概率论应用实例

概率论与数理统计在实验研究中的应用

环化学院

周煜

1630151199

摘 要 数学作为一门工具性学科，在科研及生产生活中发挥着重大作用。文章讨论了概率论和数理统计在各方面的应用，其中，重点放在了在实验中的应用。通过分析，我们可以看出，一方面我们可以用数理统计的方法处理数据，另一方面，我们也可以用概率论的知识来知道实践。

关键词 概率论；数理统计；实验

一、 在测量误差与数据处理中的应用

一般来说，测量过程都是测试人在一定的环境条件下，使用一定的测量仪器进行的。由于仪器的结构不可能完美无缺，测试人的操作、调整及读数也不可能完全正确，环境条件的变化，如温度的波动、机械振动、电磁辐射的随机变化等也将不可避免的造成各种干扰，因此，任何测量都不能做到绝对准确。

为了使误差减小，用概率论及数理统计方法可以指导实验的测量过程；同时，用概率论及数理统计方法的对所测量得到的数据进行处理，使之更接近真值，同时运用概率论的方法可以得出实验结果的适用范围，从而指导实践。

1、 随机误差的正态分布规律

对某一物理量在相同条件下进行n次重复测量，由于随机误差的存在，测量结果A1,A2,,An一般都存在着一定的差异如果该物理量的真值为A0，则根据误差的定义，各次测量的误差为

xiAiA0 i1,2,，n （式一）

x一般为连续变量。大量实践证明， 随机误差xi的出现是服从一定的统计分布——正态分布规律的：

x2

2f(x)1

2e （式二）

式中，是一个取决于具体测量条件的常量，称为标准误差。

2、标准误差的统计意义

可以证明，标准误差可表示为

1n

 (AiA0)2 （式三）ni1

式三中，n代表测量次数。该式成立的条件是要求测量次数n。下面对统计特征量作进一步的研究。

由概率密度分布函数的定义式（式二），计算其中某次测量随机误差出现在，区间的概率为

P(x)f(x)dx0.683 

（式四）

2]和[3，3]区间的概率分别同样可以计算，某次测量随机误差出现在[2，

为0.955和0.997。

通过以上的分析，可以得出标准误差所表示的概率意义。对物理量A任作一次测量时，测量误差落在到之间的可能性为68.3%，落在2到2之间的可能性为95.5%，而落在3到3之间的可能性为99.7%。

3、由于真值A0和特征量在实际测量中是无法测得的，这样，在实验中便相应产生了对应于二者的量：算数平均值（式五）和标准偏差（式六）。

A

i1ni

n  （式五）

SA(Ai1ni)2（式六）

n1

其中，（式六）也称为贝塞尔（Bessel）公式。

对A的有限次测量的算术平均值也是一个随机变量，因此就产生了有限次测量算术平均值的标准偏差S这一概念

SSAn （式七）

可以证明，测量量的真实值A0落在[SS]（置信区间）范围内的概率为68.3%（置信概率），落在[2S2S]范围内的概率为95.5%，而落在

[3S3S]范围内的概率为99.7%。

应用概率论与数理统计可测各个物理量的不确定度，从而得出结果的完整值。

下面，我们从两个方面举出两个实验实例，用以说明数理统计的实验应用：

(数据皆为笔者实验所得)

1、 惠斯通电桥测电阻

根据数理统计的方法：可得校正后的结果为：

2、线性与非线性元件伏安特性的测定

用最小二乘法算线性电阻阻值：

GUI

()2U22.2930.8402.0002.29325.457

0.371k1

12695.6G

RA150R

R0R1502.546k

二、 其他

概率论思想的应用非常广泛，大多数应用则是在大量统计的基础上，得出一般结论或者简单公式。比如：

② 在医学领域中的概率论思想

有一篇题为 《慢性重型乙型肝炎预后指标与死亡概率关系的判别分析》 ，文章中有如下结论：性别因素对慢性重型乙型肝炎的死亡概率无影响。研究得到的判别方程式为 V=2.824 肝性脑病分析+0.017右肝厚(mm)+0.354门脉主干内径(mm)+0.158WBC(10/L)+0.077ALB(g/L)+0.00352IBIL(mol/L)+0.0101CREA(mol/L)-0.025HGB(g/L)-0.072CHOL(mol/L)-0.0703PTA(%)-13.75。该判别方程适用于判断慢性重型乙型肝炎肝功能衰竭指标与死亡概率之间的关系，具有客观、简便和量化的优点。[1]

②金融领域中的概率论思想

证券价格一般都形成一个随机波动，即价格在每一时期发生一次变化，而且变化只有两种可能性：上升某个百分比或下降某个百分比。此外，每个区间的变动与上一个区间的结果是独立的。这便可以运用到概率论的内容。试举一例：

对于欧洲看涨期权，有如下价格公式： 9

1C(1i)nCi0ntnnttpup(1pup)t（式八）

max[0,S(1kup)n2tE]

对于欧洲看跌期权，有如下价格公式：

1C(1i)nCi0ntnnttpup(1pup)t（式九）[2]

max[0,ES(1kup)n2t]

③另外，生活中的概率问题也随处可见，比如天气预报中的降水概率，商场中的抽奖游戏等

等。

参考文献

[1] 叶一农 柯伟民 慢性重型乙型肝炎预后指标与死亡概率关系的判别分析 广东省佛山市第一人民医院 中山大学附属第三医院；

[2] 崔永伟 杜聪慧 概率论与数理统计思想的应用 河南机电高等专科学校学报第12卷 第2期。

概率论与数理统计在实验研究中的应用

环化学院

周煜

1630151199

摘 要 数学作为一门工具性学科，在科研及生产生活中发挥着重大作用。文章讨论了概率论和数理统计在各方面的应用，其中，重点放在了在实验中的应用。通过分析，我们可以看出，一方面我们可以用数理统计的方法处理数据，另一方面，我们也可以用概率论的知识来知道实践。

