要点重温之三角函数的图象、性质
1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y =Asin(ωx+φ)+B或y =Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y =|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y =Asin(ωx+φ) 周期的一半。 [举例]函数y =sin(A 、
π
2
x +θ) cos(
π
2
x +θ) 在x =2时有最大值，则θ的一个值是,
3πππ2π
B 、 C 、 D 、
4423
1π
解析：原函数可变为：y =sin(πx +2θ) ，它在x =2时有最大值，即2π+2θ=2k π+
22
πππ
θ=（k-1）π+，k ∈Z ，选A 。（万不可分别去研究sin(x +θ) 和cos(x +θ) 的最大值）。
422
[巩固] ①函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是； ②函数y=tanx―cotx 的周期为 ；③函数y=|
1x
+sim|的周期为 22
2．在解决函数y =Asin(ωx+φ) 的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y =Asin(ωx+φ) 的图象时，应取ωx+φ=0、
3ππ
、π、、2π等，而不是取x 等于它们；求函数y =Asin(ωx+φ) 的取值范
22
围时，应由x 的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sinθ(把ωx+φ视为一个整体，即θ) 的草图，而无需画y =Asin(ωx+φ) 的图象；求函数y =Asin(ωx+φ) （ω>0）
的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x 的范围；研究函数y =Asin(ωx+φ) 的图象
π
和ωx+φ=kπ（k ∈Z ）, 从而得到函数y =Asin(ωx+φ) 的图象关于直线2
k π-φk ππφ
x =+-对称，关于点（，0）对称（k ∈Z ），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y 轴且过函数
ϖϖ2ϖϖ
图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）; 对函数y =Acos(ωx+φ) 也作完全类似的处理。
π
[举例1]画出函数y =sin(2x +) 在[0，π]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。
6π
解析：作函数y =sin(2x +) 的图象不是先作函数y =sin x 的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。
6
ππππππ3ππ13π
2x +∈[但不是在[0，而是视2x +为一个角，]，取2x +=、
π]内取x =0、π这五点，
666642466
3ππ13π、π、、2π、六个点，具体列表如下：
对称性时，则分别令ωx+φ=kπ+
描点、作图略。不难看出直线x =
、x =都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图
121263
象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。
[举例2] 已知函数y =sin x cos x -3sin 2x ，（1）指出函数的对称轴、对称中心； （2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在(-
2ππ
, -]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x 的值。 312
解析：y =2sin(2x +
π
3
-
ππk ππ+，k ∈Z ； ，（1）对称轴：由2x +=k π+得x =
322122
对称中心：由2x +∈[2k π-
πk ππk πππ-，∴函数图象的对称中心为（-，-=k π得x =）k ∈Z 。（2）由2x +
3262632
5ππππ
，2k π+]得x ∈[k π-，k π+]，k ∈Z ，
121222
5πππ2ππ
, -] ∴[k π-，k π+]，k ∈Z 。（3）将2x +视为一个角θ，∵x ∈(-
12123312ππ1π
∴θ∈(-π, ，画函数y =sin θ的草图，观察θ∈(-π, 时函数值的范围为[-1]，当且仅当θ=-时sin θ
6
6
2
2
θ=取得最小值-1，
1π5ππ3
时sin θ取得最大值；即x =-时原函数最小值-2-，。 x =-时原函数最大值1-26121222
5π11ππ
－2x) 的一个增区间是[，]；②若函数f(x)=sin(ωx+ϕ)
12123
π
为奇函数，则ϕ为π的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+) ，若f(x1)=f(x2) ，则x 1－x 2必是π的整数倍；④函数
3
ππ
y=2sin(2x+) 的图像关于点（，0）对称。
33
[巩固] [巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(其中正确的命题是 （填上正确命题的序号） [迁移] 函数f(x)=2sin
2
ωx+sin2ωx-1 （ ω>0）
① 若对任意x ∈R 恒有f(x1) ≤f(x)≤f(x2), 求|x1-x 2|的最小值；
② 若对任意x ∈R 恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性； ③ 若f(x)在[0,
π
]上是单调函数, 求整数ω的值； 4
3．已知函数y =Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M 、最小值m （最高、最低点的纵坐标），确定A 、B （A+B=M,-A+B= m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d （最高、最低点的横坐标之
π
) ，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。 ϖ
2ππ
[举例] 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0
36
差的绝对值）确定ω(d =
－2), 则这个函数的解析式为y =____________. 解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即则函数解析式为y =2sin(2x +φ) ，点(
T 2πππ
=-=，∴T=π⇒ω=2， 2362
ππ
,2) 在函数图象上，∴2=2sin(+φ) ⇒ 63
ππππ+φ=2k π+得φ=2k π+，k ∈Z ∴函数的解析式为y =2sin(2x +。 3266
π
[巩固] 函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|
2则函数表达式为：
ππππ
x+) ，B ．y=4sin(x －) ， 8484ππππ
C ．y=－4sin(x －) ，D ．y=4sin(x+)
8484
A ．y=－4sin(
[迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O
2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P 相对于水面 的高度y(米) 与时间x(秒) 满足函数关系y=Asin(ωx+ϕ)+B （A>0，ϖ>0,0
4. 三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上（右）平移m(m>0)个单位，则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横（纵）坐标变为原来的n 倍，则表达式中的x(y)应变为平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。
[举例] 已知函数f (x ) =2a cos 2x +b sin x cos x -3, 且f (0) =3, f (π) =1.
