第一节几何光学的基本定律
1、当半径为r 的不透明圆盘被照亮时，在其后l 处的屏上，得到半径为r 1
的全影和半径为r 2的半影。光源也是圆盘形的而且由其中心到不透明圆盘中心的连线垂且两圆盘和屏面，求光源的尺寸和光源矩被照亮圆盘的距离。
x =
解：距离
2rl r (r 2−r 1)
y =
r 1+r 2−2r ，光源半径r 1+r 2−2r
2、太阳光球的直径等于1390000千米，太阳与地球之间的距离变化不大，平均为150000000千米，月球中心到地球表面的距离在357000至390000千米之间变动。若月球直径为3480千米，那么何时能有日全蚀？何时能有日环蚀?
解：当月球中心到地球表面的距离小于376000千米时．常发生日全蚀，当距离大于此值时，常发生日环蚀。
3、由光源发出的光通过孔之后，在孔后的屏上成象：试解释为什么当孔小时，成光源的象，而孔大时却成孔的象。
解：(略)
4、太阳光照射到不大的正方形平面镜上，反射后又照射到屏上，屏上照亮的部分是什么形状?它将如何随着平面镜和屏之间的距离的改变而改变？
解：若屏离镜面近，则被照亮的部分为四边形，着屏离镜面远则太阳成椭圆形的象。
5、在竖直的正方形金属网前放一水平的长狭缝。用强的扩展光源照亮狭
缝，光通过缝和网射到远处屏上，试描述在屏上得到什么样的图象，当继绕网平面的垂线旋转90度和45度时，将发生什么现象?研究如图l-a 和图1-b 所示的图。
解：屏上得到水平的明、暗条纹系。将缝旋转90度时，条纹变成竖直的。将其转45度时，在图la 所示格子的情况下，条纹消失，如图1b 所示格子的情况下，呈现与水平成45度角的条纹。在后一种情况下，条纹间距是水平(或竖直)条纹的间距的2分之一。在所有情况下，条纹皆与缝平行。
6、上题中，若交换缝和网的位置，屏上图形将发生什么变化？解：图像的特性不变，然而条纹已经变得不很多了。
7、两平面镜彼此倾斜，形成二面角а。光线在垂直于角棱的平面内射到镜上。证明：经两平面镜反射后的光线对原来方向的偏角δ与入射角无关。并求δ。
解：δ=2α。若计算角α和δ时，按着下面的规则：设光首先由第一个镜子反射，然后再由第二个镜子反射，则这个公式对所有情况都是适用的。此时，应将α理解为使第一个镜子与第二个镜子重合所应转动的角度。类似地，δ是这样确定的，即为使光线原来的方向与由第二个镜子所反射的光线重合所需转动的角度。转动的方向是任意的，但在两种情况下，转动方向应相同(例如顺时针或逆时针)，在求解其他题目时所进行的类似分析中，都应当注意这个原则。
8、试以矢量形式写出：在两种各向同性的透明介质的交界面上光的反射定
律和折射定律：光从折射率为n 1的介质l 射向折射率为n 2的介质2，入射、反射和折射光的方向以单位矢量r 0、r 1和r 2表示；界面法向单位矢量打的方向从介质2指向介质1。
解：r 1=r 0−2(r 0N ) N
2
n 2r 2=n 1r 0−N {n 1(r 0N ) +n 2−n 12+n 12(r 0N ) 2}
。
9、试证明：经三个相互垂直的平面镜依次反射后的光与原来方向相反。解：设N 1、N 2、N 3分别为三个镜平面的法线单位矢量；r 0为第一个镜上入射光的单位矢量；r 1、r 2、r 3是分别由第一、第二和第三个镜子反射后光线的单位矢量。于是
r 1=r 0−2(r 0N 1) N 1r 2=r 1−2(r 1N 2) N 2r 3=r 2−2(r 2N 3) N 3
由此，容易得到r 3=−r 0。
10、将表面镀银的玻璃立方体切下一角，得到三棱锥镜。光线从锥底面射入，经其余三个互相垂直的平面依次反射。证明：出射光与入射光方向相反。
解：(略)
11、两平面镜成60度角，求镜间物体所有的象。作出光的行程图：使光经两平面镜相继两次反射后，给出物体的一个象。
解：(略)
