南涧民中2011——2012学上学期
高三数学（理）科试题
命题人：马子红 审题人：马子红
班级 姓名
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1. 设集合M ={m ∈Z |-3
1} B ．{-1，
0，1} C ．{0，
1，2}
D ．{-1，
0，1，2} 2．已知复数
3-i
1+i
=a +bi ，那么a +b 等于( ) A ．-3 B ． -2 C ．-1 D ．1
3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+∞）上单调递减的函数是（ ）
A ．y=x3
B ．y=ln
1|x |
C ．y=2|x|
D ．y=cosx
4、已知2a －b ＝(－1，，c ＝(1，3) ，且a ·c ＝3，|b |＝4，则b 与c 的夹角为( )
A 、π6 Bπ3 C、5π62π3 5. 函数y =log 2-x 2
的图像
2+x
A. 关于原点对称 B. 关于主线y =-x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y =x 对称
6. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男
女生均不少于1名的选法有（ ） A. 5 B.20 C.21 D. 25
南涧民族中学试卷 第1页，共8页
7. 如果执行右面的框图，运行的结果为S=10，则在判断框中应填的条件是（ ）
A．i
8. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(
A. 2π+ B. 4π+ C. 2π+ D. 4π+3
正视图
侧) 视图
俯视图
9. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1, 则x =1”的否命题为：“若x 2=1, 则x ≠1” B ．“x=-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R , 使得x 2+x +1
D ．命题“若x =y , 则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题
10．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是 ( )
A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]
x
2y
2
11、已知椭圆a
2
+
25
=1
(a >5) 的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△
ABF 2
的周长为（ ）
A ．10 B ．20 C ．241 D ． 441
12. 若x ∈(e -1
，，
1) a =ln x ，b =2ln x ，c =ln 3
x ，则（ ） A ．a D ． b
南涧民族中学试卷 第2页，共8页
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。 13. 若角α的终边经过点P (-1, 3) ，则tan α的值等于 14. 在(
x -
16
的展开式中，常数项是
x )
y =sin x ++2
15.
曲线在x =0处的切线方程为___________.
16．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45
岁的职工人数为
三、解答题 (本大题共6小题．共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤) ． 17．（本小题满分12分）等比数列{a n }中，已知a 1=2, a 4=16 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若a 3, a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n 。
18. （本小题满分12分）某中学经市人民政府批准建分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，工程分三期完成。经过初步招投标淘汰后，确定只由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程。已知甲公司获得第一期、第
3
、1
、1
二期、第三期工程承包权的概率分别为4
24.
（1）求甲、乙两公司各至少获得一期工程的概率； （2）求甲公司获得工程期数ξ的分布列和数学期望E ξ.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。 （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；
。
南涧民族中学试卷 第3页，共8页
20. （本小题满分12分） 设函数f (x ) =a ln x -bx 2(x >0)
（1）若函数f (x ) 在x=1处与直线y =-
1
2相切
①求实数a ，b 的值；②求函数f (x ) 在[1
e
, e ]上的最大值.
（2）当b=0时，若不等式f (x ) ≥m +x 对所有的a ∈[0, 3
2
],x ∈(1, e 2]
都成立，求实数m 的取
值范围.
21. （本小题满分12分）已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为
设过点
l 的方向向量v
e =(1,k ) 。
（1） 求双曲线C 的方程；
（2） 若过原点的直线a //l ，且a 与l
K 的值；
（3）
C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
四、选考题（本小题满分10分） 23. 选修4—4; 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C x 2+y 2
1:=1，以平面直角坐标系x Oy 的原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l :ρ(2cos θ-sin θ) =6. （1）将曲线C
1、2倍后得到曲线C 2 试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；
（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.
