7.有一条灌溉渠道，断面如图所示，通过粘性土壤地区，泥沙组成的平均粒径为0.03mm，渠道长10公里，渠道坡降为1/3000，问引取清水，渠道水深为2m时，会不会发生冲刷？如果发生冲刷，应如何修改渠道？（n=0.02） 解：（1）计算渠道水流的实际平均流速
渠道过水断面面积：A=bh+mh2=1⨯2+1.5⨯22=8 m， 湿周：χ=b+2+m2h=1+2⨯+1.52⨯2=8.21 m， 水力半径：R=
A=
88.21
=0.97 m，
χ
根据谢才公式和曼宁公式计算渠道水流的实际平均流速：
U=C
RJ=
1n
2
12
RJ
3
=
10.02
2
1
⨯0.97
3
⎛1⎫2
⨯ ⎪=0.89 m/s 3000⎝⎭
（2）计算渠道泥沙起动流速
由于泥沙组成的平均粒径为0.03mm，属于粗粉土，所以采用考虑粘性的张瑞瑾公式计算渠道泥沙起动流速了：
⎛h⎫= ⎪⎝d⎭
0.14
1
Uc
ρs-ρ⎛ 17.6d+0.000000605
ρ⎝
0.14
10+h⎫2
⎪0.72⎪d⎭
1
2⎛⎫
= ⎪-3
0.03⨯10⎝⎭=0.59 m/s
⎛-3
⨯ 17.6⨯1.65⨯0.03⨯10+0.000000605⎝
⨯
10+2(0.03⨯10
-3
)
0.72
⎫2⎪⎪⎭
由于U＞Uc，即渠道实际平均流速大于泥沙起动流速，所以渠道会发生冲刷。
（3）为减少冲刷，可采用减缓渠道坡降的途径来修改渠道。 10.河道左岸有一座灌溉引水闸，闸底高出河底2米，当河道流量为1000m3/s，河宽为100m，水深为5m，水温为20℃时，问粒径为1mm的泥沙会不会进入渠道？哪种粒径的泥沙会进入渠道？（河道断面接近矩形） 解：（1）若要使粒径为1mm的泥沙进入渠道，需使河道断面平均流速大于或等于泥沙扬动流速，即U≥Us，其中：
河道断面平均流速： U=
QA=1000100⨯5
=2 m/s
，
1
1
泥沙扬动流速： Us=
15.1⎛h⎫615.1⎛5⎫6
⎪ω= ⎪⨯0.1193 -3z⎝d⎭z⎝1⨯10⎭
（水温20℃时，粒径1mm的泥沙沉速ω=11.93 cm/s）。
1
所以，悬浮指标 z≥
15.1
5⎛⎫6⨯ ⎪⨯0.1193=3.725。 -321⨯10⎝⎭
根据相对含沙量沿水深分布的方程式可得，y=2 m时相对含沙量沿水深的分布（相对水深
h
ah=0.05
）：
3.725
⎡
⎢S
=⎢Sa⎢
⎢⎣⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦
z
⎡5⎤
-1⎢2⎥
≤⎢⎥
1⎢-1⎥⎢0.05⎥⎣⎦
=7.809⨯10
-5
＜＜1⨯10-3
据此可判断出粒径1mm的泥沙不会进入渠道。
（2）假定相对含沙量沿水深的分布会进入渠道，即：
⎡⎢S
=⎢Sa⎢
⎢⎣
⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦h
z
SSa
≥1⨯10
-3
时，粒径为d的泥沙才
⎡5⎤
-1⎢⎥
=⎢2⎥
1⎢-1⎥⎢⎥⎣0.05⎦
z
≥1⨯10
-3
所以，亦即悬浮指标z≥2.721时粒径为d的泥沙才会进入渠道。 根据（1）可知U≥Us时，泥沙可进入渠道，即：
1
1
U≥Us=
15.1⎛h⎫615.1⎛5⎫6
ω≥ ⎪ ⎪ω
z⎝d⎭2.721⎝d⎭
1
则由上述关系可得：ω≤0.276d6。再由张瑞瑾沉速公式得：
ω=
γs-γv⎫v⎛
gd-13.95 13.95⎪+1.09
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
1
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
=
≤0.276d
6
对上述关于d的关系式取不同的粒径进行试算可得：粒径d≤0.58 mm
的泥沙可进入渠道。
12.某水库上游河段年平均入库流量为2000m/s，相应河宽为200m，断面平均水深为5m，水面比降为1.2‰0，水流接近均匀流，河床为均匀沙，中值粒径为2mm，试求该水库每年入库的推移质数量为多少？（分别用沙莫夫公式，梅叶—彼得公式进行计算并加以比较） 解：（1）运用沙莫夫公式进行计算
根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率：
gb
⎛U
=0.95d(U-U) '
U⎝c
2
'c
1
3
⎫⎛d⎫4
⎪ ⎪， ⎪h⎭⎝⎭
3
1
其中，河道断面平均流速：U=
河道泥沙止动流速：
U
'c
QA
=
2000200⨯5
=2 m/s
；
=
11.2
11
Uc=3.83d3h6=3.83⨯2⨯10
