数学必修1——函数的周期性
一. 教学内容：
函数的周期性
（一）概念
对于函数时，
，如果存在一个不为零的常数都成立，则把函数
，使得当
取定义域内的每一个值
叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这
个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。
注：
（1）周期函数的周期T 未必是正数未必有正周期
如：
是周期函数，假设
故
无意义，所以
（2）若T 是周期函数的周期，的周期函数，则成立。如
，显然有一个正周期
是函数的一个周期，故，当
不存在正周期。
未必是函数的一个周期，但若
，
是定义在R 上
不是周
时，
，，
是函数的一个周期，而
期。
（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期
如任一有理数是的一个周期，因有理数不存在最小正数，
故所给函数不存在最小正周期。
（4）周期函数的周期不止一个
事实上，如果T 是周期函数
的周期，用数学归纳法易证
（
）也是
的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。 （5）周期函数的定义域至少是一方无界
因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数
是周期函数，定义域是整数集。
（7）两个周期函数的和未必是周期函数
如则令
，假设是以T 为周期的周期函数
，对任
恒成立
代入上式，有
∵
∴
于是
（二）性质 1. 设
矛盾，故非周期函数
是以T 为周期的函数，证明
，
也是
的周期
的所有周期都是T 的整数倍
（1）对任意正整数（2）注：若证： （1）（2）设是若
，则
有最小正周期T ，则
是定义在R 上的周期函数，则（1）中
的任意一个周期，且
，则存在
，使
（
）
，即也是
的最小性矛盾，故
正周期，而与T
2. （1）若函数
是数集A 上的周期函数，则是数集上的周期
（2）若证： （1）设T 为
有最小正周期T ，则T 也是函数的最小正周期
周期，则任，，且有
从而，即T 是的周期。
（2）由（1）知T 也是的正周期，假设T 不是的最小正周期，则存在
是即
也是
的周期，即
的周期，且为正数，这与T 是
的最小正周期矛盾，所以T 也是
的最小正周期
3. 函数以T 为最小正周期函数以为最小正周期
证（充分性）设是的最小正周期，令，则
∴
∴ 假设T 不是
的最小正周期，若存在
是
的周期，
则
即是函数的周期与已知是最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充
分性证明，略。 4. （1）设
，则复合函数
是定义在数集A 上的函数，
为B 上的周期函数。
是数集B 上的周期函数，且
证明：设T 是（）的周期，则对任意，且
，有
，从而
即推论：若
为B 上周期函数 是周期函数，则仍为周期函数
（2）若T 是如期
，而（3）若
，
，（）
的最小正周期，则复合函数
复合函数
最小正周期
，
的最小正周期
为周期函数，且最小正周
是数集A
上具一一映射的函数，
的最小正周期。 的周期，假设T 不是的周期，即对任
是数集B 上具有最小正周
期T 的函数，则T 也是复合函数
证：由（1）T 也是复合函数则存在
为
而T 是
在A 上具有一一映射，则的最小正周期矛盾得证。
的最小正周期，，
有
，即是函数的周期，这与
（4）设（
证：
与
是数集A 上分别以T 1和T 2为正周期的函数，且
（或
）为周期的周期函数
），则它们的和、差、积是A 上以
但是，如果不一定是都是
与分别是，
与的最小正周期，那么
与
与的最小公倍数的最小正周期
的最小正周期，如
，并不是
，显然，最小公倍数是的最小正周期
又如的最小正周期是，显然不是
（
为函数
的最小正周期
），则
（5）对于定义在R 上的函数是以
，
若总有
为一个周期的周期函数，反之，若
推论：对于定义在R 上的函数
，且
的一个周期，则必有
，若有
总成立，则
证：（则有
是以）对
（
为一个周期的周期函数
，令
数代换，令
代
代入
，那么
即得证）
，
【模拟试题】
1. 已知
为非零常数
（1）设，求证是周期函数
（2）设 2. 已知
，求证
是定义在R 上的函数，且
是周期函数
，求
的值。
3. 已知函数求证
定义域为R ，且对于
的任意一个值都有
，
是周期函数。
，
且为偶函数，且
，
，求，（2）
的值。
4. 对任意整数 5. 函数
在R 上有意义，满足（1）
的值。
满足
为奇函数，试求
6. 已知定义在R 上的奇函数，且，则方程
在区间（0，10）内实根的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7 7. 定义在R 上的偶函数则当
A.
