§11.1 全 等 三 角 形
1、如图1所示，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边， 那么∠EAC等于（ ）。
A、∠ACB B、∠BAF C、∠BAC D、∠CAF 2、如图2所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论： ①AC=AF；②∠FAB=∠EAB；③EF-BC；④∠EAB=∠FAC。 其中正确的个数是( )。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、如图3所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点， 若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）。 A、15° B、20° C、25° D、30°
4、如图4所示，△ABC≌△BAD，∠C与∠D是对应角，AC与BD 是对应边，AB=8cm,BD=5cm,AD=7cm,那么BC的长是（ )。 A、8cm B、5cm C、7cm D、无法确定
5、如图5所示，△ABC沿直线BC向右平移线段BC的长就与△ECD 重合，所以△ABC≌△ ，相等的边有 、 、 ，相等的角有 、 、 。 6、如图6所示，△ABC≌△FED，
BC∥ED。试说明AB∥EF。
7、如图7所示，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时 针方向旋转能与△CBP1重合。若PB=3，求BP1。
1图7
C
D
B
C 图5
D
图4
B
图3 D
F 图2 A
图1
C
例1、如图所示，在平面上将△ABC的点B旋转到△A1B1C1的位置时， AA1∥BC，∠ABC=70°，求∠CBC1的度数（三角形中，相等的边所对的 角相等）。
分析：由旋转前后图形全等可知：△ABC≌△A/B1C1，然后利用全等三角形 的性质及平行线性质求∠CBC1的度数。
解、∵△A1B1C1是由△ABC旋转得到的， ∴△ABC≌△A1B1C1
，
A11
B（B1）
图8
C
∴AB=A1B1，∠A1B1C1=∠ABC，
∴∠CBC1=∠A/BA ∵AA1∥BC，
∴∠A1AB=∠ABC=70°， ∵AB=BA1，
∴∠BA1A=∠BAA1=70°， ∴∠A1BA=180°-2×70°=40°， ∴∠CBC1=40°。
例2、用同样粗细、同种材料的粗金属线制成的两个全等三角形，如图所示的△ABC和△DEF，已知∠B=∠E，∠C=∠F。AC的质量为25千克，EF的质量为30千克，求金属线AB的质量的取值范围。
分析：本题属于学科间渗透题，长度相同的金属线的质量相同，求出BC的质量，再利用三角形三边关系定理求金属线AB的质量的取值范围。
解：∵△ABC≌△DEF，∠B=∠E，∠C=∠F， ∴BC=EF。
∵EF的质量为30千克， ∴BC的质量为30千克。 ∵AC＋BC>AB>BC－AC，
∴25＋30>AB>30－25，即5
例3、如图所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置，如图所示，以BC为轴把△ABC翻转180°，可以变到△DBC的位置，如图所示，以A为中心把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换。在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素。以上三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换。
A D E
E 图6
B
C
D
B
C
C
B
图6
（1）如图所示，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应点，则通过 怎样的全等变换可以使它们重合？并指出它们相等的边和角。
（2）试一试，如图所示，你能用两个全等三角形拼成下列图形吗？ 这些图形都可以看作一个三角形经过怎样的全等变换得到的？
分析：通过阅读理解，应用平移变换和翻折变换的特点解决问题。
解：（1）把△DEF沿EF翻折180°，再把翻折后的三角形沿
CB方向平移，使E与B重合，则△DEF就能与△ABC重合（也可以先平移后翻折）。 相等的边有AB=DE，BC=EF，AC=DF。
相等的角有∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
（2）①平移，②旋转，③翻折，④平移、翻折，⑤旋转，⑥翻折。
例4、（1）如图所示，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC与DA是对应边，说出对应角和另一组对应边； (2)如图所示，△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出对应边和另外一组对应角。
C
A
B
D
C
D
C
F
错解：（1）∠DCA与∠BCA，∠DAC与∠BAC，∠D与∠B是对应角；另一组对应边为AC和AC。 （2）∠BAE和∠DAC是另一组对应角，AB和AD，AC和AE，BE和CD是对应边。
分析：（1）中错误的原因是识图能力差，未能将两个全等三角形分离。（2）中对全等三角形的表示方法理解不透，没能正确确定对应点及边。
正解：（1）对应角是∠B与∠D，∠BAC和∠DCA，∠BCA和∠DAC；另一组对应边是AC和CA。 （2）对应边是AB和AC，AE和AD，BE和CD；另一组对应角是∠BAE和∠CAD。
1、如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，若DE∥AC交BC的延长线与E，且△ADC≌△ECD，则梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈你的看法。
E C
2、如图所示，小明同学在设计一份图纸时,需要把△ABC以BC的中点O为中心，把△ABC绕O点旋转180°得到△BCD，已知AB=2㎝，BC=3㎝，AC=4㎝，试求出△BCD的三边长，并画图。
A
D
C
A
B
3、全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形。假设△ABC和△A1B1
C1是合同三角形，且A与A1，B与B1，C与C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1
环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形，如图所示；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图所示。两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；两个镜面合同三角形要重合，必须将其中的一个翻转180°。
1111
如图所示的各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
。
A
B
C
D
4、如图所示，在边长为1的方格纸中画出两个全等的钝角三角形。
5、如图所示的三个等边三角形中分别把它们分成二个、三个、四个全等的三角形。
6、如图所示，△ABE≌△ACF则下列结论：①∠1=∠2，②BE=CF，
C
③CD=DN，④∠C=∠B，其中正确的是 。
7、如图所示，△ABC≌△EDF，且∠CBA=∠FDE，∠A=∠E， A 指出其对应边和另一组对应角。 N
F E
A D B
8、如图所示，△ABC≌△BAD，A、C的对应点分别是B、D，如果AB=7㎝，BC=12㎝，AC=9㎝，那么BD的长为( )。
A、7㎝ B、9㎝ C、12㎝ D、无法确定 9、如图所示，△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD等于（ ）。 A、75° B、57° C、55° D、77°
A B E
D C
F C C F A D A D
10、在△ABC中，∠B=∠C，若与△ABC全等的三角形有一个角等于95°，那么这个角在△ABC中的对应的角是（ ）。
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠D