12、两平面镜成ϕ角，并没m =2π/ϕ为整数，求镜间物体象的数目。解：解点状物体O 的位置可用矢径镜1平面所成的角α给出，或者用同一矢径与镜表面2所成的角β来确定(图72)。设α0和β0表明物体O 的位置。容易看出，对于象02，012，0212，01212，……，角α有下列值；
α=2ϕ−α0，2ϕ＋α0，4ϕ−α0，4ϕ＋α0
这个系列在镜1平面后边第一次出现象时中断，因为在这种情况下，该象的光线已经不能从平面镜1再反射了。
类似地，象01，021，0121，0212l，…的位置由角β确定：
β=2ϕ−β0, 2ϕ+β0, 4ϕ−β0, 4ϕ+β0
并且系列在镜2平面后边第一次出现象时中断。下面用两个例子来说明这个解：
例1、
m ＝5（ϕ=2π/5弧度＝720），α0=220(β0=500) 。对于上一列象，有α=1220, 1660, 2660; 对于下一列，β=940, 1940。角
α和β的关系为：α=2π+ϕ−β，或者在所研究的情况下为：α=4320−β。借助于这个关系式得到α=3380, 238。因此，在上一列和下一列中无重复的象，全部象共5个。
例2、
m ＝6（ϕ=600），α0=200(β=400) 。对于上一列象：
α=1000, 1400, 2200；对于下一列象：
β=800, 1600, 2000(α=2200)
最后一个象在两例中重复，因此，全部象共是5个。
一般的，若m 为奇数，则象的数目等于m，若m 是偶数，则象的数目等于m －1。对于m 不是整数的情况，上述方法也是有用的
13、在图2所示的折射棱镜中，光线在垂直于镜棱的平面内，内AD 面射入，依次经由BC 和BD 面反射，然后从AC 面射出。角B 和角A 分别等于а和2а，而角C 和角D 彼此相等。试证明：出射光对原来方向的偏角δ与入射角无关，求δ，
并说明在如图所示的光的行程下，棱镜能否形成光谱分解?
解：若把从棱镜射出的光线用消色差透镜会聚，则不能形成光谱分解。但若出射的光线直接射到屏上。则能得到有彩色边圈的白斑；δ=2α
14、试解释：为汁么在月夜海面上看到的月亮的象不是—个圆盘而是一条
带？
解：略
15、如图1所示，一平面镜置于充满水的容器的底部，人俯视地对着平面镜看自己的象。设眼睛高出水面h 1=10cm ，而镜子在水面之下深h 2=66. 5cm 处。试求眼睛在镜中看起来与眼睛的距离。已知水的折射率为
4／3。
解：人眼观察水底的平面镜离开自己的距离为
h 0=h 1+h 2' =h 1+
h 2n
将h 1=10cm ，h 2=66. 5cm ，n =4/3代入上式，得
h 0=10+
故
3×66. 5
=60cm 4
h 0' =2×h 0=120cm
即眼睛在镜中得象看起来与人眼的距离为120cm。这里考虑到近轴条件下的象似深度和平面折射与反射问题。平面反射总能使单心光束保持，然而平面折射将会产生象散现象。在近轴条件下，单心性近似保持。
16、一曲率半径R＝60cm的凹球面镜装有水，水的折射率为4／3。若水的深度比半径R 小得多，试求该系统的焦距。
解：若没有装水时，入射波经镜面反射后通过F 1，它离开镜面得距离为
R 2
当装有水时，经折射、反射和折射，其几何关系为
f 0' =tg α≈sin α=
a a =R /2f 0'
a f '
tg β≈sin β=
由折射定律，得
n =
sin βf '
=0
sin αf '
故加水后，系统得焦距为
f ' =
f 0' R 60
===22. 5cm
4n 2n
2×3
由此可知，凹面镜上充以稍许水，焦距将会减少n 倍，这个结论是直接运用最基本得折射定律和近似条件得到得。其次，若凹面镜充满水时，则焦距和未充水时相同。
17、半径为R＝10cm和厚度为b＝0.5的圆板，它由折射率沿径向变化的材料构成，中心处的折射率为n 0=1. 5，边缘的折射率为n R =1. 0。试求：
(1)圆板的折射率如何变化时，在近轴条件下，平行于主轴的光聚焦；(2)该焦距的值。
解：(1)如图(a)所示，离轴为r 的光线的光程为
n r b +(f ' +r 2) 1/2=A r 21/2
