于n =2共振时的弦长，从这种情况振动的弦上，测出波长λ，
并和上面的测量相比较（注意，此时音叉端不是弦的节点）。 3、 弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振，测出弦长l ，算出波长λ。重复测量取平均值。F T 值改变6~8次。
⎛1⎫1
⎪+ln F T （9） 将式（7）两侧取对数，得： ln λ=ln
f ρ⎪2⎝⎭
即ln λ与ln F T 间是线性关系。利用测量值，作ln λ~ln F T 图线，求出图线的纵轴截距和斜率，将截距和
1
) 相比较，斜率和相比较，说明其差异是否过大？
2f 1
4、 比较两种波速计算值
从以上测量中，选取合适的数据，代入式（1）和式（6）中，计算出理论上应当相等的两个速度值，说明其差异是否显著？
从测量记录中，选一组数据代入式（8），计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著。
实验数据记录
1. 波长与张力的关系
弦线密度ρ=1. 18⨯10kg /m ， 重力加速度g =9. 795m /s ，音叉频率f =
-4
2
H Z
⎛1⎫
⎪= 最小二乘法求斜率和截距。比较斜率b 是否等于1/2。截距a 是否等于 ln
f ρ⎪⎝⎭
实验数据处理
1、作图： ln λ～ln F T 图
2、利用上表中的有关数据，最小二乘法求出斜率和截距，与公式（9）中的斜率和截距比较，说明差异是否过大。
3、用公式（1’）、（6）两种方法算出波速。 4、算出振动频率并与仪器标牌上的标称值相比较。
实验名称：驻波法测振动频率 实验目的：
1、求出弦线线密度； 2、观察弦线上的驻波；
3、绘出弦线上横波波长与张力的关系； 4、测出弦振动的频率。
实验仪器：
电振音叉（频率约为100Hz ） 弦线 滑轮 砝码托 砝码（5个） 钢卷尺 螺丝刀 电子天平
实验原理：
1、 弦线上横波传播速度（一） 如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉的一个叉子顶端上，另一端绕过滑轮挂上砝码。闭合电源K 后，调节音叉断续器的接触点螺丝k '，使音叉维持稳定的振动，并将其振动沿弦线向滑轮一端传播，形成横波。当横波到达B 点后产生反射，由于前进波与反射波能够满足相干条件，在弦线上形成驻波，而任意两个相邻的波节（或波腹）间的距离都为波长的一半。适当调节砝码重量或弦长（音叉端到滑轮轴间的线长），在弦上将出现稳定的强烈的振动，即弦与音叉共振（弦振动频率应当和音叉的频率f 相等）。弦共振时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则
λ=2l n ，弦上的波速v 则为： 图1
v =λf （1）
2l
f （1’） 即：v =n
2、 弦线上横波传播速度（二）
若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取AB =ds 的微元段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微元段弦线ds 的质量为ρds 。在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为F T 1、F T 2，其方向为沿弦线的切线方向与x 轴交成α1、α2角。
由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作
用在微元段ds 上的张力的x 分量应该为零，即：F T 2cos α2-F T 1cos α1=0 （2） 又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为：
y
图
2
x
d 2y
F T 2sin α2-F T 1sin α1=ρds 2 （3）
dt
对于小的振动，可取ds ≈dx ，而α1、α2都很小，所以cos α1≈1，cos α2≈1， sin α1≈
tg α1，
⎛dy ⎫⎛dy ⎫
，式（2）将成为F T 2-F T 1=0，sin α2≈tg α2。又从导数的几何意义可知tg α1= ⎪， tg α2= ⎪
⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x +dx
即F T 1=F T 2=F T 表示张力不随时间和地点而变，为一定值。
d 2y ⎛dy ⎫⎛dy ⎫
