第３４卷第７期２００４年７月
数学的实践与认识
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥ
ｖ０１．３４Ｎｏ．７
ＡＮＤＴＨＥＯＲＹ
Ｊｕｌｙ．２（）０４
皮尔曲线模型的推广及其应用
叶宗裕
【浙江师范大学工商管理学院．浙江金华
３２ｌ００４）
摘要：
在分析皮尔曲线模型增长特性的基础上，提出ｒ１４种推广模型，并依据这蝗模型建立ｒ几剃ｔ主要
耐ｊ｛ｊ消赞品拥有晴的预测模型．预测模型的精度很高．
关键词：皮尔曲线模型；增长特性；推广模型；预测
ｌ
引言
皮尔（ＲａｙｍｏｎｄＰｅａｒｌ）是美国生物学家和统计学家．以他的名字命名的曲线较好地描述了生物生长的过程和新产品的销售过程，可以用来预测耐用消费品的拥有量．
皮尔曲线也被称为ｌｏｇｉｓｔｉｃ曲线，其模型可由微分方程
鲁刊儿Ｌ—ｙ）
解得．将（１）式分离变量并积分得
（１）
圭ｌｎ点一舡＋ｆ
记是Ｌ一／）＇（Ｌ一“，则（２）式化为
ｌｎ
（２）
ＦＬ＝（ｆ＋阮ｌ－一）
ｙ
（３）
由（３）式解得
２
ｆ．
ｆ瓦Ｆ再
（４）
（４）式即为皮尔曲线模型，式中Ｌ，以，６是参数．具体应用时，根据ｊ，的样本值，用（３）式进行线
性回归，再用（４）式进行预测．由以上各方程容易看出：ｙ＜Ｌ，警＞ｏ，ｆ一＋ｏ。时，ｙ—Ｌ，即
ｙ（ｆ）单调增加，Ｌ是ｊ，的增长上限（称为饱和量）．由少（ｆ）＝走ｊ，’（Ｌ一２ｙ）＝ｏ得曲线（４）的拐点坐标为（一“肋，Ｌ／２），即开始时ｙ的增长速度不断加快，当ｙ达到其饱和量的一半时，ｙ的增长速度最快，其后增长速度将开始下降．
皮尔曲线的这种增长特性符合各种耐用消费品拥有量的增长过程．但在具体建立预测模型时，其拟合效果并不理想，需要寻求另外的预测模型．
２皮尔曲线模型的推广
我们可以得到皮尔曲线模型的许多种推广形式，其增长特性与皮尔曲线相同，但具体过程却有所不同．这些模型能用于预测耐用消费品的拥有量．
收稿日期ｌ２００３一ｏｌ一２７
７期
叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用７３
推广模型１设ｙ（￡）满足微分方程
鲁一是ｙ（厄一行）
分离变量并积分之，可得
（５）
ｈ瓦掣万～舶ｔｌ。一＿Ｙ
ｑ
Ｌ
（６）
（７）
田ｙ（￡）２ｕ廿Ｊ得兵弼点纵坐标ｙ一４』一／９．
点纵坐标）！孥＝志／歹（Ｌ—ｙ），ｌｎ糕＝口＋缸，ｙ＝Ｌ（ｒ莲雨一１）２，拐点纵坐标ｙ＝
Ｉ．坞．
推广模型２（为节省篇幅，以下各模型仅写出分别同式（５）、（６）、（７）相对应的方程及拐
推广模型３警＝正行（仃一行），ｌｎ（厄一行）一ｎ＋断，ｙ＝（厄叫＋栅）ｚ，
拐点纵坐标ｙ—Ｌ／４．
推广模型４推广模型５
等．
』塑
害一皇ｙ江２一ｊ，２）＇ｌｎ参与一ｎ＋帆ｙ一南，拐点纵坐标ｙ一去．象一皇ｙ（Ｆ—ｙ３）’ｌｎ矛与一日＋∽ｙ＝嘉，拐点纵坐标ｙ一寺．类似地还有害＝是ｙ（∥一ｙ４），ｌｎ南一口＋断，ｙ＝南，拐点纵坐标ｙ一弓导象一缸２四，』等型一以＋＆，ｙ＝了志，拐点纵坐标ｙ＝
推广模型６
。
＾。
推广模型７等一皇ｙ（１ｎＬ—ｌｎ∥），ｌｎｌｎ多＝以＋断，ｙ—Ｌｅｌ“钾，拐点纵坐标ｊ，＝Ｌ儿．这
就是著名的龚珀兹（ＢｅｎｊａｍｉｎＧｏｍｐｅｒｔｚ）曲线模型．
满足方程ｌｎＬ＝盟袢．
推广模型８推广模型９
鲁＝ｂｌｎｙ（１ｎＬ～ｌｎｙ），ｌｎ忐＝盘＋断，ｙ一三去，拐点纵坐标ｊ，
鲁＝ｂｌｎｙ（伺：一瓜歹），
点纵坐标ｙ满足方程ｌｎＬ一（署鼍书）２ｌｎｙ．
推广模型１０鲁呐何（ＩｎＬ“儿ｌｎ糕＝ａ仙，ｌｎｙ＝（１一南）２ｌｎＬ，拐点纵坐标ｙ满足方程ｌｎＬ＝望％拌．
