§14.1 几何证明选讲
1．平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例． 3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 4．圆周角定理
(1)(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径) 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 5．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质
定理1：圆的内接四边形的对角互补．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 6．圆的切线的性质及判定定理
(1)性质
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
(2)7．弦切角的性质
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 8．与圆有关的比例线段
(1)
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
1． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切
点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________. 答案 120°
BE
2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ∥AC ，EF ⊥BC
EA
3
，BD ＝6，则FC ＝
________.
2
答案
325
BE 3
解析 由DE ∥AC ＝BD ＝6知DC ＝4.
EA 2又EF ∥AD ， 6－FD 31232＝FD ＝FC ＝FD ＋DC ＝FD 255
3．如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD
＝2，BD ＝4，则EA ＝
________.
答案
5
2
4．如图，圆上的劣弧CBD 所对的弦长CD ＝，弦AB 是线段CD 的垂直平行线，AB ＝2，
则线段AC 的长度为________．
答案
3
解析 依题意，弦AB 为圆的直径，设圆心为O ，CD 与AB 相交于点E ，如图，连接CO ，则OE OC 2－CE 2＝ 3()2＋2＝3. 22
1－2113
)＝，∴AE ＝AO ＋OE ＝1＋，∴AC
＝AE 2＋CE 22222
5．(2012·湖南) 如图所示，
过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．
答案 6
解析 设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵PA ＝1，AB ＝2，
∴PB ＝P A ＋AB ＝3.
延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r . 设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，PA ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r ) ，∴9－r 2＝3，∴r ＝
题型一 平行线分线段成比例定理的应用
例1 如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE . 连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 与H . 如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________． 答案 2
HF AF 解 ∵AH ∥BE ，∴.
HE AB HF 1
∵AB ＝4AF ，＝HE 4∵HE ＝8，∴HF ＝2.
HD AD
∵AH ∥BE ，∴DE DC
HD
∵D 是AC 的中点，∴1.
DE ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.
思维升华 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；
(3)要注意“中间量”的运用与转化．
如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中
BF
点，AE 交BC 于点F ________．
FC
1
答案 2解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， BF BF 1∴＝＝FC FM ＋MC 2题型二 圆的切割线定理的应用
例2 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上一点，AD ，BC 相交于点E .
若F 为CE 上一点且使得∠EDF ＝∠P ，已知EF ＝1，EB ＝2，PB ＝4，则P A 的长为________． 答案 6
解析 ∵∠EDF ＝∠P ， 又∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA ， EF ED 有＝ EA EP 即EF ·EP ＝EA ·ED .
而AD ，BC 是⊙O 的相交弦， ∴EC ·EB ＝EA ·ED ，
故EC ·EB ＝EF ·EP ，
EF ·EP 1×(2＋4)
∴EC ＝＝＝3.
EB 2
由切割线定理有PA 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4) ＝36， ∴PA ＝6.
思维升华 在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．
一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，
要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线
定理中线段之间的关系的区别．
(2013·广东) 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，
过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝
________.
答案 2解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE AE AC 222
＝2，又AC ＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝2，在△ABC 中，BC －AC ＝
AC AD －24＝23.
题型三 圆的有关性质的综合应用
例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .
1
若△ABC 的面积S ＝AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．
2答案 90°
解析 由已知条件， 可得∠BAE ＝∠CAD .
因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .
AB AD 故△ABE ∽△ADC . 所以
AE AC 即AB ·AC ＝AD ·AE .
11又S ＝·AC sin ∠BAC ，且S AD ·AE ，
22故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ， 则sin ∠BAC ＝1.
又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.
思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．
(2013·湖北) 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D
CE
在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则________．
EO
答案 8
解析 易知△CDO ∽△CED ， CD CO ∴ CE CD
21
设圆O 半径为R ，则AD ，OD ＝R ，
33
128222
∴CD ＝R －() ，
392
CD 81CE
∴CE ＝，EO ，故8.
CO 99EO
分类不当、考虑不全致误
典例：(5分) 已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，若AD ＝BD ·CD ，则△ABC 的形状是________．
易错分析 我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项．反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的△ABC 不一定是直角三角形．
解析 若点D 在线段BC 上，如图1所示，由AD ＝BD ·CD ，可证△ABD ∽△CAD ，从而可得△ABC 是直角三角形．
22
若点D 在线段BC 的延长线上，如图2所示，则仍可证△ABD ∽△CAD ，但△ABC 是钝角三角形．
综上所述，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 答案 直角三角形或钝角三角形
温馨提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用
.