(
-3
)
13
1
⨯56=0.631 m/s
。
所以，根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率为：
1
gb=0.95d
2
(U
⎛U'
-Uc '
U⎝c
)
⎫⎛d⎫4⎪ ⎪⎪h⎭⎝⎭
3
1-3
3
1
=0.95⨯2⨯10
(
-3
)
12
⎛2⨯10⎛2⎫
()⨯2-0.631⨯ ⎪⨯ 5⎝0.631⎭⎝⎫4
⎪ ⎪⎭
=0.262 kg/(m⋅s)
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：
G=gbtB=0.262⨯365⨯24⨯60⨯60⨯200=1.652⨯10 kg
9
（2）运用梅叶—彼得公式进行计算
根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率：
⎡n'⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝n⎭⎣
3
3
2
gb=
⎤
γhJ-0.047(γs-γ)d⎥
⎥⎦
2
0.125ρ
⎛ρs-ρ⎫ ⎪g ρ⎪
s⎝⎭
1
2
，
其中，曼宁糙率系数：n=
R
2
3
J
1
2
U
=
h
2
J
2
U
=
5
⨯0.00012
2
2
=0.016；
河床平整情况下的沙粒曼宁糙率系数（由于为均匀沙，故取
d90=d50）：
n'=d90626=d50626=2⨯10
(
-3
)
6
26=0.014。
所以，根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率为：
⎡n'
⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝n⎭⎣
3
3
2
gb=
⎤
γhJ-0.047(γs-γ)d⎥
⎥⎦
2
0.125ρ⎡0.014⎛⎫⎢ ⎪0.016⎝⎭⎢⎣
3
⎛ρs-ρ⎫
⎪g ρ⎪
s⎝⎭
32
2
=
⎤
-3
⨯9.8⨯5⨯0.00012-0.047⨯(2.65-1)⨯9.8⨯2⨯10⎥
⎥⎦
⎛2.65-1⎫
0.125⨯12 ⎪⨯9.8
1⎝⎭
1
=2.477⨯10
-4
t/(m⋅s)=0.248 kg/(m⋅s)
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：
G=gbtB=0.248⨯365⨯24⨯60⨯60⨯200=1.564⨯10 kg
9
14.长江平均情况有：悬移质dpj=0.04 mm，水温t=20℃,,水深h=10 m，比降J=0.5‰0。
黄河平均情况有：悬移质dpj=0.03 mm，水温t=15℃,,水深h=2 m，比降J=1.5‰0。 求：（1）长江、黄河的悬浮指标值z
（2）以z=4作为悬浮指标的分界指标，问长江、黄河能悬浮起来的最大粒径dmax。
（3）对上述结果进行分析。 解：（1）、① 长江的悬浮指标理论值z1=
ω1κU*1
，其中：
悬移质dpj=0.04 mm，水温t=20℃时，沉速ω=0.0998 m/s； 摩阻流速U*1=
gh1J1=
9.8⨯10⨯0.00005=0.07 m/s；卡门系数κ=0.4。
ω1κU*1
=
0.09980.4⨯0.07
=3.564。
所以，长江的悬浮指标理论值z1=
② 黄河的悬浮指标理论值z2=
ω2κU*2
，其中：
悬移质dpj=0.03 mm，水温t=15℃时，沉速ω=0.0495 m/s； 摩阻流速U*2=
κ=0.4。
gh2J2=
9.8⨯2⨯0.00015=0.0542 m/s；卡门系数
所以，黄河的悬浮指标理论值z2=
ω2κU*2
=
0.04950.4⨯0.0542
=2.283。
（2）、① 对于长江情况z=4时，根据悬浮指标计算公式z=
ωκU*
可以得到：
沉速ω1=zκU*1=4⨯0.4⨯0.07=0.112 m/s，再由下述沉速计算公式
ω=
γs-γv⎫v⎛
gd-13.95 13.95⎪+1.09
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
,
=
对上式关于粒径d进行试算，可得长江能悬浮起来的最大粒径
dmax=0.91 mm
。
ωκU*
② 对于黄河情况z=4时，根据悬浮指标计算公式z=可以得到：
沉速ω2=zκU*2=4⨯0.4⨯0.0542=0.087 m/s，再由下述沉速计算公式
ω=
γs-γv⎫v⎛
13.95+1.09gd-13.95 ⎪
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