时， B.
恒有（ ） C.
D.
成立，且当
时
，
8. 设，是定义在实数集R 上的函数，对一切实数，求证：
是周期函数。 ，有等式
，且
，有
9. 设对于函数存在正常数
，使
，，其中，
是以T 为周期的函数。
，有
均为正常数，求证：
10. 定义在实数集R 上的函数，对任意
且，且若存在常数，使，试问是否周期函数，
如果是找出它的一个周期，如果不是请说明理由。 11. 设
与
是定义在实数集R 上的函数，且满足条件
都有
，使
，试问
是否周期函数
上为奇函数（偶函（*）
（1）对任何（2）（3）存在实数 12. 已知数）试讨论
是定义在R 上的以2T 为周期的周期函数，且在在R 上的奇偶性。
【试题答案】
1. 解：
（1）∵
∴
是以
为周期的周期函数
（2）∵
∴
是以
为周期的周期函数
注：（1）若
2T 是其一个周期；（2）若
（或
，则
），则是周期函数，且
是周期函数，且2T 是其一个周期
2. 解：显然，，
∴
∴ 的周期为8 ∴
而
∴ 3. 证明：∵ ∴ ∴ 由①和②得事实上此项为注：若证：∵ 用4. 解：由即6是
代
，
① 以
，故
则
，则
代换
有
②
是以6为一个周期的周期函数 为以2T 为周期的推论 是周期函数，且
是其一个周期
得
（如题3）
的周期
为偶函数 ∴
为奇函数 ，即
∴
∴ 即
，又
，
为R 上的奇函数，则
5. 解：∵ 又 ∵ ∴ ∴
即周期为4 ∴ 6. 解：由则
是一个周期为4的周期函数，，且
因此方程7. 解：由
在内有根1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个根，故选C 。
即
以2为周期
当当则
时，时，
，
，合并得
，
，当
，故选C
。
时，
，
8. 证明：
∵ 令
∴ 即
∴ ，故以为周期的周期函数
9. 分析：记，只要确定常数使为以T 为周期的函数
由
得 即
证：设且即
，则
是以T 为周期的函数，令即将得证
10. 解：分别用，代换，有
由已知 ∴
得
∴
，在此式中令
得
11. 证：在（
*）中，令由
知
又由（*）可知
∴ ∴ ∴
在（*）中令得12. 证明：因则必存在
则即
在R 上为奇函数
在
为偶函数，则
定义域为R ，易知对任意，使
，若
，在
是
即 ∴ 即
是偶函数
又
的周期，任取上为奇函数，
，
同理可证：若补充中心对称则函数证：设
（由
在R 上也是偶函数 ，若总有
：定义在R 上的函数关于点（为
）
）成中心对称
上任意一点，它关于点（）的对称点为
，又由，则
则，故，故在上，反之同理可
证。
函数对称性与周
期性关系
【典型例题】
1. 定义在R 上的函数关于直线则必有
，若总有
成立，则函数
的图象关于直线
的图象是成轴对称图形，
成轴对称图形。反之，若函数
推论，对于定义在R 上的函数，若有，则图象关于直线
成轴对称图形，反之亦真。 证明：若对象上，点
，总有关于
的对称点，则点
任意性知
的图象关于直线
，设点
，由在函数
对称，反之证明略。
的图象上，由
的
，在
的图
推论，由[例1] 已知比较
解：由，则当当
在时，时，与
，满足
的大小。
知递减，在 ∴
∴
关于
对称，故
且
显然 ，当
时，
，又由知
上递增。
即
，即
[例2] 函数
时，
解：依条件
，
的图象关于直线的解析式为 。
对称，且时，则当
，设
，则
故
[例
3] 若
A.
B.