南涧民族中学试卷 第4页，共8页
17. 解：（I ）设{a n }的公比为q
由已知得16=2q 3，解得q =2
（Ⅱ）由（I ）得a 2=8，a 5=32，则b 3=8，b 5=32 设{b b 1+2d =8⎧b 1=-16n }的公差为d ，则有⎨
⎧⎩b 1+4d =32
解得⎨
⎩d =12
从而b n =-16+12(n -1) =12n -28 所以数列{b (-16+12n -28)
n }的前n 项和S n =
n 2=6n 2
-22n
19．解：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，
因为E 为PC 中点，所以EF//CD，且EF =
12
CD =1，
在梯形ABCD 中，AB//CD，AB=1，
所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF 为平行四边形， 所以BE//AF，
BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以BE//平面PAD 。 „„„„6分 （2）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，
所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD 。
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 。 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）
DB =(1, 1, 0), BC =(-1, 1, 0).
所以BC ⋅DB =0, BC ⊥DB .
又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，
所以BC ⊥平面PBD 。 „„„„12分
20． 解：（1）①f '(x ) =
a x -2bx
∵函数f (x ) 在x =1处与直线y =-
1⎧
f '(1)=a -2b =0⎧a =12
相切∴⎪
⎨
解得⎪ „„„3分
⎪⎩
f (1)=-b =-1
, ⎨b =12
⎪⎩2 南涧民族中学试卷 第5页，共8页
②f (x ) =ln x -
12
2
x , f '(x ) =
11-x 2
x
-x =
x
当1e
≤x ≤e 时，令f '(x ) >0得1e
≤x
令f '(x )
⎢, 1⎣
e
⎥上单调递增，在[1，e]上单调递减，
⎦
∴f (x ) m ax =f (1)=-
12
。。。。。。。。7分
（2）当b=0时，f (x ) =a ln x 若不等式f (x ) ≥m +x 对所有的a ∈⎡
3⎤
⎢0, ⎥, x ∈(1, e 2⎤都⎣2⎦
⎦成立，则a ln x ≥m +x 对所有的a ∈⎡3⎤
⎢0, 2⎥, x ∈⎦
(1, e 2⎤都成立， ⎣
⎦
即m ≤a ln x -x , 对所有的a ∈[0, 3
2
],x ∈(1, e 2]都成立，。。。．．．．．．．．．8分
令h (a ) =a ln x -x , 则h (a ) 为一次函数，m ≤h (a ) min 。 x ∈(1, e 2⎤⎦, ∴ln x >0,
∴h (a ) 在a ∈[0,32
]上单调递增，∴h (a ) min =h (0)=-x
，
∴m ≤-x
对所有的x ∈(1, e 2⎤⎦
都成立。。。。。。．．．．．．．．．11分[来源:学科网] 1
≤-x
m in =-e
。。. 。。。。。。12分
（注：也可令h (x ) =a ln x -x , 则m ≤h (x ) 所有的x ∈(1, e 2⎤⎦
都成立，分类讨论得m ≤h (x ) m in =2a -e
2
对所有的a ∈[0,3
2
]都成立，∴m ≤(2a -e 2) m in =-e 2，请根据过
程酌情给分）
21. 【解】（1）设双曲线C 的方程为x 2-2y 2=λ(λ>0) ∴λ+
λ
2
=3，解额λ=2
双曲线C 的方程为
x
2
2
2
-y =1
（2
）直线l :kx -y +=0，直线a :kx -y =0
||k =±
=2
（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线b :kx -y =0
南涧民族中学试卷 第6页，共8页
则直线l 与b
的距离d =
当k >
d >
2
时，又双曲线C 的渐近线为
x =0
∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，
∴
双曲线C 右支上的任意点到直线l
。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
【证法二】假设双曲线C 右支上存在点Q (x 0, y 0) 到直线l
，⎧则(1)=
⎩x 22y 2
0-0=2
(2)
由（1
）得y 0=kx 0+±
设t =±
当k >
2
t =+>0；
=+=2
t >0
将y 0=kx 0+t 代入（2）得(1-2k 2) x 20-4ktx 0-2(t 2+1) =
k >
2
t >0，
∴1-2k 2
+1)
∴ 方程(*)不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
南涧民族中学试卷 第7页，共8页
南涧民族中学试卷第8页，共8页
南涧民中2011——2012学上学期
高三数学（理）科试题
命题人：马子红 审题人：马子红
班级 姓名
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1. 设集合M ={m ∈Z |-3
1} B ．{-1，
0，1} C ．{0，
1，2}
D ．{-1，
0，1，2} 2．已知复数
3-i
1+i
=a +bi ，那么a +b 等于( ) A ．-3 B ． -2 C ．-1 D ．1
3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+∞）上单调递减的函数是（ ）
