直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一

点M(x,y)；2. 求出这点关于中心或轴的对称点M/(x0,y0)与M(x,y)之间的关系；3. 利用f(x0,y0)0求出曲线g(x,y)0。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线l1:xy10关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程。

解法1：（动点转移法）

在l1上任取点P(x/,y/)(Pl2)，设点P关于l2的对称点为Q(x,y)，则

/x/x4x3y9yy/

x330522 /

3x4y3yy1/

y/5xx3

又点P在l1上运动，所以xy10，所以

4x3y9

5



3x4y3

5

10。即

x7y10。所以直线l的方程是x7y10。

解法2：（到角公式法）

xy10x1

解方程组所以直线l1,l2的交点为A(1,0)

3xy30y0

设所求直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0,由题意知，l1到l2与l2到l的角相等，则

31131

k313k

k

17

.所以直线l的方程是x7y10。

解法3：（取特殊点法）

由解法2知，直线l1,l2的交点为A(1,0)。在l1上取点P（2，1），设点P关于l2的对称点

/

x/24y1/

x330//的坐标为Q(x,y)，则522/

7y11y//5x23

而点A，Q在直线l上，由两点式可求直线l的方程是x7y10。

解法4：（两点对称法）

对解法3，在l1上取点P（2，1），设点P关于l2的对称点的坐标为Q(,)，在l1上取点

55

47

M（0，1），设点P关于l2的对称点的坐标为N(求直线l的方程是x7y10。

121

,)而N，Q在直线l上，由两点式可55

解法5：（角平分线法）

由解法2知，直线l1,l2的交点为A(1,0)，设所求直线l的方程为：设所求直线l的方程为

yk(x1),即kxyk0.由题意知，l2为l,l1的角平分线，在l2上取点P（0，-3），

则点P到l,l1的距离相等，由点到直线距离公式，有：

|031|

2



|03k|k

2

k

17

或k1

k1时为直线l1，故k

17

。所以直线l的方程是x7y10

解法6（公式法）

给出一个重要定理：曲线（或直线 ）C:F(x,y)0关于直线

/

l:f(x,y)AxByC0的对称曲线C（或直线 ）的方程为

F[x

2AAB

2

2

f(x,y),y

2BAB

2

2

f(x,y)]0.........(1)。

证：设M(x,y)是曲线C/上的任意一点M(x,y)，它关于l的对称点为

M(x,y)，则MC

/

/

/

/

于是F(x/,y/)0........(2)。∵M与M/关于直线l对称，

2A/

B(xx/)A(yy/)0xxf(x,y)22AB/

............(3),（3）代入∴xx/yy

2BABC0y/yf(x,y)2222AB

2A2B/

f(x,y),yf(x,y)]0，此即为曲线C的方程。（2），得F[x2 222

ABAB

解析：定理知，直线l1:F(x,y)xy10关于直线l2:f(x,y)3xy30的对称曲线l的方程为： F[x

233145

2

2

f(x,y),y35y1

2(1)31

2

2

f(x,y)]0F[x

35

(3xy3),y

15

(3xy3)]0

F(

1

x7

9343439343

,xy)0xy(xy)1[1**********]0,即

x7y10

555

所以直线l的方程是x7y10。

xy

电子邮箱[email protected],手机号码[1**********]；电话[1**********]

点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得 ，

即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 将B（8，2）代入，解得c=-38.

故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2）， 将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另

外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一

点M(x,y)；2. 求出这点关于中心或轴的对称点M/(x0,y0)与M(x,y)之间的关系；3. 利用f(x0,y0)0求出曲线g(x,y)0。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线l1:xy10关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程。

解法1：（动点转移法）

在l1上任取点P(x/,y/)(Pl2)，设点P关于l2的对称点为Q(x,y)，则

/x/x4x3y9yy/

x330522 /

3x4y3yy1/

y/5xx3

又点P在l1上运动，所以xy10，所以

4x3y9

5



3x4y3

5

10。即

x7y10。所以直线l的方程是x7y10。

解法2：（到角公式法）

xy10x1

解方程组所以直线l1,l2的交点为A(1,0)

3xy30y0

设所求直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0,由题意知，l1到l2与l2到l的角相等，则

31131

k313k

k

17

.所以直线l的方程是x7y10。

解法3：（取特殊点法）

由解法2知，直线l1,l2的交点为A(1,0)。在l1上取点P（2，1），设点P关于l2的对称点

/

x/24y1/

x330//的坐标为Q(x,y)，则522/

7y11y//5x23

而点A，Q在直线l上，由两点式可求直线l的方程是x7y10。

解法4：（两点对称法）

对解法3，在l1上取点P（2，1），设点P关于l2的对称点的坐标为Q(,)，在l1上取点

55

47

M（0，1），设点P关于l2的对称点的坐标为N(求直线l的方程是x7y10。

121

,)而N，Q在直线l上，由两点式可55

解法5：（角平分线法）

由解法2知，直线l1,l2的交点为A(1,0)，设所求直线l的方程为：设所求直线l的方程为

yk(x1),即kxyk0.由题意知，l2为l,l1的角平分线，在l2上取点P（0，-3），

则点P到l,l1的距离相等，由点到直线距离公式，有：

|031|

2



|03k|k

2

k

17

或k1

k1时为直线l1，故k

17

。所以直线l的方程是x7y10

解法6（公式法）

给出一个重要定理：曲线（或直线 ）C:F(x,y)0关于直线

/

l:f(x,y)AxByC0的对称曲线C（或直线 ）的方程为

F[x

2AAB

2

2

f(x,y),y

2BAB

2

2

f(x,y)]0.........(1)。

证：设M(x,y)是曲线C/上的任意一点M(x,y)，它关于l的对称点为

M(x,y)，则MC

/

/

/

/

于是F(x/,y/)0........(2)。∵M与M/关于直线l对称，

2A/

B(xx/)A(yy/)0xxf(x,y)22AB/

............(3),（3）代入∴xx/yy

2BABC0y/yf(x,y)2222AB

2A2B/

f(x,y),yf(x,y)]0，此即为曲线C的方程。（2），得F[x2 222

ABAB

解析：定理知，直线l1:F(x,y)xy10关于直线l2:f(x,y)3xy30的对称曲线l的方程为： F[x

233145

2

2

f(x,y),y35y1

2(1)31

2

2

f(x,y)]0F[x

35

(3xy3),y

15

(3xy3)]0

F(

1

x7

9343439343

,xy)0xy(xy)1[1**********]0,即

x7y10

555

所以直线l的方程是x7y10。

xy

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点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得 ，

即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 将B（8，2）代入，解得c=-38.

故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2）， 将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另

外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.