《纯弯曲时的正应力》教案
南京航空航天大学 刘荣梅
一、 教学目标
1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。
4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。
二、 教学重点和难点
1． 纯弯曲和横力弯曲
（1）纯弯曲 杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲 杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。 2． 中性层和中性轴
（1）中性层 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解释。
（2）中性轴 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。 3． 直梁横截面上弯曲正应力公式
σ=
My I z
横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力
σmax =
M W
其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式：
bh 2
（1） 矩形截面 W =
6（2） 实心圆截面 W =
πd 3
32
（3） 空心圆截面 W =
πD 3
32
(1−α4)
（4） 型钢 查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢) ，y max 有两个，对应W
也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
五、 讲课内容
（一）概述
1．以火车车轮轴上的应力计算及横截面设计的问题作为引例，调动学生学习兴趣，并介绍纯弯曲及横力弯曲的概念，从而引入纯弯曲时的应力分析。
如何简化出火车车轮轴的力学模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
2．以模型演示的方式，引导学生观察实验现象，自己总结出纯弯曲变形特征；并引出基本假设。
纯弯曲变形特征：
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵
向线段伸长，部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个
角度, 仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向
弧线垂直。
纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( P l a n e A s s u m p t i o n )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面; (b) 仍垂直于变形后梁的轴线
（2）纵向纤维间无正应力
（二）推导纯弯曲时横截面上的正应力公式 1.
' 1b 2=(ρ+y )d θ
' '
b 1b 2=d x =O 1O 2=O 1O 2
=ρd
y (ρ+y)d θ−ρd θ
ε==
ρd θρ
2. 由物理关系得到横截面上应力的分布规律。
σ=E ε
y
ρ
σ=E
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离
成正比。即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。
3. 利用静力平衡方程得到横截面上正应力计算公式，并由轴力N =0确定中
性轴的位置。
N =
∫
A
σ
dA =
E
y dA ∫ρ
A
=0
S z =
∫y dA =0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
M =
∫
y σdA =
E
A
ρ
∫
A
y
2
dA
1
ρ
σ=
My
I z
=
M E I z
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
4. 导出σmax 的表达式、抗弯截面模量W 的定义及常用横截面W 的表达式。
M σmax =My max =M =
I z W I z y max
h
I
W =z
y max
抗弯截面系数( Section Modulus)
bh 3bh 2I z W ===
6 h 2h 2
43
I z d ππd W ===
d 2d 232
矩形截面
实心圆截面
空心圆截面
W =
πD 3
32
(1−α4)
d α=
D
h
型钢
可查型钢表或用组合法求
z
（三）例题讲解
在例题的讨论中回答引例提出的问题，达到首尾呼应的目的。
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
分析： 纯弯曲
σ
max =
M W
解： （1）计算W
W =
π
32
D 3=
π
32
×2003×10−9=7. 9×10−4m 3
（2）计算σ max
σmax
M
=W
30×103=38. 2MPa =
7. 9×10−4
[例2] 在相同载荷下，将实心轴改成s max 相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
解：（1）确定空心轴尺寸
由
σmax =
M
W
π
32
D 13(1−0. 64) =7. 9×10−4
D 1=210mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比) ：
（四） 结论与讨论
如何设计车轮轴的横截面?
A 空A 实
π
=D 1(1−α2)
2
4
D
2
2102(1−0. 62) =
2002
=0. 7
由此可见，载荷相同、 σmax 要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。
火车车轮轴
中间段可以采用空心圆截面节省材料。
1．首先回顾本堂课的内容，作小结；
本堂课得到了纯弯曲时横截面上应力计算公式以及最大应力的表达式：
σ=
My I z
σmax =
M W
结论 1） 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面高度上线性分布。
此外还得到变形后梁的轴线方程：
1
M E I z
ρ
=
结论 2） 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与弯矩成正比。
2．提出四个讨论题
讨论1： 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性模量 E 有关系否？
σ=
E
1
=
y
ρ
=
My I z
没有关系。
ρ
M E I z
讨论1目的：给学生灌输正确的力学观念：弯曲正应力与材料弹性模量无关。以后在做科学研究时，可以用便宜的材料代替贵的材料，所得到的弯曲正应力的结果可直接应用。
讨论2：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？ 凡
以
梁二之分
大为d 小宋厚
，。
各
随李
其诫
广《分营
为造
三法
分式
，》意为矩形梁木的高:宽=3:2。试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
讨论2目的：从古代建筑中梁构件出发，博古引今，调动学生积极性，利用刚学习的知识去解决实际问题并考证前人总结的经验。
讨论3：如梁由两种材料粘接而成，横截面如图所示，如何推导横截面上正应力计算公式？
“
•
”
E 1 A 1
E 2
A
讨论3目的：叠梁问题，有一定的难度，启发学生积极思考，鼓励学生以小论文的方式展开讨论。
讨论4：如何计算 AC 段和 BD 段上应力？正应力计算公式σ = 是从纯弯梁推得，
My
I z
能否适用于横力弯曲？
讨论4目的：承上启下，引出如何计算横力弯曲时的正应力，为下堂课的内容埋下伏笔。
《纯弯曲时的正应力》教案
南京航空航天大学 刘荣梅
一、 教学目标
1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。
4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。
二、 教学重点和难点
1． 纯弯曲和横力弯曲
（1）纯弯曲 杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲 杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。 2． 中性层和中性轴
（1）中性层 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解释。
（2）中性轴 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。 3． 直梁横截面上弯曲正应力公式
σ=
My I z
横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力
σmax =
M W
其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式：
bh 2
（1） 矩形截面 W =
6（2） 实心圆截面 W =
πd 3
32
（3） 空心圆截面 W =
πD 3
32
(1−α4)
（4） 型钢 查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢) ，y max 有两个，对应W
也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
五、 讲课内容
（一）概述
1．以火车车轮轴上的应力计算及横截面设计的问题作为引例，调动学生学习兴趣，并介绍纯弯曲及横力弯曲的概念，从而引入纯弯曲时的应力分析。
如何简化出火车车轮轴的力学模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
2．以模型演示的方式，引导学生观察实验现象，自己总结出纯弯曲变形特征；并引出基本假设。
纯弯曲变形特征：
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵
向线段伸长，部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个
角度, 仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向
弧线垂直。
纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( P l a n e A s s u m p t i o n )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面; (b) 仍垂直于变形后梁的轴线
（2）纵向纤维间无正应力
（二）推导纯弯曲时横截面上的正应力公式 1.