11、如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）。 A、30° B、50° C、60° D、100°
12、如图所示，若△ABC≌△EFC，且CF=3㎝，∠EFC=57°，则∠A= ，BC= ㎝。 13、如图所示，△ABC≌△DEF，且A、D、C、F四点在同一条直线
A 上，求证AD=CF。
D
B
F
E
14、如图所示，BE、CF是△ABC的高，P为BE延长线上的点，Q点在CF上，并且△PAB≌AQC，AB与QC是对应边，求证AP⊥AQ。
15、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A1B1C1，A1B1交AC于点D，且 ∠A1DC=90°，求∠A的度数。
1
B1 C (C1
16、如图所示，若△ADE≌△CBF，则如何变换能使这两个三角形重合？
D
C
17、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，求证：DE⊥AB。
E
§11.2 三 角 形 全 等 的 判 定
1、如图1所示，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°， 则∠BED= 。
2、如图2所示，AB-DE，AC=DF，BE=CF，则 ≌ 。 根据是 。
3、如图3所示，已知AB=CD，AD=CB，∠AEB=110°，∠ADB=25°， BE=DF，AE=CF，则图中有 对全等三角形，∠BCF= 。
4、如图4所示，AB=CD，BD=AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC。 5、如图5所示，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，AC与BD 交于点O。求证：AE∥CF。
B
图3
图4
D
图5
A
6、在下列推理中，填出需补充的条件，使结论成立。 （1）如图6所示，在△ABC和△BAD中，
（ ）， ∠ABC= （已知）， （已知），
∴△ABC≌△BAD（ ）。 （2）如图6所示，在△AOC和△BOD中， （已知），
∠ =∠ （ ）， （已知），
∴△AOC≌△BOD（ ）。 （3）如图6所示，在△ABC和△BAD中， （已知），
∠BAC= （已知），
（ ）， ∴△ABC≌△BAD（ ）。
7、如图所示，C为AB的中点，且CM=CN，∠1=∠2，求证：AM=BN。
A B 图6
E
B F
E 图2
A
F
B
图1
E
D
C 图7
8、如图8所示，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC，求证：DE=AC。
9、在下列推理中，填出需补充的条件，使结论成立。 如图9所示，在△ABC和△BAD中，
∠A=∠D（已知）， （1）（已知），
（对顶角相等）， ∴△AOB≌△DOC（ ）。 ∠B= （已知）， （2）（已知），
∠AOB= （ ）， ∴△AOB≌△DOC（ ）。 ∠A= （已知），
（3）∠AOB= （ ）， ，
∴△AOB≌△DOC（ AAS ）。
10、如图10所示，AB=AC，∠B=∠C，∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE。
B 图9
D
图8
B
D
C
C
D
图10
A
11、如图11所示，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，AB=DE，求证：BE=CF。
E 图11
A
F
D
12、如图12所示，AB∥DC，AF=CE，∠B=∠D，求证：FD∥BE。
B
图12
13、如图13所示，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD还需要什么条件？
把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写判定它们全等的理由。
（1）、 （ ）； （2）、 （ ）； （3）、 （ ）； （4）、 （ ）。
14、如图14所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE 交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有 对。
15、如图15所示，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC，求证：BA=ED。
B
F
图15
F
图14 A
图13
B
D
C
C E
16、如图所示，∠ACB、∠ADB都是直角，点E在AB上，
求证：(1)点A在∠CBD的平分线上； （2）、CE=DE。
B E
D
图16
17、如图17所示，Rt△ABC的直角顶点B在直线PQ上，且AB=BC，过A、C分别作PQ的垂线AD、CE，垂足分别为D、E，求证：DE=AD+CE。
P D B E Q 图17
18、三月三放风筝，如图18所示是小明制作的风筝，他根据DE=DF，
EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH。请你用所学知识给予证明。
图18
19、如图19所示，要在湖的两岸A、B建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离。请你用所学的数学知识按以下要求设计一个测量方案。
（1）画出测量图形； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
图19
F
20、如图20所示，BE、CD、AF相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2， 求证：DF=EF。
A
C
D
图20
B
21、如图21所示，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，求证：BF=DE。
22、如图22所示，有两个长度相等的滑梯，左边的滑梯高度AC与右边的滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠
DEF的大小有什么关系？
B
A 图22
D
F
E
A
图21 E
B
C
23、如图23所示，在修建铁路时要测量湖宽AB，可从点A出发，在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从C观测，在BA的延长线上测得一点B1，使∠ACB1=∠ACB，这时量得的AB1就是AB的长，试画图，写出已知、求证，并加以证明。
图23
24、如图24所示，工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，你知道这其中的道理吗？
C
图24
25、如图25--1所示，点C是线段AB上的一点，△ACM、△BCN是两个等边三角形。 （1）求证：AN=BM。
（2）若把原题中△ACM和△BCN是两个等边三角形换成两个正方形，如图25--2所示，则AN与BM的数量关系又如何？说明理由。
A M 2 C
图25--2
A E C
图25--1 B E
B
26、如图26所示，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC为△ABC与△ACD的公共边，△ABC与△ACD是否全等？为什么？
B
C 图26
D
27、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，给出下列结论： ①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN。 其中正确的结论是 。
28、如图28--1所示，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。 （1）求证：AC⊥CE。
（2）若将CD沿水平CB方向平移得到如图28--2所示的情形，其余条件不变，结论AC⊥CE还成立吗？A
B C1
C
D （C1） C B
D
C1 B
C1 E
A
C 图28--1
D
E
C D B D C
图28—2（1） 图28—2（2）
图28—2（3） 图28—2（4）
