高一9-2古典概率.几何概型知识点.经典例题及练习题带答案

环球雅思教育学科教师讲义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：

【考纲说明】

1、理解古典概率及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件的发生概率，了解集合概型的意义。

2、理解离散型随机变量及其分布列的概念，理解超几何分布及其导出过程并能进行简单应用，会计算简单离散型随机变量的均值、方差。

【趣味链接】

一个住宅区内有100户人家，每户人家养一条狗，每天傍晚大家都在同一个地方遛狗。已知这些狗中有一部分病狗，由于某种原因，狗的主人无法判断自己的狗是否是病狗，却能够分辨其他的狗是否有病，现在，上级传来通知，要求住户处决这些病狗，并且不允许指认他人的狗是病狗(就是只能判断自己的) ，过了7天之后，所有的病狗都被处决了，问，一共有几只病狗? 为什么?

【知识梳理】

一、古典概率与几何概率

1、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.

P (A ) =

A 中所含样本点的个数n A

Ω中所含样本点的个数n ．

3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域Ω（可以是直线上的区间、平面或空间中的区域），且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A 的概率为几何概率. 几何概率具有无限性和等可能性。 4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的；但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的. 二、随机变量及其分布列、均值与方差

1、离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数. 则η=a ξ+b 也是一个随机变量. 一般地，若ξ是随机变量，f (x ) 是连续函数或单调函数，则f (ξ) 也是随机变量. 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x 1, x 2, , x i ,

ξ取每一个值x 1(i =1, 2, ) 的概率P (ξ=x i ) =p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

112i 2、如果随机变量X 的分布列为

其中0

3、超几何分布列一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取n(1≤n ≤N ) 件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξ=k) =

k k

C M ⋅C N n --M

C N

⋅(0≤k ≤M,0≤n -k ≤N -M ) . 〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中

取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时C m =0，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n. 〕

4、均值与方差

若离散型随机变量X 的分布列为

（1）均值：称EX =x 1p 1+x 2p 2+⋅⋅⋅+x i p i +⋅⋅⋅+x n p n 为随机变量看X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. （2）方差：称DX =

∑(x -EX )

i =1

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，其

X 的标准差，记作σX .

（3）E (aX +b ) =aEX +b ；D (aX +b ) =a 2DX (a , b 为实数）；

若x 服从两点分布，则EX =p , DX =p (1-p ) ；若X B (n , p ), 则EX =np , DX =np (1-p )

【经典例题】

【例1】（2013广东）已知离散型随机变量X 的分布列为

则X 的数学期望E(X)＝( )

A. B ．2 C. D ．3 22

【例2】（2009山东理）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos

πx 1

的值介于0到之间的概率为( ). 22

1122

A ． B ． C ． D ．

323π

）

【例3】（2010湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B, 则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ A

5173 B C D

241212

【例4】甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

【例5】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

1137A. B. C. D. 4248

【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．

【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以

获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖

5与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

55（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝，Dη＝，求a ∶b ∶c.

【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3

（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

【课堂练习】

1、（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且P (E )=P (F )=

A ．0 B ．

，则P (E I F )的值等于 4

111

C ． D ．

4216

2、在长为10 cm的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为________．

3、（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4. 从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

4、（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表，其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E(X)．

5. （2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：（这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米）.

（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

【课后作业】

1、（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手. 若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（） A ．

B ．

C ．

1 306

D ．

1 408

2、（2008江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（） A ．

1111

B ． C ． D ． [1**********]0

3、（2009安徽）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．

图3

4、（2013福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．

5、（2013辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 6、（2013全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下1

一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

2（1）求第4局甲当裁判的概率；.

（2）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

7、（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率

X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．

8、（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图1－5) 这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X. 若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．

图1－5

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________

家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】 1

1-5、AADCC 6、

3212

7；3月5日 1313

【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1，2，…，13) ．

根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j)．

（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2

所以P(B)＝P(A5∪A8) ＝P(A5)＋P(A8)＝.

（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝1) ＝P(A3∪A6∪A7∪A11) 4

＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，

13P(X＝2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13) 4

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，

135

P(X＝0) ＝1－P(X＝1) －P(X＝2) ＝.

