微积分基本定理教案

1.4.2 微积分基本定理

1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__ ʃaf(x)dx ______.

2．当x∈[a，b]时，若f(x)

3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线

x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围

b成的平面图形的面积S＝__ ʃa[f(x)－g(x)]dx

____________.

(如图)

探究点一 求不分割型图形的面积

问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.

2y＝x，解 由得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 2y＝x

因此，所求图形的面积为

S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD b

＝ʃ0xdx－ʃ0xdx 112

231131＝ x |－x| 32030

211＝＝； 333

小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：

(1)根据题意画出图形；

(2)找出范围，确定积分上、下限；

(3)确定被积函数；

(4)将面积用定积分表示；

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线

y＝－x＋2所围成图形的面积．；

2y＝x－4解 由 y＝－x＋2

x＝－3x＝2得或，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图y＝5y＝0

22形可得S＝ʃ2－3(－x＋2)dx－ʃ－3(x－4)dx

1213＝(2x2)|－－(－4x)|2－3 323

2525125＝－(＝236

探究点二 分割型图形面积的求解；

问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？

答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.

解 方法一 作出直线y＝x－4，

曲线y＝2x的草图．



y＝

2x

，解方程组 y＝x－4

1 / 3

得直线y＝x－4与曲线y＝2x交点的坐标为(8,4)．

直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．

因此，所求图形的面积为；

S＝S1＋S2

＝ʃ40＋

[84322xdx(x4)dx] 432822148＝ x|0 x |4－(x－4)2|84

332

40＝. 3

方法二 把y看成积分变量；则

121213440S＝ʃ4. 0(y＋4－y)dy＝y＋4y－y)|0＝2263

小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

1跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－所围成图形的面积． 3

解 画出图形，如图所示．

y＝x，解方程组x＋y＝2，

x＋y＝2，及 1y＝－，3 y＝x， 1y＝－x，3

得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，；

113所以S＝ʃ1[x－(－x)]dx＋ʃ[(2－x)－(－0133

113＝ʃ10xx)dx＋ʃ1(2－x＋x)dx 33

[1**********]＝ (3 x ＋6x)|0＋(2x－2x＋6x)|

1

211＝＋(2x－2)|3 3631

＝＋6－×9－2. 6336

探究点三 定积分的综合应用

例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为

切点A的坐标以及在切点A的切线方程．；

解 如图，设切点A(x0，y0)，

由y′＝2x，过点A的切线方程为

y－y0＝2x0(x－x0)，

2即y＝2x0x－x0，

xx令y＝0，得x＝，即C(

0)， 22

2 / 3

1 12

设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，

则S＝S曲边△AOB－S△ABC，

3x

3 x020曲边△AOB00 0

11x213S△ABC＝|BC|·|AB|＝0－x＝x. 222040

113131∴S＝3x＝＝.所以x0＝1， 304012012

从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.

小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．

跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分

抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面

积相等的两部分，求k的值．

解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

所以，抛物线与x轴所围图形的面积

x2131112S＝ʃ0(x－x)dx＝2－3x|0＝. 6

2y＝x－x，又 y＝kx，

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，

－k2＝ʃ10(x－x－kx)dx 2

1－k2131－k1＝－x|0＝6(1－k)3. 32

11又知S＝，所以(1－k)3＝ 62∵S11＝ʃ xdx＝3x| ＝3x，

3314于是k＝1－ ＝1－22

194．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是______． 3

解析 由图形可得

242S＝ʃ10(x＋4－5x)dx＋ʃ1(5x－x－4)dx 1552134＝(x3＋4x－2)|10＋－－4x)|1 3223

1552135119＝＋4－＋4－×4－4×4－＋4＝3223233

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时

(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．；

(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差；．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.；

3 / 3

1.4.2 微积分基本定理

1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__ ʃaf(x)dx ______.

2．当x∈[a，b]时，若f(x)

3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线

x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围

b成的平面图形的面积S＝__ ʃa[f(x)－g(x)]dx

____________.

(如图)

探究点一 求不分割型图形的面积

问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.

2y＝x，解 由得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 2y＝x

因此，所求图形的面积为

S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD b

＝ʃ0xdx－ʃ0xdx 112

231131＝ x |－x| 32030

211＝＝； 333

小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：

(1)根据题意画出图形；

(2)找出范围，确定积分上、下限；

(3)确定被积函数；

(4)将面积用定积分表示；

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线

y＝－x＋2所围成图形的面积．；

2y＝x－4解 由 y＝－x＋2

x＝－3x＝2得或，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图y＝5y＝0

22形可得S＝ʃ2－3(－x＋2)dx－ʃ－3(x－4)dx

1213＝(2x2)|－－(－4x)|2－3 323

2525125＝－(＝236

探究点二 分割型图形面积的求解；

问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？

答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.

解 方法一 作出直线y＝x－4，

曲线y＝2x的草图．



y＝

2x

，解方程组 y＝x－4

1 / 3

得直线y＝x－4与曲线y＝2x交点的坐标为(8,4)．

直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．

因此，所求图形的面积为；

S＝S1＋S2

＝ʃ40＋

[84322xdx(x4)dx] 432822148＝ x|0 x |4－(x－4)2|84

332

40＝. 3

方法二 把y看成积分变量；则

121213440S＝ʃ4. 0(y＋4－y)dy＝y＋4y－y)|0＝2263

小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

1跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－所围成图形的面积． 3

解 画出图形，如图所示．

y＝x，解方程组x＋y＝2，

x＋y＝2，及 1y＝－，3 y＝x， 1y＝－x，3

得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，；

113所以S＝ʃ1[x－(－x)]dx＋ʃ[(2－x)－(－0133

113＝ʃ10xx)dx＋ʃ1(2－x＋x)dx 33

[1**********]＝ (3 x ＋6x)|0＋(2x－2x＋6x)|

1

211＝＋(2x－2)|3 3631

＝＋6－×9－2. 6336

探究点三 定积分的综合应用

例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为

切点A的坐标以及在切点A的切线方程．；

解 如图，设切点A(x0，y0)，

由y′＝2x，过点A的切线方程为

y－y0＝2x0(x－x0)，

2即y＝2x0x－x0，

xx令y＝0，得x＝，即C(

0)， 22

2 / 3

1 12

设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，

则S＝S曲边△AOB－S△ABC，

3x

3 x020曲边△AOB00 0

11x213S△ABC＝|BC|·|AB|＝0－x＝x. 222040

113131∴S＝3x＝＝.所以x0＝1， 304012012

从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.

小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．

跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分

抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面

积相等的两部分，求k的值．

解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

所以，抛物线与x轴所围图形的面积

x2131112S＝ʃ0(x－x)dx＝2－3x|0＝. 6

2y＝x－x，又 y＝kx，

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，

－k2＝ʃ10(x－x－kx)dx 2

1－k2131－k1＝－x|0＝6(1－k)3. 32

11又知S＝，所以(1－k)3＝ 62∵S11＝ʃ xdx＝3x| ＝3x，

3314于是k＝1－ ＝1－22

194．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是______． 3

解析 由图形可得

242S＝ʃ10(x＋4－5x)dx＋ʃ1(5x－x－4)dx 1552134＝(x3＋4x－2)|10＋－－4x)|1 3223

1552135119＝＋4－＋4－×4－4×4－＋4＝3223233

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时

(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．；

(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差；．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.；

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