均值_CVaR模型下的两基金分离定理

第21卷第2期系　统　工　程　学　报V ol. 21N o. 2

2006年4月JOURNA L OF SY STE MS E NGI NEERI NG Apr. 2006

短　文

均值-CV a R 模型下的两基金分离定理

曹　静1, 秦超英1, 覃　森1,2

①

(1. 西北工业大学应用数学系, 陕西西安710072; 2. 西北工业大学自动化学院, 陕西西安710072)

摘要:两基金分离定理对资本资产定价模型的研究有重要意义. 经典的理论以方差为风险度量方法, 而C VaR

是近年来提出的一种新的风险度量方法. 本文基于C VaR 风险度量方法, 研究了正态情形下风险资产组合的均值-C VaR 模型, 得到了此模型下的两基金分离定理及其有关性质, 并与均值-方差模型进行了比较. 最后通过实例分析表明均值-C VaR 模型下的两基金分离定理更能满足投资者不同的风险忍受水平. 关键词:资产组合; 两基金分离定理; 条件风险价值; 风险价值中图分类号:F830. 59　　　文献标识码:A 　　　文章编号-() Tw o 2fund a R model

1, QIN Chao 2ying 1, QIN Sen 1, 2

(1. Mathematics , N orthwestern P olytechnical University , X i ’an 710072, China ;

2. School of Automation , N orthwestern P olytechnical University , X i ’an 710072, China ) Abstract :T w o 2fund separation theorem is very im portant for the research of capital asset pricing m odel.

Classical theory is based on the variance technique , and C VaR conditional value-at-risk is a new measure of risk which is presented recently. Based on the C VaR technique , the Mean 2C VaR m odel under the as 2sum ption of normality of risk securities is studied in this paper. The tw o 2fund separation theorem and the corresponding properties are proposed , and the com paris on between the Mean 2C VaR m odel and Mean 2Variance m odel is provided. Finally , an em pirical exam ple is given to show that the tw o 2fund separation theorem in Mean 2C VaR m odel rather satis fies the different risk tolerance levels of the investors. K ey w ords :portfolio ; tw o 2fund separation theorem ; C VaR (conditional value 2at 2risk ) ; VaR (value 2at 2

risk )

0　引　言

自从Markowitz 于1952年创立投资组合理论以来, 风险度量和金融资本配置模型的研究已经有了长足的发展, 金融市场风险也成为全球金融机构和监管当局普遍关注的焦点. VaR 风险度量方法正是在这种背景下应运而生的, 成为金融风险管理中的一种重要工具. 然而经过一些学者的

不断探索和实践证明,VaR 无论是在理论上还是应用上, 都存在着一些不容忽视的缺陷, 如VaR 的计算结果不稳定;VaR 不满足次可加性, 所以不是一致性风险度量;VaR 不满足凸性, 其局部最优解不一定是全局最优解.

针对VaR 的不足, 人们提出了各种改进方法. 特别是R ockafeller 等[1]提出的条件风险价值(C VaR ) 方法, 无论是在理论上还是在优化计算上

①收稿日期:2004-03-13; 修订日期:2004-09-06.

—202—系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　第21卷

均较VaR 有很大的进步. C VaR 是指金融资产或其组合的损失额超过VaR 的条件均值,C VaR 满足一致性风险度量标准的4条公理, 其优化问题可转化为线性规划, 计算简便, 结果稳定, 而且优化C VaR 问题的同时可以得到最优的VaR 值. 文献[1]在提出C VaR 概念的基础上讨论了它的性质, 并初步研究了正态情形下的资产组合优化问题; 文献[2]讨论了基于一般分布时C VaR 的概念及性质, 文献[3]就C VaR 为约束条件的资产组合优化问题进行了研究; 文献[4]则研究了正态情形下均值-C VaR 的有效边界.

在均值-方差模型中, 著名的两基金分离定

) x d , 它表明由均理表示为[5]x 3=λx g +(1-λ值-方差模型确定的最优资产组合一定能够表

示为x g , x d 的线性组合, x g , x d 称为共同基金, 其中x g 为全局最小方差资产组合, x d 为可分散化资产组合. , , 著名的资本资产定价模型) 就是基于该定理导出的, 因此探讨均值-CVaR 模型下的两基金分离定理有着重要的意义. 本文在文献[4]的基础上进一步探讨正态情形下均值-CVaR 问题, 得出了相应的两基金分离定理及其有关性质.