13所以X 的分布列为

54412

故X 的期望E(X)＝＋.

13131313

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 11

8 15

【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为“这2人的

35累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，

22411

因为P(X＝5) ＝＝，所以P(A)＝1－P(X＝5) ＝，

351515

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)． 222，，X2～B ⎛2，，由已知可得，X1～B ⎛⎝3⎝52424

所以E(X1)＝E(X2)＝＝，

3355812

从而E(2X1)＝2E(X1)＝E(3X2)＝3E(X2)＝35因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．

35记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，

则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，

2⎛2⎫12222⎛22

1－×1－＝P(X＝2) ＝×1－＝P(X＝3) ＝⎛1－因为P(X＝0) ＝⎛55⎝3⎝5⎭5⎝35153⎝11

所以P(A)＝P(X＝0) ＋P(X＝2) ＋P(X＝3)

1511

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

1448

所以E(X1)＝＋＝，

9993912412

E(X2)＝＋＋.

2525255

因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 9、9、3∶2∶1

【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.

3×31

P(ξ＝2) ＝

6×64

2×3×21

P(ξ＝3) ＝＝

6×632×3×1＋2×25

P(ξ＝4) ＝6×6182×2×11

P(ξ＝5) ＝＝

6×691×11

P(ξ＝6) ＝

6×636所以ξ的分布列为

（2）由题意知η的分布列为

所以Eη＝

a 2b 3c 5

，

a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c 3

5a 5b 5c 5

Dη＝1－2－3，

3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 9

⎧⎪2a －b －4c ＝0，

化简得⎨解得a ＝3c ，b ＝2c ，

⎪a ＋4b －11c ＝0，⎩

故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 10、

43； 278

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )= 1-⎪⨯ 1-⎪⨯（2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.

事件“ξ=2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

⎛

⎝1⎫⎛3⎭⎝1⎫14

=. 3⎭327

4⎛1⎫⎛2⎫∴P (ξ=2k )=C k

⎪ ⎪⎝3⎭⎝3⎭

4-k

(k =0,1,2,3,4)，

∴即ξ的分布列是

+2⨯+4⨯+6⨯+8⨯=. ∴ξ的期望是E ξ=0⨯[1**********]

【课堂练习】

1、B 2 3、；随机变量X 的分布列是

142417X 的数学期望E(X)＝＋＝353577518

4、19、；X 的分布列为

6421

从而有E(X)＝＋

4(元)

7351051052

5 9

2421

34＋64＋90＋42

所求的数学期望为E(Y)＝＋＋＝＝46.

1515555

【课后作业】

1、B 2、C 3、0.75 4、 5、10

319648

7X 的分布列为： 6

4285736

E(X)＝2.

[1**********]52

8X 的分布列为 7

15223

EX ＝(－＋(－＋＋＝－.

14147714

环球雅思教育学科教师讲义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：

【考纲说明】

1、理解古典概率及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件的发生概率，了解集合概型的意义。

2、理解离散型随机变量及其分布列的概念，理解超几何分布及其导出过程并能进行简单应用，会计算简单离散型随机变量的均值、方差。

【趣味链接】

【知识梳理】

一、古典概率与几何概率

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.

P (A ) =

A 中所含样本点的个数n A

Ω中所含样本点的个数n ．

ξ取每一个值x 1(i =1, 2, ) 的概率P (ξ=x i ) =p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

112i 2、如果随机变量X 的分布列为

其中0

3、超几何分布列一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取n(1≤n ≤N ) 件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξ=k) =

k k

C M ⋅C N n --M

C N

⋅(0≤k ≤M,0≤n -k ≤N -M ) . 〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中

取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时C m =0，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n. 〕

4、均值与方差

若离散型随机变量X 的分布列为

（1）均值：称EX =x 1p 1+x 2p 2+⋅⋅⋅+x i p i +⋅⋅⋅+x n p n 为随机变量看X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. （2）方差：称DX =

∑(x -EX )

i =1

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，其

X 的标准差，记作σX .