的图象关于直线
C. D.
对称，则
。
解：由
得
即
∴ [例4] 设
对任意
，满足
且方程
恰有6个不同的
实根，则此六个实根之和为 。
A. 18 B. 12 C. 9 D. 0
解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，，所以
且两两对应以（3，0）点为对称中心，故
，选A 。
[例5] 设
满足（1）
，（2）当
时，
是增函数，定义域
，
则下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：由条件知
图象关于直线
成轴对称
，
又∴
2. 对称性与周期性的关系 （1）若函数
及
时
递增
，故选C
在R 上的图象关于两条直线与对称，则
为R 上的周期函数。 （2）若函数为R 上的周期函数。
证：（1）因
，故
（2）由
图象关于
对称，有
①
图象关于
及
对称，则
，得证
在R 上的图象关于直线
与点
对称，则
又由∴ 以由①和② 以又由③式
代
图象关于点
，有
对称，有
，即
，
② ③
代有
得证
特别地，图象关于直线推论，定义在R 上的函数（1）当（2）当证：（1）（2）
[例1] 已知定义在实数集R 上的函数（3）当
时，
为偶函数时，为奇函数时，
满足
对称的偶函数必是周期函数
为一个周期的周期函数。 为一个周期的周期函数。
是以是以
满足：（1），求
，对任，
时，
（2）；
的解析式。
；
解：由（1）（2）知则
[例2] 已知定义在实数集R 上的函数
；（3）当
解：设
，
满足：（1）时解析式
，求
；（2）
上的解析式。
当当又
时，时，为偶函数，知
，则，则
从而另法：当当
[例3] 函数
时，
时，
，，
定义在R 上，且对一切
，设
，问方程
满足
在区间
，
中至少有几个
实根。
解：依条件因此在区间
∵
由周期性可知
也为
的根
为函数
上至少有二个根
的周期，
，
均为
的根，
所以方程
[例4] 若偶函数上是减函数，求证
证：依条件知
且
令（1）若
，则
，
在区间中至少有
满足（1）图象关于直线以
为最小正周期。
的周期，假设函数
，则
与
对称，（2）在区间
为函数还存在比更小的周期2，
在上是减函数矛盾
（2）若
上是减函数矛盾，所以
[例5] 已知（
，即是
时，
的最小正周期。
与在
是定义在实数集R 上的偶函数，
试求
是R 上的奇函数，又知（1）的值。 ，即
关于点
对称
是常数）；（2）分析：条件（2）即又由
是偶函数，故
是以为周期的周期函数
，令，即
，则
为以4为周期的周期函数，又由
解：由条件（2）知
，故
，所以
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共50分）
1. 函数
，则实数
A. C. 2. 函数A. 3. 已知A.
B.
，且 B.
的定义域为A ，函数
的取值范围是（ ） B. D.
在区间
C.
D.
，则 C.
为减函数，设
上递减，则实数
满足（ ）
D.
的定义域为B ，若
的取值范围是（ ）
4. 定义在R 上的奇函数（1）（2）
，给出下列不等式：
（3）（4）
其中正确的不等式序号是（ ）
A. （1）（2）（4） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （1）（3） 5. 偶函数为（ ）
A. C.
6. 已知定义域为R 的函数
B.
