高中立体几何教案 第一章 直线和平面 三垂线定理及其逆定理的练习课之二教案
教学目标
1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；
2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；
3．通过解综合题提高学生解综合题的能力．
教学重点和难点
教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的
题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”． 教学设计过程
师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．
例1 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：
△ABC是锐角三角形．
师：我们能不能直接用三垂线定理来证？
生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．
师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？
生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．
师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．
例2 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．
师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．
生：因为 PA⊥BP，
PA⊥CP，
所以 PA⊥平面PBC．
故 PA⊥BC．
对于平面ABC来说，PH是垂线，
PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线．
因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC．
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．
故H是△ABC的垂心．
师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．
例3 如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．
师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？
生：用反证法．
师：为什么想到用反证法？
生：因为直接证不好证．
师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．
生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．
对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影． 因为 BO⊥PC，所以 AB⊥PC．
又因为 PA⊥平面ABC，PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．
师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现
在我们来看例4．
例4 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
（1）PO与平面α所成的角的正弦；
（2）PO的长．
师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．
生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos
师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．
（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．
师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．
生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．
师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？ 生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．
师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．
垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．
今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．
作业
补充题
1．已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO⊥平
AB＝13，AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较∠BAC与∠BA1C的大小．〔提示：用余弦定理可得∠BAC＝∠BA1C〕
5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作PQ⊥平面α，问：点P在什么位置时，∠QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明． 〔提示：利用cosθ1·cosθ2＝cosθ公式〕
课堂教学设计说明
1．“在本书中，我将时常讨论数学里大大小小的发现．我不可能讲怎样得出这些发现的真实过程，因为没有人真正知道它．然而我将力求写出一个发现可能是如何产生的过程来．我还想强调指出获得发现的动机，导致发现的合情推理，总之，想强调指出值得模仿的任何事情．当然，我力求把内容讲得生动些使读者留下印象；这是我作为教师和作者的义务．然而我将在关系重大之处对读者完全诚实：我只是想把看来是真实的并且是对我有帮助的东西讲得能使读者留下印象”（〔美〕G·波利亚著《数学与猜想》第一卷序言）．立体几何作为中学的一门学科存在已经有大约二千三百多年的历史．欧几里得的《原本》“第十一、十二、十三卷，讲立体几何，除了关于球体的论述外，其大部分内容在中学课本中通常都能找到．关于空间中的直线和平面的定义、定理，以及关于平行六面体的定理，可在第十一卷中找到．”（〔美〕H·伊夫斯著《数学史概论》第139页）山西人民出版社1986年出版．
作为有两千多年历史的立体几何，先人们对于它的研究过程好像一部永远也放映不完，并将永远放映下去的电影，它的每一个“题”好像以“定格”方式存留下来．因此，它的每一个“题”都必然会有它的来龙去脉，我们没有可能也没有必要去了解每一个题的来龙去脉，但对于个别的、典型的题的来龙去脉来做“合情推理”却是很有必要，很有意义的．这里，将对这一节课中所讲的两个例题的来龙去脉来做“合情推理”．
这两种解法的思考过程，完全“裸露”在我们面前，使我们容易理解、掌握．而例5这题目本身是以结论的形式出现，它的过程则完全被“隐蔽”了．所以我们的“合情推理”是例5这一题在这两种求A1B和B1D1的距离方法出现以后再出现的．
3．以这节课的例1为基本图形，对于它的研究共有10个题，常见的有如下4题：
已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．
（1）求证：△ABC为锐角三角形；
（2）P点在平面ABC内的射影H为△ABC的垂心；
其余的6个题及其解法，读者可参看由北京师大二附中数学教研组编《高中几何例题精讲与解法》（北京教育出版社1994年出版）
有的题就是以这些基本题为“原型”经过“演变”而得．例如：
（1）这节课中的例3；
（2）如果点P在平面ABC上的射影G为△ABC的重心，求PA
（3）如果H为△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°，求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°．
所以在整个教学过程中，从始至终都要既要抓“基本”又要抓“变化”这个教育思想．只有抓好“基本”，才能使学生建立起正确的思考问题的出发点和思考问题的基本思路．只有抓好“变化”，才能使学生灵活地掌握所学知识，了解题与题之间的内在联系及相互转化的规律．抓“基本”是第一位的，每个学校，每个班级都要狠抓基本功；抓“变化”是第二位的，它因学校不同、班级不同、学生不同而有所不同，这就是所谓的“因材施教”吧！
总之，对于我们所教的各个学科都要用历史的、辩证的（相互联系相互转化）的观点去理解它、把握它．因为任何一个学科作为某种科学的初级状态都有自身的历史的、辩证的发生、发展过程．所以只有当我们用历史的、辩证的观点去进行教学时，才有可能把这学科教好、教活．
