一、二次函数概念：
b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，
c 可以为零．二次函数的定义域是全体 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
实数．
2. 二次函数y =ax 2+bx +c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ⑵ a ，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y =ax 2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y =ax 2+c 的性质： 上加下减。
3. y =a (x -h )的性质：
左加右减。
2
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4. y =a (x -h )+k 的性质：
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，k )； ⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y =ax +bx +c 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y =ax +bx +c 变成
2
2
y =ax 2+bx +c +m （或y =ax 2+bx +c -m ）
⑵y =ax +bx +c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y =ax +bx +c 变成
2
2
y =a (x +m ) 2+b (x +m ) +c （或y =a (x -m ) 2+b (x -m ) +c ）
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四、二次函数y =a (x -h )+k 与y =ax 2+bx +c 的比较
从解析式上看，y =a (x -h )+k 与y =ax 2+bx +c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b ⎫4ac -b 2b 4ac -b 2⎛
者，即y =a x +⎪+，其中h =-，． k =
2a ⎭4a 2a 4a ⎝
2
2
2
五、二次函数y =ax 2+bx +c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax 2+bx +c 化为顶点式y =a (x -h ) 2+k ，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0，c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与x 轴的交点(x 1，0)，(x 2，0)（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数y =ax 2+bx +c 的性质
⎛b 4ac -b 2⎫b
1. 当a >0时，抛物线开口向上，对称轴为x =-，顶点坐标为 -⎪．
2a 4a 2a ⎝⎭
当x
b b b
时，y 随x 的增大而减小；当x >-时，y 随x 的增大而增大；当x =-时，y 有最小2a 2a 2a
4ac -b 2
值．
4a
⎛b 4ac -b 2⎫b b
2. 当a
2a 4a 2a 2a ⎝⎭
b b 4ac -b 2
． y 随x 的增大而增大；当x >-时，y 随x 的增大而减小；当x =-时，y 有最大值
2a 2a 4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；
2. 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
3. 两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2) （a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x 轴有交点，即b 2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
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八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．
⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a >0的前提下，
当b >0时，-当b =0时，-当b
b
b
=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 2a
b
>0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． 2a
⑵ 在a 0时，-当b =0时，-当b
b
>0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 2a
b
=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 2a
b
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴x =-
b
在y 轴左边则ab >0，在y 轴的右侧则ab
“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c
b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a ，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
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4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
y =a 2x +b x +关于c x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ；
y =a (x -h )+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )-k ； 2. 关于y 轴对称
y =a 2x +b x +关于c y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2-bx +c ；
22
y =a (x -h )+k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a (x +h )+k ； 3. 关于原点对称
y =a 2x +b x +关于原点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2+bx -c ； y =a (x -)h +关于原点对称后，得到的解析式是k y =-a (x +h )-k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
2
22
b 2 y =a x +b x +关于顶点对称后，得到的解析式是c y =-ax -bx +c -；
2a
2
2
y =a (x -h )+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )+k ． 5. 关于点(m ，n )对称
n )对称后，得到的解析式是y =-a (x +h -2m )+2n -k y =a (x -h )+k 关于点(m ，
2
2
22
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
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十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程ax 2+bx +c =0是二次函数y =ax 2+bx +c 当函数值y =0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当∆=b 2-4ac >0时，图象与x 轴交于两点A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1≠x 2) ，其中的x 1，x 2是一元二次
方程ax +bx +c =0(a ≠
0)的两根．这两点间的距离AB =x 2-x 1.
2
② 当∆=0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当∆
1' 当a >0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y >0；
2' 当a
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax 2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a >0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
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二次函数图像参考：
2
2-3
2y=3(x+4)2
y=3x2
2
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y=-2x2
y=-2(x-3)2
十一、函数的应用
⎧刹车距离⎪
二次函数应用⎨何时获得最大利润
⎪最大面积是多少⎩
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2) x +m -m -2的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
2
如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx +bx -1的图像大致是（ ）
2
2
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题，如：
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已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =
5
，求这条抛物线的解析式。
3
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3
已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－
2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图1，则点M (b , ) 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0. 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个
c a
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于点(-2，O) 、(x1
，0) ，且1
点在点(O，2) 的下方．下列结论：①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
会用待定系数法求二次函数解析式
例3. 已知：关于x 的一元二次方程ax +bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
2
2
x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2． （1）写出y 与x 的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=
125
x +x-． 22
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（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、 “已知函数y =
12
x +bx +c 的图象经过点A （c ，－2）， 2
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据y =
12
x +bx +c 的图象经过点A （c ，－2），图象的对称轴是x=3，2
⎧12
⎪2c +bc +c =-2, ⎪得⎨ b
-=3, ⎪1⎪2⋅
2⎩
解得⎨
⎧b =-3,
⎩c =2.