D. 不能确定
满足
有
，且
，
在
上单调递减，则
与
的大小关系
若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 已知定义在R 上的偶函数
的解集为（ ）
在区间上为增函数，且，则不等式
A. B. C. D.
，当
时，
8. 已知函数
，则
是R 上的偶函数，且满足
（ ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 9. 函数确的是（ ）
是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正
A. B.
C. D.
10. 设、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当
，且
，则不等式
时，
的解集是（ ）
A. C.
B. D.
二. 填空题（每小题4分，共24分）
11. 定义在R 上的函数满足，则
。
12. 已知函数，则 。
13. 设 14. 已知
，，且，那么函数的最大值是
为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，
它们的图象如下图，则不等式的解集为 。
15. 已知二次函数个实数，使16. 设函数（1）
时，
，则实数
，若在区间
的取值范围是 。 ，给出下列命题： 为奇函数
内至少存在一
（2）（3）（4）方程
，时，方程的图象关于点
只有一个实数根 对称
至多两个实数根
上述四个命题中所有正确的命题序号为 。
三. 解答题（共76分）
17. 已知集合，集合
，
其中，设全集，，求实数的取值范围。
18. 求函数19. 已知两个函数（1）若（2）若
都有
都有
的值域。（满分12分）
，成立，求
的取值范围；
的取值范围。（满分12分）
成立，求
20. 已知奇函数（1）确定
的值，并证明
在R 上为增函数；
（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）
21. 已知函数（1）对于函数范围；
（2）当14分）
满足
，当
时，
，其中，且。
的取值
，求实数
时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分
【试题答案】
一.
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D
二.
11. 7 12. 三.
13. 0 14. 15. 16. ①②③
17. 解：A ： ∴
B ：
设，则 ∴ ，
若，则，
∴ ∵ ∴ ∴
若，则在上
∴
∴ ∵
∴ ∴ 综上所述：
18. 解：设
，则
且
定义域：R
∴ （
）
∵ 函数在上
∴ 当时，
∴ 函数的值域为
19. 解：∵ ∴
令得，
3
+ 0 － 0 +
↑ 极大值
在
↓ 极小值
上↓，在
成立
↑ 111 上↑
（1）∵
都有
∴ （2）∵ ∴
都有，即
成立
∴
20. 解：（1）∵ 为R 上的奇函数 ∴
∴ ∴
设
∵
在R 上↑且
，
在
上↑
∴ （2）∵ ∴ 当
在R 上↑ 在R 上↑，且当时，
的值域为（
时有）
，
∵ 方程在上有解 ∴
∴ 即
21. 解：（1）（且）
设，则 ∴
∴
当时，∵ ， ∴ 在其定义域上↑
当∴
且
时，∵
都有
，
∴
在其定义域上↑
为其定义域上的增函数
又∵ （1）∵ 当∴
时，
∴
为奇函数
∴ （2）当∵ ∴
时 在
上↑且值域为
数学必修1——函数的周期性
一. 教学内容：
函数的周期性
（一）概念
对于函数时，
，如果存在一个不为零的常数都成立，则把函数
，使得当
取定义域内的每一个值
叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这
个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。