A ．y=x3
B ．y=ln
1|x |
C ．y=2|x|
D ．y=cosx
4、已知2a －b ＝(－1，，c ＝(1，3) ，且a ·c ＝3，|b |＝4，则b 与c 的夹角为( )
A 、π6 Bπ3 C、5π62π3 5. 函数y =log 2-x 2
的图像
2+x
A. 关于原点对称 B. 关于主线y =-x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y =x 对称
6. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男
女生均不少于1名的选法有（ ） A. 5 B.20 C.21 D. 25
南涧民族中学试卷 第1页，共8页
7. 如果执行右面的框图，运行的结果为S=10，则在判断框中应填的条件是（ ）
A．i
8. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(
A. 2π+ B. 4π+ C. 2π+ D. 4π+3
正视图
侧) 视图
俯视图
9. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1, 则x =1”的否命题为：“若x 2=1, 则x ≠1” B ．“x=-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R , 使得x 2+x +1
D ．命题“若x =y , 则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题
10．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是 ( )
A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]
x
2y
2
11、已知椭圆a
2
+
25
=1
(a >5) 的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△
ABF 2
的周长为（ ）
A ．10 B ．20 C ．241 D ． 441
12. 若x ∈(e -1
，，
1) a =ln x ，b =2ln x ，c =ln 3
x ，则（ ） A ．a D ． b
南涧民族中学试卷 第2页，共8页
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。 13. 若角α的终边经过点P (-1, 3) ，则tan α的值等于 14. 在(
x -
16
的展开式中，常数项是
x )
y =sin x ++2
15.
曲线在x =0处的切线方程为___________.
16．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45
岁的职工人数为
三、解答题 (本大题共6小题．共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤) ． 17．（本小题满分12分）等比数列{a n }中，已知a 1=2, a 4=16 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若a 3, a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n 。
18. （本小题满分12分）某中学经市人民政府批准建分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，工程分三期完成。经过初步招投标淘汰后，确定只由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程。已知甲公司获得第一期、第
3
、1
、1
二期、第三期工程承包权的概率分别为4
24.
（1）求甲、乙两公司各至少获得一期工程的概率； （2）求甲公司获得工程期数ξ的分布列和数学期望E ξ.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。 （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；
。
南涧民族中学试卷 第3页，共8页
20. （本小题满分12分） 设函数f (x ) =a ln x -bx 2(x >0)
（1）若函数f (x ) 在x=1处与直线y =-
1
2相切
①求实数a ，b 的值；②求函数f (x ) 在[1
e
, e ]上的最大值.
（2）当b=0时，若不等式f (x ) ≥m +x 对所有的a ∈[0, 3
2
],x ∈(1, e 2]
都成立，求实数m 的取
值范围.
21. （本小题满分12分）已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为
设过点
l 的方向向量v
e =(1,k ) 。
（1） 求双曲线C 的方程；
（2） 若过原点的直线a //l ，且a 与l
K 的值；
（3）
C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
四、选考题（本小题满分10分） 23. 选修4—4; 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C x 2+y 2
1:=1，以平面直角坐标系x Oy 的原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l :ρ(2cos θ-sin θ) =6. （1）将曲线C
1、2倍后得到曲线C 2 试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；
（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.