12
x -3x +2. 图象如图所示。 2
所以所求二次函数解析式为y =（2）在解析式中令y=0，得
12
x -3x +2=0，解得x 1=3+5, x 2=3-. 2
所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+, 0) ”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是
(3-5, 0).
令x=3代入解析式，得y =-所以抛物线y =
5, 2
125x -3x +2的顶点坐标为(3, -), 22
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3, -) 等等。
2
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；
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将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则⎨
⎧15k +b =25,
解得k=-1，b=40，•即一次函数表达
2k +b =20⎩
式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w=（x-10）（40-x ）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数y =x -4x -7的顶点坐标是( )
2
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A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y =-2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y =-2(x +1) 2 B. y =-2(x -1) 2 C. y =-2x 2+1 D. y =-2x 2-1 3. 函数y =kx 2-k 和y =
k
(k ≠0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x
4. 已知二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示, 则下列结论: ①a,b 同号; ②当x =1和x =3时, 函数值相等; ③4a +b =0④当y =-2时, x 的值只能取0. 其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图), 由图象可知关于x 的一元二次方程ax +bx +c =0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）
Ａ．－１. ３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D．第四象限 7. 方程2x -x =
2
2
2
2
2
的正根的个数为（ ） x
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C, 且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y =x -x -2 B. y =-x +x +2
C. y =x -x -2或y =-x +x +2 D. y =-x -x -2或y =x +x +2
2
2
2
2
2
2
二、填空题
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9．二次函数y =x 2+bx +3的对称轴是x =2，则b =_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线y =2(x -2) 2-6的顶点为C ，已知直线y =-kx +3过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数y =2x 2-4x -1的图象是由y =2x 2+bx +c 的图象向左平移1个单位, 再向下平移2个单位得到的, 则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
15. 已知二次函数图象的对称轴是x +3=0, 图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,-(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时, 这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式h =v 0t -
2
5
). 2
第15题图
12
gt （0
力加速度g 以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
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17. 如图，抛物线y =x 2+bx -c 经过直线y =x -3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S ∆APC ：S ∆ACD =5 ：4的点P 的坐标。
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
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练习试题答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9．b =-4 10．x ＜-3 11．如y =-2x 2+4, y =2x +4等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c , 由题意可得
⎧b
⎪-2a =-3⎪
⎨a +b +c =-6⎪5⎪c =-
2⎩
解得a =-
1515
, b =-3, c =- 所以y =-x 2-3x - 2222
(2)x =-1或-5 (2)x
16．（1）由已知得，15=20t -
1
⨯10⨯t 2，解得t 1=3, t 2=1当t =3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃2
22
后1秒离地15米．（2）由题意得，h =-5t +20t ＝-5(t -2) +20，可知顶点的横坐标t =2，又抛物
线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线y =x -3与坐标轴的交点A （3，0），B （0，－3）．则⎨
⎧9+3b -c =0⎧b =-2
解得⎨
⎩c =3⎩-c =-3
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所以此抛物线解析式为y =x 2-2x -3．（2）抛物线的顶点D （1，－4），与x 轴的另一个交点C （－
2
1，0）. 设P (a , a 2-2a -3) ，则(⨯4⨯a -2a -3) :(⨯4⨯4) =5:4. 化简得a -2a -3=5
12
2
12
当a -2a -3＞0时，a -2a -3=5得a =4, a =-2 ∴P （4，5）或P （－2，5）
当a -2a -3＜0时，-a +2a +3=5即a +2a +2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1）45+
2
2
2
22
260-240260-x
．（2）y =(x -100)(45+⨯7.5) ，化简得： ⨯7. 5=60（吨）
1010
333
（3）y =-x 2+315x -24000=-(x -210) 2+9075． y =-x 2+315x -24000．
444
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x 为210元，而对于月销售额
W =x (45+
260-x
⨯7. 5) =-3(x -160) 2+19200来说， 104
当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x 为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x 为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．
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一、二次函数概念：
b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，
c 可以为零．二次函数的定义域是全体 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
实数．
2. 二次函数y =ax 2+bx +c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ⑵ a ，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y =ax 2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y =ax 2+c 的性质： 上加下减。
3. y =a (x -h )的性质：
左加右减。
2
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4. y =a (x -h )+k 的性质：
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，k )； ⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y =ax +bx +c 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y =ax +bx +c 变成
2
2
y =ax 2+bx +c +m （或y =ax 2+bx +c -m ）
⑵y =ax +bx +c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y =ax +bx +c 变成
2
2
y =a (x +m ) 2+b (x +m ) +c （或y =a (x -m ) 2+b (x -m ) +c ）
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四、二次函数y =a (x -h )+k 与y =ax 2+bx +c 的比较