n r b +f ' (1+2) =A
f '
即(1)
式中A 为常数。与轴上光线比较。得
1r 21R 2
n r b +⋅=n R b +⋅=n 0b +0=A
2f ' 2f '
(2)
这里运用到r
r 22r 2
f ' (1+2)=f ' (1++⋯) 2
f ' 2f '
1
r 2
≈f ' +
2f '
故折射率满足的条件为：
r 2(n 0−n R ) r 2
n r =n 0−=n 0−
2f ' b R 2
将n 0=1. 5，n R =1. 0，b＝0.5，R＝10代入上式，得
r 2
n r =1. 5−
200
折射率变化得曲线如图(b)所示。(2)焦距为
R 2
f =
2(n 0−n R ) b
'
将n 0=1. 5，n R =1. 0，b＝0.5，R＝10代入上式，得
100
=200cm =2m
2×0. 5×0. 5
这实质上是等厚变折射率的透镜，用掺杂的办法增加玻璃的折射率。因而使
f ' =
原来未搀杂的本底折射率n 0变成径向变化的折射率。近20年来，变折射率光学(GradientIndex Optics)的发展很快。这里我们用几何光学的最基本原理——费马原理求解。
18、设光导纤维玻璃芯和外套的折射率分别为n 1和n 2，且n 1>n 2。垂直于端面外介质的折射率为n 0，试证明：能使光线在光纤内发生全反射的入射光束的最大孔径角i 1为
2
n 0sin i 1=n 12−n 2
其中，n 0sin i
1称为光纤的数值孔径。
解：按折射定律，得
n 0sin i 1=n 1sin i 1' =n 2sin i 2
=n 1−sin 2i 2
由于光线在玻璃芯和外套得界面上发生全反射得条件为
sin i 2≥
n 2n 1
故欲使光线在光纤内发生全反射，i 1须满足
⎛n 2⎞
n 0sin i 1≤n 1−⎜⎜n ⎟⎟
⎝1⎠
故数值孔径为
2
n 0sin i 1=n 12−n 2
2
光纤得数值孔径反映它的聚光本领，是光导传象的重要参量之一。19、给定的一块平行平板，厚度为h，折射率按下列形式变化：
n x =
n 01−a
一束光在O 点由空气垂直入射到平板，并在A 点以角α出射，如图(a)所示。试求A 点的折射率n A ，并确定A 点的位置和平板的厚度。其中，n 0=1. 2，
a =13cm ，α=30
°。
解：首先考察如图(b)所示的光路。对于一系列不同折射率的平行平板的透射光，按折射定律：
n 1sin β1=n 2sin β2=n 3sin β3=⋯若折射率沿水平方向x 变化，则
n x sin βx =常数
当光线垂直从折射率为n 0的点射入，即n x =n 0，βx =90°，n 0为常数，于是在平板内任意一点，有
n x sin βx =n 0
已知n x 和x 的函数关系，故沿平板中的光束为
sin βx =n 0x a −x =1−=n x a a
图(c)表明光束的路径是一个半径为PC＝a的园，故
OC −X =sin βx PC
由光的径迹，就有可能求得问题得解答，按折射定律，当光在A 点出射，则
n A =
由于n A sin βA =n 0，故
sin βA =sin αsin α=sin(90°−βA ) cos βA n 0
n A
2
即
于是⎛n 0⎞cos βA =−⎜⎜n ⎟⎟⎝A ⎠
n A =sin α⎛n 0⎞−⎜⎜n ⎟⎟⎝A ⎠2
故2n A =n 0+sin 2α
将n 0=1. 2，α=30°代入上式，得
n A =. 22+0. 52=1. 3
n A =
又按
得A 点得坐标为n 01−a
x =
光线得轨迹方程为n A −n 01. 3−1. 2a =×13=1cm n A 1. 3
(y −0)2+(x −a )2
y =h =5cm =a 2将x＝1，a＝13代入上式，得平板得厚度为
20、光入射到两种介质的界面上，一部分反射，一部分折射。入射角ψ多大时，反射光与折射光垂直?