2242
（Ⅰ）函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？ （Ⅱ）函数f （x ）的图象经过怎样的平移后得到y=cosx.。
x y
() 。关注“先伸缩后n n
π3
解析：由f (0) =, f (π) =1. 得：a =，b=1，降次、“合二为一”后得：f (x ) =sin(2x+),
32242
(Ⅰ) 思路一：函数y= f（x ）的图象关于（－
ππ
，0）对称，向右平移个单位后图象关于原点对称即为奇函数（平66
π
), 要使其为奇函数，则x=0时函数值为3
移的方法不唯一，因为函数y= f（x ）的图象对称中心不唯一）；
思路二：若函数f （x ）的图象向右平移m 个单位得到函数y= sin(2x－2m+0（奇函数图象关于原点对称），即－2m+
π
=k π，k ∈Z ⇒m= 3
-
k ππ
+, k ∈Z , 随k 的取值不同可以得到不同的m 的值，回答其中任一个即可。（运算量虽大一些，但更具一般26
性）。
(Ⅱ) f (x ) =sin(2x+
ππππππ
)=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],方案一：先左移(x变成x+) 得到函数y= cos2x,
366121212
x
）得到函数y=cosx； 2
x πππ
方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x 变成）得到函数y= cos(x-) ，再左移(x变成x+) 得到函
2666
再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x 变成
数y=cosx。注：（ⅰ）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁，不要搞错了方向；（ⅱ）变换的源头和结果
需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（ⅲ）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。 [巩固1]把函数y =cosx -sin x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0）所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A.
π
6
B.
π2π5π C. D.
633
[巩固2] 将函数f (x ) =Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|
ππ
) 的图象向右平移，再横坐标伸长为原来的2倍、纵坐标28
缩小为原来的一半得到函数y=sinx，则f (x ) = 。
5．三角形三内角A 、B 、C 成等差数列，当且仅当B=60；在△ABC 中：A>B ⇔ sinA>sinB；sin(B+C)=sinA、
cos(B+C)=-cosA、cos
B +C B +C A A
=sin、sin =cos；△ABC 中cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0；在2222
锐角三角形△ABC 中sinA>cosB,sinB>cosC,
sinC>cosA等；若A 、B 是钝角三角形两锐角，则sinA
π
+A ) 的取值范围是 . 2πππ4π
解析：原式=-cos A -sin A =-2sin(A+) , ∵A ∈(0,π) ⇒ A+∈(, )
3333
[举例] 在△ABC 中，3cos(B +C )+cos(sin(A+
π3
) ∈(-,1], 即原式的取值范围是： [-2，）
32
[巩固1]在锐角三角形△ABC 中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x,y 的大小关系是：( )
A ．x ≤y, B．xy [巩固2] 在∆ABC 中，已知tan
A +B
=sin C ，s i A +n s i B ≤2，给出以下四个论断：①tan A ⋅cot B =1，②0
③sin 2A +cos 2B =1，④cos 2A +cos 2B =sin 2C ， 其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④
C ．①④ D ．②③
简答
πππ②③4π；2．[巩固]①②④， [迁移] f(x)=2sin(2ωx-) ， ①由f(x1) ≤f(x)≤f(x2) 知：x 1、226
ππ
x 2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得，②偶，③视2ωx-62ω
πϖπππϖππϖπππ
为一个角θ，则θ∈[-，-]，函数y =2sin θ在 [-，-]上单调，则-≤，得0
626626262
42ππ, 又ω为整数，∴ω=1。3．[巩固] 注意A 未必是正数，C ， [迁移] y=3sin(x+)+2 3152
π
4. [巩固1] C, [巩固2] f (x ) =2 cos(2x-)
4
1． [巩固] ①
5. [巩固1] D，[巩固2]B，
要点重温之三角函数的图象、性质
1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y =Asin(ωx+φ)+B或y =Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y =|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y =Asin(ωx+φ) 周期的一半。 [举例]函数y =sin(A 、
π
2
x +θ) cos(
π
2
x +θ) 在x =2时有最大值，则θ的一个值是,
3πππ2π
B 、 C 、 D 、
4423
1π
解析：原函数可变为：y =sin(πx +2θ) ，它在x =2时有最大值，即2π+2θ=2k π+
22
πππ
θ=（k-1）π+，k ∈Z ，选A 。（万不可分别去研究sin(x +θ) 和cos(x +θ) 的最大值）。
422
[巩固] ①函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是； ②函数y=tanx―cotx 的周期为 ；③函数y=|
1x
+sim|的周期为 22
2．在解决函数y =Asin(ωx+φ) 的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y =Asin(ωx+φ) 的图象时，应取ωx+φ=0、
3ππ
、π、、2π等，而不是取x 等于它们；求函数y =Asin(ωx+φ) 的取值范
22