（3）E (aX +b ) =aEX +b ；D (aX +b ) =a 2DX (a , b 为实数）；

若x 服从两点分布，则EX =p , DX =p (1-p ) ；若X B (n , p ), 则EX =np , DX =np (1-p )

【经典例题】

【例1】（2013广东）已知离散型随机变量X 的分布列为

则X 的数学期望E(X)＝( )

A. B ．2 C. D ．3 22

【例2】（2009山东理）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos

πx 1

的值介于0到之间的概率为( ). 22

1122

A ． B ． C ． D ．

323π

）

5173 B C D

241212

【例4】甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

1137A. B. C. D. 4248

【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以

获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖

5与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

55（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝，Dη＝，求a ∶b ∶c.

【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3

（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

【课堂练习】

1、（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且P (E )=P (F )=

A ．0 B ．

，则P (E I F )的值等于 4

111

C ． D ．

4216

2、在长为10 cm的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为________．

（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E(X)．

（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

【课后作业】

B ．

C ．

1 306

D ．

1 408

2、（2008江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（） A ．

1111

B ． C ． D ． [1**********]0

3、（2009安徽）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．

图3

4、（2013福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．

一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

2（1）求第4局甲当裁判的概率；.

（2）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

7、（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率

X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．

（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．

图1－5

【课后反馈】

家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】 1

1-5、AADCC 6、

3212

7；3月5日 1313

【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1，2，…，13) ．

根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j)．

（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2

所以P(B)＝P(A5∪A8) ＝P(A5)＋P(A8)＝.

（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝1) ＝P(A3∪A6∪A7∪A11) 4

＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，

13P(X＝2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13) 4

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，

135

P(X＝0) ＝1－P(X＝1) －P(X＝2) ＝.

13所以X 的分布列为

54412

故X 的期望E(X)＝＋.

13131313

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 11

8 15

【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为“这2人的

35累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，

22411

因为P(X＝5) ＝＝，所以P(A)＝1－P(X＝5) ＝，

351515

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

所以E(X1)＝E(X2)＝＝，

3355812

从而E(2X1)＝2E(X1)＝E(3X2)＝3E(X2)＝35因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．

35记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，

则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，

2⎛2⎫12222⎛22

1－×1－＝P(X＝2) ＝×1－＝P(X＝3) ＝⎛1－因为P(X＝0) ＝⎛55⎝3⎝5⎭5⎝35153⎝11

所以P(A)＝P(X＝0) ＋P(X＝2) ＋P(X＝3)

1511

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

1448

所以E(X1)＝＋＝，

9993912412

E(X2)＝＋＋.

2525255

因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 9、9、3∶2∶1

【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.

3×31

P(ξ＝2) ＝

6×64

2×3×21

P(ξ＝3) ＝＝

6×632×3×1＋2×25

P(ξ＝4) ＝6×6182×2×11

P(ξ＝5) ＝＝

6×691×11

P(ξ＝6) ＝

6×636所以ξ的分布列为

（2）由题意知η的分布列为

所以Eη＝

a 2b 3c 5

，

a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c 3

5a 5b 5c 5

Dη＝1－2－3，

3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 9

⎧⎪2a －b －4c ＝0，

化简得⎨解得a ＝3c ，b ＝2c ，

⎪a ＋4b －11c ＝0，⎩

故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 10、

43； 278

事件“ξ=2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

⎛

⎝1⎫⎛3⎭⎝1⎫14

=. 3⎭327

4⎛1⎫⎛2⎫∴P (ξ=2k )=C k

⎪ ⎪⎝3⎭⎝3⎭

4-k

(k =0,1,2,3,4)，

∴即ξ的分布列是

+2⨯+4⨯+6⨯+8⨯=. ∴ξ的期望是E ξ=0⨯[1**********]

【课堂练习】

1、B 2 3、；随机变量X 的分布列是

142417X 的数学期望E(X)＝＋＝353577518

4、19、；X 的分布列为

6421

从而有E(X)＝＋

4(元)

7351051052

5 9

2421

34＋64＋90＋42

所求的数学期望为E(Y)＝＋＋＝＝46.

1515555

【课后作业】

1、B 2、C 3、0.75 4、 5、10

319648

7X 的分布列为： 6

4285736

E(X)＝2.

[1**********]52

8X 的分布列为 7

15223

EX ＝(－＋(－＋＋＝－.

14147714

高一9-2古典概率.几何概型知识点.经典例题及练习题带答案

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