绝密*启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理科）
注息事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动. 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效·
4. 考试结束后. 将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合A ={2, 3, 5, 6}，集合B ={1, 3, 4, 6, 7}，则集合A ⋂C U B = （ ）
（A ）{2, 5} （B ）{3, 6} （C ）{2, 5, 6} （D ）{2, 3, 5, 6, 8}
⎧x +2≥0⎪（2）设变量x , y 满足约束条件⎨x -y +3≥0，则目标函数z =x +6y 的最大值为（ ）
⎪2x +y -3≤0⎩
（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
（A ）-10 （B ）6 （C ）14 （D ）18
（4）设x ∈R ，则“x -20”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆O 中，M , N 是弦AB 的三等分点，弦CD , CE 分别经
过点M , N 。若CM =2，MD =4，CN =3则线段NE 的长为（ ）
（A ）
28105 （B ）3 （C ） （D ） 332
x 2y 2
（6）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线过点(2, ) ，且双曲线的一个焦a b
点在抛物线y 2=47x 的准线上，则双曲线的方程为 （ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
=1 （C ）--=1 （B ）-=1 （D ）-=1 （A ）[1**********]3
（7）已知定义在R 上的函数f (x )=2x -m -1 （m 为实数）为偶函数，记a =log 0.53, b =f (log 25), c =f (2m ) ，则a , b , c 的大小关系为 （ ）
（A ）a ⎧⎪2-x , x ≤2, （8）已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，其中b ∈R ，若函2⎪⎩(x -2), x >2,
数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ） 7⎫⎛7⎫⎛⎛7⎫⎛7⎫, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪ （C ） 0, ⎪ （D ） , 2⎪ 4⎭⎝4⎭⎝⎝4⎭⎝4⎭
第II 卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数(1-2i )(a +i ) 是纯虚数，则实数a 的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m .
2（11）曲线y =x 与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为 3
1⎫⎛2（12）在 x -⎪ 的展开式中，x 的系数为. 4x ⎭⎝
（13）在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知6
1∆
ABC 的面积为，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为 4
（14）在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ，AB =2，BC =1，
∠ABC =600，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE =
λBC ，
DF =1DC ，则AE ⋅AF 的最小值为9λ
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分13分）已知函数f (x )=sin 2x -sin 2 x -
(I)求f (x ) 最小正周期；
(II)求f (x ) 在区间[-⎛⎝π⎫⎪，x ∈R 6⎭p p , ]上的最大值和最小值. 34
16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ， AB ⊥AC , AB =
1，AC =AA 1C 和D 1D 的中点. 1=2, AD =CD 且点M 和N 分别为B
(I)求证：MN 平面ABCD ；
(II)求二面角D 1-AC -B 1的正弦值；
(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为
的长
18. （本小题满分13分）已知数列{a n }满足a n +2=qa n （q 为实数，且q ≠1），n ∈N ，*1，求线段A 1E 3a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3, a 3+a 4, a 4+a 5成等差数列.
(I)求q 的值和{a n }的通项公式；
(II)设b n =log 2a 2n , n ∈N *，求数列的前n 项和
. ｛b n ｝a 2n -1
x 2y 219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F （-c ,0）,
离心率为，a b 3
b 4点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x +y =截得的线段的长为c
，. |FM|=4322
(I)求直线FM 的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP
OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
20. （本小题满分14分）已知函数f (x ) =n x -x n , x ∈R ，其中n ∈N *,n ≥2. (I)讨论f (x ) 的单调性；
(II)设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) ；
(III)若关于x 的方程f (x )=a(a为实数) 有两个正实根x 1，x 2，求证： |x 2-x 1|
a +2 1-n
绝密*启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理科）
注息事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动. 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效·
4. 考试结束后. 将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合A ={2, 3, 5, 6}，集合B ={1, 3, 4, 6, 7}，则集合A ⋂C U B = （ ）
（A ）{2, 5} （B ）{3, 6} （C ）{2, 5, 6} （D ）{2, 3, 5, 6, 8}
⎧x +2≥0⎪（2）设变量x , y 满足约束条件⎨x -y +3≥0，则目标函数z =x +6y 的最大值为（ ）
⎪2x +y -3≤0⎩
（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
（A ）-10 （B ）6 （C ）14 （D ）18
（4）设x ∈R ，则“x -20”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆O 中，M , N 是弦AB 的三等分点，弦CD , CE 分别经
过点M , N 。若CM =2，MD =4，CN =3则线段NE 的长为（ ）
（A ）
28105 （B ）3 （C ） （D ） 332
x 2y 2
（6）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线过点(2, ) ，且双曲线的一个焦a b
点在抛物线y 2=47x 的准线上，则双曲线的方程为 （ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
=1 （C ）--=1 （B ）-=1 （D ）-=1 （A ）[1**********]3
（7）已知定义在R 上的函数f (x )=2x -m -1 （m 为实数）为偶函数，记a =log 0.53, b =f (log 25), c =f (2m ) ，则a , b , c 的大小关系为 （ ）
（A ）a ⎧⎪2-x , x ≤2, （8）已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，其中b ∈R ，若函2⎪⎩(x -2), x >2,
数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ） 7⎫⎛7⎫⎛⎛7⎫⎛7⎫, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪ （C ） 0, ⎪ （D ） , 2⎪ 4⎭⎝4⎭⎝⎝4⎭⎝4⎭
第II 卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数(1-2i )(a +i ) 是纯虚数，则实数a 的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m .
2（11）曲线y =x 与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为 3
1⎫⎛2（12）在 x -⎪ 的展开式中，x 的系数为. 4x ⎭⎝
（13）在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知6
1∆
ABC 的面积为，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为 4
（14）在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ，AB =2，BC =1，
∠ABC =600，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE =
λBC ，
DF =1DC ，则AE ⋅AF 的最小值为9λ
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分13分）已知函数f (x )=sin 2x -sin 2 x -
(I)求f (x ) 最小正周期；
(II)求f (x ) 在区间[-⎛⎝π⎫⎪，x ∈R 6⎭p p , ]上的最大值和最小值. 34
16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ， AB ⊥AC , AB =
1，AC =AA 1C 和D 1D 的中点. 1=2, AD =CD 且点M 和N 分别为B
(I)求证：MN 平面ABCD ；
(II)求二面角D 1-AC -B 1的正弦值；
(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为
的长
18. （本小题满分13分）已知数列{a n }满足a n +2=qa n （q 为实数，且q ≠1），n ∈N ，*1，求线段A 1E 3a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3, a 3+a 4, a 4+a 5成等差数列.
(I)求q 的值和{a n }的通项公式；
(II)设b n =log 2a 2n , n ∈N *，求数列的前n 项和
. ｛b n ｝a 2n -1
x 2y 219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F （-c ,0）,
离心率为，a b 3
b 4点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x +y =截得的线段的长为c
，. |FM|=4322
(I)求直线FM 的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP
OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
20. （本小题满分14分）已知函数f (x ) =n x -x n , x ∈R ，其中n ∈N *,n ≥2. (I)讨论f (x ) 的单调性；
(II)设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) ；
(III)若关于x 的方程f (x )=a(a为实数) 有两个正实根x 1，x 2，求证： |x 2-x 1|
a +2 1-n