行波法与达朗贝尔公式
我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式
试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式
∂⎫⎛∂2
-a ⎪ u =0, 22
∂ x ⎭⎝∂ t
2
2
即
∂⎫⎛∂∂⎫⎛∂
+a -a ⎪ ⎪ u =0.
∂ x ⎭⎝∂ t ∂ x ⎭⎝∂ t
（7-4-1）
（1）通解
方程（7-4-1）的形式提示我们作代换
x =a (ξ+η), t =ξ-η,
（7-4-2）
因为在这个代换下，
∂∂ ξ∂
=
∂ t ∂∂ ξ∂ t
+
∂ x ∂∂ ξ∂ x
=
∂∂ t
+a
∂∂ x
,
∂⎫⎛∂
= + =- -a ⎪, ∂ η∂ η∂ t ∂ η∂ x ∂ x ⎭ ⎝∂ t
∂ t ∂∂ x ∂
方程（7-4-1）就成为 修改为
(∂/∂ξ ∂η) u =0
2
。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）
1⎧
x =(ξ+η), ⎪⎪2⎨
⎪t =1(ξ-η), ⎪2a ⎩
即
⎧ξ=x +at ,
⎨
⎩η=x -at .
在此代换下，方程（7-4-1）化为
∂u ∂ξ ∂η
2
=0,
（7-4-3）
就很容易求解了。 先对
η
积分，得
∂ u ∂ξ
=f (ξ)
（7-4-4）
其中
f
是任意函数。再对
u =
ξ
积分，就得到通解
⎰
f (ξ) d ξ+f 2(η) =f 1(ξ) +f 2(η)
=f 1(x +at ) +f 2(x -at ),
（7-4-5）
其中
f 1
和
f 2
都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以
f 2(x -at )
而论，改用以速度 a 沿
x 正方向移动的坐标轴 X ，则新旧坐标和时间之间的关系为
⎧X =x -at , ⎨
⎩T =t ,
而
f 2(x -at ) =f 2(X ),
与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动
f (x +at )
坐标系以速度 a 沿 x 正方向移动的行波。同理，1是以速度 a 沿
x 负方向移动的行波。
这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 a 向两方向传播的行波。
（2）函数
f 1
与
f 2
的确定
f 1
通解（7-4-5）中的函数 与
f 2
可用定解条件确定。
我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长的” （此词的真正含义见§7.2（二）末），这就不存在边界条件，设初始条件是
u
t =0
=ϕ(x ), u t
t =0
=ψ(x ). (-∞
（7-4-6）
以一般解（7-4-5）代入初始条件，得
⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ),
⎨' ' af (x ) -af (x ) =ψ(x ); ⎩12
⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ), ⎪⎨1 x
⎪f 1(x ) -f 2(x ) =⎰ x ψ(ξ) d ξ+f 1(x 0) -f 2(x 0) .
a ⎩
即
由此解得
⎧
f 1(x ) =⎪⎪⎨
⎪f (x ) =2⎪⎩
1212
ϕ(x ) +ϕ(x ) -
ψ(ξ) d ξ⎰2a
x 0
1
x
+-
1212
[f [f
1
(x 0) -f 2(x 0) ], (x 0) -f 2(x 0) ].
ψ(ξ) d ξ⎰2a
x 0
1
x
1
x +at
以此代回（7-4-5）即得满足初始条件（7-4-6）的特解
u (x , t ) =
12
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+
12a
⎰
x -at
ψ(ξ) d ξ.
（7-4-7）
这叫作达朗贝尔公式
作为第一个例子，设初速为零即
(x 1, x 2)
ψ(x ) =0
，而初始位移
u 0
ϕ(x )
只在区间
上不为零，于
x =(x 1+x 2) /2
处达到最大值 ，如图7-14a 所示。
x -x 1⎧
2u ⎪0x -x , x 1
21
⎪
x 2-x x 1⎪2u , ϕ(x ) =⎨0
x 2-x 1
⎪⎪⎪
⎩0. x
≤x ≤+x 22
x 1+x 2
2
≤x ≤x 2
x 1 或 x >x 2
达朗贝尔公式（7-4-7）给
u (x , t ) =12
12
出
ϕ(x +at ) +
ϕ(x -at )
，即初始位移
（图7-14b 最下一图的粗线所描画）分为两半（该图细
线），分别向左右两方以速
度 a 移动（图7-14b 由下而上各图的细线所描画），这两个行波的和（图7-14b 由下而上的粗线所描画）给出各个时刻的波形。 作为第二个例子，设初始位移为零即 区间
(x 1, x 2)
ϕ(x ) =0
，而且初速
ψ(x )
也只在
上不为零，
ψ(x ) =⎨
⎧ 常数 ψ0 ( x 在 (x 1, x 2) 上), ⎩ 0 ( x 不在 (x 1, x 2) 上).