ｈ志…钒ｙ＝Ｌ南，拐
７期
叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用
７５
序列ｙ计算时间序列Ｔ—ｌｎ南，将序列．ｒ对时间ｆ进行线性回归，回归方程为
‘。
．，
．毒一一１２．９６５８６＋Ｏ．７１８２８２￡，
￡一１，２，…，１８
所以电话机拥有量的预测模型为
。扩ＦＦ＿≯丽丽项丽丽
其预测的平均绝对百分误差（ＭＡＰＥ）为１２．３４，而１９９４—２００２年的ＭＡＰＥ仅为５．５２，表明预测精度较高．
例２
０一一
兰Ｚ星！竺
１９８６—２００１年全国城镇居民家庭平均每百户电冰箱拥有量（台）如表２，试建立适
宜的预测模型（资料来源：中国统计年鉴）．
表２
年份台数
６２．１
从折线图可以看出，拐点坐标为（１９８９，３６．４７）．通过对各模型进行试计算，选用推广模型１２作为预测模型，预测精度最好．其计算过程如下：
将拐点纵坐标ｊ，２
３６・４７代人拐点纵坐标方程ｌｎ
１ｔ、ｒ
ｌｎＬ—ｌｎ
Ｉｎｙ＋采若玎，可得饱和量Ｌ一
８７．４１．由序列ｙ计算序列ｚ—Ｉｎ
ｌｎ羔，将序列ｚ对时间ｆ进行线性回归，回归方程为…／
￡一１，２，…，１６
童＝一Ｏ．４９９１６４—０．２２７９２６ｆ，
所以电冰箱拥有量的预测模型为
ｌｎ
０一ｌｎ
８７．４１×ｅ—ｅ叫。４９口１６４刈２２７９２甜
其预测的ＭＡＰＥ仅为３．８３，而１９９２—２００１年的ＭＡＰＥ更低达ｏ．７２，预测精度很高．
例３
１９８６—２００１年全国城镇居民家庭平均每百户彩色电视机拥有量（台）如表３，试建
立适宜的预测模型（资料来源：中国统计年鉴）．
表３
年份台数
１９９４８６．２ｌ
１９９５８９．７９
１９９６９３．５
１９９７ｌｏｏ．４８
１９９８１９９９２０００
２００ｌｌ２０．５２
１０５．４３１１１．５７１１６．５６
从折线图可以看出，拐点坐标为（１９９１，６８．４１），通过对各模型进行试计算，选用推广模型１作为预测模型，预测精度最好．计算过程如下：
计算序列ｚ＝ｌｎ志，将序列ｚ对时间￡进行线性回归，回归方程为
将拐点纵坐标∥一６８．４１代人拐点纵坐标方程ｙ一鲁Ｌ，可得饱和量Ｌ＝１５３．９．由序列ｊ，
皮尔曲线模型的推广及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
叶宗裕
浙江师范大学工商管理学院,浙江,金华,321004数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2004,34(7)4次
参考文献(2条)
1. 易丹辉 统计预测--方法与应用 20012. 杨启帆;边馥萍 数学模型 1990
引证文献(4条)
1. 谢勇军. 李增杰. 罗正东 皮尔曲线在预测隧道围岩变形中的应用[期刊论文]-科技致富向导 2010(12)2. 刘加奇. 袁文燕 Logistic模型的改进——双S形曲线模型的研究[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(17)3. 王晓睿. 王元汉 基于Logistic-Verhulst模型的云岭隧道围岩位移预测[期刊论文]-昆明理工大学学报（理工版） 2007(5)
4. 高中奇. 赵一飞 腹地型集装箱枢纽港发展潜力定量评价模型及应用[期刊论文]-集装箱化 2007(5)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxdsjyrs200407013.aspx