从解析式上看，y =a (x -h )+k 与y =ax 2+bx +c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b ⎫4ac -b 2b 4ac -b 2⎛
者，即y =a x +⎪+，其中h =-，． k =
2a ⎭4a 2a 4a ⎝
2
2
2
五、二次函数y =ax 2+bx +c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax 2+bx +c 化为顶点式y =a (x -h ) 2+k ，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0，c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与x 轴的交点(x 1，0)，(x 2，0)（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数y =ax 2+bx +c 的性质
⎛b 4ac -b 2⎫b
1. 当a >0时，抛物线开口向上，对称轴为x =-，顶点坐标为 -⎪．
2a 4a 2a ⎝⎭
当x
b b b
时，y 随x 的增大而减小；当x >-时，y 随x 的增大而增大；当x =-时，y 有最小2a 2a 2a
4ac -b 2
值．
4a
⎛b 4ac -b 2⎫b b
2. 当a
2a 4a 2a 2a ⎝⎭
b b 4ac -b 2
． y 随x 的增大而增大；当x >-时，y 随x 的增大而减小；当x =-时，y 有最大值
2a 2a 4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；
2. 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
3. 两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2) （a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x 轴有交点，即b 2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
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八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．
⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a >0的前提下，
当b >0时，-当b =0时，-当b
b
b
=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 2a
b
>0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． 2a
⑵ 在a 0时，-当b =0时，-当b
b
>0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 2a
b
=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 2a
b
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴x =-
b
在y 轴左边则ab >0，在y 轴的右侧则ab
“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c
b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a ，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
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4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
y =a 2x +b x +关于c x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ；
y =a (x -h )+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )-k ； 2. 关于y 轴对称
y =a 2x +b x +关于c y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2-bx +c ；
22
y =a (x -h )+k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a (x +h )+k ； 3. 关于原点对称
y =a 2x +b x +关于原点对称后，得到的解析式是c y =-ax 2+bx -c ； y =a (x -)h +关于原点对称后，得到的解析式是k y =-a (x +h )-k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
2
22
b 2 y =a x +b x +关于顶点对称后，得到的解析式是c y =-ax -bx +c -；
2a
2
2
y =a (x -h )+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-a (x -h )+k ． 5. 关于点(m ，n )对称
n )对称后，得到的解析式是y =-a (x +h -2m )+2n -k y =a (x -h )+k 关于点(m ，
2
2
22
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
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十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程ax 2+bx +c =0是二次函数y =ax 2+bx +c 当函数值y =0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当∆=b 2-4ac >0时，图象与x 轴交于两点A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1≠x 2) ，其中的x 1，x 2是一元二次
方程ax +bx +c =0(a ≠
0)的两根．这两点间的距离AB =x 2-x 1.
2
② 当∆=0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当∆
1' 当a >0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y >0；
2' 当a
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax 2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a >0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
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二次函数图像参考：
2
2-3
2y=3(x+4)2
y=3x2
2
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y=-2x2
y=-2(x-3)2
十一、函数的应用
⎧刹车距离⎪
二次函数应用⎨何时获得最大利润
⎪最大面积是多少⎩
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2) x +m -m -2的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
2
如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx +bx -1的图像大致是（ ）
2
2
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题，如：
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已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =
5
，求这条抛物线的解析式。
3
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3
已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－
2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图1，则点M (b , ) 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0. 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个
c a
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于点(-2，O) 、(x1
，0) ，且1
点在点(O，2) 的下方．下列结论：①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
会用待定系数法求二次函数解析式
例3. 已知：关于x 的一元二次方程ax +bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
2
2
x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C
例4、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2． （1）写出y 与x 的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=
125
x +x-． 22
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（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、 “已知函数y =
12
x +bx +c 的图象经过点A （c ，－2）， 2
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据y =
12
x +bx +c 的图象经过点A （c ，－2），图象的对称轴是x=3，2
⎧12
⎪2c +bc +c =-2, ⎪得⎨ b
-=3, ⎪1⎪2⋅
2⎩
解得⎨
⎧b =-3,
⎩c =2.