达朗贝尔公式（7-4-7）给出
u (x , t ) =
⎰2a
1
x +at
-∞
ψ(ξ) d ξ-
⎰2a
1
x -at
-∞
ψ(ξ) d ξ
=ψ(x +at ) -ψ(x -at ),
这里 ψ 指的是（图7-15）
ψ(x ) =
⎰2a
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ
⎧
⎪0 (x ≤x 1), ⎪⎪1
=⎨(x -x 1) ψ0 (x 1≤x ≤x 2),
⎪2a ⎪1
(x 2-x 1) ψ0 (x 2≤x ). ⎪⎩2a
于是，作出
+ψ(x )
和
-
ψ(x )
两个图形，
让它们以速度 a 分别向左右两方移动（图
7-16由下而上各图的细线所描画），两者的和（图7-16由下而上各图的粗线）就描画出各个时刻的波形。
在图7-14b 中，波已“通过”的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置；在图7-16中，波已“通过”的地区，虽然振动已消失，但偏离了原平衡位置。 （二）端点的反射
研究半无限长弦的自由振动。半无限长的弦具有一个端点。 先考察端点固定的情况，即定解问题。
u tt -a u xx =0, (0
2
（7-4-8）
⎧⎪u t =0=ϕ(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ),
u
x =0
(0≤x
（7-4-9）
=0.
（7-4-10）
注意初始条件（7-4-9）里的
ϕ(x )
和
ψ(x )
必须宗量 x ≥0 才有意义，这是
因为在 x
(t >x /a )
，达朗贝尔公式里的
ϕ(x -at )
和
⎰
x -at
ϕ(ξ) d ξ
失去意义，
公式也就不能应用。
参照§5.2习题4，不妨把这根半无限长弦当作某根无限长弦的 x ≥0 的部分。按照（7-4-10），这无限长弦的振动过程中，点 x =0 必须保持不动。这是说，无限长弦的位移 和初始速度
ψ(x )
u (x , t )
应当是奇函数，因而无限长弦的初始位移
Φ(x )
都应当是奇函数，即
⎧ϕ(x ) (x ≥0), ⎧ψ(x ) (x ≥0),
Φ(x ) =⎨ψ(x ) =⎨
⎩-ϕ(-x ) (x
通常采用“延拓”一词把（7-4-11）说成“把 奇延拓到整个无界区间，分别成为
ϕ(x ) 和
和
ψ(x )
从半无界区间 x ≥0
Φ(x ) ψ(x )
”。现在完全可以应用达郎
贝尔公式（7-4-7）求解无限长弦的自由振动，它的 x ≥0 的部分正是我们所考
察的半无限长弦。根据（7-4-7），
u (x , t ) =
12
[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+
⎰2a
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ.
把（7-4-11）代入上式，
⎧1
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+⎪⎪2
u (x , t ) =⎨
⎪1[ϕ(x +at ) -ϕ(at -x ) ]+⎪⎩2
⎰2a ⎰2a
1
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ, (t ≤ ψ(ξ) d ξ. (t ≥
x a x a
) )
x +at
x -at
（7-4-12）
为了阐明（7-4-12）的物理意义，图7-17描画了只有初始位移而没有初始速度的情况。最下一图右半边用实线描画出分别向左右两方移动的波，左半边用细线描画出其奇延拓，奇延拓的波也分别向左右两方移动。在这图中，端点还没有引起什么影响。由下而上各图按着时间顺序描画了波的传播情况，粗线为合成的波形，端点 x =0 确实保持不动。由图可见，端点的影响表现为反射波。这反射波的相位跟入射波相反，这就是所谓半波损失。
再考察半无限长杆的自由振动，杆的端点自由，这个定解问题是
u tt -a u xx =0, (0
2
（7-4-13）
⎧⎪u t =0=ϕ(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ), (0≤
x
u x
x =0
=0.
