第一部分 基础知识
1. 定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2. 二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
3. 二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.
4. 二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9. 抛物线 中， 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 的对称轴是直线
，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点; ② , 与 轴交于正半轴；③ , 与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12. 直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
二次函数
I. 定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III. 二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质
1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2. 抛物线有一个顶点P ，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）
6. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b^2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
V. 二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
答案补充
画抛物线y ＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y ＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y ＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h ＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax2的顶点在原点
答案补充
如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x 是自变量，y 是x 的函数
二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
第一部分 基础知识
1. 定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2. 二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
3. 二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.
4. 二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9. 抛物线 中， 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 的对称轴是直线
，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点; ② , 与 轴交于正半轴；③ , 与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12. 直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
二次函数
I. 定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III. 二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质
1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2. 抛物线有一个顶点P ，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；
当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）
6. 抛物线与x 轴交点个数
Δ= b^2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
V. 二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
答案补充
画抛物线y ＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y ＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y ＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h ＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax2的顶点在原点
答案补充
如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x 是自变量，y 是x 的函数
二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)