,
=
对上式关于粒径d进行试算，可得黄河能悬浮起来的最大粒径
dmax=0.64 mm
。
（3）、通过（1）和（2）的计算结果，可以得出如下结论：长江悬移质平
均粒径，水深以及悬浮指标均要大于黄河，而黄河河床比降要陡于长江。同时在相同的悬浮分界指标下，长江所能悬浮起来的最大粒径要大于黄河。 15.按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式后，求ε沿垂线的平均值εpj，并假定二维恒定均匀流扩散方程中εs=εpj，试求含沙量沿垂线分布公式，并用所求公式计算
ωκU*
=1及0.125情况下相对含沙量S
Sa
沿垂线
分布。（计算y/h=1，0.8，0.6，0.4，0.2，0.1六点，计算时取a/h=0.05，并将所得结果绘成曲线与Rouse公式计算结果进行比较） 解：（1）按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式
对卡尔曼—普兰特尔对数流速分布公式：
umax-uU*
=1
κ
ln
hy
，
微①
分得流速梯度：
dudy
=
U*
κy
根据紊流的动量传递理论，在二维恒定均匀流中，作用于离河床垂直距离为y的平面上的切应力可以表达为：τ=ρε②
在二维恒定均匀流中，切应力自水面至床表面呈直线分布，在水面为0，在河床表面达到最大值τ0，τ与τ0的关系为：τ=τ0 1-
⎝⎛
y⎫
⎪h⎭
dudy
（ε为动量传递系数）
③
τ0 1-
⎛⎝
y⎫⎪h⎭
由②、③可得：
ε=
ρ
dudy
④
τ0 1-
⎛⎝
y⎫⎪h⎭
将①代入④得：
ε=
ρ
dudy
=
τ0ρU*
κ 1-
⎝
⎛
y⎫⎪yh⎭
⑤
并且可知在河床表面上的切应力τ0=γhJ，摩阻流速U*=⑤⑥
⑥式即为按卡尔曼—普兰特尔公式求出的ε沿水深的关系式。 （2）求ε沿垂线的平均值εpj
对ε沿水深分布的关系式ε=κU* 1-
⎝⎛
y⎫⎪yh⎭
ghJ，所以
⎛⎝
y⎫⎪yh⎭
式化简为：
ε=κU* 1-
在0→h积分，并取平均可
得：
ε
pj
=
1h
⎰
h
εdy=
1h
⎰
h
κU* 1-
⎝
⎛
y⎫1
⎪ydy=κU*h h⎭6
（3）假设二维恒定均匀流扩散方程中εs=εpj，求含沙量沿垂线分布公式
二维恒定均匀流扩散方程为：ωs+εs
dsdy
16
dsdy
dss
dsdy
=0，假设εs=ε
pj
，则
ωs+εpj
=0，亦即ωs+
κU*h
=0或
=-
ωε
pj
dy。
将上式在a到y的范围内积分，并令Sa代表y=a处时的含沙量，则得：
ln
SSa
=-ω⎰
y
dy
a
ε
pj
=-ω⎰
y
dy16
a
=-
6ω
κU*h
κU*
⋅
1
⎰h
y
a
dy=-
6ω
κU*
⋅
1h
(y-a)
=-
6ωy⎛a⎫
⎪1- ⎪
κU*h⎝y⎭
所以，相对含沙量沿垂线分布公式为
SSa
-
=e
6ωy⎛a⎫
1-⎪ κU*h⎝y⎪⎭
。
（4）用（3）推出的相对含沙量沿垂线分布公式计算
ωκU*
=1及0.125
时的相
对含沙量沿垂线分布，计算时取a/h=0.05，计算结果列于下表：
①
ωκU*
=1时：
②
ωκ
U*
=0.125
时:
③ 相对水深y/h相对含沙量S/Sa曲线
相对水深与相对含沙量关系曲线
ω/(κU*)=1
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
ω/(κU*)=0.125
相对水深y/h
相对含沙量S/Sa
（5）将上述所得结果与Rouse公式计算结果进行比较
②
ωκU
*
=0.125
时，Rouse公式计算结果:
③ 该题所推公式与Rouse公式计算结果比较曲线
ω/(κU*)=1时相对水深与相对含沙量关系曲线
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
公式计算结果
相对水深y/h
相对含沙量S/Sa
ω/(κU*)=0.125时相对水深与相对含沙量关系曲线
1.00.90.8
公式计算结果
相对水深y/h
0.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
相对含沙量S/Sa
16.1956年7月4日在废黄河上测得：
Q=450m3/s，U=1.84m/s，h=4m，dpj=0.06mm，t=25℃，J=0.41‰0，测点水深及含沙量如下表
求：（1）绘制含沙量沿水深分布曲线 （2）求理论悬浮指标z=？
（3）由实测含沙量求实际悬浮指标z1=？ （4）求β=？