12
x -3x +2. 图象如图所示。 2
所以所求二次函数解析式为y =（2）在解析式中令y=0，得
12
x -3x +2=0，解得x 1=3+5, x 2=3-. 2
所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+, 0) ”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是
(3-5, 0).
令x=3代入解析式，得y =-所以抛物线y =
5, 2
125x -3x +2的顶点坐标为(3, -), 22
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3, -) 等等。
2
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；
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将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则⎨
⎧15k +b =25,
解得k=-1，b=40，•即一次函数表达
2k +b =20⎩
式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w=（x-10）（40-x ）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数y =x -4x -7的顶点坐标是( )
2
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A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y =-2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y =-2(x +1) 2 B. y =-2(x -1) 2 C. y =-2x 2+1 D. y =-2x 2-1 3. 函数y =kx 2-k 和y =
k
(k ≠0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x
4. 已知二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示, 则下列结论: ①a,b 同号; ②当x =1和x =3时, 函数值相等; ③4a +b =0④当y =-2时, x 的值只能取0. 其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图), 由图象可知关于x 的一元二次方程ax +bx +c =0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）
Ａ．－１. ３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D．第四象限 7. 方程2x -x =
2
2
2
2
2
的正根的个数为（ ） x
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C, 且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y =x -x -2 B. y =-x +x +2
C. y =x -x -2或y =-x +x +2 D. y =-x -x -2或y =x +x +2
2
2
2
2
2
2
二、填空题
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9．二次函数y =x 2+bx +3的对称轴是x =2，则b =_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线y =2(x -2) 2-6的顶点为C ，已知直线y =-kx +3过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数y =2x 2-4x -1的图象是由y =2x 2+bx +c 的图象向左平移1个单位, 再向下平移2个单位得到的, 则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
15. 已知二次函数图象的对称轴是x +3=0, 图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,-(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时, 这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式h =v 0t -
2
5
). 2
第15题图
12
gt （0
力加速度g 以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
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17. 如图，抛物线y =x 2+bx -c 经过直线y =x -3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S ∆APC ：S ∆ACD =5 ：4的点P 的坐标。
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
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练习试题答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9．b =-4 10．x ＜-3 11．如y =-2x 2+4, y =2x +4等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c , 由题意可得
⎧b
⎪-2a =-3⎪
⎨a +b +c =-6⎪5⎪c =-
2⎩
解得a =-
1515
, b =-3, c =- 所以y =-x 2-3x - 2222
(2)x =-1或-5 (2)x
16．（1）由已知得，15=20t -
1
⨯10⨯t 2，解得t 1=3, t 2=1当t =3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃2
22
后1秒离地15米．（2）由题意得，h =-5t +20t ＝-5(t -2) +20，可知顶点的横坐标t =2，又抛物
线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线y =x -3与坐标轴的交点A （3，0），B （0，－3）．则⎨
⎧9+3b -c =0⎧b =-2
解得⎨
⎩c =3⎩-c =-3
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所以此抛物线解析式为y =x 2-2x -3．（2）抛物线的顶点D （1，－4），与x 轴的另一个交点C （－
2
1，0）. 设P (a , a 2-2a -3) ，则(⨯4⨯a -2a -3) :(⨯4⨯4) =5:4. 化简得a -2a -3=5
12
2
12
当a -2a -3＞0时，a -2a -3=5得a =4, a =-2 ∴P （4，5）或P （－2，5）
当a -2a -3＜0时，-a +2a +3=5即a +2a +2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1）45+
2
2
2
22
260-240260-x
．（2）y =(x -100)(45+⨯7.5) ，化简得： ⨯7. 5=60（吨）
1010
333
（3）y =-x 2+315x -24000=-(x -210) 2+9075． y =-x 2+315x -24000．
444
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x 为210元，而对于月销售额
W =x (45+
260-x
⨯7. 5) =-3(x -160) 2+19200来说， 104
当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x 为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x 为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．
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