力与物体的平衡

力与物体的平衡

【方法总结】

一、动态平衡：物体在缓慢移动过程中，可认为其速度、加速度均为零，物体处于平衡．．

状态．

二、共点力平衡条件的应用

（一）若物体所受的力在同一条直线上，则在一个方向上各力大小之和，与另一个方向上各力之和相等。

（二）若物体受三个力作用而平衡时

1. 三个力的作用线（或反向延长线）必交于一点，且三个力共面，称为汇交共面性。

2. 任两个力的合力与第三个力的大小相等，方向相反。

3. 三个力的矢量图必组成一个封闭的矢量三角形。

（三）若物体受到三个或三个以上力的作用而平衡时

一般运用正交分解法处理较方便，将物体所受的力分解到相互垂直的 x轴与y轴

上去，因为F0 , 则Fx0 、Fy0。

三、动态平衡问题分析的常用方法

(一)解析法：一般把力进行正交分解，两个方向上列平衡方程，写出所要分析的力与变化角度的关系，然后判断各力的变化趋势．

(二)图解法：能用图解法分析动态变化的问题有三个显著特征：①物体一般受三个力作用；②其中有一个大小、方向都不变的力；③还有一个方向不变、大小变的力；④第三个力大小、方向都变。图解法指在同一图中作出物体在若干状态下的受力平衡图，再由动态力的合成（或分解）图，利用三角形的边长变化及角度来确定某些力的大小及方向的变化情况。

（三）相似三角形法

如果物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法．

（四）求解动态平衡问题的两点技巧

(1)在用图解法求解动态平衡问题时，要确定好力的矢量三角形中哪个力是不变的，哪个力是变化的；对于变化的力，要明确其大小和方向的变化范围．

(2)用“力三角形法”解决三力作用下物体的动态平衡问题的关键是要构建适当的力三角形．构建力三角形的一般原则：不移动大小和方向不变的力，移动大小和方向均变化的力，从动态变化中分析力的大小和方向的变化情况．

四、物体平衡中的临界、极值问题

研究临界极值问题，基本观点是物理分析和数学讨论相结合，即一般先通过对物理过程的分析确定临界或极值条件，再根据物理规律列出各物理量间的函数方程式，充分利用数学知识及作图的方法确定最大值、最小值或取值范围等。

【典例分析】

例题1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )

A．F逐渐变大，T逐渐变大

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大

D．F逐渐变小，T逐渐变小

[思路点拨]解此题的关键有两点：

(1)以O点为研究对象时注意O点的受力情况，并画出示意图．

(2)“缓慢拉动”过程中哪些是变量？如何变化？

解析： 方法一（解析法）：

以O点为研究对象，受力分析如图所示，设绳OA与竖直方向的夹角为θ，物体的重力

G为G，根据力的平衡可知，F＝Gtan θ，T＝随着O点向左移，θ变大，则F逐渐变大，cos θ

T逐渐变大，A项正确．

方法二（图解法）：

以O点为研究对象，受力分析如图所示，水平力F缓慢拉动绳的过程中，夹角θ

的变化

及各力的变化如图所示，由图可知F和T都变大，故A项正确．

答案：A

例题2. 水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)．现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动．设F的方向与水平面的夹角为θ，如图所示，在θ从0°逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )

A．F先减小后增大 B．F一直增大

C．Fcos θ先减小后增大 D．Fcos θ一直减小

解析：方法一(解析法)

木箱匀速运动，水平方向受力平衡，则Fcosθ＝μ(mg－Fsin θ)，

μmg所以F＝μsin θ＋cos θ

＝μ11＋μθ＋cos θ1＋μ1＋μ

μmg 1＋μsin θ＋φμmg＝

当sin (θ＋φ)＝1时，F最小，故F先减小后增大，选项A正确，B错误；当θ＝0°时，Fcos θ最大，当θ＝90°，Fcos θ＝0，所以Fcos θ一直减小，选项C错误，D正确．

方法二(图解法)

对木箱进行受力分析如图所示，因Ff＝μFN，则FN与Ff的合力F1的方向时刻不变(因为

F1tan α＝＝，α为一定值)，则作出FN与Ff的合力F1、重力mg与力F三力的动态平衡矢Ffμ

量三角形知：力F先减小后增大，选项A正确，B错误；由图可知Fcos θ逐渐减小，故选项

C

错误，D正确．

答案：AD

例题3. 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使

小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F和环对小球的弹力FN的大小变化情况是( )

A．F减小，FN不变 B．F不变，FN减小

C．F不变，FN增大 D．F增大，FN减小

解析：对小球受力分析，其所受的三个力组成一个闭合三角形，如图所示．力三角形与

mgFNF＝mg不变，R不变，L减小，FRRL

减小，FN不变，A正确．

答案：A

例题4.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

解析：只要物块a质量不变，物块b保持静止，则连接a和b的细绳的张力就保持不变，细绳OO′的张力也就不变，选项A、C错误．对物块b进行受力分析，物块b受到细绳的拉力(不变)、竖直向下的重力(不变)、外力F、桌面的支持力和摩擦力．若F方向不变，大小在一定范围内变化，则物块b受到的支持力和物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，选项B、D正确．