（5）取ηa=0.05，用z1绘制η～S/S0.2分布曲线，并检验实测的η～S/S0.2，进行比较。 解：（1）含沙量沿水深分布曲线
含沙量沿水深分布曲线
4.0
3.53.02.52.01.51.00.50.0
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
含沙量S(kg/m3)
水深h（m）
（2）理论悬浮指标水深z=
ωκU*
，其中：
当t=25℃，dpj=0.06mm时，沉速ω=0.00252 m/s； 摩阻流速U*=
ghJ=
9.8⨯4⨯0.000041=0.04 m/s；卡门系数κ=0.4
所以，理论悬浮指标水深z=
ωκU*
=
0.002520.4⨯0.04
=0.158
。
z
⎡⎢S
=⎢（3）相对含沙量沿垂线分布的方程式为：Sa⎢
⎢⎣⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦
h
，该方程两边取对
⎡
⎢S
=zln⎢数可化简为：lnSa⎢
⎢⎣⎡⎢yS
⎥，在双对数坐标下绘制与⎢hSa⎢-1⎥
⎥⎢a⎦⎣
h
⎤-1⎥
hyh
⎤-1⎥
⎥之间的-1⎥⎥a⎦
关系曲线，通过拟合曲线确定出曲线方程，该方程自变量的指数即为实际
悬浮指标z1。
11
⎡⎢aS
相对水深=0.05，Sa为y=a=0.2 m时的含沙量，将与⎢
hSa⎢
⎢⎣
hyh
⎥的-1⎥⎥a⎦
⎤-1⎥
计算结果列于下表：
⎡⎢S
在双对数坐标下绘制与⎢
Sa⎢
⎢⎣
hy⎤-1⎥
⎥的关系曲线： h
-1⎥⎥a⎦
双对数坐标下S/Sa与(h/y-1)/(h/a-1)关系曲线
1
S/Sa
0.1
1
0.1
0.01
0.001
y = 0.971 x0.375
(h/y-1)/(h/a-1)
12
⎡⎢S
通过上述拟合的与⎢
Sa⎢
⎢⎣
hy
⎥之间关系曲线的方程y=0.971xh
-1⎥⎥a⎦
⎤-1⎥
0.375
,可以
得出实际悬浮指标z1=0.375。
（4）β为理论悬浮指标z与实际悬浮指标z1之比，即
β=
zz1
=0.1580.375
ah
=0.421
。
（5）取ηa=
=0.05
，用实际悬浮指标z1计算相对含沙量沿垂线分布SSa，
计算结果列于下表：
13
用实际悬浮指标计算的相对含沙量与实测相对含沙量比较曲线
10.90.80.7
相对水深η=y/h
0.60.50.40.30.20.100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
相对含沙量S/Sa
23.有一河道型水库，距坝50Km内河床比降为1‰0，水面比降0.5‰0，坝前平均水深h=10m，河段平均宽度B=200m，问发生一次洪水Q=3000m3/s，含沙量S=100kg/m3时，在距坝50Km处会不会形成异重流？在库区内何处会出现异重流？
解：（1）若要判断在距坝50Km处会不会形成异重流，需判别该处是否成立，其中：
14
U0
2
ηggh0
=0.6
h0为距坝
50Km处断面水深，由题意及图示几何关系可得：
h0=H-LJ
河床
+LJ
3
水面
3
=10-50⨯10⨯0.0001+50⨯10⨯0.00005 =7.5 m
U
为距坝
=
3000200⨯7.5
50Km
=2 m/s
处断面水深，由题意可得，
ρ-ρρ
''
U0=
QBh0
ηg为重力修正系数，可由下式计算ηg=
，其中ρ'为浑水密度，
⎛ρ⎫ ⎪S=1000+0.622S=1000+0.622⨯100=1062.2 kg/m3，且ρ=ρ+ 1-
ρs⎪⎝⎭
'
则ηg=
ρ-ρρ
'
'
=
1062.2-1000
1062.2
=0.059
。
所以
U0
2
ηggh0
=
2
2
0.059⨯9.8⨯7.5
=0.922>0.6，由此可判断在距坝50Km处
不会形成异重流。
（2）假设在库区内距坝x公里处会发生异重流该处的水深用h0表示，则若要在距坝x公里处会发生异重流需满足
QBh
'
'
U0
'2
'
ηggh0
=qh
'0
=0.6，即h0=
'
U0
2
0.6ηggU0
2
。并
且该处断面水深U0=并计算得：
h=
'0
'
=
3000200h
'0
=
15h
'0
，将其代入h0=
'
0.6ηgg
整理
q
3
2
0.6ηgg
=
3
15
2
0.6⨯0.059⨯9.8
=8.656 m
。
由于h0'=H-xJ河床+xJ水面=10-0.0001x+0.00005x=10-0.00005x，
15
所以x=
10-h00.00005
'
=
10-8.6560.00005
即在库区内距坝26.84=26840 m=26.84 km，
公里处会发生异重流。