围时，应由x 的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sinθ(把ωx+φ视为一个整体，即θ) 的草图，而无需画y =Asin(ωx+φ) 的图象；求函数y =Asin(ωx+φ) （ω>0）
的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x 的范围；研究函数y =Asin(ωx+φ) 的图象
π
和ωx+φ=kπ（k ∈Z ）, 从而得到函数y =Asin(ωx+φ) 的图象关于直线2
k π-φk ππφ
x =+-对称，关于点（，0）对称（k ∈Z ），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y 轴且过函数
ϖϖ2ϖϖ
图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）; 对函数y =Acos(ωx+φ) 也作完全类似的处理。
π
[举例1]画出函数y =sin(2x +) 在[0，π]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。
6π
解析：作函数y =sin(2x +) 的图象不是先作函数y =sin x 的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。
6
ππππππ3ππ13π
2x +∈[但不是在[0，而是视2x +为一个角，]，取2x +=、
π]内取x =0、π这五点，
666642466
3ππ13π、π、、2π、六个点，具体列表如下：
对称性时，则分别令ωx+φ=kπ+
描点、作图略。不难看出直线x =
、x =都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图
121263
象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。
[举例2] 已知函数y =sin x cos x -3sin 2x ，（1）指出函数的对称轴、对称中心； （2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在(-
2ππ
, -]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x 的值。 312
解析：y =2sin(2x +
π
3
-
ππk ππ+，k ∈Z ； ，（1）对称轴：由2x +=k π+得x =
322122
对称中心：由2x +∈[2k π-
πk ππk πππ-，∴函数图象的对称中心为（-，-=k π得x =）k ∈Z 。（2）由2x +
3262632
5ππππ
，2k π+]得x ∈[k π-，k π+]，k ∈Z ，
121222
5πππ2ππ
, -] ∴[k π-，k π+]，k ∈Z 。（3）将2x +视为一个角θ，∵x ∈(-
12123312ππ1π
∴θ∈(-π, ，画函数y =sin θ的草图，观察θ∈(-π, 时函数值的范围为[-1]，当且仅当θ=-时sin θ
6
6
2
2
θ=取得最小值-1，
1π5ππ3
时sin θ取得最大值；即x =-时原函数最小值-2-，。 x =-时原函数最大值1-26121222
5π11ππ
－2x) 的一个增区间是[，]；②若函数f(x)=sin(ωx+ϕ)
12123
π
为奇函数，则ϕ为π的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+) ，若f(x1)=f(x2) ，则x 1－x 2必是π的整数倍；④函数
3
ππ
y=2sin(2x+) 的图像关于点（，0）对称。
33
[巩固] [巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(其中正确的命题是 （填上正确命题的序号） [迁移] 函数f(x)=2sin
2
ωx+sin2ωx-1 （ ω>0）
① 若对任意x ∈R 恒有f(x1) ≤f(x)≤f(x2), 求|x1-x 2|的最小值；
② 若对任意x ∈R 恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性； ③ 若f(x)在[0,
π
]上是单调函数, 求整数ω的值； 4
3．已知函数y =Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M 、最小值m （最高、最低点的纵坐标），确定A 、B （A+B=M,-A+B= m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d （最高、最低点的横坐标之
π
) ，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。 ϖ
2ππ
[举例] 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0
36
差的绝对值）确定ω(d =
－2), 则这个函数的解析式为y =____________. 解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即则函数解析式为y =2sin(2x +φ) ，点(
T 2πππ
=-=，∴T=π⇒ω=2， 2362
ππ
,2) 在函数图象上，∴2=2sin(+φ) ⇒ 63
ππππ+φ=2k π+得φ=2k π+，k ∈Z ∴函数的解析式为y =2sin(2x +。 3266
π
[巩固] 函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|
2则函数表达式为：
ππππ
x+) ，B ．y=4sin(x －) ， 8484ππππ
C ．y=－4sin(x －) ，D ．y=4sin(x+)
8484
A ．y=－4sin(
[迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O
2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P 相对于水面 的高度y(米) 与时间x(秒) 满足函数关系y=Asin(ωx+ϕ)+B （A>0，ϖ>0,0
4. 三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上（右）平移m(m>0)个单位，则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横（纵）坐标变为原来的n 倍，则表达式中的x(y)应变为平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。
[举例] 已知函数f (x ) =2a cos 2x +b sin x cos x -3, 且f (0) =3, f (π) =1.
