切线长定理及三角形的内切圆
一知识回顾
1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
3. 常用辅助线
已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B 。
（1） （2） （3） （4）
图（1）中，有什么结论？（PA ＝PB ）
图（2）中，连结AB ，增加了什么结论？（增加了∠PAB ＝∠PBA ）
图（3）中，再连结OP ，增加了什么结论？（增加了∠OPA ＝∠OPB
，OP ⊥AB ，AC ＝BC ，）。 图（4）中，再连结OA ，OB 。又增加了什么结论？（增加∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠AOB ＋∠APB ＝180°，以及三角形全等）
4. 和三角形的各边都相切的圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。
二 典型例题
例1. 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径。求证：AC ∥OP 。
(一题多解)
例2. 已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，E 为劣弧AB 上一点，过E 点的切线交PA 于C 、交PB 于D 。
（1） 若PA = 6，求△PCD 的周长。
（2） 若∠P = 50°求∠DOC
例3.
已知，如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作弦AB 切小⊙O 于C 点，AD 切小⊙O 于E 点。
求证：AB ＝AD.
例4. 已知：AB 为⊙O 直径，AD ∥BC ，∠B = 90°，DC 切⊙O 于E
求证：（1）CD = AD + BC
例
6已知，如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C ＝90°
（1）若AC ＝12cm ，BC ＝9cm ，求⊙O 的半径r ；
（2）若AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r 。
例7如图, 在⊿ABC 中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P 在AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上, 且⊙O 与AB 、AC 都相切, 则⊙O 的半径是多少?
例8:如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．
（1）证明：AF 平分∠BAC ；
（2）证明：BF ＝FD ；
三课堂练习
四课后练习
1. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别切AC 、AB 、BC 于D 、E 、F ，若AB ＝9，AC ＝7，CD ＝2，则BC ＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为（ ）
A. B. C. 或 D.
3. 若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，则正确结论的序号为______________。（把你认为正确的结论的序号都填上）
4. 已知⊙O ，给出以下四个论断：①直线AB ⊥直线OC ，②AB 是⊙O 的切线，③点C 在⊙O 上，④AB 经过点C 。请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题：________________________。（用序号的形式写出）
切线长定理及三角形的内切圆
一知识回顾
1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
3. 常用辅助线
已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B 。
（1） （2） （3） （4）
图（1）中，有什么结论？（PA ＝PB ）
图（2）中，连结AB ，增加了什么结论？（增加了∠PAB ＝∠PBA ）
图（3）中，再连结OP ，增加了什么结论？（增加了∠OPA ＝∠OPB
，OP ⊥AB ，AC ＝BC ，）。 图（4）中，再连结OA ，OB 。又增加了什么结论？（增加∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠AOB ＋∠APB ＝180°，以及三角形全等）
4. 和三角形的各边都相切的圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。
二 典型例题
例1. 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径。求证：AC ∥OP 。
(一题多解)
例2. 已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，E 为劣弧AB 上一点，过E 点的切线交PA 于C 、交PB 于D 。
（1） 若PA = 6，求△PCD 的周长。
（2） 若∠P = 50°求∠DOC
例3.
已知，如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作弦AB 切小⊙O 于C 点，AD 切小⊙O 于E 点。
求证：AB ＝AD.
例4. 已知：AB 为⊙O 直径，AD ∥BC ，∠B = 90°，DC 切⊙O 于E
求证：（1）CD = AD + BC
例
6已知，如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C ＝90°
（1）若AC ＝12cm ，BC ＝9cm ，求⊙O 的半径r ；
（2）若AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r 。
例7如图, 在⊿ABC 中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P 在AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上, 且⊙O 与AB 、AC 都相切, 则⊙O 的半径是多少?
例8:如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．
（1）证明：AF 平分∠BAC ；
（2）证明：BF ＝FD ；
三课堂练习
四课后练习
1. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别切AC 、AB 、BC 于D 、E 、F ，若AB ＝9，AC ＝7，CD ＝2，则BC ＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为（ ）
A. B. C. 或 D.
3. 若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，则正确结论的序号为______________。（把你认为正确的结论的序号都填上）
4. 已知⊙O ，给出以下四个论断：①直线AB ⊥直线OC ，②AB 是⊙O 的切线，③点C 在⊙O 上，④AB 经过点C 。请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题：________________________。（用序号的形式写出）