第３４卷第７期２００４年７月
数学的实践与认识
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥ
ｖ０１．３４Ｎｏ．７
ＡＮＤＴＨＥＯＲＹ
Ｊｕｌｙ．２（）０４
皮尔曲线模型的推广及其应用
叶宗裕
【浙江师范大学工商管理学院．浙江金华
３２ｌ００４）
摘要：
在分析皮尔曲线模型增长特性的基础上，提出ｒ１４种推广模型，并依据这蝗模型建立ｒ几剃ｔ主要
耐ｊ｛ｊ消赞品拥有晴的预测模型．预测模型的精度很高．
关键词：皮尔曲线模型；增长特性；推广模型；预测
ｌ
引言
皮尔（ＲａｙｍｏｎｄＰｅａｒｌ）是美国生物学家和统计学家．以他的名字命名的曲线较好地描述了生物生长的过程和新产品的销售过程，可以用来预测耐用消费品的拥有量．
皮尔曲线也被称为ｌｏｇｉｓｔｉｃ曲线，其模型可由微分方程
鲁刊儿Ｌ—ｙ）
解得．将（１）式分离变量并积分得
（１）
圭ｌｎ点一舡＋ｆ
记是Ｌ一／）＇（Ｌ一“，则（２）式化为
ｌｎ
（２）
ＦＬ＝（ｆ＋阮ｌ－一）
ｙ
（３）
由（３）式解得
２
ｆ．
ｆ瓦Ｆ再
（４）
（４）式即为皮尔曲线模型，式中Ｌ，以，６是参数．具体应用时，根据ｊ，的样本值，用（３）式进行线
性回归，再用（４）式进行预测．由以上各方程容易看出：ｙ＜Ｌ，警＞ｏ，ｆ一＋ｏ。时，ｙ—Ｌ，即
ｙ（ｆ）单调增加，Ｌ是ｊ，的增长上限（称为饱和量）．由少（ｆ）＝走ｊ，’（Ｌ一２ｙ）＝ｏ得曲线（４）的拐点坐标为（一“肋，Ｌ／２），即开始时ｙ的增长速度不断加快，当ｙ达到其饱和量的一半时，ｙ的增长速度最快，其后增长速度将开始下降．
皮尔曲线的这种增长特性符合各种耐用消费品拥有量的增长过程．但在具体建立预测模型时，其拟合效果并不理想，需要寻求另外的预测模型．
２皮尔曲线模型的推广
我们可以得到皮尔曲线模型的许多种推广形式，其增长特性与皮尔曲线相同，但具体过程却有所不同．这些模型能用于预测耐用消费品的拥有量．
收稿日期ｌ２００３一ｏｌ一２７
７期
叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用７３
推广模型１设ｙ（￡）满足微分方程
鲁一是ｙ（厄一行）
分离变量并积分之，可得
（５）
ｈ瓦掣万～舶ｔｌ。一＿Ｙ
ｑ
Ｌ
（６）
（７）
田ｙ（￡）２ｕ廿Ｊ得兵弼点纵坐标ｙ一４』一／９．
点纵坐标）！孥＝志／歹（Ｌ—ｙ），ｌｎ糕＝口＋缸，ｙ＝Ｌ（ｒ莲雨一１）２，拐点纵坐标ｙ＝
Ｉ．坞．
推广模型２（为节省篇幅，以下各模型仅写出分别同式（５）、（６）、（７）相对应的方程及拐
推广模型３警＝正行（仃一行），ｌｎ（厄一行）一ｎ＋断，ｙ＝（厄叫＋栅）ｚ，
拐点纵坐标ｙ—Ｌ／４．
推广模型４推广模型５
等．
』塑
害一皇ｙ江２一ｊ，２）＇ｌｎ参与一ｎ＋帆ｙ一南，拐点纵坐标ｙ一去．象一皇ｙ（Ｆ—ｙ３）’ｌｎ矛与一日＋∽ｙ＝嘉，拐点纵坐标ｙ一寺．类似地还有害＝是ｙ（∥一ｙ４），ｌｎ南一口＋断，ｙ＝南，拐点纵坐标ｙ一弓导象一缸２四，』等型一以＋＆，ｙ＝了志，拐点纵坐标ｙ＝
推广模型６
。
＾。
推广模型７等一皇ｙ（１ｎＬ—ｌｎ∥），ｌｎｌｎ多＝以＋断，ｙ—Ｌｅｌ“钾，拐点纵坐标ｊ，＝Ｌ儿．这
就是著名的龚珀兹（ＢｅｎｊａｍｉｎＧｏｍｐｅｒｔｚ）曲线模型．
满足方程ｌｎＬ＝盟袢．
推广模型８推广模型９
鲁＝ｂｌｎｙ（１ｎＬ～ｌｎｙ），ｌｎ忐＝盘＋断，ｙ一三去，拐点纵坐标ｊ，
鲁＝ｂｌｎｙ（伺：一瓜歹），
点纵坐标ｙ满足方程ｌｎＬ一（署鼍书）２ｌｎｙ．