（7-4-15）
同样，不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的 x ≥0 的部分。按照
u
（7-4-15），这无限长杆的振动过程中，在点 x =0 的相对伸长 x 必须保持为
零。这是说，无限长杆的位移 移
Φ (x )
u (x , t )
应当是偶函数，因而无限长杆的初始位
和初始速度
ψ (x )
都应当是偶函数，即
⎧ψ(x ) (x ≥0),
ψ(x ) =⎨
⎩ψ(-x ) (x
⎧ϕ(x ) (x ≥0),
Φ(x ) =⎨
⎩ϕ(-x ) (x
（7-4-16）
这就是“把 成为
Φ (x )
ϕ (x ) 和
和
ψ (x )
从半无界区间 x ≥0 偶延拓到整个无界区间分别
ψ (x )
”。现在，应用达朗贝尔公式（7-4-7）求解无限长杆的自
由振动，
u (x , t ) =
12
[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+
12a
⎰
x +at
x -at
Ψ(ξ) d ξ.
把（7-4-16）代入上式，
1 x +at x ⎧1
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+ ψ(ξ) d ξ, (t ≤) ⎰ x -at ⎪22a a ⎪⎪1
u (x , t ) =⎨[ϕ(x +at ) +ϕ(at -x ) ]
⎪2
1 x +at 1 x -at x ⎪
⎪ +2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ+2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ. (t >a ) ⎩
（7-4-17）
自由端点的影响可以仿照图7-17加以阐明，这也是一种反射波。不同的是反射波的相位跟入射波相同，没有半波损失。 （三）定解问题是一个整体
从偏微分方程（7-4-1）解出达朗贝尔公式（7-4-7）的过程，与读者所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。
但是，很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定
解条件确定其中待定函数往往更加困难。
在本章的开头已指出，从物理的角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。现在我们要指出，除了达朗贝尔公式一类极少的例外，从数学的角度来说，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件以进行求解。
这样，不管从物理上说还是从数学上说，定解问题是一个整体。 （四）定解问题的适定性
定解问题来自实际，它的解答也应回到实际中去。为此，应当要求定解问题（1）有解，（2）其解是唯一的，（3）解是稳定的，解的存在性和唯一性这两个要求明白易懂。至于第三个要求即稳定性说的是：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变。
为什么要求稳定呢？由于测量不可能绝对精密，来自实际的定解条件不免带有细微的误差，如果解不是稳定的，那么它就很可能与实际情况相去甚远，没有价值。
定解问题如果满足以上三个条件，就称为适定的。非适定的定解问题应当修改其提法，使其成为适定的。 以达朗贝尔解（7-4-7）为例。如果 属于具有二阶连续导数的函数类），
ϕ (x ) ∈C
1
2
（这些记号的意思是
ϕ (x )
ψ (x ) ∈C
，不难直接验证它确实满足方程
（7-4-1）和条件（7-4-6）。这是说，解是存在的。
在推得达朗贝尔公式（7-4-7）的过程中，没有对所求解的 u 作过任何假定和限制，凡满足方程（7-4-1）和条件（7-4-6）的解必可表为（7-4-7）。这是说，解是唯一的。
最后，证明达朗贝尔解（7-4-7）的稳定性。设有相差很细微的两组初始条件
⎧⎪u t =0=ϕ 1(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ1(x );
⎧⎪u t =0=ϕ 2(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ2(x );
（7-4-18） （7-4-19）
ϕ 1-ϕ 2
u 2
则相应的两解 和 相差
u 1-u 2 ≤
12
ϕ 1(x +at ) -ϕ 2(x +at ) +
12
ϕ 1(x -at ) -ϕ 2(x -at )
+
12
⎰2a
δ+
1
x +at
x -at
ψ1(ξ) -ψ2(ξ) d ξ
12a
2at δ=(1+t ) δ.
12
δ+
两解的差确是细微的。
行波法与达朗贝尔公式
我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式
试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式
∂⎫⎛∂2
-a ⎪ u =0, 22
∂ x ⎭⎝∂ t
2
2
即
∂⎫⎛∂∂⎫⎛∂
+a -a ⎪ ⎪ u =0.