16
7.有一条灌溉渠道，断面如图所示，通过粘性土壤地区，泥沙组成的平均粒径为0.03mm，渠道长10公里，渠道坡降为1/3000，问引取清水，渠道水深为2m时，会不会发生冲刷？如果发生冲刷，应如何修改渠道？（n=0.02） 解：（1）计算渠道水流的实际平均流速
渠道过水断面面积：A=bh+mh2=1⨯2+1.5⨯22=8 m， 湿周：χ=b+2+m2h=1+2⨯+1.52⨯2=8.21 m， 水力半径：R=
A=
88.21
=0.97 m，
χ
根据谢才公式和曼宁公式计算渠道水流的实际平均流速：
U=C
RJ=
1n
2
12
RJ
3
=
10.02
2
1
⨯0.97
3
⎛1⎫2
⨯ ⎪=0.89 m/s 3000⎝⎭
（2）计算渠道泥沙起动流速
由于泥沙组成的平均粒径为0.03mm，属于粗粉土，所以采用考虑粘性的张瑞瑾公式计算渠道泥沙起动流速了：
⎛h⎫= ⎪⎝d⎭
0.14
1
Uc
ρs-ρ⎛ 17.6d+0.000000605
ρ⎝
0.14
10+h⎫2
⎪0.72⎪d⎭
1
2⎛⎫
= ⎪-3
0.03⨯10⎝⎭=0.59 m/s
⎛-3
⨯ 17.6⨯1.65⨯0.03⨯10+0.000000605⎝
⨯
10+2(0.03⨯10
-3
)
0.72
⎫2⎪⎪⎭
由于U＞Uc，即渠道实际平均流速大于泥沙起动流速，所以渠道会发生冲刷。
（3）为减少冲刷，可采用减缓渠道坡降的途径来修改渠道。 10.河道左岸有一座灌溉引水闸，闸底高出河底2米，当河道流量为1000m3/s，河宽为100m，水深为5m，水温为20℃时，问粒径为1mm的泥沙会不会进入渠道？哪种粒径的泥沙会进入渠道？（河道断面接近矩形） 解：（1）若要使粒径为1mm的泥沙进入渠道，需使河道断面平均流速大于或等于泥沙扬动流速，即U≥Us，其中：
河道断面平均流速： U=
QA=1000100⨯5
=2 m/s
，
1
1
泥沙扬动流速： Us=
15.1⎛h⎫615.1⎛5⎫6
⎪ω= ⎪⨯0.1193 -3z⎝d⎭z⎝1⨯10⎭
（水温20℃时，粒径1mm的泥沙沉速ω=11.93 cm/s）。
1
所以，悬浮指标 z≥
15.1
5⎛⎫6⨯ ⎪⨯0.1193=3.725。 -321⨯10⎝⎭
根据相对含沙量沿水深分布的方程式可得，y=2 m时相对含沙量沿水深的分布（相对水深
h
ah=0.05
）：
3.725
⎡
⎢S
=⎢Sa⎢
⎢⎣⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦
z
⎡5⎤
-1⎢2⎥
≤⎢⎥
1⎢-1⎥⎢0.05⎥⎣⎦
=7.809⨯10
-5
＜＜1⨯10-3
据此可判断出粒径1mm的泥沙不会进入渠道。
（2）假定相对含沙量沿水深的分布会进入渠道，即：
⎡⎢S
=⎢Sa⎢
⎢⎣
⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦h
z
SSa
≥1⨯10
-3
时，粒径为d的泥沙才
⎡5⎤
-1⎢⎥
=⎢2⎥
1⎢-1⎥⎢⎥⎣0.05⎦
z
≥1⨯10
-3
所以，亦即悬浮指标z≥2.721时粒径为d的泥沙才会进入渠道。 根据（1）可知U≥Us时，泥沙可进入渠道，即：
1
1
U≥Us=
15.1⎛h⎫615.1⎛5⎫6
ω≥ ⎪ ⎪ω
z⎝d⎭2.721⎝d⎭
1
则由上述关系可得：ω≤0.276d6。再由张瑞瑾沉速公式得：
ω=
γs-γv⎫v⎛
gd-13.95 13.95⎪+1.09
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
1
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
=
≤0.276d
6
对上述关于d的关系式取不同的粒径进行试算可得：粒径d≤0.58 mm
的泥沙可进入渠道。
12.某水库上游河段年平均入库流量为2000m/s，相应河宽为200m，断面平均水深为5m，水面比降为1.2‰0，水流接近均匀流，河床为均匀沙，中值粒径为2mm，试求该水库每年入库的推移质数量为多少？（分别用沙莫夫公式，梅叶—彼得公式进行计算并加以比较） 解：（1）运用沙莫夫公式进行计算
根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率：
gb
⎛U
=0.95d(U-U) '
U⎝c
2
'c
1
3
⎫⎛d⎫4
⎪ ⎪， ⎪h⎭⎝⎭
3
1
其中，河道断面平均流速：U=
河道泥沙止动流速：
U
'c
QA
=
2000200⨯5
=2 m/s
；
=
11.2
11
Uc=3.83d3h6=3.83⨯2⨯10