式（3）将成为： F T ⎪-F T ⎪=ρdx 2 （4）
dx dt ⎝⎭x +ds ⎝dx ⎭x
2
⎛dy ⎫⎛dy ⎫⎛dy ⎫⎛d y ⎫
⎪dx 将 = ⎪+ ⎪按泰勒级数展开并略去二级微量，得： ⎪2⎪ ⎝dx ⎭x +dx ⎝dx ⎭x +dx ⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x
2⎛d 2y ⎫d 2y ⎛d 2y ⎫F d y T
将此式代入式（4），得： F T ⎪ （5） dx 2⎪⎪dx =ρdx dt 2 即：2=2⎪ ρ⎝dx ⎭x dt ⎝⎭x
2
d 2y 2d y 将式（5）与简谐波的波动方程相比较可知：在线密度为ρ、张力为F T 的弦线上，横波传播=v 22dt dx
速度v 的平方等于： v =3． 弦振动规律
2
F T
ρ
即： v =
F T
ρ
F T
（6）
将式（1）代入式（6），得出： v =λf =
ρ
即： λ=
1
f
F T
ρ
（7）
又将式（1’）代入式（6），整理后可得： f =
n F T
（8）
2l ρ
式（7）表示，以一定频率f 振动的弦，其波长λ将因张力F T 或线密度ρ的变化而变化的规律。
式（8）又表示出对于弦长l 、张力F T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于
n =1, 2, 3 的f 1, f 2, f 3 等多种频率，n =1的频率称为基频，n =2, 3的频率称为第一、第二谐频，但基频较
其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同，所以音色不同。例如具有同一基频的弦线和音叉，其音调是相同的，但听起来声音不同就是这个道理。
当弦线在频率为f 的音叉策动下振动时，适当改变F T 、l 和ρ，则可能和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三、…谐频，这时弦上出现2, 3, 4 个半波区。
实验内容
1、 测量弦的线密度
将所用弦线取下来，用钢卷尺测出其长度，在分析天平上称其质量m ，求出线密度ρ。或由（8）计算出线密度ρ。
2、 观察弦上的驻波
根据音叉频率f 和已知线密度ρ，求弦长在20~30cm附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力F T =? 参照上述计算的FT 值，选适当的砝码挂在弦上（弦长在130cm 左右），给电振音叉的线圈上通以50Hz ，1~2V的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下的观测：
（1） 使弦长从20cm 左右开始逐渐增加，当在n =1, 2, 3, 4个半波区几种情况下，弦共振时，分别测出弦长并算出波长λ。
（2） 使弦长l 大于n =1共振时的弦长，小于n =2共振时的弦长，从这种情况振动的弦上，测出波长λ，
并和上面的测量相比较（注意，此时音叉端不是弦的节点）。 3、 弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振，测出弦长l ，算出波长λ。重复测量取平均值。F T 值改变6~8次。
⎛1⎫1
⎪+ln F T （9） 将式（7）两侧取对数，得： ln λ=ln
f ρ⎪2⎝⎭
即ln λ与ln F T 间是线性关系。利用测量值，作ln λ~ln F T 图线，求出图线的纵轴截距和斜率，将截距和
1
) 相比较，斜率和相比较，说明其差异是否过大？
2f 1
4、 比较两种波速计算值
从以上测量中，选取合适的数据，代入式（1）和式（6）中，计算出理论上应当相等的两个速度值，说明其差异是否显著？
从测量记录中，选一组数据代入式（8），计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著。
实验数据记录
1. 波长与张力的关系
弦线密度ρ=1. 18⨯10kg /m ， 重力加速度g =9. 795m /s ，音叉频率f =
-4
2
H Z
⎛1⎫
⎪= 最小二乘法求斜率和截距。比较斜率b 是否等于1/2。截距a 是否等于 ln
f ρ⎪⎝⎭
实验数据处理
1、作图： ln λ～ln F T 图
2、利用上表中的有关数据，最小二乘法求出斜率和截距，与公式（9）中的斜率和截距比较，说明差异是否过大。
3、用公式（1’）、（6）两种方法算出波速。 4、算出振动频率并与仪器标牌上的标称值相比较。