∂ x ⎭⎝∂ t ∂ x ⎭⎝∂ t
（7-4-1）
（1）通解
方程（7-4-1）的形式提示我们作代换
x =a (ξ+η), t =ξ-η,
（7-4-2）
因为在这个代换下，
∂∂ ξ∂
=
∂ t ∂∂ ξ∂ t
+
∂ x ∂∂ ξ∂ x
=
∂∂ t
+a
∂∂ x
,
∂⎫⎛∂
= + =- -a ⎪, ∂ η∂ η∂ t ∂ η∂ x ∂ x ⎭ ⎝∂ t
∂ t ∂∂ x ∂
方程（7-4-1）就成为 修改为
(∂/∂ξ ∂η) u =0
2
。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）
1⎧
x =(ξ+η), ⎪⎪2⎨
⎪t =1(ξ-η), ⎪2a ⎩
即
⎧ξ=x +at ,
⎨
⎩η=x -at .
在此代换下，方程（7-4-1）化为
∂u ∂ξ ∂η
2
=0,
（7-4-3）
就很容易求解了。 先对
η
积分，得
∂ u ∂ξ
=f (ξ)
（7-4-4）
其中
f
是任意函数。再对
u =
ξ
积分，就得到通解
⎰
f (ξ) d ξ+f 2(η) =f 1(ξ) +f 2(η)
=f 1(x +at ) +f 2(x -at ),
（7-4-5）
其中
f 1
和
f 2
都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以
f 2(x -at )
而论，改用以速度 a 沿
x 正方向移动的坐标轴 X ，则新旧坐标和时间之间的关系为
⎧X =x -at , ⎨
⎩T =t ,
而
f 2(x -at ) =f 2(X ),
与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动
f (x +at )
坐标系以速度 a 沿 x 正方向移动的行波。同理，1是以速度 a 沿
x 负方向移动的行波。
这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 a 向两方向传播的行波。
（2）函数
f 1
与
f 2
的确定
f 1
通解（7-4-5）中的函数 与
f 2
可用定解条件确定。
我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长的” （此词的真正含义见§7.2（二）末），这就不存在边界条件，设初始条件是
u
t =0
=ϕ(x ), u t
t =0
=ψ(x ). (-∞
（7-4-6）
以一般解（7-4-5）代入初始条件，得
⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ),
⎨' ' af (x ) -af (x ) =ψ(x ); ⎩12
⎧f 1(x ) +f 2(x ) =ϕ(x ), ⎪⎨1 x
⎪f 1(x ) -f 2(x ) =⎰ x ψ(ξ) d ξ+f 1(x 0) -f 2(x 0) .
a ⎩
即
由此解得
⎧
f 1(x ) =⎪⎪⎨
⎪f (x ) =2⎪⎩
1212
ϕ(x ) +ϕ(x ) -
ψ(ξ) d ξ⎰2a
x 0
1
x
+-
1212
[f [f
1
(x 0) -f 2(x 0) ], (x 0) -f 2(x 0) ].
ψ(ξ) d ξ⎰2a
x 0
1
x
1
x +at
以此代回（7-4-5）即得满足初始条件（7-4-6）的特解
u (x , t ) =
12
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+
12a
⎰
x -at
ψ(ξ) d ξ.
（7-4-7）
这叫作达朗贝尔公式
作为第一个例子，设初速为零即
(x 1, x 2)
ψ(x ) =0
，而初始位移
u 0
ϕ(x )
只在区间
上不为零，于
x =(x 1+x 2) /2
处达到最大值 ，如图7-14a 所示。
x -x 1⎧
2u ⎪0x -x , x 1
21
⎪
x 2-x x 1⎪2u , ϕ(x ) =⎨0
x 2-x 1
⎪⎪⎪
⎩0. x
≤x ≤+x 22
x 1+x 2
2
≤x ≤x 2
x 1 或 x >x 2
达朗贝尔公式（7-4-7）给
u (x , t ) =12
12
出
ϕ(x +at ) +
ϕ(x -at )
，即初始位移
（图7-14b 最下一图的粗线所描画）分为两半（该图细
线），分别向左右两方以速
度 a 移动（图7-14b 由下而上各图的细线所描画），这两个行波的和（图7-14b 由下而上的粗线所描画）给出各个时刻的波形。 作为第二个例子，设初始位移为零即 区间
(x 1, x 2)
ϕ(x ) =0
，而且初速
ψ(x )
也只在
上不为零，
ψ(x ) =⎨
⎧ 常数 ψ0 ( x 在 (x 1, x 2) 上), ⎩ 0 ( x 不在 (x 1, x 2) 上).