29、如图29所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD，求证：∠B=∠D。
图29
D
30、如图30所示，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，那么下列关系式不成立的是（ ）。 A、∠ADE=∠ADC B、∠BAC=∠BDE C、CD=DE D、∠ADE=∠BDE
31、如图31所示，△ABC中，AD、BE、CF相交于点O，AB=AC，AF=AE，BD=DC，则图中全等三角形共有（ ）对。
A、4对 B、5对 C、6对 D、7对
32、如图32所示，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）。
A、AD=AE B、∠AEB=∠ADC C、BE=CD D、AB=AC
A B
D 图30
C
B
E
B
D 图31
E 图32
D
E 图33
C
33、如图33所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD交AD延 长线于E，CF⊥⊥AD于F，若BE=14.9㎝，则CF= 。
34、如图34所示，AB=DE，AF=DC，EF=BC， （1）若EC=8㎝，则FB= ；
（2）若∠AFB=70°，∠CDE=80°，则∠ABC= 。
35、在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°， 那么在△ABC中与这个角对应的角是 。
36、如图36所示，∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需要的增加 一个条件是 。
37、两块含30°角的相同直角三角板按如图37所示的位置摆放， 使得两条相等的直角边AC、A1C1共线。
（1）图中有多少对全等三角形？将它们写出来。
A
（2）选择其中一对全等三角形进行证明（△ABC≌△A1B1C1除外）。
C1 B1B
E
C
B
图34 A
D
图36
B
C
图37
A1
38、如图38所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。 求证：AF⊥CD。
39、如图39所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系，并说明理由（等腰三角形等边对等角）。
A
图39
E
B
C
图38
D
E
40、如图40所示，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF。 （1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形。 （2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论。
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）。
M
A B
图40
§11.3 角 的 平 分 线 的 性 质
1、如图1所示，OC是∠AOD的平分线，OB是∠AOC的平分线，P为 OC上的一点，PE⊥OD于E，PF⊥OA于F，FH⊥OC于H，MG⊥OA于G， 则下面给出的式子中不正确的是（ ）。
A、PE=PF B、MH=MG C、OP=OM D、OE=OF
F G
图1
A
D C B A
2、如图2所示，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E、F，下面给出四个结论：①AD平分∠EDF；；②AE=AF；③AD的 中点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点到DE、DF的距离也 相等。其中正确的结论有（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、如图所示，点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置： ①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上； ④恰是∠B、∠DAC、∠ECA三条角平分线的交点。上述结论中正确结论的 个数是（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、如图4所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D， CD=2㎝，则点D到AB的距离为 。
5、如图5所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AE是角平分线，当BE:EC=3:5， BC=4㎝时，点E到AC的距离为 。
6、如图6所示，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小 关系是 。
7、如图7所示，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小 关系是 。
C B B
F
D
图2
D
C
P C 图3
E
D 图4
B
8、如图8所示，∠EBC与∠FCB的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小关系是 。
A
F
F E
E C B B C E B B D C C 图5 图6 图7 图9 图8 9、如图9所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。
10、如图10所示，在梯形中，的延长线相交于，于于（等腰三角形的等边对等角）。 （1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）； （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。
A
F 图10
B
10、如图11所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， 求证：BD=DF。
D E
图11
B
A
12、如图12所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36㎝，AB=18㎝，BC=12㎝，求DE的长。
13、如图13所示，三条公路两两相交于点A、B、C，欲建一个加油站，使它的位置到三条公路的距离相等，则加油站建在什么位置合理？为什么？
图13
2
A
D C
图12
14、如图14所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O。 （1）当∠1=∠2时，求证：OB=OC。 （2）当OB=OC时，求证：∠1=∠2。
15、如图15所示，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠DAM和∠MAB有什么关系？试说明理由。
A
B M
图14 E C
图15
16、如图16所示，在△ABC中，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，∠EPD=∠FPD， 求证：D到AB的距离和到AC的距离相等。
B E
D F C
图16
P
17、木工师傅用三角尺按如图17所示的方法画角的平分线。在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，你能说明理由吗？
31、如图所示，点为码头，两个灯塔与码头的距离相等，为海岸线，一轮船离开码头，计划沿的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔和灯塔的距离相等，则轮船航行时是否偏离指定航线？为什么？
19、如图19所示，河南岸有一个工厂，在公路两侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300m，在图中标出工厂的位置，并说明理由。
图19
C
A
图18
B
图17
6、如图20所示，∠1=∠2，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， 则①PE=PF；②OE=OF；③PA=PB中正确的有 。
O
图20
A