解：ϕ=arctgn
21、试证明：当光线通过分别由平行的交界平面分开的几种介质时，出射光的方向仅与入射光的方向以及首末两种介质的折射率有关。
解：（略）
22、试求厚度d＝10厘米、表面平行的玻璃板使以角ψ＝70度入射的光侧移了多少？玻璃折射率M＝1．5。
解：侧位移l =d sin(ϕ−ψ) /cos ψ=6. 6厘米
23、图5所示的折射棱镜，折射棱角为A。试证明：光的偏向角δ与入射角ϕ和φ′、折射角φ和ϕ′之间的关系式为：
sin[(A +δ) /2]n cos[(φ−φ′) /2]=sin(A
/2) cos[(ϕ−ϕ′) /2]
解：（略）
24、试证明：在棱镜中光路对称时，平行光束通过棱镜的偏向角最小。求最小偏向角δ与棱镜物质的折射率n 以及折射棱角A 的关系。
解：（略）
25、棱镜的折射棱角为60，棱镜玻璃对D 谱线的折射率n＝1．62。问在棱镜中对钠D 谱线的最小偏向角等于多少？
解：（略）0
26、光线通过棱镜后又经平面镜反射。试证明：若通过棱镜的光路对称时，则反射光对原来方向的偏向角与棱镜的折射率无关。
解：（略）
27、盛有液体的圆筒状玻璃杯放在硬币上，透过杯的侧壁观察硬币。试求当看不到硬币时，液体的折射串n 可能有的最小值。
解：（略）
28、盛有水的梯形容器ABCD(图6)，器底下面放一物体，为了使透过器壁看不到物体，а角应取何值？水的折射率n＝1．33，容器的底面为矩形。
解：（略）
29、处于与棱镜的折射棱垂直的平面内的光线在棱镜中折射。试证明：若棱镜的相对折射率n＞1，入射角保持不变，则光线的偏转随着折射棱角的增加而增大。同时证明：在同样条件下，当光线还能够从棱镜射出时，棱镜的折射棱角的最大值为：
A =arcsin
解：（略）sin ϕ1+arcsin n n
30、棱镜折射棱角A 很小，试计算最小偏向角δ，只计算到
解：（略）
31、怎样用两个棱镜来构成“望远镜”，使其在观察远方物体时，产生和物体相似而又任意放大的象。
解：应相互垂直地放置棱镜，同时绕着棱的方向旋转棱镜，使其在两个相互垂直的方向上的放大率相同。
32、站在岸边的人看池底的石块。若视线与水面法线的夹角为ψ＝60度，池深h＝l米，水的折射率n＝1．33。那么在深h’为多少的地方可得到石块的象?h cos 3ϕh ′==0. 215米3n cos ψ解：
33、在厚度d＝15厘米的玻璃板下边放一小颗粒。若视线垂直板面，玻璃折射率n＝1．5。那么在与玻璃板的上表面距离l 为多大的地方可得到颗粒的象？
解：（略）
34、用显微镜观察3毫米厚的平面玻璃板。首先，调节显微镜以看清板的上表面，然后将显微镜筒向下移动，直到看清下表面为止(为便于观察，表面做有标记)，镜筒移动了2毫米，求玻璃的折射率n。
解：（略）
35、一物体放在表面平行的玻璃板后l 1＝15厘米处，观察者透过玻璃板观察，且视线垂直于玻璃板面，求物体的象与玻璃板前表面的距离l 2，板厚d＝4．5厘米，玻璃折射率n＝1．5。
解：（略）
36、若在照象机内的光路上放一个与光轴垂直的玻璃板，其厚d＝6毫米，折射率n＝1．5，照象机的焦点将如何移动？(物镜用很小的光圈。)
解：（略）
37、平面镜反射成像时，像和物左右互易，为什么像和物并不上下颠倒？答：平面反射镜是一个理想的光学系统，其物、像对于镜面是对称的，人照镜子感到左右互换，上下不颠倒，不过是照镜子人的主观看法．设想人要是躺在床边上照镜子，他会得出镜子成像上下颠倒左右不颠倒．实际上平面镜是镜面对称成像．这种像加上人们平时观察物体的习惯，就产生了上面的混乱的观点．
29、为什么金刚石比切割成相同形状的玻璃仿制品看起来更加闪耀夺目？答：作为透明介质的金刚石，其折射率比一般玻璃要大．根据菲涅耳反射公式可知，对于相同形状的金刚石和仿制品，金刚石的反射光强要比纺仿制品的大，所以显得更亮．而题中所说闪耀的含义是有些表面看起来特别亮，而另一些表面看起来则不甚亮．即不同倾斜程度的表面，其反射光强差别很大．或同一表面的不同方向观察，其反射光强变化剧烈，因此形成闪耀的印象．
由于金刚石折射率高，其能发生全内反射的临界角小，具有各种不同倾斜度内表面的金刚石较之相同形状的玻璃制品更易发生全内反射，所以显得更加闪耀夺目．
第一节几何光学的基本定律
1、当半径为r 的不透明圆盘被照亮时，在其后l 处的屏上，得到半径为r 1
的全影和半径为r 2的半影。光源也是圆盘形的而且由其中心到不透明圆盘中心的连线垂且两圆盘和屏面，求光源的尺寸和光源矩被照亮圆盘的距离。
x =
解：距离
2rl r (r 2−r 1)
y =
r 1+r 2−2r ，光源半径r 1+r 2−2r
2、太阳光球的直径等于1390000千米，太阳与地球之间的距离变化不大，平均为150000000千米，月球中心到地球表面的距离在357000至390000千米之间变动。若月球直径为3480千米，那么何时能有日全蚀？何时能有日环蚀?