) -1・　　VaR β(x ) ]=(1-β

∫

L (x , Y ) ≥VaR β(x )

) d уL (x , y ) p (у(1)

对于一资产组合x =(x 1, x 2, …, x n ) T , 其中

x j 为第j 种金融工具的头寸, Y =(Y 1, Y 2, …,

Y n ) , Y j 表示第j 种金融工具的回报率, j =1, 2,

…, n , 记I =(1, 1, …, 1) T , 此时可行集为X =

n T

{x ∈R :x I =1}.

文献[4]给出了在正态情形下基于CVaR 的证券组合优化问题的有效边界和图形. 当收益率服从正态分布时, 即у～N (μ, V ) . 令损失L (x ,

) =-x T уу, 则-x у～N (-x T μ, x T Vx ) , 记

μ(x ) =x T μ, σ(x ) =x T Vx , 由CVaR 的定义可导出式(1) CVaR :

-) (x ) -μ(x ) (2) x ) , φ(・) 为标准正・

-1令t =, 则有

1-β

(3) CVaR β(x ) =σt (x ) -μ(x ) 该式表明C VaR β(x ) 与σ(x ) 具有线性关系, t 为

斜率, 当β值取定时, t 值也随之确定.

均值-CVaR 模型为Min CVaR β(r x )

x ∈X

s. t. E (r x ) =x T μ=r

(4)

1　CV a R 简介及其均值-CV a R 有效边界

设L (x , Y ) 是损失函数, 其中x ∈X ΑR n 为决策向量, X 为可行集, Y ∈R m 为一随机向量. x 可理解为风险资产的组合系数, Y 代表能影响损失的市场不确定性, 如影响损失的市场变量.

) , 则对任意x 损失若Y 的概率密度为p (у

L (x , Y ) 的分布也随之确定, 其分布函数为

Ψ(x , ) =

∫

L (x , Y )

) d уp (у

而相应的在概率置信水平β(0

的VaR 定义为[1]:

VaR β(x ) =min {a ∈R :Ψ(x , ) ≥β}它是指在某一时间间隔内具有置信水平为β(一般取值为95%或99%) 的最大潜在损失. 损失的β-CVaR 定义为[1]

CVaR β(x ) =E[L (x , Y ) |L (x , Y ) ≥

　　x T I =1其中r x =x T у. 该模型以CVaR 为目标函数进行优化, 在收益率为r 的条件下寻求投资组合x 使资产组合的CVaR 达到最小.

引理1　组合x 属于均值-方差有效边界的充要条件是组合x 属于均值-CVaR 有效边界[4]

(+r ) /t ]22

(5) -=1

1/A Δ/A 2

其中A =I T V -1I , B =I T V -1μ, C =μT V -1μ, Δ=AC -B 2.

模型(4) 的最优解为3-1-1

(6) x =λI +λ1V 2V μ其中λ1=

, λ2=

2　均值-CV a R 模型下的两基金分离定理

由式(5) 得

第2期　　　　　　　　　　　曹静等:均值-CVaR 模型下的两基金分离定理—203

—

(

即

β+r

)

　　因此

-Δ

上式对r 求导得

=d r

　　解得

r =

A A +A A

CVaR β=

-2B r +C -r

(7)

2=0

(Ar 2-2B r +C ) At -Δ-1

　　+V μ2B B -Δ且x d 为最优资产组合.

x d =-

V -1I +

()

(11)

性质1　C VaR β(r x )

≥

2且

C VaR β(r x ) =

r x =

(8)

A A

-Δ

的充分必要条件是

取

-Δ

将式(8) 代入式(7) 得

r =

2-Δ

定理1　() 在收益率服从正

, 此时x 3=x g .