方法与技巧
1．从平行线等分线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导，注意定理推导过程从特
殊到一般的思考方法．类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的． 2．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关
系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
3．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定
理和圆有关的比例线段定理是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题．
4．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦
切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 失误与防范
圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分．在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线就要想到切割线定理
.
A 组 专项基础训练
1．(2013·湖南) 如图，在半径为的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，
则圆心O 到弦CD 的距离为________．
3
答案 2解析 在⊙O 中，PA ·PB ＝PC ·PD ， ∴2×2＝PC ×1，∴PC ＝4，∴CD ＝5.
522
∴圆心O 到CD 的距离为 ()－⎛⎝2＝
＝. 42
2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点 M
分别交AD ，AC 于点E ，F . 若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________. 答案 1∶4
解析 ∵AD ＝
3
AE ，∴点E 是AD 的三等分点．取ED 中点
G ，连接BG ，∴EM ∥BG . 同理，易得AC 在一组等距离平行线中，∴AF ∶FC ＝1∶4.
3．(2013·北京) 如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交
于D ，若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.
9
答案 4
5
解析 由PD ∶DB ＝9∶16. 设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA ＝
19
PD ·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝PD ＝在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝
552－P A 2＝52－32＝4.
4．(2013·广东) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝
________.
2
答案
21
2
解析 如图，作DF ⊥AC 于点F ，
由AB ＝，BC ＝3知∠BAC ＝60°.
3
从而AE CF ，DF ＝，
222
所以EF ＝AC －AE －CF ＝2－－＝22
921
所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝3＝
44
所以DE ＝2
5．(2013·陕西) 如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线
与AD 的延长线相交于点P . 已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________. 答案
6
解析 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，
PE PD 2
∴△PDE ∽△PEA ，∴，则PE ＝PA ·PD ，
PA PE 又∵PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝·PD ＝6.
6．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.
1
答案 3
解析 由射影定理得CD ＝AD ·BD ，
又BD ∶
AD
＝
1
∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .
2
Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝
BD x 1＝. CD 3x 3
7. 如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与
圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 等于________． 答案
3
2
解析 由切割线定理可得PA ＝PB ·PC ，
2
PA 4
即PC ＝＝4，
PB 1所以BC ＝PC －PB ＝3，
因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，
所以AC ＝BC ＋AB ＝9＋3＝12， 即AC ＝＝2， 所以2R ＝，即R 8．(2013·重庆) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C
作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5
解析 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.
∵AB ＝20，∴AC ＝10，BC ＝103. ∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ，
即(52＝15DE ，∴DE ＝5.
2
2
2
9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝3，则圆O 的半径OC 的长为________．
答案 5
解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC ) ＝AD ·(AD ＋DB ) ，即(3－OC )·(3＋OC ) ＝5×(5＋8) ，解得OC ＝5.
10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O
逆时针旋转
60°得到OD ，则PD 的长为________．
答案 7
解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°. 在△POD
1中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(＝7，故PD 2
＝11．如图，AC 为圆O 的直径，BD ⊥AC 于点P ，若PC ＝2，AP ＝8，则cos ∠ACB 的值为________．
答案 55
解析 由题意得DP ＝BP ，利用相交弦定理得DP ·BP ＝PC ·AP ，即BP 2＝PC ·AP ＝2×8＝16，解得BP ＝4. 在Rt △BPC 中，由勾股定理得BC 2＝BP 2＋CP 2＝16＋4＝20，所以BC ＝
BC 22 于是在Rt △ACB 中，cos ∠ACB
. AC 105
12．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，
PC ＝6，则PA ·PB ＝________.
答案 12
解析 由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝
6＋x 4CD AD ∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA . 又PC ＝6，设PD ＝x ，解得x ＝2AD PD 4x
或x ＝－8(舍去) ，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC
·PD ＝6×2＝12.
B 组 专项能力提升
1．(2012·广东) 如图所示， 圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，
满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，
则PA ＝________.
答案 3
解析 连接OA . ∵AP 为⊙O 的切线，
∴OA ⊥AP .