解：当月球中心到地球表面的距离小于376000千米时．常发生日全蚀，当距离大于此值时，常发生日环蚀。
3、由光源发出的光通过孔之后，在孔后的屏上成象：试解释为什么当孔小时，成光源的象，而孔大时却成孔的象。
解：(略)
4、太阳光照射到不大的正方形平面镜上，反射后又照射到屏上，屏上照亮的部分是什么形状?它将如何随着平面镜和屏之间的距离的改变而改变？
解：若屏离镜面近，则被照亮的部分为四边形，着屏离镜面远则太阳成椭圆形的象。
5、在竖直的正方形金属网前放一水平的长狭缝。用强的扩展光源照亮狭
缝，光通过缝和网射到远处屏上，试描述在屏上得到什么样的图象，当继绕网平面的垂线旋转90度和45度时，将发生什么现象?研究如图l-a 和图1-b 所示的图。
解：屏上得到水平的明、暗条纹系。将缝旋转90度时，条纹变成竖直的。将其转45度时，在图la 所示格子的情况下，条纹消失，如图1b 所示格子的情况下，呈现与水平成45度角的条纹。在后一种情况下，条纹间距是水平(或竖直)条纹的间距的2分之一。在所有情况下，条纹皆与缝平行。
6、上题中，若交换缝和网的位置，屏上图形将发生什么变化？解：图像的特性不变，然而条纹已经变得不很多了。
7、两平面镜彼此倾斜，形成二面角а。光线在垂直于角棱的平面内射到镜上。证明：经两平面镜反射后的光线对原来方向的偏角δ与入射角无关。并求δ。
解：δ=2α。若计算角α和δ时，按着下面的规则：设光首先由第一个镜子反射，然后再由第二个镜子反射，则这个公式对所有情况都是适用的。此时，应将α理解为使第一个镜子与第二个镜子重合所应转动的角度。类似地，δ是这样确定的，即为使光线原来的方向与由第二个镜子所反射的光线重合所需转动的角度。转动的方向是任意的，但在两种情况下，转动方向应相同(例如顺时针或逆时针)，在求解其他题目时所进行的类似分析中，都应当注意这个原则。
8、试以矢量形式写出：在两种各向同性的透明介质的交界面上光的反射定
律和折射定律：光从折射率为n 1的介质l 射向折射率为n 2的介质2，入射、反射和折射光的方向以单位矢量r 0、r 1和r 2表示；界面法向单位矢量打的方向从介质2指向介质1。
解：r 1=r 0−2(r 0N ) N
2
n 2r 2=n 1r 0−N {n 1(r 0N ) +n 2−n 12+n 12(r 0N ) 2}
。
9、试证明：经三个相互垂直的平面镜依次反射后的光与原来方向相反。解：设N 1、N 2、N 3分别为三个镜平面的法线单位矢量；r 0为第一个镜上入射光的单位矢量；r 1、r 2、r 3是分别由第一、第二和第三个镜子反射后光线的单位矢量。于是
r 1=r 0−2(r 0N 1) N 1r 2=r 1−2(r 1N 2) N 2r 3=r 2−2(r 2N 3) N 3
由此，容易得到r 3=−r 0。
10、将表面镀银的玻璃立方体切下一角，得到三棱锥镜。光线从锥底面射入，经其余三个互相垂直的平面依次反射。证明：出射光与入射光方向相反。
解：(略)
11、两平面镜成60度角，求镜间物体所有的象。作出光的行程图：使光经两平面镜相继两次反射后，给出物体的一个象。
解：(略)
12、两平面镜成ϕ角，并没m =2π/ϕ为整数，求镜间物体象的数目。解：解点状物体O 的位置可用矢径镜1平面所成的角α给出，或者用同一矢径与镜表面2所成的角β来确定(图72)。设α0和β0表明物体O 的位置。容易看出，对于象02，012，0212，01212，……，角α有下列值；
α=2ϕ−α0，2ϕ＋α0，4ϕ−α0，4ϕ＋α0
这个系列在镜1平面后边第一次出现象时中断，因为在这种情况下，该象的光线已经不能从平面镜1再反射了。
类似地，象01，021，0121，0212l，…的位置由角β确定：