21、如图21所示，已知E为∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA， ED⊥OB，垂足分别为C、D。 求证：（1）OC=OD；
（2）∠ECD=∠EDC。
14、在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到B、C两点的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF。其中正确的个数是（ ）。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
23、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD:DC=3:2，点D到AB的距离为6，则点D到
AC的距离与BC的长度分别为（ ）。
50
A、6，8 B、8，10 C、6，15 D、5，10
（2）到三角形三条边距离相等的点是（ ）。 A、三条中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三条垂直平分线的交点 D、不能确定
（3）如图25所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， 当∠A=50°时，∠B0C= 。
26、如图26所示，点才是∠AOB的平分线上的一点，点P、P1分别在 边OA、OB上，如果要得到OP=OP1，需要添加以下条件中的某一个即可。 ①∠OCP=∠OCP1；②∠OPC=∠OP1C；③PC=P1C；④PP1⊥OC。请你写出所有 可能的条件的序号： 。
O
图25
C
图21
B
C
P1
B
图26
27、如图27所示，在△ABC中，∠ABC与外角∠MAC的平分线交于点O， 试说明点O在∠ACN的平分线上。
28、如图28所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，已知AB=8㎝，求△DBE的周长。
29、如图29所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=5，AC=3，则S△ABD:S△ACD的值是多少？
B
D 图29
C A
A
图28
E
B C 图27 P
30、如图30所示，在△ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BF=BA，作FD⊥BC，交AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点G，连接GF，求证：DG平分∠ADF，GD平分∠AGF。
D E F
图30
31、如图31所示，点P在∠AOB的平分线上，且∠ONP＋∠OMP=180°。求证：PM=PN。
P M B
图31
32、如图32所示，BE=CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D。求证：AD平分∠BAC。
C F
图32
全 等 三 角 形 综 合 评 价
一、填空题（每题2分，共20分）：
1、如图1所示，∠1=∠2，AC=DF，那么只需要补充一个条件就可以使△ABC≌△DEF。
2、如图2所示，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD，相交于O，则图中全等三角形有 。
3、如图3所示，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD=CE，根据“HL”可得到的全等三角形是 ；在此基础上还可以得到的全等三角形是 ，根据是 ；根据“AAS”可得全等的三角形是 。
D
图1
图2
C F C D
B
A
A
4、已知Rt△ABC≌Rt△DEF，若∠A=90°，∠B=25°，则∠。 55所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是∠A的平分线，CM=15㎝，那么点M到AB的距离为 。
6、如图6所示，AB=AC，AD是BC边上的高，则可以根据得Rt△ABD≌Rt△ACD，从而得到AD平分边 和角 ，且∠B= 。
7、如图7所示，O为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，连接AO并延长交BC于E，OD⊥BC于D，∠BAC=50°，OD=2㎝，则∠BAE= ，点O到AB的距离是 。
C
M
图5
B
B
D 图6
B
图7
C 8、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6㎝，△ABC的面积是18㎝2，则EF边上的高是 。 9、已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长等于16㎝，DE=5㎝，EF=6㎝，则。 10、在Rt△ABC中，∠C=90°，D是三个角平分线的交点，若AC=6㎝，BC=8㎝，AB=10㎝，则点D到三边的距离为 。 二、填空题（每题3分，共18分）：
11、下列说法正确的是（ ）。 A、全等三角形是指形状相同的两个三角形； B、全等三角形是指面积相等的两个三角形；
C、全等三角形的周长和面积分别相等； D、所有的等边三角形都是全等三角形。
12、如图12所示，点P是∠BAC内一点，点P到AB、AC的距离相等， 即PE=PF，则△PAE≌△PAF的依据是（ ）。
A、HL B、AAS C、SSS D、ASA
13、如图13所示，CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED；②∠A=∠BED； ③∠C=∠B；④AC=BE。那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（ ）。
A、①③ B、②④ C、①④ D、②③
14、如图14所示，AB、CD相交于E，AE=CE，BE=DE，则下列结论错误的 是（ ）。
A、AD=BC B、AD∥BC C、∠AED=∠CEB D、AC∥DB
A
D
图13 图12 C E
E
C
P F
B
B
15、如图15所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（ ）。 A、PD=PE B、OD=OE C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD 16、如图16所示，AC=AD，BC=BD，那么全等三角形的对数是（ ）。 A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
B
P D
A
A
B
B
D 图16
图15 图14
三、解答题（每题5分，共20分）：
17、 18、 19、 20、
四、解答题（每题6分，共18分）：
21、 22、 23、
五、解答题（每题8分，共24分）：
24、
25、如图25所示，AB=CD，CE∥DF，CE=DF，则AE=BF正确吗？为什么？
A
E F 图
26、如图26所示，AD是△ABC的中线，BE∥CF，BE、CF分别交AD及其延长线于点E、F，那么BE与CF相等吗？试说明理由。
A
E
D
C B
图26
六、解答题（每题10分，共20分）：
27、如图27--（1）所示，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF
⊥AC于点F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC
于点M。
（1）试说明MB=MD，ME=MF；
（2）当E、F两点移动到如图27--（2）所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请说明理由。
28、一个图形是由另一个图形经平移、翻折、旋转等方法变换得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做全等变换。
如图28所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=（1）△ABE与△ADF全等吗？说明理由。
（2）通过哪种变换可以使△ABE变到△ADF的位置？
（3）指出图中线段BE与DF之间的位置和数量关系，并说明理由。 1