又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.
∴在Rt △OAP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝2．(2012·陕西) 如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为
E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.
答案 5
解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.
∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.
在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，
∴由射影定理得DF ·DB ＝DE ＝5.
3．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm，高AD ＝8 cm，要把它加工成正方形零件，
使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.
答案 4.8
解析 设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，
顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，
设正方形的边长为x cm.
∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC .
8－x x AE PN ∴∴. AD BC 812
解得x ＝4.8.
即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm.
4. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，
则AD ∶BC ＝________.
答案 2∶5
解析 设AC ＝k ，
则AB ＝2k ，BC ＝k ，
∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，
∴AC 2＝CD ·BC ，
∴k 2＝CD
k ，
2
∴CD ， 5
4k ， 5
44∴AD 2＝CD ·BD k k 2， 555
2∴AD ＝k ， 5又BD ＝BC －CD ＝
∴AD ∶BC ＝2∶5.
5. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延
长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC . 若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的
面积为________．
答案 6
解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝，
由Rt △DFB ∽Rt △ENB ，
EN BE 知 DF BD
3所以EN ，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD 10
1111310＋S △BCD ＝AB ·DF ＋·EN ×3×3＋××6. 222210
6．(2013·天津) 如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .
过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . 若AB
＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．
8
答案 3
解析 设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，由切割线定理知x (x ＋5) ＝62，∴x ＝4.
∵AC ∥ED ，AB ＝AC ，
∴AB ＝CD .
∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠6，∴AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形．
∴
AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD .
AC CF ∴. BD 6－CF
4CF 8即＝∴CF ＝. 56－CF 3
7. 如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中
点，连接CE 并延长交圆O 于F . 若CD ＝，则AB ＝________，EF ＝________.
2答案 3 3
解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .
∵CD ⊥AB 于D ，
∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .
∵AD ＝2BD ，CD ＝，
∴(2) ＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，
∴AD ＝2BD ＝2，
∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.
在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，
1∴DE ＝AD ＝1，又CD ＝， 2
∴CE ＝＋DE ＝，
又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，
AE ·EB 2由相交弦定理得EF ＝
CE 3222
§14.1 几何证明选讲
1．平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例． 3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 4．圆周角定理
(1)(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径) 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 5．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质
定理1：圆的内接四边形的对角互补．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 6．圆的切线的性质及判定定理
(1)性质
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
(2)7．弦切角的性质
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 8．与圆有关的比例线段
(1)
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
1． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切
点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________. 答案 120°
BE
2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ∥AC ，EF ⊥BC
EA
3
，BD ＝6，则FC ＝
________.
2
答案
325
BE 3
解析 由DE ∥AC ＝BD ＝6知DC ＝4.
EA 2又EF ∥AD ， 6－FD 31232＝FD ＝FC ＝FD ＋DC ＝FD 255
3．如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD
＝2，BD ＝4，则EA ＝
________.
答案
5
2
4．如图，圆上的劣弧CBD 所对的弦长CD ＝，弦AB 是线段CD 的垂直平行线，AB ＝2，
则线段AC 的长度为________．
答案
3
解析 依题意，弦AB 为圆的直径，设圆心为O ，CD 与AB 相交于点E ，如图，连接CO ，则OE OC 2－CE 2＝ 3()2＋2＝3. 22
1－2113
)＝，∴AE ＝AO ＋OE ＝1＋，∴AC
＝AE 2＋CE 22222
5．(2012·湖南) 如图所示，
过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．
答案 6
解析 设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵PA ＝1，AB ＝2，
∴PB ＝P A ＋AB ＝3.
延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r . 设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，PA ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r ) ，∴9－r 2＝3，∴r ＝
题型一 平行线分线段成比例定理的应用
例1 如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE . 连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 与H . 如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________． 答案 2
HF AF 解 ∵AH ∥BE ，∴.
HE AB HF 1
∵AB ＝4AF ，＝HE 4∵HE ＝8，∴HF ＝2.
HD AD
∵AH ∥BE ，∴DE DC
HD
∵D 是AC 的中点，∴1.
DE ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.
思维升华 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；
(3)要注意“中间量”的运用与转化．
如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中
BF
点，AE 交BC 于点F ________．
FC
1
答案 2解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， BF BF 1∴＝＝FC FM ＋MC 2题型二 圆的切割线定理的应用
例2 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上一点，AD ，BC 相交于点E .