资产组合x 3都资产组合x g 和x d 的凸线性组合, 即

)

此时相应于式8) ) CVaR β=

) x d =λx g +(1-λ(12)

λ1, λ2分别为

C -

其中

λ1=　　

A -

(

+A Δ

)

B =

λ=

-Δ+1

-+A

A A 2

2-Δ

λ2=　　

(

+A Δ

) A -B =

At -Δ

21--B B

证明　只需证明λ存在且唯一. 将式(10) , (11) 代入式(12) 中并考虑到式(6) , 有

-Δ-

2-若全局最小CVaR 组合记为x g , 则有

-1

x g =-V I +

2A A -Δ

　　V -1μ2

At -Δ

令r d =+

2B B -Δ

则最优解式(6) 中的λ1, λ2分别为

C -+B

2B λ=1=Δ

　　-2

At -Δ

+A -B B 2λ=2=Δ

()

V -1I +

V -1μ=

-1

(10)

[(A

A At

) -Δ

) 　　(1-λ

-Δ]

I +

()

[

At -Δ+

) ・+(1-λ

) V

-Δ]

-1

由于V -1I , V -1μ是线性无关的, 因此

=λ

()

-Δ

)

(13)

) 　　(1-λ

At -Δ

—204—

=λ+

系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　第21卷

At -Δ) ・+(1-λ

(14)

产组合, 则有

) x g +μx d x μ=(1-μ

) x g +νx x d ν=(1-ν

B 2

) -Δ

由式(13) 解得

从而有

x x μ+ν

υ-μv -μ

显然x μ, x x ν系数之和为1, 从而x μ、ν可以取代x g 、x d , 使基金分离定理成立.

λ=

-Δ+1

(15)

-+1

A A 2

由式(14) 解得

λ=

-Δ-2

-性质3　均值-CVaR 的有效边界为双曲线式(5) 的上半叶, 渐近线的斜率为

r →±∞dCVaR At A Δlim

(17)

-B B

(16)

事实上, 由

可以验证式(15) , (16) 相等, 因此λ存在. 设存在p 使得x 3=p x g +(1-p ) x d , 那么(λ-p ) ・x g =(λ-p ) x d , 由式(10) , (11) x g 与x 线性无关的, 因此λ=p , .

-, x g , x d , x g 为全局最小CVaR 资产组合, 它对应于一个极小的风险忍受水平, 而x d 为可分散化资产组合, 它对应于一个非常大的风险忍受水平, 该定理表明投资者把他的资金仅分配在这两种基金上就能获得最优资产组合.

两个资产组合x g , x d 的期望收益率之差为

E (r d ) -E (r g ) =

+B B

2-Δ

-A A -A )

(Ar 2-2B r +C ) (-B ) -(17) .

性质4　在最小CVaR 边界上的任一资产组

合的权重关于r 是线性的, 即资产组合的每个分量为

x i (r ) =x i g +

2-Δ+1

(x i d

-+1

A A

-x i g )

・

2-Δ

3　实例分析

选取在上海证券交易所上市的6支股票:东风汽车(600006) 、皖维高新(600063) 、厦新电子(600057) 、大庆联谊(600065) 、新疆天业(600075) 、莱芜钢铁(600102) , 选取时间为2002年12月18日到2003年5月23日, 共20个交易周100天的日收盘价为原始数据. 6支股票的收益率向量为:(0. 0018870. 0002280. 0073560. 0027370. 003675　0. 007278) T , 收益的协方差阵为

-0. 000583

-0. 000707

(-ΔB

文献[5]给出了在均值-方差模型中两个资产组

合x g , x d 的期望收益率之差为Δ/AB , 显然它小于均值-CVaR 模型中两期望收益率的差.

性质2　任意两个不同的最小CVaR 资产组合都可取代x g 和x d , 使基金分离定理成立.

因为, 设x μ和x ν是两个不同的最小CVaR 资

----

0. 000

0. 0000. 0000. 0000. 0000. [***********]707

-0. 000523

0. 002-0. 0000. 0010. 0010. [***********]

----

0. 0000. 0000. 0020. 0000. 0000. [***********]782

-0. 000433

0. 001-0. 0000. 0020. 0010. [***********]0. 001-0. 0000. 0010. 0010. [***********]0. 001-0. 0000. 0010. 0000. [**************]

第2期　　　　　　　　　　　曹静等:均值-CVaR 模型下的两基金分离定理—205—

在均值-方差模型下

x g =(0. 643964-0. 014855

-0. 069294

x d =(0. 519948

-0. 030497

0. 321737

-0. 158950

0. 148945) T 0. 0956380. 298445) T

极小的风险忍受水平而另一基金则对应于一个极大的风险忍受水平, 因为实际中投资者的风险忍受水平可能会超出基金所限定的范围, 因此要求其中一种基金所对应的风险忍受水平足够地大.