AB。 2
C
F A 图28
B
§11.1 全 等 三 角 形
1、如图1所示，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边， 那么∠EAC等于（ ）。
A、∠ACB B、∠BAF C、∠BAC D、∠CAF 2、如图2所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论： ①AC=AF；②∠FAB=∠EAB；③EF-BC；④∠EAB=∠FAC。 其中正确的个数是( )。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、如图3所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点， 若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）。 A、15° B、20° C、25° D、30°
4、如图4所示，△ABC≌△BAD，∠C与∠D是对应角，AC与BD 是对应边，AB=8cm,BD=5cm,AD=7cm,那么BC的长是（ )。 A、8cm B、5cm C、7cm D、无法确定
5、如图5所示，△ABC沿直线BC向右平移线段BC的长就与△ECD 重合，所以△ABC≌△ ，相等的边有 、 、 ，相等的角有 、 、 。 6、如图6所示，△ABC≌△FED，
BC∥ED。试说明AB∥EF。
7、如图7所示，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时 针方向旋转能与△CBP1重合。若PB=3，求BP1。
1图7
C
D
B
C 图5
D
图4
B
图3 D
F 图2 A
图1
C
例1、如图所示，在平面上将△ABC的点B旋转到△A1B1C1的位置时， AA1∥BC，∠ABC=70°，求∠CBC1的度数（三角形中，相等的边所对的 角相等）。
分析：由旋转前后图形全等可知：△ABC≌△A/B1C1，然后利用全等三角形 的性质及平行线性质求∠CBC1的度数。
解、∵△A1B1C1是由△ABC旋转得到的， ∴△ABC≌△A1B1C1
，
A11
B（B1）
图8
C
∴AB=A1B1，∠A1B1C1=∠ABC，
∴∠CBC1=∠A/BA ∵AA1∥BC，
∴∠A1AB=∠ABC=70°， ∵AB=BA1，
∴∠BA1A=∠BAA1=70°， ∴∠A1BA=180°-2×70°=40°， ∴∠CBC1=40°。
例2、用同样粗细、同种材料的粗金属线制成的两个全等三角形，如图所示的△ABC和△DEF，已知∠B=∠E，∠C=∠F。AC的质量为25千克，EF的质量为30千克，求金属线AB的质量的取值范围。
分析：本题属于学科间渗透题，长度相同的金属线的质量相同，求出BC的质量，再利用三角形三边关系定理求金属线AB的质量的取值范围。
解：∵△ABC≌△DEF，∠B=∠E，∠C=∠F， ∴BC=EF。
∵EF的质量为30千克， ∴BC的质量为30千克。 ∵AC＋BC>AB>BC－AC，
∴25＋30>AB>30－25，即5
例3、如图所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置，如图所示，以BC为轴把△ABC翻转180°，可以变到△DBC的位置，如图所示，以A为中心把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换。在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素。以上三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换。
A D E
E 图6
B
C
D
B
C
C
B
图6
（1）如图所示，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应点，则通过 怎样的全等变换可以使它们重合？并指出它们相等的边和角。
（2）试一试，如图所示，你能用两个全等三角形拼成下列图形吗？ 这些图形都可以看作一个三角形经过怎样的全等变换得到的？
分析：通过阅读理解，应用平移变换和翻折变换的特点解决问题。
解：（1）把△DEF沿EF翻折180°，再把翻折后的三角形沿
CB方向平移，使E与B重合，则△DEF就能与△ABC重合（也可以先平移后翻折）。 相等的边有AB=DE，BC=EF，AC=DF。
相等的角有∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
（2）①平移，②旋转，③翻折，④平移、翻折，⑤旋转，⑥翻折。
例4、（1）如图所示，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC与DA是对应边，说出对应角和另一组对应边； (2)如图所示，△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出对应边和另外一组对应角。
C
A
B
D
C
D
C
F
错解：（1）∠DCA与∠BCA，∠DAC与∠BAC，∠D与∠B是对应角；另一组对应边为AC和AC。 （2）∠BAE和∠DAC是另一组对应角，AB和AD，AC和AE，BE和CD是对应边。
分析：（1）中错误的原因是识图能力差，未能将两个全等三角形分离。（2）中对全等三角形的表示方法理解不透，没能正确确定对应点及边。
正解：（1）对应角是∠B与∠D，∠BAC和∠DCA，∠BCA和∠DAC；另一组对应边是AC和CA。 （2）对应边是AB和AC，AE和AD，BE和CD；另一组对应角是∠BAE和∠CAD。
1、如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，若DE∥AC交BC的延长线与E，且△ADC≌△ECD，则梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈你的看法。
E C
2、如图所示，小明同学在设计一份图纸时,需要把△ABC以BC的中点O为中心，把△ABC绕O点旋转180°得到△BCD，已知AB=2㎝，BC=3㎝，AC=4㎝，试求出△BCD的三边长，并画图。
A
D
C
A
B
3、全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形。假设△ABC和△A1B1
C1是合同三角形，且A与A1，B与B1，C与C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1
环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形，如图所示；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图所示。两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；两个镜面合同三角形要重合，必须将其中的一个翻转180°。
1111
如图所示的各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
。
A
B
C
D
4、如图所示，在边长为1的方格纸中画出两个全等的钝角三角形。
5、如图所示的三个等边三角形中分别把它们分成二个、三个、四个全等的三角形。
6、如图所示，△ABE≌△ACF则下列结论：①∠1=∠2，②BE=CF，
C
③CD=DN，④∠C=∠B，其中正确的是 。
7、如图所示，△ABC≌△EDF，且∠CBA=∠FDE，∠A=∠E， A 指出其对应边和另一组对应角。 N
F E
A D B
8、如图所示，△ABC≌△BAD，A、C的对应点分别是B、D，如果AB=7㎝，BC=12㎝，AC=9㎝，那么BD的长为( )。
A、7㎝ B、9㎝ C、12㎝ D、无法确定 9、如图所示，△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD等于（ ）。 A、75° B、57° C、55° D、77°
A B E
D C
F C C F A D A D
10、在△ABC中，∠B=∠C，若与△ABC全等的三角形有一个角等于95°，那么这个角在△ABC中的对应的角是（ ）。
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠D