' 1b 2=(ρ+y )d θ
' '
b 1b 2=d x =O 1O 2=O 1O 2
=ρd
y (ρ+y)d θ−ρd θ
ε==
ρd θρ
2. 由物理关系得到横截面上应力的分布规律。
σ=E ε
y
ρ
σ=E
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离
成正比。即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。
3. 利用静力平衡方程得到横截面上正应力计算公式，并由轴力N =0确定中
性轴的位置。
N =
∫
A
σ
dA =
E
y dA ∫ρ
A
=0
S z =
∫y dA =0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
M =
∫
y σdA =
E
A
ρ
∫
A
y
2
dA
1
ρ
σ=
My
I z
=
M E I z
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
4. 导出σmax 的表达式、抗弯截面模量W 的定义及常用横截面W 的表达式。
M σmax =My max =M =
I z W I z y max
h
I
W =z
y max
抗弯截面系数( Section Modulus)
bh 3bh 2I z W ===
6 h 2h 2
43
I z d ππd W ===
d 2d 232
矩形截面
实心圆截面
空心圆截面
W =
πD 3
32
(1−α4)
d α=
D
h
型钢
可查型钢表或用组合法求
z
（三）例题讲解
在例题的讨论中回答引例提出的问题，达到首尾呼应的目的。
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
分析： 纯弯曲
σ
max =
M W
解： （1）计算W
W =
π
32
D 3=
π
32
×2003×10−9=7. 9×10−4m 3
（2）计算σ max
σmax
M
=W
30×103=38. 2MPa =
7. 9×10−4
[例2] 在相同载荷下，将实心轴改成s max 相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
解：（1）确定空心轴尺寸
由
σmax =
M
W
π
32
D 13(1−0. 64) =7. 9×10−4
D 1=210mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比) ：
（四） 结论与讨论
如何设计车轮轴的横截面?
A 空A 实
π
=D 1(1−α2)
2
4
D
2
2102(1−0. 62) =
2002
=0. 7
由此可见，载荷相同、 σmax 要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。
火车车轮轴
中间段可以采用空心圆截面节省材料。
1．首先回顾本堂课的内容，作小结；
本堂课得到了纯弯曲时横截面上应力计算公式以及最大应力的表达式：
σ=
My I z
σmax =
M W
结论 1） 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面高度上线性分布。
此外还得到变形后梁的轴线方程：
1
M E I z
ρ
=
结论 2） 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与弯矩成正比。
2．提出四个讨论题
讨论1： 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性模量 E 有关系否？
σ=
E
1
=
y
ρ
=
My I z
没有关系。
ρ
M E I z
讨论1目的：给学生灌输正确的力学观念：弯曲正应力与材料弹性模量无关。以后在做科学研究时，可以用便宜的材料代替贵的材料，所得到的弯曲正应力的结果可直接应用。
讨论2：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？ 凡
以
梁二之分
大为d 小宋厚
，。
各
随李
其诫
广《分营
为造
三法
分式
，》意为矩形梁木的高:宽=3:2。试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
讨论2目的：从古代建筑中梁构件出发，博古引今，调动学生积极性，利用刚学习的知识去解决实际问题并考证前人总结的经验。
讨论3：如梁由两种材料粘接而成，横截面如图所示，如何推导横截面上正应力计算公式？
“
•
”
E 1 A 1
E 2
A
讨论3目的：叠梁问题，有一定的难度，启发学生积极思考，鼓励学生以小论文的方式展开讨论。
讨论4：如何计算 AC 段和 BD 段上应力？正应力计算公式σ = 是从纯弯梁推得，
My
I z
能否适用于横力弯曲？
讨论4目的：承上启下，引出如何计算横力弯曲时的正应力，为下堂课的内容埋下伏笔。