2242
（Ⅰ）函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？ （Ⅱ）函数f （x ）的图象经过怎样的平移后得到y=cosx.。
x y
() 。关注“先伸缩后n n
π3
解析：由f (0) =, f (π) =1. 得：a =，b=1，降次、“合二为一”后得：f (x ) =sin(2x+),
32242
(Ⅰ) 思路一：函数y= f（x ）的图象关于（－
ππ
，0）对称，向右平移个单位后图象关于原点对称即为奇函数（平66
π
), 要使其为奇函数，则x=0时函数值为3
移的方法不唯一，因为函数y= f（x ）的图象对称中心不唯一）；
思路二：若函数f （x ）的图象向右平移m 个单位得到函数y= sin(2x－2m+0（奇函数图象关于原点对称），即－2m+
π
=k π，k ∈Z ⇒m= 3
-
k ππ
+, k ∈Z , 随k 的取值不同可以得到不同的m 的值，回答其中任一个即可。（运算量虽大一些，但更具一般26
性）。
(Ⅱ) f (x ) =sin(2x+
ππππππ
)=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],方案一：先左移(x变成x+) 得到函数y= cos2x,
366121212
x
）得到函数y=cosx； 2
x πππ
方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x 变成）得到函数y= cos(x-) ，再左移(x变成x+) 得到函
2666
再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x 变成
数y=cosx。注：（ⅰ）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁，不要搞错了方向；（ⅱ）变换的源头和结果
需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（ⅲ）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。 [巩固1]把函数y =cosx -sin x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0）所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A.
π
6
B.
π2π5π C. D.
633
[巩固2] 将函数f (x ) =Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|
ππ
) 的图象向右平移，再横坐标伸长为原来的2倍、纵坐标28
缩小为原来的一半得到函数y=sinx，则f (x ) = 。
5．三角形三内角A 、B 、C 成等差数列，当且仅当B=60；在△ABC 中：A>B ⇔ sinA>sinB；sin(B+C)=sinA、
cos(B+C)=-cosA、cos
B +C B +C A A
=sin、sin =cos；△ABC 中cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0；在2222
锐角三角形△ABC 中sinA>cosB,sinB>cosC,
sinC>cosA等；若A 、B 是钝角三角形两锐角，则sinA
π
+A ) 的取值范围是 . 2πππ4π
解析：原式=-cos A -sin A =-2sin(A+) , ∵A ∈(0,π) ⇒ A+∈(, )
3333
[举例] 在△ABC 中，3cos(B +C )+cos(sin(A+
π3
) ∈(-,1], 即原式的取值范围是： [-2，）
32
[巩固1]在锐角三角形△ABC 中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x,y 的大小关系是：( )
A ．x ≤y, B．xy [巩固2] 在∆ABC 中，已知tan
A +B
=sin C ，s i A +n s i B ≤2，给出以下四个论断：①tan A ⋅cot B =1，②0
③sin 2A +cos 2B =1，④cos 2A +cos 2B =sin 2C ， 其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④
C ．①④ D ．②③
简答
πππ②③4π；2．[巩固]①②④， [迁移] f(x)=2sin(2ωx-) ， ①由f(x1) ≤f(x)≤f(x2) 知：x 1、226
ππ
x 2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得，②偶，③视2ωx-62ω
πϖπππϖππϖπππ
为一个角θ，则θ∈[-，-]，函数y =2sin θ在 [-，-]上单调，则-≤，得0
626626262
42ππ, 又ω为整数，∴ω=1。3．[巩固] 注意A 未必是正数，C ， [迁移] y=3sin(x+)+2 3152
π
4. [巩固1] C, [巩固2] f (x ) =2 cos(2x-)
4
1． [巩固] ①
5. [巩固1] D，[巩固2]B，