关键词 概率论；数理统计；实验

一、 在测量误差与数据处理中的应用

一般来说，测量过程都是测试人在一定的环境条件下，使用一定的测量仪器进行的。由于仪器的结构不可能完美无缺，测试人的操作、调整及读数也不可能完全正确，环境条件的变化，如温度的波动、机械振动、电磁辐射的随机变化等也将不可避免的造成各种干扰，因此，任何测量都不能做到绝对准确。

为了使误差减小，用概率论及数理统计方法可以指导实验的测量过程；同时，用概率论及数理统计方法的对所测量得到的数据进行处理，使之更接近真值，同时运用概率论的方法可以得出实验结果的适用范围，从而指导实践。

1、 随机误差的正态分布规律

对某一物理量在相同条件下进行n次重复测量，由于随机误差的存在，测量结果A1,A2,,An一般都存在着一定的差异如果该物理量的真值为A0，则根据误差的定义，各次测量的误差为

xiAiA0 i1,2,，n （式一）

x一般为连续变量。大量实践证明， 随机误差xi的出现是服从一定的统计分布——正态分布规律的：

x2

2f(x)1

2e （式二）

式中，是一个取决于具体测量条件的常量，称为标准误差。

2、标准误差的统计意义

可以证明，标准误差可表示为

1n

 (AiA0)2 （式三）ni1

式三中，n代表测量次数。该式成立的条件是要求测量次数n。下面对统计特征量作进一步的研究。

由概率密度分布函数的定义式（式二），计算其中某次测量随机误差出现在，区间的概率为

P(x)f(x)dx0.683 

（式四）

2]和[3，3]区间的概率分别同样可以计算，某次测量随机误差出现在[2，

为0.955和0.997。

通过以上的分析，可以得出标准误差所表示的概率意义。对物理量A任作一次测量时，测量误差落在到之间的可能性为68.3%，落在2到2之间的可能性为95.5%，而落在3到3之间的可能性为99.7%。

3、由于真值A0和特征量在实际测量中是无法测得的，这样，在实验中便相应产生了对应于二者的量：算数平均值（式五）和标准偏差（式六）。

A

i1ni

n  （式五）

SA(Ai1ni)2（式六）

n1

其中，（式六）也称为贝塞尔（Bessel）公式。

对A的有限次测量的算术平均值也是一个随机变量，因此就产生了有限次测量算术平均值的标准偏差S这一概念

SSAn （式七）

可以证明，测量量的真实值A0落在[SS]（置信区间）范围内的概率为68.3%（置信概率），落在[2S2S]范围内的概率为95.5%，而落在

[3S3S]范围内的概率为99.7%。

应用概率论与数理统计可测各个物理量的不确定度，从而得出结果的完整值。

下面，我们从两个方面举出两个实验实例，用以说明数理统计的实验应用：

(数据皆为笔者实验所得)

1、 惠斯通电桥测电阻

根据数理统计的方法：可得校正后的结果为：

2、线性与非线性元件伏安特性的测定

用最小二乘法算线性电阻阻值：

GUI

()2U22.2930.8402.0002.29325.457

0.371k1

12695.6G

RA150R

R0R1502.546k

二、 其他

概率论思想的应用非常广泛，大多数应用则是在大量统计的基础上，得出一般结论或者简单公式。比如：

② 在医学领域中的概率论思想

有一篇题为 《慢性重型乙型肝炎预后指标与死亡概率关系的判别分析》 ，文章中有如下结论：性别因素对慢性重型乙型肝炎的死亡概率无影响。研究得到的判别方程式为 V=2.824 肝性脑病分析+0.017右肝厚(mm)+0.354门脉主干内径(mm)+0.158WBC(10/L)+0.077ALB(g/L)+0.00352IBIL(mol/L)+0.0101CREA(mol/L)-0.025HGB(g/L)-0.072CHOL(mol/L)-0.0703PTA(%)-13.75。该判别方程适用于判断慢性重型乙型肝炎肝功能衰竭指标与死亡概率之间的关系，具有客观、简便和量化的优点。[1]

②金融领域中的概率论思想

证券价格一般都形成一个随机波动，即价格在每一时期发生一次变化，而且变化只有两种可能性：上升某个百分比或下降某个百分比。此外，每个区间的变动与上一个区间的结果是独立的。这便可以运用到概率论的内容。试举一例：

对于欧洲看涨期权，有如下价格公式： 9

1C(1i)nCi0ntnnttpup(1pup)t（式八）

max[0,S(1kup)n2tE]

对于欧洲看跌期权，有如下价格公式：

1C(1i)nCi0ntnnttpup(1pup)t（式九）[2]

max[0,ES(1kup)n2t]

③另外，生活中的概率问题也随处可见，比如天气预报中的降水概率，商场中的抽奖游戏等

等。

参考文献

[1] 叶一农 柯伟民 慢性重型乙型肝炎预后指标与死亡概率关系的判别分析 广东省佛山市第一人民医院 中山大学附属第三医院；

[2] 崔永伟 杜聪慧 概率论与数理统计思想的应用 河南机电高等专科学校学报第12卷 第2期。