注：
（1）周期函数的周期T 未必是正数未必有正周期
如：
是周期函数，假设
故
无意义，所以
（2）若T 是周期函数的周期，的周期函数，则成立。如
，显然有一个正周期
是函数的一个周期，故，当
不存在正周期。
未必是函数的一个周期，但若
，
是定义在R 上
不是周
时，
，，
是函数的一个周期，而
期。
（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期
如任一有理数是的一个周期，因有理数不存在最小正数，
故所给函数不存在最小正周期。
（4）周期函数的周期不止一个
事实上，如果T 是周期函数
的周期，用数学归纳法易证
（
）也是
的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。 （5）周期函数的定义域至少是一方无界
因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数
是周期函数，定义域是整数集。
（7）两个周期函数的和未必是周期函数
如则令
，假设是以T 为周期的周期函数
，对任
恒成立
代入上式，有
∵
∴
于是
（二）性质 1. 设
矛盾，故非周期函数
是以T 为周期的函数，证明
，
也是
的周期
的所有周期都是T 的整数倍
（1）对任意正整数（2）注：若证： （1）（2）设是若
，则
有最小正周期T ，则
是定义在R 上的周期函数，则（1）中
的任意一个周期，且
，则存在
，使
（
）
，即也是
的最小性矛盾，故
正周期，而与T
2. （1）若函数
是数集A 上的周期函数，则是数集上的周期
（2）若证： （1）设T 为
有最小正周期T ，则T 也是函数的最小正周期
周期，则任，，且有
从而，即T 是的周期。
（2）由（1）知T 也是的正周期，假设T 不是的最小正周期，则存在
是即
也是
的周期，即
的周期，且为正数，这与T 是
的最小正周期矛盾，所以T 也是
的最小正周期
3. 函数以T 为最小正周期函数以为最小正周期
证（充分性）设是的最小正周期，令，则
∴
∴ 假设T 不是
的最小正周期，若存在
是
的周期，
则
即是函数的周期与已知是最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充
分性证明，略。 4. （1）设
，则复合函数
是定义在数集A 上的函数，
为B 上的周期函数。
是数集B 上的周期函数，且
证明：设T 是（）的周期，则对任意，且
，有
，从而
即推论：若
为B 上周期函数 是周期函数，则仍为周期函数
（2）若T 是如期
，而（3）若
，
，（）
的最小正周期，则复合函数
复合函数
最小正周期
，
的最小正周期
为周期函数，且最小正周
是数集A
上具一一映射的函数，
的最小正周期。 的周期，假设T 不是的周期，即对任
是数集B 上具有最小正周
期T 的函数，则T 也是复合函数
证：由（1）T 也是复合函数则存在
为
而T 是
在A 上具有一一映射，则的最小正周期矛盾得证。
的最小正周期，，
有
，即是函数的周期，这与
（4）设（
证：
与
是数集A 上分别以T 1和T 2为正周期的函数，且
（或
）为周期的周期函数
），则它们的和、差、积是A 上以
但是，如果不一定是都是
与分别是，
与的最小正周期，那么
与
与的最小公倍数的最小正周期
的最小正周期，如
，并不是
，显然，最小公倍数是的最小正周期
又如的最小正周期是，显然不是
（
为函数
的最小正周期
），则
（5）对于定义在R 上的函数是以
，
若总有
为一个周期的周期函数，反之，若
推论：对于定义在R 上的函数
，且
的一个周期，则必有
，若有
总成立，则
证：（则有
是以）对
（
为一个周期的周期函数
，令
数代换，令
代
代入
，那么
即得证）
，
【模拟试题】
1. 已知
为非零常数
（1）设，求证是周期函数
（2）设 2. 已知
，求证
