二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1
11x>0）
、x
x
y
． x≥0，y•≥0）
知识点二：取值范围 ；第二，被开方数是正数或0．
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 有意义，是二次根式，所以要使二次根式
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x
在实数范围内有意义？
例3．当x
知识点三：二次根式（（1在实数范围内有意义？ x1）的非负性
（
）是一个非负数，即）表示a的算术平方根，也就是说，0（）。 注：因为二次根式数（
（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0
；若）的算术平方根是非负数，即偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0。
例4(1)已知
y=
，求x的值．(2)
，求a2004+b2004的值 y
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，
则，如：，.
例1 计算
1．
222 2．（
2 3．
4．
）例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（1
（2
（3
（4
例2 填空：当a≥0
；当a
，•并根据这一性质回答下列问题．
（1
，则a可以是什么数？（2
，则a是什么数？ （3
，则a是什么数？
例3当x>2
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
中，而表示一个正数a的算术平方根的平方，而中a可以是正实数，0，负实数。但与表示一个实数a都是非负数，
的平方的算术平方根；在即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即知识点七：二次根式的乘除 时，=；时，无意义，而.
1、
a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
2
a≥0，b>0）
a≥0，b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）
例1．计算
（1）
（2
例2 化简
（1
（2
（3
（4
（3
（4
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1
（2
=4
（2
（3
（4
例4．计算：（1
例5．化简：
（1
（2
（3
（4
例6．
，且x为偶数，求（1+x
的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式） 例1．把下列二次根式化为最简二次根式
(1) ; (2)
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)
(2)
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③与与； ②； ④与与；
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13
判断是否是同类二次根式时务必
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1
（2
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1
（2+3
（2
（4+8
例2．计算
（1）
2）
）+
2+y
3例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0
，求（-（x
）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较
二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1
11x>0）
、x
x
y
． x≥0，y•≥0）
知识点二：取值范围 ；第二，被开方数是正数或0．
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 有意义，是二次根式，所以要使二次根式
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x
在实数范围内有意义？
例3．当x
知识点三：二次根式（（1在实数范围内有意义？ x1）的非负性
（
）是一个非负数，即）表示a的算术平方根，也就是说，0（）。 注：因为二次根式数（
（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0
；若）的算术平方根是非负数，即偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0。
例4(1)已知
y=
，求x的值．(2)
，求a2004+b2004的值 y
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，
则，如：，.
例1 计算
1．
222 2．（
2 3．
4．
）例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（1
（2
（3
（4
例2 填空：当a≥0
；当a
，•并根据这一性质回答下列问题．
（1
，则a可以是什么数？（2
，则a是什么数？ （3
，则a是什么数？
例3当x>2
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
中，而表示一个正数a的算术平方根的平方，而中a可以是正实数，0，负实数。但与表示一个实数a都是非负数，
的平方的算术平方根；在即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即知识点七：二次根式的乘除 时，=；时，无意义，而.
1、
a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
2
a≥0，b>0）
a≥0，b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）
例1．计算
（1）
（2
例2 化简
（1
（2
（3
（4
（3
（4
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1
（2
=4
（2
（3
（4
例4．计算：（1
例5．化简：
（1
（2
（3
（4
例6．
，且x为偶数，求（1+x
的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式） 例1．把下列二次根式化为最简二次根式
(1) ; (2)
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)
(2)
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③与与； ②； ④与与；
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13
判断是否是同类二次根式时务必
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1
（2
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1
（2+3
（2
（4+8
例2．计算
（1）
2）
）+
2+y
3例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0
，求（-（x
）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较