-0. 0764810. 321399

当β取99%时, 在均值-CVaR 模型下

x g =(0. 629465-0. 031701-0. 015750

-0. 070134

x d =(-4. 211532

-0. 350667

4　结束语

C VaR 方法是近年来提出的一种新的风险度

0. 321697

-5. 656525

0. 166423) T 4. 9079886. 002224) T

0. 308511

而

C VaR β(x d 3) =0. 028C VaR β(x d ) =0. 703

(18)

量方法. 本文提出的均值-C VaR 模型下的两基金分离定理, 将为以C VaR 作为风险度量标准的基金管理公司, 在独立地确立最优风险资产组合和满足投资者不同需求这两方面提供了理论依据. 定理中所给出的x g 、x d 形式与均值-方差模型不同, -方差模, 以无风险利率借贷时, 均值-C VaR 模型下的两基金分离定理.

以上结果表明, 两种模型中x g 比较接近, 而x d 的差异比较大, 式(18) 表明均值-CVaR 模型中可分散化资产组合x d 均值-方差模型中x , 参考文献:

[1]Rockafeller T , Uryasev S. Optimization of conditional value 2at 2risk[J].Journal of Risk , 2000, 2(3) :21—24.

[2]Rockafeller T , Uryasev S. C onditional value 2at 2risk for general loss distributions[J].Journal of Banking and Finance , 2001, 26

(7) :1443—1471.

[3]Palmquist J , Uryasev S , K rokhmal P. P ortfolio optimization with conditional value 2at 2risk objective and constrains [DB/O L ].http ://w w w. ise. u fl. edu/uryasev , 1999.

[4]刘小茂, 李楚霖, 王建华. 风险资产组合的均值-C VaR 有效前沿(I ) [J].管理工程学报, 2002, 17(1) :29—33. [5]叶中行, 林建忠. 数理金融-资产定价与金融决策理论[M].北京:科学出版社, 1998. [6]SharpeW F. P ortfolios Theory and Capital Markets[M].New Y ork :McG raw 2Hill Book C om pany , 1970. [7]Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk[J].Review of Economic S tudies , 1958, 25(2) :65—86. [8]MarkowitzH M. P ortfolio selection[J].Journal of Finance , 1952, 7(1) :77—91.

作者简介:

) , 女, 湖北阳新人, 硕士生, 研究方向:数理金融, 系统科学与控制; 曹　静(1980—) , 男, 陕西西安人, 副教授, 博士, 研究方向:数理金融, 经济控制论; 秦超英(1958—

) , 男, 湖北枝江人, 博士生, 研究方向:控制理论与控制工程, 经济控制论. 覃　森(1978—

第21卷第2期系　统　工　程　学　报V ol. 21N o. 2

2006年4月JOURNA L OF SY STE MS E NGI NEERI NG Apr. 2006

短　文

均值-CV a R 模型下的两基金分离定理

曹　静1, 秦超英1, 覃　森1,2

①

(1. 西北工业大学应用数学系, 陕西西安710072; 2. 西北工业大学自动化学院, 陕西西安710072)

摘要:两基金分离定理对资本资产定价模型的研究有重要意义. 经典的理论以方差为风险度量方法, 而C VaR

1, QIN Chao 2ying 1, QIN Sen 1, 2

(1. Mathematics , N orthwestern P olytechnical University , X i ’an 710072, China ;

risk )

0　引　言

针对VaR 的不足, 人们提出了各种改进方法. 特别是R ockafeller 等[1]提出的条件风险价值(C VaR ) 方法, 无论是在理论上还是在优化计算上

①收稿日期:2004-03-13; 修订日期:2004-09-06.