若F 为CE 上一点且使得∠EDF ＝∠P ，已知EF ＝1，EB ＝2，PB ＝4，则P A 的长为________． 答案 6
解析 ∵∠EDF ＝∠P ， 又∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA ， EF ED 有＝ EA EP 即EF ·EP ＝EA ·ED .
而AD ，BC 是⊙O 的相交弦， ∴EC ·EB ＝EA ·ED ，
故EC ·EB ＝EF ·EP ，
EF ·EP 1×(2＋4)
∴EC ＝＝＝3.
EB 2
由切割线定理有PA 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4) ＝36， ∴PA ＝6.
思维升华 在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．
一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，
要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线
定理中线段之间的关系的区别．
(2013·广东) 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，
过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝
________.
答案 2解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE AE AC 222
＝2，又AC ＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝2，在△ABC 中，BC －AC ＝
AC AD －24＝23.
题型三 圆的有关性质的综合应用
例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .
1
若△ABC 的面积S ＝AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．
2答案 90°
解析 由已知条件， 可得∠BAE ＝∠CAD .
因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .
AB AD 故△ABE ∽△ADC . 所以
AE AC 即AB ·AC ＝AD ·AE .
11又S ＝·AC sin ∠BAC ，且S AD ·AE ，
22故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ， 则sin ∠BAC ＝1.
又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.
思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．
(2013·湖北) 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D
CE
在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则________．
EO
答案 8
解析 易知△CDO ∽△CED ， CD CO ∴ CE CD
21
设圆O 半径为R ，则AD ，OD ＝R ，
33
128222
∴CD ＝R －() ，
392
CD 81CE
∴CE ＝，EO ，故8.
CO 99EO
分类不当、考虑不全致误
典例：(5分) 已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，若AD ＝BD ·CD ，则△ABC 的形状是________．
易错分析 我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项．反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的△ABC 不一定是直角三角形．
解析 若点D 在线段BC 上，如图1所示，由AD ＝BD ·CD ，可证△ABD ∽△CAD ，从而可得△ABC 是直角三角形．
22
若点D 在线段BC 的延长线上，如图2所示，则仍可证△ABD ∽△CAD ，但△ABC 是钝角三角形．
综上所述，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 答案 直角三角形或钝角三角形
温馨提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用
.
方法与技巧
1．从平行线等分线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导，注意定理推导过程从特
殊到一般的思考方法．类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的． 2．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关
系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
3．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定
理和圆有关的比例线段定理是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题．
4．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦
切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 失误与防范
圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分．在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线就要想到切割线定理
.
A 组 专项基础训练
1．(2013·湖南) 如图，在半径为的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，
则圆心O 到弦CD 的距离为________．
3
答案 2解析 在⊙O 中，PA ·PB ＝PC ·PD ， ∴2×2＝PC ×1，∴PC ＝4，∴CD ＝5.
522
∴圆心O 到CD 的距离为 ()－⎛⎝2＝
＝. 42
2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点 M
分别交AD ，AC 于点E ，F . 若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________. 答案 1∶4
解析 ∵AD ＝
3
AE ，∴点E 是AD 的三等分点．取ED 中点
G ，连接BG ，∴EM ∥BG . 同理，易得AC 在一组等距离平行线中，∴AF ∶FC ＝1∶4.
3．(2013·北京) 如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交
于D ，若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.
9
答案 4
5
解析 由PD ∶DB ＝9∶16. 设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA ＝
19
PD ·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝PD ＝在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝
552－P A 2＝52－32＝4.
4．(2013·广东) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝
________.
2
答案
21
2
解析 如图，作DF ⊥AC 于点F ，
由AB ＝，BC ＝3知∠BAC ＝60°.
3
从而AE CF ，DF ＝，
222
所以EF ＝AC －AE －CF ＝2－－＝22
921
所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝3＝
44
所以DE ＝2
5．(2013·陕西) 如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线
与AD 的延长线相交于点P . 已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________. 答案
6
解析 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，
PE PD 2
∴△PDE ∽△PEA ，∴，则PE ＝PA ·PD ，
PA PE 又∵PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝·PD ＝6.
6．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.