(
-3
)
13
1
⨯56=0.631 m/s
。
所以，根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率为：
1
gb=0.95d
2
(U
⎛U'
-Uc '
U⎝c
)
⎫⎛d⎫4⎪ ⎪⎪h⎭⎝⎭
3
1-3
3
1
=0.95⨯2⨯10
(
-3
)
12
⎛2⨯10⎛2⎫
()⨯2-0.631⨯ ⎪⨯ 5⎝0.631⎭⎝⎫4
⎪ ⎪⎭
=0.262 kg/(m⋅s)
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：
G=gbtB=0.262⨯365⨯24⨯60⨯60⨯200=1.652⨯10 kg
9
（2）运用梅叶—彼得公式进行计算
根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率：
⎡n'⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝n⎭⎣
3
3
2
gb=
⎤
γhJ-0.047(γs-γ)d⎥
⎥⎦
2
0.125ρ
⎛ρs-ρ⎫ ⎪g ρ⎪
s⎝⎭
1
2
，
其中，曼宁糙率系数：n=
R
2
3
J
1
2
U
=
h
2
J
2
U
=
5
⨯0.00012
2
2
=0.016；
河床平整情况下的沙粒曼宁糙率系数（由于为均匀沙，故取
d90=d50）：
n'=d90626=d50626=2⨯10
(
-3
)
6
26=0.014。
所以，根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率为：
⎡n'
⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝n⎭⎣
3
3
2
gb=
⎤
γhJ-0.047(γs-γ)d⎥
⎥⎦
2
0.125ρ⎡0.014⎛⎫⎢ ⎪0.016⎝⎭⎢⎣
3
⎛ρs-ρ⎫
⎪g ρ⎪
s⎝⎭
32
2
=
⎤
-3
⨯9.8⨯5⨯0.00012-0.047⨯(2.65-1)⨯9.8⨯2⨯10⎥
⎥⎦
⎛2.65-1⎫
0.125⨯12 ⎪⨯9.8
1⎝⎭
1
=2.477⨯10
-4
t/(m⋅s)=0.248 kg/(m⋅s)
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：
G=gbtB=0.248⨯365⨯24⨯60⨯60⨯200=1.564⨯10 kg
9
14.长江平均情况有：悬移质dpj=0.04 mm，水温t=20℃,,水深h=10 m，比降J=0.5‰0。
黄河平均情况有：悬移质dpj=0.03 mm，水温t=15℃,,水深h=2 m，比降J=1.5‰0。 求：（1）长江、黄河的悬浮指标值z
（2）以z=4作为悬浮指标的分界指标，问长江、黄河能悬浮起来的最大粒径dmax。
（3）对上述结果进行分析。 解：（1）、① 长江的悬浮指标理论值z1=
ω1κU*1
，其中：
悬移质dpj=0.04 mm，水温t=20℃时，沉速ω=0.0998 m/s； 摩阻流速U*1=
gh1J1=
9.8⨯10⨯0.00005=0.07 m/s；卡门系数κ=0.4。
ω1κU*1
=
0.09980.4⨯0.07
=3.564。
所以，长江的悬浮指标理论值z1=
② 黄河的悬浮指标理论值z2=
ω2κU*2
，其中：
悬移质dpj=0.03 mm，水温t=15℃时，沉速ω=0.0495 m/s； 摩阻流速U*2=
κ=0.4。
gh2J2=
9.8⨯2⨯0.00015=0.0542 m/s；卡门系数
所以，黄河的悬浮指标理论值z2=
ω2κU*2
=
0.04950.4⨯0.0542
=2.283。
（2）、① 对于长江情况z=4时，根据悬浮指标计算公式z=
ωκU*
可以得到：
沉速ω1=zκU*1=4⨯0.4⨯0.07=0.112 m/s，再由下述沉速计算公式
ω=
γs-γv⎫v⎛
gd-13.95 13.95⎪+1.09
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
,
=
对上式关于粒径d进行试算，可得长江能悬浮起来的最大粒径
dmax=0.91 mm
。
ωκU*
② 对于黄河情况z=4时，根据悬浮指标计算公式z=可以得到：
沉速ω2=zκU*2=4⨯0.4⨯0.0542=0.087 m/s，再由下述沉速计算公式
ω=
γs-γv⎫v⎛
13.95+1.09gd-13.95 ⎪
d⎭γd⎝
-6
⎛1.003⨯10 13.95⨯ d⎝
-6