—202—系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　第21卷

在均值-方差模型中, 著名的两基金分离定

) x d , 它表明由均理表示为[5]x 3=λx g +(1-λ值-方差模型确定的最优资产组合一定能够表

) -1・　　VaR β(x ) ]=(1-β

∫

L (x , Y ) ≥VaR β(x )

) d уL (x , y ) p (у(1)

对于一资产组合x =(x 1, x 2, …, x n ) T , 其中

x j 为第j 种金融工具的头寸, Y =(Y 1, Y 2, …,

Y n ) , Y j 表示第j 种金融工具的回报率, j =1, 2,

…, n , 记I =(1, 1, …, 1) T , 此时可行集为X =

n T

{x ∈R :x I =1}.

文献[4]给出了在正态情形下基于CVaR 的证券组合优化问题的有效边界和图形. 当收益率服从正态分布时, 即у～N (μ, V ) . 令损失L (x ,

) =-x T уу, 则-x у～N (-x T μ, x T Vx ) , 记

μ(x ) =x T μ, σ(x ) =x T Vx , 由CVaR 的定义可导出式(1) CVaR :

-) (x ) -μ(x ) (2) x ) , φ(・) 为标准正・

-1令t =, 则有

1-β

(3) CVaR β(x ) =σt (x ) -μ(x ) 该式表明C VaR β(x ) 与σ(x ) 具有线性关系, t 为

斜率, 当β值取定时, t 值也随之确定.

均值-CVaR 模型为Min CVaR β(r x )

x ∈X

s. t. E (r x ) =x T μ=r

(4)

1　CV a R 简介及其均值-CV a R 有效边界

) , 则对任意x 损失若Y 的概率密度为p (у

L (x , Y ) 的分布也随之确定, 其分布函数为

Ψ(x , ) =

∫

L (x , Y )

) d уp (у

而相应的在概率置信水平β(0

的VaR 定义为[1]:

VaR β(x ) =min {a ∈R :Ψ(x , ) ≥β}它是指在某一时间间隔内具有置信水平为β(一般取值为95%或99%) 的最大潜在损失. 损失的β-CVaR 定义为[1]

CVaR β(x ) =E[L (x , Y ) |L (x , Y ) ≥

　　x T I =1其中r x =x T у. 该模型以CVaR 为目标函数进行优化, 在收益率为r 的条件下寻求投资组合x 使资产组合的CVaR 达到最小.

引理1　组合x 属于均值-方差有效边界的充要条件是组合x 属于均值-CVaR 有效边界[4]

(+r ) /t ]22

(5) -=1

1/A Δ/A 2

其中A =I T V -1I , B =I T V -1μ, C =μT V -1μ, Δ=AC -B 2.

模型(4) 的最优解为3-1-1

(6) x =λI +λ1V 2V μ其中λ1=

, λ2=

2　均值-CV a R 模型下的两基金分离定理

由式(5) 得

第2期　　　　　　　　　　　曹静等:均值-CVaR 模型下的两基金分离定理—203

—

(

即

β+r

)

　　因此

-Δ

上式对r 求导得

=d r

　　解得

r =

A A +A A

CVaR β=

-2B r +C -r

(7)

2=0

(Ar 2-2B r +C ) At -Δ-1

　　+V μ2B B -Δ且x d 为最优资产组合.

x d =-

V -1I +

()

(11)

性质1　C VaR β(r x )

≥

2且

C VaR β(r x ) =

r x =

(8)

A A

-Δ

的充分必要条件是

取

-Δ

将式(8) 代入式(7) 得

r =

2-Δ

定理1　() 在收益率服从正

, 此时x 3=x g .

资产组合x 3都资产组合x g 和x d 的凸线性组合, 即

)

此时相应于式8) ) CVaR β=

) x d =λx g +(1-λ(12)

λ1, λ2分别为

C -

其中

λ1=　　

A -

(

+A Δ

)

B =

λ=

-Δ+1

-+A

A A 2

2-Δ

λ2=　　

(

+A Δ

) A -B =

At -Δ

21--B B

证明　只需证明λ存在且唯一. 将式(10) , (11) 代入式(12) 中并考虑到式(6) , 有

-Δ-

2-若全局最小CVaR 组合记为x g , 则有

-1

x g =-V I +

2A A -Δ

　　V -1μ2

At -Δ

令r d =+

2B B -Δ

则最优解式(6) 中的λ1, λ2分别为

C -+B

2B λ=1=Δ

　　-2

At -Δ

+A -B B 2λ=2=Δ

()