11、如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）。 A、30° B、50° C、60° D、100°
12、如图所示，若△ABC≌△EFC，且CF=3㎝，∠EFC=57°，则∠A= ，BC= ㎝。 13、如图所示，△ABC≌△DEF，且A、D、C、F四点在同一条直线
A 上，求证AD=CF。
D
B
F
E
14、如图所示，BE、CF是△ABC的高，P为BE延长线上的点，Q点在CF上，并且△PAB≌AQC，AB与QC是对应边，求证AP⊥AQ。
15、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A1B1C1，A1B1交AC于点D，且 ∠A1DC=90°，求∠A的度数。
1
B1 C (C1
16、如图所示，若△ADE≌△CBF，则如何变换能使这两个三角形重合？
D
C
17、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，求证：DE⊥AB。
E
§11.2 三 角 形 全 等 的 判 定
1、如图1所示，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°， 则∠BED= 。
2、如图2所示，AB-DE，AC=DF，BE=CF，则 ≌ 。 根据是 。
3、如图3所示，已知AB=CD，AD=CB，∠AEB=110°，∠ADB=25°， BE=DF，AE=CF，则图中有 对全等三角形，∠BCF= 。
4、如图4所示，AB=CD，BD=AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC。 5、如图5所示，E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，AC与BD 交于点O。求证：AE∥CF。
B
图3
图4
D
图5
A
6、在下列推理中，填出需补充的条件，使结论成立。 （1）如图6所示，在△ABC和△BAD中，
（ ）， ∠ABC= （已知）， （已知），
∴△ABC≌△BAD（ ）。 （2）如图6所示，在△AOC和△BOD中， （已知），
∠ =∠ （ ）， （已知），
∴△AOC≌△BOD（ ）。 （3）如图6所示，在△ABC和△BAD中， （已知），
∠BAC= （已知），
（ ）， ∴△ABC≌△BAD（ ）。
7、如图所示，C为AB的中点，且CM=CN，∠1=∠2，求证：AM=BN。
A B 图6
E
B F
E 图2
A
F
B
图1
E
D
C 图7
8、如图8所示，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC，求证：DE=AC。
9、在下列推理中，填出需补充的条件，使结论成立。 如图9所示，在△ABC和△BAD中，
∠A=∠D（已知）， （1）（已知），
（对顶角相等）， ∴△AOB≌△DOC（ ）。 ∠B= （已知）， （2）（已知），
∠AOB= （ ）， ∴△AOB≌△DOC（ ）。 ∠A= （已知），
（3）∠AOB= （ ）， ，
∴△AOB≌△DOC（ AAS ）。
10、如图10所示，AB=AC，∠B=∠C，∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE。
B 图9
D
图8
B
D
C
C
D
图10
A
11、如图11所示，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，AB=DE，求证：BE=CF。
E 图11
A
F
D
12、如图12所示，AB∥DC，AF=CE，∠B=∠D，求证：FD∥BE。
B
图12
13、如图13所示，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD还需要什么条件？
把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写判定它们全等的理由。
（1）、 （ ）； （2）、 （ ）； （3）、 （ ）； （4）、 （ ）。
14、如图14所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE 交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有 对。
15、如图15所示，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC，求证：BA=ED。
B
F
图15
F
图14 A
图13
B
D
C
C E
16、如图所示，∠ACB、∠ADB都是直角，点E在AB上，
求证：(1)点A在∠CBD的平分线上； （2）、CE=DE。
B E
D
图16
17、如图17所示，Rt△ABC的直角顶点B在直线PQ上，且AB=BC，过A、C分别作PQ的垂线AD、CE，垂足分别为D、E，求证：DE=AD+CE。
P D B E Q 图17
18、三月三放风筝，如图18所示是小明制作的风筝，他根据DE=DF，
EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH。请你用所学知识给予证明。
图18
19、如图19所示，要在湖的两岸A、B建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离。请你用所学的数学知识按以下要求设计一个测量方案。
（1）画出测量图形； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
图19
F
20、如图20所示，BE、CD、AF相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2， 求证：DF=EF。
A
C
D
图20
B
21、如图21所示，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，求证：BF=DE。
22、如图22所示，有两个长度相等的滑梯，左边的滑梯高度AC与右边的滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠
DEF的大小有什么关系？
B
A 图22
D
F
E
A
图21 E
B
C
23、如图23所示，在修建铁路时要测量湖宽AB，可从点A出发，在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从C观测，在BA的延长线上测得一点B1，使∠ACB1=∠ACB，这时量得的AB1就是AB的长，试画图，写出已知、求证，并加以证明。
图23
24、如图24所示，工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，你知道这其中的道理吗？
C
图24
25、如图25--1所示，点C是线段AB上的一点，△ACM、△BCN是两个等边三角形。 （1）求证：AN=BM。
（2）若把原题中△ACM和△BCN是两个等边三角形换成两个正方形，如图25--2所示，则AN与BM的数量关系又如何？说明理由。
A M 2 C
图25--2
A E C
图25--1 B E
B
26、如图26所示，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC为△ABC与△ACD的公共边，△ABC与△ACD是否全等？为什么？
B
C 图26
D
27、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，给出下列结论： ①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN。 其中正确的结论是 。
28、如图28--1所示，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。 （1）求证：AC⊥CE。
（2）若将CD沿水平CB方向平移得到如图28--2所示的情形，其余条件不变，结论AC⊥CE还成立吗？A
B C1
C
D （C1） C B
D
C1 B
C1 E
A
C 图28--1
D
E
C D B D C
图28—2（1） 图28—2（2）
图28—2（3） 图28—2（4）