推广模型１０鲁呐何（ＩｎＬ“儿ｌｎ糕＝ａ仙，ｌｎｙ＝（１一南）２ｌｎＬ，拐点纵坐标ｙ满足方程ｌｎＬ＝望％拌．
ｈ志…钒ｙ＝Ｌ南，拐
７期
叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用
７５
序列ｙ计算时间序列Ｔ—ｌｎ南，将序列．ｒ对时间ｆ进行线性回归，回归方程为
‘。
．，
．毒一一１２．９６５８６＋Ｏ．７１８２８２￡，
￡一１，２，…，１８
所以电话机拥有量的预测模型为
。扩ＦＦ＿≯丽丽项丽丽
其预测的平均绝对百分误差（ＭＡＰＥ）为１２．３４，而１９９４—２００２年的ＭＡＰＥ仅为５．５２，表明预测精度较高．
例２
０一一
兰Ｚ星！竺
１９８６—２００１年全国城镇居民家庭平均每百户电冰箱拥有量（台）如表２，试建立适
宜的预测模型（资料来源：中国统计年鉴）．
表２
年份台数
６２．１
从折线图可以看出，拐点坐标为（１９８９，３６．４７）．通过对各模型进行试计算，选用推广模型１２作为预测模型，预测精度最好．其计算过程如下：
将拐点纵坐标ｊ，２
３６・４７代人拐点纵坐标方程ｌｎ
１ｔ、ｒ
ｌｎＬ—ｌｎ
Ｉｎｙ＋采若玎，可得饱和量Ｌ一
８７．４１．由序列ｙ计算序列ｚ—Ｉｎ
ｌｎ羔，将序列ｚ对时间ｆ进行线性回归，回归方程为…／
￡一１，２，…，１６
童＝一Ｏ．４９９１６４—０．２２７９２６ｆ，
所以电冰箱拥有量的预测模型为
ｌｎ
０一ｌｎ
８７．４１×ｅ—ｅ叫。４９口１６４刈２２７９２甜
其预测的ＭＡＰＥ仅为３．８３，而１９９２—２００１年的ＭＡＰＥ更低达ｏ．７２，预测精度很高．
例３
１９８６—２００１年全国城镇居民家庭平均每百户彩色电视机拥有量（台）如表３，试建
立适宜的预测模型（资料来源：中国统计年鉴）．
表３
年份台数
１９９４８６．２ｌ
１９９５８９．７９
１９９６９３．５
１９９７ｌｏｏ．４８
１９９８１９９９２０００
２００ｌｌ２０．５２
１０５．４３１１１．５７１１６．５６
从折线图可以看出，拐点坐标为（１９９１，６８．４１），通过对各模型进行试计算，选用推广模型１作为预测模型，预测精度最好．计算过程如下：
计算序列ｚ＝ｌｎ志，将序列ｚ对时间￡进行线性回归，回归方程为
将拐点纵坐标∥一６８．４１代人拐点纵坐标方程ｙ一鲁Ｌ，可得饱和量Ｌ＝１５３．９．由序列ｊ，
皮尔曲线模型的推广及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
叶宗裕
浙江师范大学工商管理学院,浙江,金华,321004数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2004,34(7)4次
参考文献(2条)
1. 易丹辉 统计预测--方法与应用 20012. 杨启帆;边馥萍 数学模型 1990
引证文献(4条)
1. 谢勇军. 李增杰. 罗正东 皮尔曲线在预测隧道围岩变形中的应用[期刊论文]-科技致富向导 2010(12)2. 刘加奇. 袁文燕 Logistic模型的改进——双S形曲线模型的研究[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(17)3. 王晓睿. 王元汉 基于Logistic-Verhulst模型的云岭隧道围岩位移预测[期刊论文]-昆明理工大学学报（理工版） 2007(5)
4. 高中奇. 赵一飞 腹地型集装箱枢纽港发展潜力定量评价模型及应用[期刊论文]-集装箱化 2007(5)
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