是定义在R 上的函数，且
是周期函数
，求
的值。
3. 已知函数求证
定义域为R ，且对于
的任意一个值都有
，
是周期函数。
，
且为偶函数，且
，
，求，（2）
的值。
4. 对任意整数 5. 函数
在R 上有意义，满足（1）
的值。
满足
为奇函数，试求
6. 已知定义在R 上的奇函数，且，则方程
在区间（0，10）内实根的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7 7. 定义在R 上的偶函数则当
A.
时， B.
恒有（ ） C.
D.
成立，且当
时
，
8. 设，是定义在实数集R 上的函数，对一切实数，求证：
是周期函数。 ，有等式
，且
，有
9. 设对于函数存在正常数
，使
，，其中，
是以T 为周期的函数。
，有
均为正常数，求证：
10. 定义在实数集R 上的函数，对任意
且，且若存在常数，使，试问是否周期函数，
如果是找出它的一个周期，如果不是请说明理由。 11. 设
与
是定义在实数集R 上的函数，且满足条件
都有
，使
，试问
是否周期函数
上为奇函数（偶函（*）
（1）对任何（2）（3）存在实数 12. 已知数）试讨论
是定义在R 上的以2T 为周期的周期函数，且在在R 上的奇偶性。
【试题答案】
1. 解：
（1）∵
∴
是以
为周期的周期函数
（2）∵
∴
是以
为周期的周期函数
注：（1）若
2T 是其一个周期；（2）若
（或
，则
），则是周期函数，且
是周期函数，且2T 是其一个周期
2. 解：显然，，
∴
∴ 的周期为8 ∴
而
∴ 3. 证明：∵ ∴ ∴ 由①和②得事实上此项为注：若证：∵ 用4. 解：由即6是
代
，
① 以
，故
则
，则
代换
有
②
是以6为一个周期的周期函数 为以2T 为周期的推论 是周期函数，且
是其一个周期
得
（如题3）
的周期
为偶函数 ∴
为奇函数 ，即
∴
∴ 即
，又
，
为R 上的奇函数，则
5. 解：∵ 又 ∵ ∴ ∴
即周期为4 ∴ 6. 解：由则
是一个周期为4的周期函数，，且
因此方程7. 解：由
在内有根1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个根，故选C 。
即
以2为周期
当当则
时，时，
，
，合并得
，
，当
，故选C
。
时，
，
8. 证明：
∵ 令
∴ 即
∴ ，故以为周期的周期函数
9. 分析：记，只要确定常数使为以T 为周期的函数
由
得 即
证：设且即
，则
是以T 为周期的函数，令即将得证
10. 解：分别用，代换，有
由已知 ∴
得
∴
，在此式中令
得
11. 证：在（
*）中，令由
知
又由（*）可知
∴ ∴ ∴
在（*）中令得12. 证明：因则必存在
则即
在R 上为奇函数
在
为偶函数，则
定义域为R ，易知对任意，使
，若
，在
是
即 ∴ 即
是偶函数
又
的周期，任取上为奇函数，
，
同理可证：若补充中心对称则函数证：设
（由
在R 上也是偶函数 ，若总有
：定义在R 上的函数关于点（为
）
）成中心对称
上任意一点，它关于点（）的对称点为
，又由，则
则，故，故在上，反之同理可
证。
函数对称性与周
期性关系
【典型例题】
1. 定义在R 上的函数关于直线则必有
，若总有
成立，则函数
的图象关于直线
的图象是成轴对称图形，
成轴对称图形。反之，若函数
推论，对于定义在R 上的函数，若有，则图象关于直线
成轴对称图形，反之亦真。 证明：若对象上，点
，总有关于
的对称点，则点
任意性知
的图象关于直线
，设点
，由在函数
对称，反之证明略。
的图象上，由
的
，在
的图
推论，由[例1] 已知比较
解：由，则当当
在时，时，与
，满足
的大小。
知递减，在 ∴
∴
关于
对称，故
且
显然 ，当
时，
，又由知
上递增。
即
，即
[例2] 函数
时，
解：依条件
，
的图象关于直线的解析式为 。
对称，且时，则当
，设
，则
故
[例
3] 若
A.
B.