达朗贝尔公式（7-4-7）给出
u (x , t ) =
⎰2a
1
x +at
-∞
ψ(ξ) d ξ-
⎰2a
1
x -at
-∞
ψ(ξ) d ξ
=ψ(x +at ) -ψ(x -at ),
这里 ψ 指的是（图7-15）
ψ(x ) =
⎰2a
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ
⎧
⎪0 (x ≤x 1), ⎪⎪1
=⎨(x -x 1) ψ0 (x 1≤x ≤x 2),
⎪2a ⎪1
(x 2-x 1) ψ0 (x 2≤x ). ⎪⎩2a
于是，作出
+ψ(x )
和
-
ψ(x )
两个图形，
让它们以速度 a 分别向左右两方移动（图
7-16由下而上各图的细线所描画），两者的和（图7-16由下而上各图的粗线）就描画出各个时刻的波形。
在图7-14b 中，波已“通过”的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置；在图7-16中，波已“通过”的地区，虽然振动已消失，但偏离了原平衡位置。 （二）端点的反射
研究半无限长弦的自由振动。半无限长的弦具有一个端点。 先考察端点固定的情况，即定解问题。
u tt -a u xx =0, (0
2
（7-4-8）
⎧⎪u t =0=ϕ(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ),
u
x =0
(0≤x
（7-4-9）
=0.
（7-4-10）
注意初始条件（7-4-9）里的
ϕ(x )
和
ψ(x )
必须宗量 x ≥0 才有意义，这是
因为在 x
(t >x /a )
，达朗贝尔公式里的
ϕ(x -at )
和
⎰
x -at
ϕ(ξ) d ξ
失去意义，
公式也就不能应用。
参照§5.2习题4，不妨把这根半无限长弦当作某根无限长弦的 x ≥0 的部分。按照（7-4-10），这无限长弦的振动过程中，点 x =0 必须保持不动。这是说，无限长弦的位移 和初始速度
ψ(x )
u (x , t )
应当是奇函数，因而无限长弦的初始位移
Φ(x )
都应当是奇函数，即
⎧ϕ(x ) (x ≥0), ⎧ψ(x ) (x ≥0),
Φ(x ) =⎨ψ(x ) =⎨
⎩-ϕ(-x ) (x
通常采用“延拓”一词把（7-4-11）说成“把 奇延拓到整个无界区间，分别成为
ϕ(x ) 和
和
ψ(x )
从半无界区间 x ≥0
Φ(x ) ψ(x )
”。现在完全可以应用达郎
贝尔公式（7-4-7）求解无限长弦的自由振动，它的 x ≥0 的部分正是我们所考
察的半无限长弦。根据（7-4-7），
u (x , t ) =
12
[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+
⎰2a
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ.
把（7-4-11）代入上式，
⎧1
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+⎪⎪2
u (x , t ) =⎨
⎪1[ϕ(x +at ) -ϕ(at -x ) ]+⎪⎩2
⎰2a ⎰2a
1
1
x +at
x -at
ψ(ξ) d ξ, (t ≤ ψ(ξ) d ξ. (t ≥
x a x a
) )
x +at
x -at
（7-4-12）
为了阐明（7-4-12）的物理意义，图7-17描画了只有初始位移而没有初始速度的情况。最下一图右半边用实线描画出分别向左右两方移动的波，左半边用细线描画出其奇延拓，奇延拓的波也分别向左右两方移动。在这图中，端点还没有引起什么影响。由下而上各图按着时间顺序描画了波的传播情况，粗线为合成的波形，端点 x =0 确实保持不动。由图可见，端点的影响表现为反射波。这反射波的相位跟入射波相反，这就是所谓半波损失。
再考察半无限长杆的自由振动，杆的端点自由，这个定解问题是
u tt -a u xx =0, (0
2
（7-4-13）
⎧⎪u t =0=ϕ(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ(x ), (0≤
x
u x
x =0
=0.