β=2ϕ−β0, 2ϕ+β0, 4ϕ−β0, 4ϕ+β0
并且系列在镜2平面后边第一次出现象时中断。下面用两个例子来说明这个解：
例1、
m ＝5（ϕ=2π/5弧度＝720），α0=220(β0=500) 。对于上一列象，有α=1220, 1660, 2660; 对于下一列，β=940, 1940。角
α和β的关系为：α=2π+ϕ−β，或者在所研究的情况下为：α=4320−β。借助于这个关系式得到α=3380, 238。因此，在上一列和下一列中无重复的象，全部象共5个。
例2、
m ＝6（ϕ=600），α0=200(β=400) 。对于上一列象：
α=1000, 1400, 2200；对于下一列象：
β=800, 1600, 2000(α=2200)
最后一个象在两例中重复，因此，全部象共是5个。
一般的，若m 为奇数，则象的数目等于m，若m 是偶数，则象的数目等于m －1。对于m 不是整数的情况，上述方法也是有用的
13、在图2所示的折射棱镜中，光线在垂直于镜棱的平面内，内AD 面射入，依次经由BC 和BD 面反射，然后从AC 面射出。角B 和角A 分别等于а和2а，而角C 和角D 彼此相等。试证明：出射光对原来方向的偏角δ与入射角无关，求δ，
并说明在如图所示的光的行程下，棱镜能否形成光谱分解?
解：若把从棱镜射出的光线用消色差透镜会聚，则不能形成光谱分解。但若出射的光线直接射到屏上。则能得到有彩色边圈的白斑；δ=2α
14、试解释：为汁么在月夜海面上看到的月亮的象不是—个圆盘而是一条
带？
解：略
15、如图1所示，一平面镜置于充满水的容器的底部，人俯视地对着平面镜看自己的象。设眼睛高出水面h 1=10cm ，而镜子在水面之下深h 2=66. 5cm 处。试求眼睛在镜中看起来与眼睛的距离。已知水的折射率为
4／3。
解：人眼观察水底的平面镜离开自己的距离为
h 0=h 1+h 2' =h 1+
h 2n
将h 1=10cm ，h 2=66. 5cm ，n =4/3代入上式，得
h 0=10+
故
3×66. 5
=60cm 4
h 0' =2×h 0=120cm
即眼睛在镜中得象看起来与人眼的距离为120cm。这里考虑到近轴条件下的象似深度和平面折射与反射问题。平面反射总能使单心光束保持，然而平面折射将会产生象散现象。在近轴条件下，单心性近似保持。
16、一曲率半径R＝60cm的凹球面镜装有水，水的折射率为4／3。若水的深度比半径R 小得多，试求该系统的焦距。
解：若没有装水时，入射波经镜面反射后通过F 1，它离开镜面得距离为
R 2
当装有水时，经折射、反射和折射，其几何关系为
f 0' =tg α≈sin α=
a a =R /2f 0'
a f '
tg β≈sin β=
由折射定律，得
n =
sin βf '
=0
sin αf '
故加水后，系统得焦距为
f ' =
f 0' R 60
===22. 5cm
4n 2n
2×3
由此可知，凹面镜上充以稍许水，焦距将会减少n 倍，这个结论是直接运用最基本得折射定律和近似条件得到得。其次，若凹面镜充满水时，则焦距和未充水时相同。
17、半径为R＝10cm和厚度为b＝0.5的圆板，它由折射率沿径向变化的材料构成，中心处的折射率为n 0=1. 5，边缘的折射率为n R =1. 0。试求：
(1)圆板的折射率如何变化时，在近轴条件下，平行于主轴的光聚焦；(2)该焦距的值。
解：(1)如图(a)所示，离轴为r 的光线的光程为
n r b +(f ' +r 2) 1/2=A r 21/2
n r b +f ' (1+2) =A
f '
即(1)
式中A 为常数。与轴上光线比较。得
1r 21R 2
n r b +⋅=n R b +⋅=n 0b +0=A
2f ' 2f '