29、如图29所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD，求证：∠B=∠D。
图29
D
30、如图30所示，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，那么下列关系式不成立的是（ ）。 A、∠ADE=∠ADC B、∠BAC=∠BDE C、CD=DE D、∠ADE=∠BDE
31、如图31所示，△ABC中，AD、BE、CF相交于点O，AB=AC，AF=AE，BD=DC，则图中全等三角形共有（ ）对。
A、4对 B、5对 C、6对 D、7对
32、如图32所示，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）。
A、AD=AE B、∠AEB=∠ADC C、BE=CD D、AB=AC
A B
D 图30
C
B
E
B
D 图31
E 图32
D
E 图33
C
33、如图33所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD交AD延 长线于E，CF⊥⊥AD于F，若BE=14.9㎝，则CF= 。
34、如图34所示，AB=DE，AF=DC，EF=BC， （1）若EC=8㎝，则FB= ；
（2）若∠AFB=70°，∠CDE=80°，则∠ABC= 。
35、在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°， 那么在△ABC中与这个角对应的角是 。
36、如图36所示，∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需要的增加 一个条件是 。
37、两块含30°角的相同直角三角板按如图37所示的位置摆放， 使得两条相等的直角边AC、A1C1共线。
（1）图中有多少对全等三角形？将它们写出来。
A
（2）选择其中一对全等三角形进行证明（△ABC≌△A1B1C1除外）。
C1 B1B
E
C
B
图34 A
D
图36
B
C
图37
A1
38、如图38所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。 求证：AF⊥CD。
39、如图39所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系，并说明理由（等腰三角形等边对等角）。
A
图39
E
B
C
图38
D
E
40、如图40所示，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF。 （1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形。 （2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论。
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）。
M
A B
图40
§11.3 角 的 平 分 线 的 性 质
1、如图1所示，OC是∠AOD的平分线，OB是∠AOC的平分线，P为 OC上的一点，PE⊥OD于E，PF⊥OA于F，FH⊥OC于H，MG⊥OA于G， 则下面给出的式子中不正确的是（ ）。
A、PE=PF B、MH=MG C、OP=OM D、OE=OF
F G
图1
A
D C B A
2、如图2所示，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E、F，下面给出四个结论：①AD平分∠EDF；；②AE=AF；③AD的 中点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点到DE、DF的距离也 相等。其中正确的结论有（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、如图所示，点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置： ①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上； ④恰是∠B、∠DAC、∠ECA三条角平分线的交点。上述结论中正确结论的 个数是（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、如图4所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D， CD=2㎝，则点D到AB的距离为 。
5、如图5所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AE是角平分线，当BE:EC=3:5， BC=4㎝时，点E到AC的距离为 。
6、如图6所示，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小 关系是 。
7、如图7所示，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小 关系是 。
C B B
F
D
图2
D
C
P C 图3
E
D 图4
B
8、如图8所示，∠EBC与∠FCB的平分线交于点D，则∠A与∠D的大小关系是 。
A
F
F E
E C B B C E B B D C C 图5 图6 图7 图9 图8 9、如图9所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。
10、如图10所示，在梯形中，的延长线相交于，于于（等腰三角形的等边对等角）。 （1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）； （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。
A
F 图10
B
10、如图11所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， 求证：BD=DF。
D E
图11
B
A
12、如图12所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36㎝，AB=18㎝，BC=12㎝，求DE的长。
13、如图13所示，三条公路两两相交于点A、B、C，欲建一个加油站，使它的位置到三条公路的距离相等，则加油站建在什么位置合理？为什么？
图13
2
A
D C
图12
14、如图14所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O。 （1）当∠1=∠2时，求证：OB=OC。 （2）当OB=OC时，求证：∠1=∠2。
15、如图15所示，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠DAM和∠MAB有什么关系？试说明理由。
A
B M
图14 E C
图15
16、如图16所示，在△ABC中，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，∠EPD=∠FPD， 求证：D到AB的距离和到AC的距离相等。
B E
D F C
图16
P
17、木工师傅用三角尺按如图17所示的方法画角的平分线。在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，你能说明理由吗？
31、如图所示，点为码头，两个灯塔与码头的距离相等，为海岸线，一轮船离开码头，计划沿的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔和灯塔的距离相等，则轮船航行时是否偏离指定航线？为什么？
19、如图19所示，河南岸有一个工厂，在公路两侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300m，在图中标出工厂的位置，并说明理由。
图19
C
A
图18
B
图17
6、如图20所示，∠1=∠2，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， 则①PE=PF；②OE=OF；③PA=PB中正确的有 。
O
图20
A
