按应力函数求解
逆解法（应用一）
逆解法与半逆解法 逆解法（应用二）
半逆解法
∂ 2 Φ ( x, y ) − fx x σ x = ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) − fy y σ y = ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
区域内应 满足的基 本方程
（1）应力函数 Φ 已知，面力未知； （1）应力函数 Φ 含待定参数，面力已 （1）假设应力分量； （2）校核应力函数 Φ 满足相容方 知； （2） 由假设的应力分量反推应力函数 Φ 的一般函数 程； （2）校核应力函数 Φ 满足相容方程； 形式（含待定函数） ；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（3）求应力分量；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（3）求应力分量；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) σy = − fy y ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) σy = − fy y ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) ∂ 2 Φ ( x, y ) − fx x − fy y σx = σy = ∂y 2 ∂x 2 2 τ = − ∂ Φ ( x, y ) xy ∂x∂y （3）校核 Φ ，使之满足相容方程，求出其具体表达
式（含待定参数） ；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（4）求应力分量的具体表达式（含待定参数） ；
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 2 τ = − ∂ Φ ( x, y ) xy ∂x∂y
σy =
∂ 2 Φ ( x, y ) − fy y ∂x 2
主要边界应用精确边界条 件：
（4）对于每个边界，均由下式反 推边界上的面力；
（4）校核边界条件，据此求待定参数； （5）校核边界条件，据此求待定参数； 主要边界应用精确边界条件： 主要边界应用精确边界条件：
边界上应 满足的边 次要边界上应用圣维南原理 界条件 （三个积分边界条件公式） （全部为应力边界条件） 未 知 量 ― 应力函数（常体力下） 应力函数（常体力下） 应 力 、 应 （按应力函数求解） 按应力函数求解）
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
f x ( s ) = (σ x l + τ xy m) s f y ( s ) = (τ xy l + σ y m) s
（5）主要边界上面力不做进一步 处理；而小边界上面力如果为分布 函数，进行静力等效变换，求主失 和主矩。
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
次要边界上应用圣维南原理 （三个 积分边界条件公式）
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
次要边界上应用圣维南原理（三个积分边界条件 公式）
根据面力分布分析所能求解的问 求得应力 应力， 进一步求解 求解应变和位移 根据面力分布 分析所能求解的问 求得应力，可进一步求解应变和位移 题
求得应力， 进一步求解应变和位移 求得应力，可进一步求解应变和位移 应力 求解
变、位移
按应力函数求解
逆解法（应用一）
逆解法与半逆解法 逆解法（应用二）
半逆解法
∂ 2 Φ ( x, y ) − fx x σ x = ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) − fy y σ y = ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
区域内应 满足的基 本方程
（1）应力函数 Φ 已知，面力未知； （1）应力函数 Φ 含待定参数，面力已 （1）假设应力分量； （2）校核应力函数 Φ 满足相容方 知； （2） 由假设的应力分量反推应力函数 Φ 的一般函数 程； （2）校核应力函数 Φ 满足相容方程； 形式（含待定函数） ；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（3）求应力分量；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（3）求应力分量；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) σy = − fy y ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) σy = − fy y ∂x 2 ∂ 2 Φ ( x, y ) τ xy = − ∂x∂y
∂ 2 Φ ( x, y ) ∂ 2 Φ ( x, y ) − fx x − fy y σx = σy = ∂y 2 ∂x 2 2 τ = − ∂ Φ ( x, y ) xy ∂x∂y （3）校核 Φ ，使之满足相容方程，求出其具体表达
式（含待定参数） ；
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
（4）求应力分量的具体表达式（含待定参数） ；
∂ 2 Φ ( x, y ) σx = − fx x ∂y 2 2 τ = − ∂ Φ ( x, y ) xy ∂x∂y
σy =
∂ 2 Φ ( x, y ) − fy y ∂x 2
主要边界应用精确边界条 件：
（4）对于每个边界，均由下式反 推边界上的面力；
（4）校核边界条件，据此求待定参数； （5）校核边界条件，据此求待定参数； 主要边界应用精确边界条件： 主要边界应用精确边界条件：
边界上应 满足的边 次要边界上应用圣维南原理 界条件 （三个积分边界条件公式） （全部为应力边界条件） 未 知 量 ― 应力函数（常体力下） 应力函数（常体力下） 应 力 、 应 （按应力函数求解） 按应力函数求解）
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
f x ( s ) = (σ x l + τ xy m) s f y ( s ) = (τ xy l + σ y m) s
（5）主要边界上面力不做进一步 处理；而小边界上面力如果为分布 函数，进行静力等效变换，求主失 和主矩。
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
次要边界上应用圣维南原理 （三个 积分边界条件公式）
(σ x l + τ xy m) s = f x ( s ) (τ xy l + σ y m) s = f y ( s )
次要边界上应用圣维南原理（三个积分边界条件 公式）
根据面力分布分析所能求解的问 求得应力 应力， 进一步求解 求解应变和位移 根据面力分布 分析所能求解的问 求得应力，可进一步求解应变和位移 题
求得应力， 进一步求解应变和位移 求得应力，可进一步求解应变和位移 应力 求解
变、位移