(2)
这里运用到r
r 22r 2
f ' (1+2)=f ' (1++⋯) 2
f ' 2f '
1
r 2
≈f ' +
2f '
故折射率满足的条件为：
r 2(n 0−n R ) r 2
n r =n 0−=n 0−
2f ' b R 2
将n 0=1. 5，n R =1. 0，b＝0.5，R＝10代入上式，得
r 2
n r =1. 5−
200
折射率变化得曲线如图(b)所示。(2)焦距为
R 2
f =
2(n 0−n R ) b
'
将n 0=1. 5，n R =1. 0，b＝0.5，R＝10代入上式，得
100
=200cm =2m
2×0. 5×0. 5
这实质上是等厚变折射率的透镜，用掺杂的办法增加玻璃的折射率。因而使
f ' =
原来未搀杂的本底折射率n 0变成径向变化的折射率。近20年来，变折射率光学(GradientIndex Optics)的发展很快。这里我们用几何光学的最基本原理——费马原理求解。
18、设光导纤维玻璃芯和外套的折射率分别为n 1和n 2，且n 1>n 2。垂直于端面外介质的折射率为n 0，试证明：能使光线在光纤内发生全反射的入射光束的最大孔径角i 1为
2
n 0sin i 1=n 12−n 2
其中，n 0sin i
1称为光纤的数值孔径。
解：按折射定律，得
n 0sin i 1=n 1sin i 1' =n 2sin i 2
=n 1−sin 2i 2
由于光线在玻璃芯和外套得界面上发生全反射得条件为
sin i 2≥
n 2n 1
故欲使光线在光纤内发生全反射，i 1须满足
⎛n 2⎞
n 0sin i 1≤n 1−⎜⎜n ⎟⎟
⎝1⎠
故数值孔径为
2
n 0sin i 1=n 12−n 2
2
光纤得数值孔径反映它的聚光本领，是光导传象的重要参量之一。19、给定的一块平行平板，厚度为h，折射率按下列形式变化：
n x =
n 01−a
一束光在O 点由空气垂直入射到平板，并在A 点以角α出射，如图(a)所示。试求A 点的折射率n A ，并确定A 点的位置和平板的厚度。其中，n 0=1. 2，
a =13cm ，α=30
°。
解：首先考察如图(b)所示的光路。对于一系列不同折射率的平行平板的透射光，按折射定律：
n 1sin β1=n 2sin β2=n 3sin β3=⋯若折射率沿水平方向x 变化，则
n x sin βx =常数
当光线垂直从折射率为n 0的点射入，即n x =n 0，βx =90°，n 0为常数，于是在平板内任意一点，有
n x sin βx =n 0
已知n x 和x 的函数关系，故沿平板中的光束为
sin βx =n 0x a −x =1−=n x a a
图(c)表明光束的路径是一个半径为PC＝a的园，故
OC −X =sin βx PC
由光的径迹，就有可能求得问题得解答，按折射定律，当光在A 点出射，则
n A =
由于n A sin βA =n 0，故
sin βA =sin αsin α=sin(90°−βA ) cos βA n 0
n A
2
即
于是⎛n 0⎞cos βA =−⎜⎜n ⎟⎟⎝A ⎠
n A =sin α⎛n 0⎞−⎜⎜n ⎟⎟⎝A ⎠2
故2n A =n 0+sin 2α
将n 0=1. 2，α=30°代入上式，得
n A =. 22+0. 52=1. 3
n A =
又按
得A 点得坐标为n 01−a
x =
光线得轨迹方程为n A −n 01. 3−1. 2a =×13=1cm n A 1. 3
(y −0)2+(x −a )2
y =h =5cm =a 2将x＝1，a＝13代入上式，得平板得厚度为
20、光入射到两种介质的界面上，一部分反射，一部分折射。入射角ψ多大时，反射光与折射光垂直?