（7-4-15）
同样，不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的 x ≥0 的部分。按照
u
（7-4-15），这无限长杆的振动过程中，在点 x =0 的相对伸长 x 必须保持为
零。这是说，无限长杆的位移 移
Φ (x )
u (x , t )
应当是偶函数，因而无限长杆的初始位
和初始速度
ψ (x )
都应当是偶函数，即
⎧ψ(x ) (x ≥0),
ψ(x ) =⎨
⎩ψ(-x ) (x
⎧ϕ(x ) (x ≥0),
Φ(x ) =⎨
⎩ϕ(-x ) (x
（7-4-16）
这就是“把 成为
Φ (x )
ϕ (x ) 和
和
ψ (x )
从半无界区间 x ≥0 偶延拓到整个无界区间分别
ψ (x )
”。现在，应用达朗贝尔公式（7-4-7）求解无限长杆的自
由振动，
u (x , t ) =
12
[Φ(x +at ) +Φ(x -at ) ]+
12a
⎰
x +at
x -at
Ψ(ξ) d ξ.
把（7-4-16）代入上式，
1 x +at x ⎧1
[ϕ(x +at ) +ϕ(x -at ) ]+ ψ(ξ) d ξ, (t ≤) ⎰ x -at ⎪22a a ⎪⎪1
u (x , t ) =⎨[ϕ(x +at ) +ϕ(at -x ) ]
⎪2
1 x +at 1 x -at x ⎪
⎪ +2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ+2a ⎰ 0 ψ(ξ) d ξ. (t >a ) ⎩
（7-4-17）
自由端点的影响可以仿照图7-17加以阐明，这也是一种反射波。不同的是反射波的相位跟入射波相同，没有半波损失。 （三）定解问题是一个整体
从偏微分方程（7-4-1）解出达朗贝尔公式（7-4-7）的过程，与读者所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。
但是，很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定
解条件确定其中待定函数往往更加困难。
在本章的开头已指出，从物理的角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。现在我们要指出，除了达朗贝尔公式一类极少的例外，从数学的角度来说，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件以进行求解。
这样，不管从物理上说还是从数学上说，定解问题是一个整体。 （四）定解问题的适定性
定解问题来自实际，它的解答也应回到实际中去。为此，应当要求定解问题（1）有解，（2）其解是唯一的，（3）解是稳定的，解的存在性和唯一性这两个要求明白易懂。至于第三个要求即稳定性说的是：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变。
为什么要求稳定呢？由于测量不可能绝对精密，来自实际的定解条件不免带有细微的误差，如果解不是稳定的，那么它就很可能与实际情况相去甚远，没有价值。
定解问题如果满足以上三个条件，就称为适定的。非适定的定解问题应当修改其提法，使其成为适定的。 以达朗贝尔解（7-4-7）为例。如果 属于具有二阶连续导数的函数类），
ϕ (x ) ∈C
1
2
（这些记号的意思是
ϕ (x )
ψ (x ) ∈C
，不难直接验证它确实满足方程
（7-4-1）和条件（7-4-6）。这是说，解是存在的。
在推得达朗贝尔公式（7-4-7）的过程中，没有对所求解的 u 作过任何假定和限制，凡满足方程（7-4-1）和条件（7-4-6）的解必可表为（7-4-7）。这是说，解是唯一的。
最后，证明达朗贝尔解（7-4-7）的稳定性。设有相差很细微的两组初始条件
⎧⎪u t =0=ϕ 1(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ1(x );
⎧⎪u t =0=ϕ 2(x ),
⎨⎪⎩u t t =0=ψ2(x );
（7-4-18） （7-4-19）
ϕ 1-ϕ 2
u 2
则相应的两解 和 相差
u 1-u 2 ≤
12
ϕ 1(x +at ) -ϕ 2(x +at ) +
12
ϕ 1(x -at ) -ϕ 2(x -at )
+
12
⎰2a
δ+
1
x +at
x -at
ψ1(ξ) -ψ2(ξ) d ξ
12a
2at δ=(1+t ) δ.
12
δ+
两解的差确是细微的。