⎫1.003⨯10⎪+1.09⨯1.65⨯9.8d-13.95⨯⎪d⎭2
2
,
=
对上式关于粒径d进行试算，可得黄河能悬浮起来的最大粒径
dmax=0.64 mm
。
（3）、通过（1）和（2）的计算结果，可以得出如下结论：长江悬移质平
均粒径，水深以及悬浮指标均要大于黄河，而黄河河床比降要陡于长江。同时在相同的悬浮分界指标下，长江所能悬浮起来的最大粒径要大于黄河。 15.按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式后，求ε沿垂线的平均值εpj，并假定二维恒定均匀流扩散方程中εs=εpj，试求含沙量沿垂线分布公式，并用所求公式计算
ωκU*
=1及0.125情况下相对含沙量S
Sa
沿垂线
分布。（计算y/h=1，0.8，0.6，0.4，0.2，0.1六点，计算时取a/h=0.05，并将所得结果绘成曲线与Rouse公式计算结果进行比较） 解：（1）按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式
对卡尔曼—普兰特尔对数流速分布公式：
umax-uU*
=1
κ
ln
hy
，
微①
分得流速梯度：
dudy
=
U*
κy
根据紊流的动量传递理论，在二维恒定均匀流中，作用于离河床垂直距离为y的平面上的切应力可以表达为：τ=ρε②
在二维恒定均匀流中，切应力自水面至床表面呈直线分布，在水面为0，在河床表面达到最大值τ0，τ与τ0的关系为：τ=τ0 1-
⎝⎛
y⎫
⎪h⎭
dudy
（ε为动量传递系数）
③
τ0 1-
⎛⎝
y⎫⎪h⎭
由②、③可得：
ε=
ρ
dudy
④
τ0 1-
⎛⎝
y⎫⎪h⎭
将①代入④得：
ε=
ρ
dudy
=
τ0ρU*
κ 1-
⎝
⎛
y⎫⎪yh⎭
⑤
并且可知在河床表面上的切应力τ0=γhJ，摩阻流速U*=⑤⑥
⑥式即为按卡尔曼—普兰特尔公式求出的ε沿水深的关系式。 （2）求ε沿垂线的平均值εpj
对ε沿水深分布的关系式ε=κU* 1-
⎝⎛
y⎫⎪yh⎭
ghJ，所以
⎛⎝
y⎫⎪yh⎭
式化简为：
ε=κU* 1-
在0→h积分，并取平均可
得：
ε
pj
=
1h
⎰
h
εdy=
1h
⎰
h
κU* 1-
⎝
⎛
y⎫1
⎪ydy=κU*h h⎭6
（3）假设二维恒定均匀流扩散方程中εs=εpj，求含沙量沿垂线分布公式
二维恒定均匀流扩散方程为：ωs+εs
dsdy
16
dsdy
dss
dsdy
=0，假设εs=ε
pj
，则
ωs+εpj
=0，亦即ωs+
κU*h
=0或
=-
ωε
pj
dy。
将上式在a到y的范围内积分，并令Sa代表y=a处时的含沙量，则得：
ln
SSa
=-ω⎰
y
dy
a
ε
pj
=-ω⎰
y
dy16
a
=-
6ω
κU*h
κU*
⋅
1
⎰h
y
a
dy=-
6ω
κU*
⋅
1h
(y-a)
=-
6ωy⎛a⎫
⎪1- ⎪
κU*h⎝y⎭
所以，相对含沙量沿垂线分布公式为
SSa
-
=e
6ωy⎛a⎫
1-⎪ κU*h⎝y⎪⎭
。
（4）用（3）推出的相对含沙量沿垂线分布公式计算
ωκU*
=1及0.125
时的相
对含沙量沿垂线分布，计算时取a/h=0.05，计算结果列于下表：
①
ωκU*
=1时：
②
ωκ
U*
=0.125
时:
③ 相对水深y/h相对含沙量S/Sa曲线
相对水深与相对含沙量关系曲线
ω/(κU*)=1
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
ω/(κU*)=0.125
相对水深y/h
相对含沙量S/Sa
（5）将上述所得结果与Rouse公式计算结果进行比较
②
ωκU
*
=0.125
时，Rouse公式计算结果:
③ 该题所推公式与Rouse公式计算结果比较曲线
ω/(κU*)=1时相对水深与相对含沙量关系曲线
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
公式计算结果
相对水深y/h
相对含沙量S/Sa
ω/(κU*)=0.125时相对水深与相对含沙量关系曲线
1.00.90.8
公式计算结果
相对水深y/h
0.70.60.50.40.30.20.10.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
相对含沙量S/Sa
16.1956年7月4日在废黄河上测得：
Q=450m3/s，U=1.84m/s，h=4m，dpj=0.06mm，t=25℃，J=0.41‰0，测点水深及含沙量如下表
求：（1）绘制含沙量沿水深分布曲线 （2）求理论悬浮指标z=？