1
答案 3
解析 由射影定理得CD ＝AD ·BD ，
又BD ∶
AD
＝
1
∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .
2
Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝
BD x 1＝. CD 3x 3
7. 如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与
圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 等于________． 答案
3
2
解析 由切割线定理可得PA ＝PB ·PC ，
2
PA 4
即PC ＝＝4，
PB 1所以BC ＝PC －PB ＝3，
因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，
所以AC ＝BC ＋AB ＝9＋3＝12， 即AC ＝＝2， 所以2R ＝，即R 8．(2013·重庆) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C
作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5
解析 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.
∵AB ＝20，∴AC ＝10，BC ＝103. ∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ，
即(52＝15DE ，∴DE ＝5.
2
2
2
9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝3，则圆O 的半径OC 的长为________．
答案 5
解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC ) ＝AD ·(AD ＋DB ) ，即(3－OC )·(3＋OC ) ＝5×(5＋8) ，解得OC ＝5.
10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O
逆时针旋转
60°得到OD ，则PD 的长为________．
答案 7
解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°. 在△POD
1中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(＝7，故PD 2
＝11．如图，AC 为圆O 的直径，BD ⊥AC 于点P ，若PC ＝2，AP ＝8，则cos ∠ACB 的值为________．
答案 55
解析 由题意得DP ＝BP ，利用相交弦定理得DP ·BP ＝PC ·AP ，即BP 2＝PC ·AP ＝2×8＝16，解得BP ＝4. 在Rt △BPC 中，由勾股定理得BC 2＝BP 2＋CP 2＝16＋4＝20，所以BC ＝
BC 22 于是在Rt △ACB 中，cos ∠ACB
. AC 105
12．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，
PC ＝6，则PA ·PB ＝________.
答案 12
解析 由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝
6＋x 4CD AD ∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA . 又PC ＝6，设PD ＝x ，解得x ＝2AD PD 4x
或x ＝－8(舍去) ，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC
·PD ＝6×2＝12.
B 组 专项能力提升
1．(2012·广东) 如图所示， 圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，
满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，
则PA ＝________.
答案 3
解析 连接OA . ∵AP 为⊙O 的切线，
∴OA ⊥AP .
又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.
∴在Rt △OAP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝2．(2012·陕西) 如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为
E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.
答案 5
解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.
∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.
在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，
∴由射影定理得DF ·DB ＝DE ＝5.
3．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm，高AD ＝8 cm，要把它加工成正方形零件，
使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.
答案 4.8
解析 设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，
顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，
设正方形的边长为x cm.
∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC .
8－x x AE PN ∴∴. AD BC 812
解得x ＝4.8.
即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm.
4. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，
则AD ∶BC ＝________.
答案 2∶5
解析 设AC ＝k ，
则AB ＝2k ，BC ＝k ，
∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，
∴AC 2＝CD ·BC ，
∴k 2＝CD
k ，
2
∴CD ， 5
4k ， 5
44∴AD 2＝CD ·BD k k 2， 555
2∴AD ＝k ， 5又BD ＝BC －CD ＝
∴AD ∶BC ＝2∶5.
5. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延
长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC . 若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的
面积为________．
答案 6
解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝，
由Rt △DFB ∽Rt △ENB ，
EN BE 知 DF BD
3所以EN ，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD 10
1111310＋S △BCD ＝AB ·DF ＋·EN ×3×3＋××6. 222210
6．(2013·天津) 如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .
过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . 若AB
＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．
8
答案 3
解析 设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，由切割线定理知x (x ＋5) ＝62，∴x ＝4.
∵AC ∥ED ，AB ＝AC ，
∴AB ＝CD .
∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠6，∴AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形．
∴
AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD .
AC CF ∴. BD 6－CF
4CF 8即＝∴CF ＝. 56－CF 3
7. 如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中
点，连接CE 并延长交圆O 于F . 若CD ＝，则AB ＝________，EF ＝________.
2答案 3 3
解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .
∵CD ⊥AB 于D ，
∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .
∵AD ＝2BD ，CD ＝，
∴(2) ＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，
∴AD ＝2BD ＝2，
∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.
在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，
1∴DE ＝AD ＝1，又CD ＝， 2
∴CE ＝＋DE ＝，
又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，
AE ·EB 2由相交弦定理得EF ＝
CE 3222