21、如图21所示，已知E为∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA， ED⊥OB，垂足分别为C、D。 求证：（1）OC=OD；
（2）∠ECD=∠EDC。
14、在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到B、C两点的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF。其中正确的个数是（ ）。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
23、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD:DC=3:2，点D到AB的距离为6，则点D到
AC的距离与BC的长度分别为（ ）。
50
A、6，8 B、8，10 C、6，15 D、5，10
（2）到三角形三条边距离相等的点是（ ）。 A、三条中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三条垂直平分线的交点 D、不能确定
（3）如图25所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， 当∠A=50°时，∠B0C= 。
26、如图26所示，点才是∠AOB的平分线上的一点，点P、P1分别在 边OA、OB上，如果要得到OP=OP1，需要添加以下条件中的某一个即可。 ①∠OCP=∠OCP1；②∠OPC=∠OP1C；③PC=P1C；④PP1⊥OC。请你写出所有 可能的条件的序号： 。
O
图25
C
图21
B
C
P1
B
图26
27、如图27所示，在△ABC中，∠ABC与外角∠MAC的平分线交于点O， 试说明点O在∠ACN的平分线上。
28、如图28所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，已知AB=8㎝，求△DBE的周长。
29、如图29所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=5，AC=3，则S△ABD:S△ACD的值是多少？
B
D 图29
C A
A
图28
E
B C 图27 P
30、如图30所示，在△ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BF=BA，作FD⊥BC，交AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点G，连接GF，求证：DG平分∠ADF，GD平分∠AGF。
D E F
图30
31、如图31所示，点P在∠AOB的平分线上，且∠ONP＋∠OMP=180°。求证：PM=PN。
P M B
图31
32、如图32所示，BE=CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D。求证：AD平分∠BAC。
C F
图32
全 等 三 角 形 综 合 评 价
一、填空题（每题2分，共20分）：
1、如图1所示，∠1=∠2，AC=DF，那么只需要补充一个条件就可以使△ABC≌△DEF。
2、如图2所示，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD，相交于O，则图中全等三角形有 。
3、如图3所示，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD=CE，根据“HL”可得到的全等三角形是 ；在此基础上还可以得到的全等三角形是 ，根据是 ；根据“AAS”可得全等的三角形是 。
D
图1
图2
C F C D
B
A
A
4、已知Rt△ABC≌Rt△DEF，若∠A=90°，∠B=25°，则∠。 55所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是∠A的平分线，CM=15㎝，那么点M到AB的距离为 。
6、如图6所示，AB=AC，AD是BC边上的高，则可以根据得Rt△ABD≌Rt△ACD，从而得到AD平分边 和角 ，且∠B= 。
7、如图7所示，O为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，连接AO并延长交BC于E，OD⊥BC于D，∠BAC=50°，OD=2㎝，则∠BAE= ，点O到AB的距离是 。
C
M
图5
B
B
D 图6
B
图7
C 8、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6㎝，△ABC的面积是18㎝2，则EF边上的高是 。 9、已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长等于16㎝，DE=5㎝，EF=6㎝，则。 10、在Rt△ABC中，∠C=90°，D是三个角平分线的交点，若AC=6㎝，BC=8㎝，AB=10㎝，则点D到三边的距离为 。 二、填空题（每题3分，共18分）：
11、下列说法正确的是（ ）。 A、全等三角形是指形状相同的两个三角形； B、全等三角形是指面积相等的两个三角形；
C、全等三角形的周长和面积分别相等； D、所有的等边三角形都是全等三角形。
12、如图12所示，点P是∠BAC内一点，点P到AB、AC的距离相等， 即PE=PF，则△PAE≌△PAF的依据是（ ）。
A、HL B、AAS C、SSS D、ASA
13、如图13所示，CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED；②∠A=∠BED； ③∠C=∠B；④AC=BE。那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（ ）。
A、①③ B、②④ C、①④ D、②③
14、如图14所示，AB、CD相交于E，AE=CE，BE=DE，则下列结论错误的 是（ ）。
A、AD=BC B、AD∥BC C、∠AED=∠CEB D、AC∥DB
A
D
图13 图12 C E
E
C
P F
B
B
15、如图15所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（ ）。 A、PD=PE B、OD=OE C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD 16、如图16所示，AC=AD，BC=BD，那么全等三角形的对数是（ ）。 A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
B
P D
A
A
B
B
D 图16
图15 图14
三、解答题（每题5分，共20分）：
17、 18、 19、 20、
四、解答题（每题6分，共18分）：
21、 22、 23、
五、解答题（每题8分，共24分）：
24、
25、如图25所示，AB=CD，CE∥DF，CE=DF，则AE=BF正确吗？为什么？
A
E F 图
26、如图26所示，AD是△ABC的中线，BE∥CF，BE、CF分别交AD及其延长线于点E、F，那么BE与CF相等吗？试说明理由。
A
E
D
C B
图26
六、解答题（每题10分，共20分）：
27、如图27--（1）所示，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF
⊥AC于点F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC
于点M。
（1）试说明MB=MD，ME=MF；
（2）当E、F两点移动到如图27--（2）所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请说明理由。
28、一个图形是由另一个图形经平移、翻折、旋转等方法变换得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做全等变换。
如图28所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=（1）△ABE与△ADF全等吗？说明理由。
（2）通过哪种变换可以使△ABE变到△ADF的位置？
（3）指出图中线段BE与DF之间的位置和数量关系，并说明理由。 1
AB。 2
C
F A 图28
B