高二数学最值与导数练习题
一．知识点
1. 求函数f (x ) 在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f ′(x ) ；
(2)求方程f ′(x ) ＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；
(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0) 的值与f (a ) ，f (b ) 比较，确定f (x ) 的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值
2. 求解含参数函数的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f ′(x ) ；
(2)求方程f ′(x ) ＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f ′(x ) ＝0的根是否在区间
[a ，b ]内；
(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．
3. “最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
二．题型练习
1. (1)函数y ＝x －sin x ，则当x ∈[0，π]时，函数的最大值为__________．
(2)求函数f (x ) ＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]的最值．
2. 迁移与应用
1－x 1⎤已知函数f (x ) ＝ln x ，求f (x ) 在⎡⎣22⎦上的最大值和最小值 x
3. 函数f (x ) ＝x 3－12x －2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x ) ＜m ，则实数m 的取值2
范围是__________．
114．设f (x ) ＝－x 3＋x 2＋2ax ． 32
2⎫(1)若f (x ) 在⎛⎝3⎭上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
16(2)当0＜a ＜2时，f (x ) 在[1,4]上的最小值为－f (x ) 在该区间上的最大 3
5．已知函数f (x ) ＝(x －k )e x ．
(1)求f (x ) 的单调区间；
(2)求f (x ) 在区间[0,1]上的最小值．
6. 迁移与应用
已知f (x ) ＝x ln x ，求函数f (x ) 在[t ，t ＋2](t ＞0) 上的最小值
三．练习题
1．函数f (x ) ＝e x －x 在区间[－1,1]上的最大值是( )
A ．1＋1
e B ．1
C ．e ＋1 D ．e －1
2. ．若函数y ＝x 3＋3
2x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为9
2，则m 等于(
A ．0 B ．1 C ．2 D ．5
2
3. 函数f (x ) ＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为__________．
4. 函数f (x ) ＝x (1－x 2) 在[0,1]上的最大值为( ) 29 22
9 32
9 3
8)
5. 已知a >0，函数f(x)=x +ax +bx +c 在区间[-2,2]单调递减，则4a +b 的最大值为 .
6. 已知f (x )=ln x -x +a +1
（1）若存在 x ∈(0, +∞)使得f (x ) ≥0成立，求a 的范围
（2）求证：当x ＞1时，在（1）的条件下，32121x +ax -a >x ln x +成立 2
2
高二数学最值与导数练习题
一．知识点
1. 求函数f (x ) 在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f ′(x ) ；
(2)求方程f ′(x ) ＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；
(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0) 的值与f (a ) ，f (b ) 比较，确定f (x ) 的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值
2. 求解含参数函数的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f ′(x ) ；
(2)求方程f ′(x ) ＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f ′(x ) ＝0的根是否在区间
[a ，b ]内；
(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．
3. “最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
二．题型练习
1. (1)函数y ＝x －sin x ，则当x ∈[0，π]时，函数的最大值为__________．
(2)求函数f (x ) ＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]的最值．
2. 迁移与应用
1－x 1⎤已知函数f (x ) ＝ln x ，求f (x ) 在⎡⎣22⎦上的最大值和最小值 x
3. 函数f (x ) ＝x 3－12x －2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x ) ＜m ，则实数m 的取值2
范围是__________．
114．设f (x ) ＝－x 3＋x 2＋2ax ． 32
2⎫(1)若f (x ) 在⎛⎝3⎭上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
16(2)当0＜a ＜2时，f (x ) 在[1,4]上的最小值为－f (x ) 在该区间上的最大 3
5．已知函数f (x ) ＝(x －k )e x ．
(1)求f (x ) 的单调区间；
(2)求f (x ) 在区间[0,1]上的最小值．
6. 迁移与应用
已知f (x ) ＝x ln x ，求函数f (x ) 在[t ，t ＋2](t ＞0) 上的最小值
三．练习题
1．函数f (x ) ＝e x －x 在区间[－1,1]上的最大值是( )
A ．1＋1
e B ．1
C ．e ＋1 D ．e －1
2. ．若函数y ＝x 3＋3
2x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为9
2，则m 等于(
A ．0 B ．1 C ．2 D ．5
2
3. 函数f (x ) ＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为__________．
4. 函数f (x ) ＝x (1－x 2) 在[0,1]上的最大值为( ) 29 22
9 32
9 3
8)
5. 已知a >0，函数f(x)=x +ax +bx +c 在区间[-2,2]单调递减，则4a +b 的最大值为 .
6. 已知f (x )=ln x -x +a +1
（1）若存在 x ∈(0, +∞)使得f (x ) ≥0成立，求a 的范围
（2）求证：当x ＞1时，在（1）的条件下，32121x +ax -a >x ln x +成立 2
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