解：ϕ=arctgn
21、试证明：当光线通过分别由平行的交界平面分开的几种介质时，出射光的方向仅与入射光的方向以及首末两种介质的折射率有关。
解：（略）
22、试求厚度d＝10厘米、表面平行的玻璃板使以角ψ＝70度入射的光侧移了多少？玻璃折射率M＝1．5。
解：侧位移l =d sin(ϕ−ψ) /cos ψ=6. 6厘米
23、图5所示的折射棱镜，折射棱角为A。试证明：光的偏向角δ与入射角ϕ和φ′、折射角φ和ϕ′之间的关系式为：
sin[(A +δ) /2]n cos[(φ−φ′) /2]=sin(A
/2) cos[(ϕ−ϕ′) /2]
解：（略）
24、试证明：在棱镜中光路对称时，平行光束通过棱镜的偏向角最小。求最小偏向角δ与棱镜物质的折射率n 以及折射棱角A 的关系。
解：（略）
25、棱镜的折射棱角为60，棱镜玻璃对D 谱线的折射率n＝1．62。问在棱镜中对钠D 谱线的最小偏向角等于多少？
解：（略）0
26、光线通过棱镜后又经平面镜反射。试证明：若通过棱镜的光路对称时，则反射光对原来方向的偏向角与棱镜的折射率无关。
解：（略）
27、盛有液体的圆筒状玻璃杯放在硬币上，透过杯的侧壁观察硬币。试求当看不到硬币时，液体的折射串n 可能有的最小值。
解：（略）
28、盛有水的梯形容器ABCD(图6)，器底下面放一物体，为了使透过器壁看不到物体，а角应取何值？水的折射率n＝1．33，容器的底面为矩形。
解：（略）
29、处于与棱镜的折射棱垂直的平面内的光线在棱镜中折射。试证明：若棱镜的相对折射率n＞1，入射角保持不变，则光线的偏转随着折射棱角的增加而增大。同时证明：在同样条件下，当光线还能够从棱镜射出时，棱镜的折射棱角的最大值为：
A =arcsin
解：（略）sin ϕ1+arcsin n n
30、棱镜折射棱角A 很小，试计算最小偏向角δ，只计算到
解：（略）
31、怎样用两个棱镜来构成“望远镜”，使其在观察远方物体时，产生和物体相似而又任意放大的象。
解：应相互垂直地放置棱镜，同时绕着棱的方向旋转棱镜，使其在两个相互垂直的方向上的放大率相同。
32、站在岸边的人看池底的石块。若视线与水面法线的夹角为ψ＝60度，池深h＝l米，水的折射率n＝1．33。那么在深h’为多少的地方可得到石块的象?h cos 3ϕh ′==0. 215米3n cos ψ解：
33、在厚度d＝15厘米的玻璃板下边放一小颗粒。若视线垂直板面，玻璃折射率n＝1．5。那么在与玻璃板的上表面距离l 为多大的地方可得到颗粒的象？
解：（略）
34、用显微镜观察3毫米厚的平面玻璃板。首先，调节显微镜以看清板的上表面，然后将显微镜筒向下移动，直到看清下表面为止(为便于观察，表面做有标记)，镜筒移动了2毫米，求玻璃的折射率n。
解：（略）
35、一物体放在表面平行的玻璃板后l 1＝15厘米处，观察者透过玻璃板观察，且视线垂直于玻璃板面，求物体的象与玻璃板前表面的距离l 2，板厚d＝4．5厘米，玻璃折射率n＝1．5。
解：（略）
36、若在照象机内的光路上放一个与光轴垂直的玻璃板，其厚d＝6毫米，折射率n＝1．5，照象机的焦点将如何移动？(物镜用很小的光圈。)
解：（略）
37、平面镜反射成像时，像和物左右互易，为什么像和物并不上下颠倒？答：平面反射镜是一个理想的光学系统，其物、像对于镜面是对称的，人照镜子感到左右互换，上下不颠倒，不过是照镜子人的主观看法．设想人要是躺在床边上照镜子，他会得出镜子成像上下颠倒左右不颠倒．实际上平面镜是镜面对称成像．这种像加上人们平时观察物体的习惯，就产生了上面的混乱的观点．
29、为什么金刚石比切割成相同形状的玻璃仿制品看起来更加闪耀夺目？答：作为透明介质的金刚石，其折射率比一般玻璃要大．根据菲涅耳反射公式可知，对于相同形状的金刚石和仿制品，金刚石的反射光强要比纺仿制品的大，所以显得更亮．而题中所说闪耀的含义是有些表面看起来特别亮，而另一些表面看起来则不甚亮．即不同倾斜程度的表面，其反射光强差别很大．或同一表面的不同方向观察，其反射光强变化剧烈，因此形成闪耀的印象．
由于金刚石折射率高，其能发生全内反射的临界角小，具有各种不同倾斜度内表面的金刚石较之相同形状的玻璃制品更易发生全内反射，所以显得更加闪耀夺目．