答案：BD

【练习提高】

1. （多选）如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，在绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( )

A．拉力F增加 B．拉力F减小 C．角θ不变 D．角θ减小

2.如图所示，粗糙的水平面上放有一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直挡板间放有一光滑圆球B，整个装置处于静止状态. 现将挡板水平向右缓慢平移，A始终保持静止. 则在B着地前的过程中( )

A. 挡板对B的弹力减小

B. 地面对A的摩擦力增大

C. A对B的弹力减小

D. 地面对A的弹力增大

3．如图所示，开口向下的“П”形框架，两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为( )

A．2sin θ∶1 B．2cos θ∶1C．1∶2cos θ D．1∶2sin θ

4．（多选）如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点．一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F的作用下使夹角θ90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是(

)

【练习提高】

1. （多选）如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，在绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( )

A．拉力F增加 B．拉力F减小 C．角θ不变 D．角θ减小

2.如图所示，粗糙的水平面上放有一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直挡板间放有一光滑圆球B，整个装置处于静止状态. 现将挡板水平向右缓慢平移，A始终保持静止. 则在B着地前的过程中( )

A. 挡板对B的弹力减小

B. 地面对A的摩擦力增大

C. A对B的弹力减小

D. 地面对A的弹力增大

3．如图所示，开口向下的“П”形框架，两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为( )

A．2sin θ∶1 B．2cos θ∶1C．1∶2cos θ D．1∶2sin θ

4．（多选）如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点．一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F的作用下使夹角θ90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是(

)

A．绳OA的拉力先减小后增大

B．斜面对物块P的摩擦力的大小可能先减小后增大

C．地面对斜面体有向右的摩擦力

D．地面对斜面体的支持力等于物块P和斜面体的重力之和

5．一轻绳一端系在竖直墙M上，另一端系一质量为m的物体A，用一轻质光滑圆环O穿过轻绳，并用力F拉住轻环上一点，如图所示．现使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置．则在这一过程中，力F、绳中张力FT和力F与水平方向夹角θ的变化情况是( )

A．F保持不变，FT逐渐增大，夹角θ逐渐减小

B．F逐渐增大，FT保持不变，夹角θ逐渐增大

C．F逐渐减小，FT保持不变，夹角θ逐渐减小

D．F保持不变，FT逐渐减小，夹角θ逐渐增大

力与物体的平衡

【方法总结】

一、动态平衡：物体在缓慢移动过程中，可认为其速度、加速度均为零，物体处于平衡．．

状态．

二、共点力平衡条件的应用

（一）若物体所受的力在同一条直线上，则在一个方向上各力大小之和，与另一个方向上各力之和相等。

（二）若物体受三个力作用而平衡时

1. 三个力的作用线（或反向延长线）必交于一点，且三个力共面，称为汇交共面性。

2. 任两个力的合力与第三个力的大小相等，方向相反。

3. 三个力的矢量图必组成一个封闭的矢量三角形。

（三）若物体受到三个或三个以上力的作用而平衡时

一般运用正交分解法处理较方便，将物体所受的力分解到相互垂直的 x轴与y轴

上去，因为F0 , 则Fx0 、Fy0。

三、动态平衡问题分析的常用方法

(一)解析法：一般把力进行正交分解，两个方向上列平衡方程，写出所要分析的力与变化角度的关系，然后判断各力的变化趋势．

(二)图解法：能用图解法分析动态变化的问题有三个显著特征：①物体一般受三个力作用；②其中有一个大小、方向都不变的力；③还有一个方向不变、大小变的力；④第三个力大小、方向都变。图解法指在同一图中作出物体在若干状态下的受力平衡图，再由动态力的合成（或分解）图，利用三角形的边长变化及角度来确定某些力的大小及方向的变化情况。

（三）相似三角形法

如果物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法．

（四）求解动态平衡问题的两点技巧

(1)在用图解法求解动态平衡问题时，要确定好力的矢量三角形中哪个力是不变的，哪个力是变化的；对于变化的力，要明确其大小和方向的变化范围．

(2)用“力三角形法”解决三力作用下物体的动态平衡问题的关键是要构建适当的力三角形．构建力三角形的一般原则：不移动大小和方向不变的力，移动大小和方向均变化的力，从动态变化中分析力的大小和方向的变化情况．

四、物体平衡中的临界、极值问题

研究临界极值问题，基本观点是物理分析和数学讨论相结合，即一般先通过对物理过程的分析确定临界或极值条件，再根据物理规律列出各物理量间的函数方程式，充分利用数学知识及作图的方法确定最大值、最小值或取值范围等。

【典例分析】

例题1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )

