垂径定理
一.选择题
1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5
3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm
4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
6．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．53米
7．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )
A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或
7cm
8．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )
A．2 B．8 C．2或8 D．3
二.填空题
1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm
3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于
4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米
图 46．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.
7．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
8．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD
＝l，则弦AB的长是
9．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径
OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m
10题图形
10．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是
11．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm
12．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
13．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则
OD= cm
14．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
15．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm
A
B
OP
16．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米
17．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米
18．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA是___________米
19．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为
cm
20．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
21．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
22．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值
为
_________
三.解答题
1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长
2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小
．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长
答案：
★★6．如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长
★★7．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10． 求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值
O 答案：（1）3 （2 ★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12． 求⊙O的半径
10
25，弦AB长为48
，C是弧AB的中点．求AC的长．
B
11．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.
12．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
12．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
AC 13．已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是
的中点，OF与AC相交于点E，AC8 cm，EF2cm.
（1）求AO的长；
（2）求sinC的值.
17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。
四.证明题
1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：
OC=OD
2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C． 求证：AD＝DC
A
O· D
BC
3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD
4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．
求证：PA=PC
5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC
6． 已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于 AEECC、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）
O
D
P
垂径定理
一.选择题
1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5
3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm
4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
6．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．53米
7．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )
A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或
7cm
8．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )
A．2 B．8 C．2或8 D．3
二.填空题
1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm
3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于
4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米
图 46．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.
7．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
8．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD
＝l，则弦AB的长是
9．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径
OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m
10题图形
10．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是
11．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm
12．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
13．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则
OD= cm
14．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
15．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm
A
B
OP
16．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米
17．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米
18．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA是___________米
19．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为
cm
20．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
21．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
22．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值
为
_________
三.解答题
1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长
2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小
．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长
答案：
★★6．如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长
★★7．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10． 求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值
O 答案：（1）3 （2 ★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12． 求⊙O的半径
10
25，弦AB长为48
，C是弧AB的中点．求AC的长．
B
11．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.
12．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
12．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
AC 13．已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是
的中点，OF与AC相交于点E，AC8 cm，EF2cm.
（1）求AO的长；
（2）求sinC的值.
17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。
四.证明题
1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：
OC=OD
2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C． 求证：AD＝DC
A
O· D
BC
3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD
4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．
求证：PA=PC
5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC
6． 已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于 AEECC、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）
O
D
P