（3）由实测含沙量求实际悬浮指标z1=？ （4）求β=？
（5）取ηa=0.05，用z1绘制η～S/S0.2分布曲线，并检验实测的η～S/S0.2，进行比较。 解：（1）含沙量沿水深分布曲线
含沙量沿水深分布曲线
4.0
3.53.02.52.01.51.00.50.0
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
含沙量S(kg/m3)
水深h（m）
（2）理论悬浮指标水深z=
ωκU*
，其中：
当t=25℃，dpj=0.06mm时，沉速ω=0.00252 m/s； 摩阻流速U*=
ghJ=
9.8⨯4⨯0.000041=0.04 m/s；卡门系数κ=0.4
所以，理论悬浮指标水深z=
ωκU*
=
0.002520.4⨯0.04
=0.158
。
z
⎡⎢S
=⎢（3）相对含沙量沿垂线分布的方程式为：Sa⎢
⎢⎣⎤-1⎥y
⎥h
-1⎥⎥a⎦
h
，该方程两边取对
⎡
⎢S
=zln⎢数可化简为：lnSa⎢
⎢⎣⎡⎢yS
⎥，在双对数坐标下绘制与⎢hSa⎢-1⎥
⎥⎢a⎦⎣
h
⎤-1⎥
hyh
⎤-1⎥
⎥之间的-1⎥⎥a⎦
关系曲线，通过拟合曲线确定出曲线方程，该方程自变量的指数即为实际
悬浮指标z1。
11
⎡⎢aS
相对水深=0.05，Sa为y=a=0.2 m时的含沙量，将与⎢
hSa⎢
⎢⎣
hyh
⎥的-1⎥⎥a⎦
⎤-1⎥
计算结果列于下表：
⎡⎢S
在双对数坐标下绘制与⎢
Sa⎢
⎢⎣
hy⎤-1⎥
⎥的关系曲线： h
-1⎥⎥a⎦
双对数坐标下S/Sa与(h/y-1)/(h/a-1)关系曲线
1
S/Sa
0.1
1
0.1
0.01
0.001
y = 0.971 x0.375
(h/y-1)/(h/a-1)
12
⎡⎢S
通过上述拟合的与⎢
Sa⎢
⎢⎣
hy
⎥之间关系曲线的方程y=0.971xh
-1⎥⎥a⎦
⎤-1⎥
0.375
,可以
得出实际悬浮指标z1=0.375。
（4）β为理论悬浮指标z与实际悬浮指标z1之比，即
β=
zz1
=0.1580.375
ah
=0.421
。
（5）取ηa=
=0.05
，用实际悬浮指标z1计算相对含沙量沿垂线分布SSa，
计算结果列于下表：
13
用实际悬浮指标计算的相对含沙量与实测相对含沙量比较曲线
10.90.80.7
相对水深η=y/h
0.60.50.40.30.20.100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
相对含沙量S/Sa
23.有一河道型水库，距坝50Km内河床比降为1‰0，水面比降0.5‰0，坝前平均水深h=10m，河段平均宽度B=200m，问发生一次洪水Q=3000m3/s，含沙量S=100kg/m3时，在距坝50Km处会不会形成异重流？在库区内何处会出现异重流？
解：（1）若要判断在距坝50Km处会不会形成异重流，需判别该处是否成立，其中：
14
U0
2
ηggh0
=0.6
h0为距坝
50Km处断面水深，由题意及图示几何关系可得：
h0=H-LJ
河床
+LJ
3
水面
3
=10-50⨯10⨯0.0001+50⨯10⨯0.00005 =7.5 m
U
为距坝
=
3000200⨯7.5
50Km
=2 m/s
处断面水深，由题意可得，
ρ-ρρ
''
U0=
QBh0
ηg为重力修正系数，可由下式计算ηg=
，其中ρ'为浑水密度，
⎛ρ⎫ ⎪S=1000+0.622S=1000+0.622⨯100=1062.2 kg/m3，且ρ=ρ+ 1-
ρs⎪⎝⎭
'
则ηg=
ρ-ρρ
'
'
=
1062.2-1000
1062.2
=0.059
。
所以
U0
2
ηggh0
=
2
2
0.059⨯9.8⨯7.5
=0.922>0.6，由此可判断在距坝50Km处
不会形成异重流。
（2）假设在库区内距坝x公里处会发生异重流该处的水深用h0表示，则若要在距坝x公里处会发生异重流需满足
QBh
'
'
U0
'2
'
ηggh0
=qh
'0
=0.6，即h0=
'
U0
2
0.6ηggU0
2
。并
且该处断面水深U0=并计算得：
h=
'0
'
=
3000200h
'0
=
15h
'0
，将其代入h0=
'
0.6ηgg
整理
q
3
2
0.6ηgg
=
3
15
2
0.6⨯0.059⨯9.8
=8.656 m
。
由于h0'=H-xJ河床+xJ水面=10-0.0001x+0.00005x=10-0.00005x，
15
所以x=
10-h00.00005
'
=
10-8.6560.00005
即在库区内距坝26.84=26840 m=26.84 km，
公里处会发生异重流。
16