A．F逐渐变大，T逐渐变大

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大

D．F逐渐变小，T逐渐变小

[思路点拨]解此题的关键有两点：

(1)以O点为研究对象时注意O点的受力情况，并画出示意图．

(2)“缓慢拉动”过程中哪些是变量？如何变化？

解析： 方法一（解析法）：

以O点为研究对象，受力分析如图所示，设绳OA与竖直方向的夹角为θ，物体的重力

G为G，根据力的平衡可知，F＝Gtan θ，T＝随着O点向左移，θ变大，则F逐渐变大，cos θ

T逐渐变大，A项正确．

方法二（图解法）：

以O点为研究对象，受力分析如图所示，水平力F缓慢拉动绳的过程中，夹角θ

的变化

及各力的变化如图所示，由图可知F和T都变大，故A项正确．

答案：A

例题2. 水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)．现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动．设F的方向与水平面的夹角为θ，如图所示，在θ从0°逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )

A．F先减小后增大 B．F一直增大

C．Fcos θ先减小后增大 D．Fcos θ一直减小

解析：方法一(解析法)

木箱匀速运动，水平方向受力平衡，则Fcosθ＝μ(mg－Fsin θ)，

μmg所以F＝μsin θ＋cos θ

＝μ11＋μθ＋cos θ1＋μ1＋μ

μmg 1＋μsin θ＋φμmg＝

当sin (θ＋φ)＝1时，F最小，故F先减小后增大，选项A正确，B错误；当θ＝0°时，Fcos θ最大，当θ＝90°，Fcos θ＝0，所以Fcos θ一直减小，选项C错误，D正确．

方法二(图解法)

对木箱进行受力分析如图所示，因Ff＝μFN，则FN与Ff的合力F1的方向时刻不变(因为

F1tan α＝＝，α为一定值)，则作出FN与Ff的合力F1、重力mg与力F三力的动态平衡矢Ffμ

量三角形知：力F先减小后增大，选项A正确，B错误；由图可知Fcos θ逐渐减小，故选项

C

错误，D正确．

答案：AD

例题3. 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使

小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F和环对小球的弹力FN的大小变化情况是( )

A．F减小，FN不变 B．F不变，FN减小

C．F不变，FN增大 D．F增大，FN减小

解析：对小球受力分析，其所受的三个力组成一个闭合三角形，如图所示．力三角形与

mgFNF＝mg不变，R不变，L减小，FRRL

减小，FN不变，A正确．

答案：A

例题4.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

解析：只要物块a质量不变，物块b保持静止，则连接a和b的细绳的张力就保持不变，细绳OO′的张力也就不变，选项A、C错误．对物块b进行受力分析，物块b受到细绳的拉力(不变)、竖直向下的重力(不变)、外力F、桌面的支持力和摩擦力．若F方向不变，大小在一定范围内变化，则物块b受到的支持力和物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，选项B、D正确．

答案：BD

【练习提高】

1. （多选）如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，在绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( )

A．拉力F增加 B．拉力F减小 C．角θ不变 D．角θ减小

2.如图所示，粗糙的水平面上放有一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直挡板间放有一光滑圆球B，整个装置处于静止状态. 现将挡板水平向右缓慢平移，A始终保持静止. 则在B着地前的过程中( )

A. 挡板对B的弹力减小

B. 地面对A的摩擦力增大

C. A对B的弹力减小

D. 地面对A的弹力增大

3．如图所示，开口向下的“П”形框架，两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为( )

A．2sin θ∶1 B．2cos θ∶1C．1∶2cos θ D．1∶2sin θ

4．（多选）如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点．一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F的作用下使夹角θ90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是(

)

【练习提高】

1. （多选）如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，在绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( )

A．拉力F增加 B．拉力F减小 C．角θ不变 D．角θ减小

2.如图所示，粗糙的水平面上放有一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直挡板间放有一光滑圆球B，整个装置处于静止状态. 现将挡板水平向右缓慢平移，A始终保持静止. 则在B着地前的过程中( )

A. 挡板对B的弹力减小

B. 地面对A的摩擦力增大

C. A对B的弹力减小

D. 地面对A的弹力增大

3．如图所示，开口向下的“П”形框架，两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为( )

A．2sin θ∶1 B．2cos θ∶1C．1∶2cos θ D．1∶2sin θ

4．（多选）如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点．一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F的作用下使夹角θ90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是(

)

A．绳OA的拉力先减小后增大

B．斜面对物块P的摩擦力的大小可能先减小后增大

C．地面对斜面体有向右的摩擦力

D．地面对斜面体的支持力等于物块P和斜面体的重力之和

5．一轻绳一端系在竖直墙M上，另一端系一质量为m的物体A，用一轻质光滑圆环O穿过轻绳，并用力F拉住轻环上一点，如图所示．现使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置．则在这一过程中，力F、绳中张力FT和力F与水平方向夹角θ的变化情况是( )

A．F保持不变，FT逐渐增大，夹角θ逐渐减小

B．F逐渐增大，FT保持不变，夹角θ逐渐增大

C．F逐渐减小，FT保持不变，夹角θ逐渐减小

D．F保持不变，FT逐渐减小，夹角θ逐渐增大