的图象关于直线
C. D.
对称，则
。
解：由
得
即
∴ [例4] 设
对任意
，满足
且方程
恰有6个不同的
实根，则此六个实根之和为 。
A. 18 B. 12 C. 9 D. 0
解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，，所以
且两两对应以（3，0）点为对称中心，故
，选A 。
[例5] 设
满足（1）
，（2）当
时，
是增函数，定义域
，
则下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：由条件知
图象关于直线
成轴对称
，
又∴
2. 对称性与周期性的关系 （1）若函数
及
时
递增
，故选C
在R 上的图象关于两条直线与对称，则
为R 上的周期函数。 （2）若函数为R 上的周期函数。
证：（1）因
，故
（2）由
图象关于
对称，有
①
图象关于
及
对称，则
，得证
在R 上的图象关于直线
与点
对称，则
又由∴ 以由①和② 以又由③式
代
图象关于点
，有
对称，有
，即
，
② ③
代有
得证
特别地，图象关于直线推论，定义在R 上的函数（1）当（2）当证：（1）（2）
[例1] 已知定义在实数集R 上的函数（3）当
时，
为偶函数时，为奇函数时，
满足
对称的偶函数必是周期函数
为一个周期的周期函数。 为一个周期的周期函数。
是以是以
满足：（1），求
，对任，
时，
（2）；
的解析式。
；
解：由（1）（2）知则
[例2] 已知定义在实数集R 上的函数
；（3）当
解：设
，
满足：（1）时解析式
，求
；（2）
上的解析式。
当当又
时，时，为偶函数，知
，则，则
从而另法：当当
[例3] 函数
时，
时，
，，
定义在R 上，且对一切
，设
，问方程
满足
在区间
，
中至少有几个
实根。
解：依条件因此在区间
∵
由周期性可知
也为
的根
为函数
上至少有二个根
的周期，
，
均为
的根，
所以方程
[例4] 若偶函数上是减函数，求证
证：依条件知
且
令（1）若
，则
，
在区间中至少有
满足（1）图象关于直线以
为最小正周期。
的周期，假设函数
，则
与
对称，（2）在区间
为函数还存在比更小的周期2，
在上是减函数矛盾
（2）若
上是减函数矛盾，所以
[例5] 已知（
，即是
时，
的最小正周期。
与在
是定义在实数集R 上的偶函数，
试求
是R 上的奇函数，又知（1）的值。 ，即
关于点
对称
是常数）；（2）分析：条件（2）即又由
是偶函数，故
是以为周期的周期函数
，令，即
，则
为以4为周期的周期函数，又由
解：由条件（2）知
，故
，所以
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共50分）
1. 函数
，则实数
A. C. 2. 函数A. 3. 已知A.
B.
，且 B.
的定义域为A ，函数
的取值范围是（ ） B. D.
在区间
C.
D.
，则 C.
为减函数，设
上递减，则实数
满足（ ）
D.
的定义域为B ，若
的取值范围是（ ）
4. 定义在R 上的奇函数（1）（2）
，给出下列不等式：
（3）（4）
其中正确的不等式序号是（ ）
A. （1）（2）（4） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （1）（3） 5. 偶函数为（ ）
A. C.
6. 已知定义域为R 的函数
B.
D. 不能确定
满足
有
，且
，
在
上单调递减，则
与
的大小关系
若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 已知定义在R 上的偶函数
的解集为（ ）
在区间上为增函数，且，则不等式
A. B. C. D.
，当
时，
8. 已知函数
，则
是R 上的偶函数，且满足
（ ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 9. 函数确的是（ ）
是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正
A. B.
C. D.
10. 设、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当
，且
，则不等式
时，
的解集是（ ）
A. C.
B. D.
二. 填空题（每小题4分，共24分）
11. 定义在R 上的函数满足，则
。
12. 已知函数，则 。
13. 设 14. 已知
，，且，那么函数的最大值是
为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，
它们的图象如下图，则不等式的解集为 。
15. 已知二次函数个实数，使16. 设函数（1）
时，
，则实数
，若在区间
的取值范围是 。 ，给出下列命题： 为奇函数
内至少存在一
（2）（3）（4）方程
，时，方程的图象关于点
只有一个实数根 对称
至多两个实数根
上述四个命题中所有正确的命题序号为 。
三. 解答题（共76分）
17. 已知集合，集合
，
其中，设全集，，求实数的取值范围。
18. 求函数19. 已知两个函数（1）若（2）若
都有
都有
的值域。（满分12分）
，成立，求
的取值范围；
的取值范围。（满分12分）
成立，求
20. 已知奇函数（1）确定
的值，并证明
在R 上为增函数；
（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）
21. 已知函数（1）对于函数范围；
（2）当14分）
满足
，当
时，
，其中，且。
的取值
，求实数
时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分
【试题答案】
一.
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D
二.
11. 7 12. 三.
13. 0 14. 15. 16. ①②③
17. 解：A ： ∴
B ：
设，则 ∴ ，
若，则，
∴ ∵ ∴ ∴
若，则在上
∴
∴ ∵
∴ ∴ 综上所述：
18. 解：设
，则
且
定义域：R
∴ （
）
∵ 函数在上
∴ 当时，
∴ 函数的值域为
19. 解：∵ ∴
令得，
3
+ 0 － 0 +
↑ 极大值
在
↓ 极小值
上↓，在
成立
↑ 111 上↑
（1）∵
都有
∴ （2）∵ ∴
都有，即
成立
∴
20. 解：（1）∵ 为R 上的奇函数 ∴
∴ ∴
设
∵
在R 上↑且
，
在
上↑
∴ （2）∵ ∴ 当
在R 上↑ 在R 上↑，且当时，
的值域为（
时有）
，
∵ 方程在上有解 ∴
∴ 即
21. 解：（1）（且）
设，则 ∴
∴
当时，∵ ， ∴ 在其定义域上↑
当∴
且
时，∵
都有
，
∴
在其定义域上↑
为其定义域上的增函数
又∵ （1）∵ 当∴
时，
∴
为奇函数
∴ （2）当∵ ∴
时 在
上↑且值域为