高中立体几何教案 第一章 直线和平面 三垂线定理及其逆定理的练习课之二教案
教学目标
1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；
2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；
3．通过解综合题提高学生解综合题的能力．
教学重点和难点
教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的
题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”． 教学设计过程
师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．
例1 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：
△ABC是锐角三角形．
师：我们能不能直接用三垂线定理来证？
生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．
师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？
生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．
师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．
例2 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．
师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．
生：因为 PA⊥BP，
PA⊥CP，
所以 PA⊥平面PBC．
故 PA⊥BC．
对于平面ABC来说，PH是垂线，
PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线．
因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC．
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．
故H是△ABC的垂心．
师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．
例3 如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．
师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？
生：用反证法．
师：为什么想到用反证法？
生：因为直接证不好证．
师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．
生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．
对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影． 因为 BO⊥PC，所以 AB⊥PC．
又因为 PA⊥平面ABC，PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．
师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现
在我们来看例4．
例4 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
（1）PO与平面α所成的角的正弦；
（2）PO的长．
师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．
生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos
师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．
（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．
师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．
生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．
师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？ 生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1．
师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．
垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．
今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．
作业
补充题
1．已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO⊥平
AB＝13，AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较∠BAC与∠BA1C的大小．〔提示：用余弦定理可得∠BAC＝∠BA1C〕
5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作PQ⊥平面α，问：点P在什么位置时，∠QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明． 〔提示：利用cosθ1·cosθ2＝cosθ公式〕
课堂教学设计说明
1．“在本书中，我将时常讨论数学里大大小小的发现．我不可能讲怎样得出这些发现的真实过程，因为没有人真正知道它．然而我将力求写出一个发现可能是如何产生的过程来．我还想强调指出获得发现的动机，导致发现的合情推理，总之，想强调指出值得模仿的任何事情．当然，我力求把内容讲得生动些使读者留下印象；这是我作为教师和作者的义务．然而我将在关系重大之处对读者完全诚实：我只是想把看来是真实的并且是对我有帮助的东西讲得能使读者留下印象”（〔美〕G·波利亚著《数学与猜想》第一卷序言）．立体几何作为中学的一门学科存在已经有大约二千三百多年的历史．欧几里得的《原本》“第十一、十二、十三卷，讲立体几何，除了关于球体的论述外，其大部分内容在中学课本中通常都能找到．关于空间中的直线和平面的定义、定理，以及关于平行六面体的定理，可在第十一卷中找到．”（〔美〕H·伊夫斯著《数学史概论》第139页）山西人民出版社1986年出版．
作为有两千多年历史的立体几何，先人们对于它的研究过程好像一部永远也放映不完，并将永远放映下去的电影，它的每一个“题”好像以“定格”方式存留下来．因此，它的每一个“题”都必然会有它的来龙去脉，我们没有可能也没有必要去了解每一个题的来龙去脉，但对于个别的、典型的题的来龙去脉来做“合情推理”却是很有必要，很有意义的．这里，将对这一节课中所讲的两个例题的来龙去脉来做“合情推理”．
这两种解法的思考过程，完全“裸露”在我们面前，使我们容易理解、掌握．而例5这题目本身是以结论的形式出现，它的过程则完全被“隐蔽”了．所以我们的“合情推理”是例5这一题在这两种求A1B和B1D1的距离方法出现以后再出现的．
3．以这节课的例1为基本图形，对于它的研究共有10个题，常见的有如下4题：
已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．
（1）求证：△ABC为锐角三角形；
（2）P点在平面ABC内的射影H为△ABC的垂心；
其余的6个题及其解法，读者可参看由北京师大二附中数学教研组编《高中几何例题精讲与解法》（北京教育出版社1994年出版）
有的题就是以这些基本题为“原型”经过“演变”而得．例如：
（1）这节课中的例3；
（2）如果点P在平面ABC上的射影G为△ABC的重心，求PA
（3）如果H为△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°，求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°．
所以在整个教学过程中，从始至终都要既要抓“基本”又要抓“变化”这个教育思想．只有抓好“基本”，才能使学生建立起正确的思考问题的出发点和思考问题的基本思路．只有抓好“变化”，才能使学生灵活地掌握所学知识，了解题与题之间的内在联系及相互转化的规律．抓“基本”是第一位的，每个学校，每个班级都要狠抓基本功；抓“变化”是第二位的，它因学校不同、班级不同、学生不同而有所不同，这就是所谓的“因材施教”吧！
总之，对于我们所教的各个学科都要用历史的、辩证的（相互联系相互转化）的观点去理解它、把握它．因为任何一个学科作为某种科学的初级状态都有自身的历史的、辩证的发生、发展过程．所以只有当我们用历史的、辩证的观点去进行教学时，才有可能把这学科教好、教活．