V -1I +

V -1μ=

-1

(10)

[(A

A At

) -Δ

) 　　(1-λ

-Δ]

I +

()

[

At -Δ+

) ・+(1-λ

) V

-Δ]

-1

由于V -1I , V -1μ是线性无关的, 因此

=λ

()

-Δ

)

(13)

) 　　(1-λ

At -Δ

—204—

=λ+

系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　第21卷

At -Δ) ・+(1-λ

(14)

产组合, 则有

) x g +μx d x μ=(1-μ

) x g +νx x d ν=(1-ν

B 2

) -Δ

由式(13) 解得

从而有

x x μ+ν

υ-μv -μ

显然x μ, x x ν系数之和为1, 从而x μ、ν可以取代x g 、x d , 使基金分离定理成立.

λ=

-Δ+1

(15)

-+1

A A 2

由式(14) 解得

λ=

-Δ-2

-性质3　均值-CVaR 的有效边界为双曲线式(5) 的上半叶, 渐近线的斜率为

r →±∞dCVaR At A Δlim

(17)

-B B

(16)

事实上, 由

可以验证式(15) , (16) 相等, 因此λ存在. 设存在p 使得x 3=p x g +(1-p ) x d , 那么(λ-p ) ・x g =(λ-p ) x d , 由式(10) , (11) x g 与x 线性无关的, 因此λ=p , .

两个资产组合x g , x d 的期望收益率之差为

E (r d ) -E (r g ) =

+B B

2-Δ

-A A -A )

(Ar 2-2B r +C ) (-B ) -(17) .

性质4　在最小CVaR 边界上的任一资产组

合的权重关于r 是线性的, 即资产组合的每个分量为

x i (r ) =x i g +

2-Δ+1

(x i d

-+1

A A

-x i g )

・

2-Δ

3　实例分析

-0. 000583

-0. 000707

(-ΔB

文献[5]给出了在均值-方差模型中两个资产组

合x g , x d 的期望收益率之差为Δ/AB , 显然它小于均值-CVaR 模型中两期望收益率的差.

性质2　任意两个不同的最小CVaR 资产组合都可取代x g 和x d , 使基金分离定理成立.

因为, 设x μ和x ν是两个不同的最小CVaR 资

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0. 0000. 0000. 0020. 0000. 0000. [***********]782

-0. 000433

0. 001-0. 0000. 0020. 0010. [***********]0. 001-0. 0000. 0010. 0010. [***********]0. 001-0. 0000. 0010. 0000. [**************]

第2期　　　　　　　　　　　曹静等:均值-CVaR 模型下的两基金分离定理—205—

在均值-方差模型下

x g =(0. 643964-0. 014855

-0. 069294

x d =(0. 519948

-0. 030497

0. 321737

-0. 158950

0. 148945) T 0. 0956380. 298445) T

-0. 0764810. 321399

当β取99%时, 在均值-CVaR 模型下

x g =(0. 629465-0. 031701-0. 015750

-0. 070134

x d =(-4. 211532

-0. 350667

4　结束语

C VaR 方法是近年来提出的一种新的风险度

0. 321697

-5. 656525

0. 166423) T 4. 9079886. 002224) T

0. 308511

而

C VaR β(x d 3) =0. 028C VaR β(x d ) =0. 703

(18)

以上结果表明, 两种模型中x g 比较接近, 而x d 的差异比较大, 式(18) 表明均值-CVaR 模型中可分散化资产组合x d 均值-方差模型中x , 参考文献:

[1]Rockafeller T , Uryasev S. Optimization of conditional value 2at 2risk[J].Journal of Risk , 2000, 2(3) :21—24.

[2]Rockafeller T , Uryasev S. C onditional value 2at 2risk for general loss distributions[J].Journal of Banking and Finance , 2001, 26

(7) :1443—1471.

[3]Palmquist J , Uryasev S , K rokhmal P. P ortfolio optimization with conditional value 2at 2risk objective and constrains [DB/O L ].http ://w w w. ise. u fl. edu/uryasev , 1999.

作者简介:

) , 男, 湖北枝江人, 博士生, 研究方向:控制理论与控制工程, 经济控制论. 覃　森(1978—

均值_CVaR模型下的两基金分离定理

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