南涧民族中学试卷 第4页，共8页
17. 解：（I ）设{a n }的公比为q
由已知得16=2q 3，解得q =2
（Ⅱ）由（I ）得a 2=8，a 5=32，则b 3=8，b 5=32 设{b b 1+2d =8⎧b 1=-16n }的公差为d ，则有⎨
⎧⎩b 1+4d =32
解得⎨
⎩d =12
从而b n =-16+12(n -1) =12n -28 所以数列{b (-16+12n -28)
n }的前n 项和S n =
n 2=6n 2
-22n
19．解：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，
因为E 为PC 中点，所以EF//CD，且EF =
12
CD =1，
在梯形ABCD 中，AB//CD，AB=1，
所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF 为平行四边形， 所以BE//AF，
BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以BE//平面PAD 。 „„„„6分 （2）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，
所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD 。
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 。 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）
DB =(1, 1, 0), BC =(-1, 1, 0).
所以BC ⋅DB =0, BC ⊥DB .
又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，
所以BC ⊥平面PBD 。 „„„„12分
20． 解：（1）①f '(x ) =
a x -2bx
∵函数f (x ) 在x =1处与直线y =-
1⎧
f '(1)=a -2b =0⎧a =12
相切∴⎪
⎨
解得⎪ „„„3分
⎪⎩
f (1)=-b =-1
, ⎨b =12
⎪⎩2 南涧民族中学试卷 第5页，共8页
②f (x ) =ln x -
12
2
x , f '(x ) =
11-x 2
x
-x =
x
当1e
≤x ≤e 时，令f '(x ) >0得1e
≤x
令f '(x )
⎢, 1⎣
e
⎥上单调递增，在[1，e]上单调递减，
⎦
∴f (x ) m ax =f (1)=-
12
。。。。。。。。7分
（2）当b=0时，f (x ) =a ln x 若不等式f (x ) ≥m +x 对所有的a ∈⎡
3⎤
⎢0, ⎥, x ∈(1, e 2⎤都⎣2⎦
⎦成立，则a ln x ≥m +x 对所有的a ∈⎡3⎤
⎢0, 2⎥, x ∈⎦
(1, e 2⎤都成立， ⎣
⎦
即m ≤a ln x -x , 对所有的a ∈[0, 3
2
],x ∈(1, e 2]都成立，。。。．．．．．．．．．8分
令h (a ) =a ln x -x , 则h (a ) 为一次函数，m ≤h (a ) min 。 x ∈(1, e 2⎤⎦, ∴ln x >0,
∴h (a ) 在a ∈[0,32
]上单调递增，∴h (a ) min =h (0)=-x
，
∴m ≤-x
对所有的x ∈(1, e 2⎤⎦
都成立。。。。。。．．．．．．．．．11分[来源:学科网] 1
≤-x
m in =-e
。。. 。。。。。。12分
（注：也可令h (x ) =a ln x -x , 则m ≤h (x ) 所有的x ∈(1, e 2⎤⎦
都成立，分类讨论得m ≤h (x ) m in =2a -e
2
对所有的a ∈[0,3
2
]都成立，∴m ≤(2a -e 2) m in =-e 2，请根据过
程酌情给分）
21. 【解】（1）设双曲线C 的方程为x 2-2y 2=λ(λ>0) ∴λ+
λ
2
=3，解额λ=2
双曲线C 的方程为
x
2
2
2
-y =1
（2
）直线l :kx -y +=0，直线a :kx -y =0
||k =±
=2
（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线b :kx -y =0
南涧民族中学试卷 第6页，共8页
则直线l 与b
的距离d =
当k >
d >
2
时，又双曲线C 的渐近线为
x =0
∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，
∴
双曲线C 右支上的任意点到直线l
。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
【证法二】假设双曲线C 右支上存在点Q (x 0, y 0) 到直线l
，⎧则(1)=
⎩x 22y 2
0-0=2
(2)
由（1
）得y 0=kx 0+±
设t =±
当k >
2
t =+>0；
=+=2
t >0
将y 0=kx 0+t 代入（2）得(1-2k 2) x 20-4ktx 0-2(t 2+1) =
k >
2
t >0，
∴1-2k 2
+1)
∴ 方程(*)不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
南涧民族中学试卷 第7页，共8页
南涧民族中学试卷第8页，共8页