一、等差等比数列基础知识点
1．概念与公式：
①等差数列：1°. 定义：若数列{a n }满足a n +1-a n =d (常数), 则{a n }称等差数列；
2°. 通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a k +(n -k ) d ; 3°. 前n 项和公式：公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
②等比数列：1°. 定义若数列{a n }满足
a n +1
，则{a n }称等比数列；2°. 通项公式：=q （常数）
a n
a n =a 1q
n -1
=a k q
n -k
a 1-a n q a 1(1-q n )
=(q ≠1), 当q=1时S n =na 1. ; 3°. 前n 项和公式：S n =
1-q 1-q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{a n }:a 1, a 2, a 3, , a n ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= . ②中项及性质：
1°. 设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且A =
a +b
; 2
2°. 设a ,G , b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且G =±ab . ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且p +q =r +s , 1°. 若{a n }是等差数列，则a p +a q =a r +a s ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a p ⋅a q =a r ⋅a s ; ④顺次n 项和性质：
1°. 若{a n }是公差为d 的等差数列，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2……组成公差为n 2d 的等差数列；
2°. 若{a n }是公差为q 的等比数列，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2……组成公差为q n 的等比数列. （注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若{a n }是等比数列，则顺次n 项的乘积：a 1a 2 a n , a n +1a n +2 a 2n , a 2n +1a 2n +2 a 3n 组成公比这q n 的等比数列.
⑥若{a n }是公差为d 的等差数列，1°. 若n 为奇数，则S n =na 中且S 奇-S 偶=a 中(注:a 中指中项, 即a 中=a n +1,
2
2
而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°. 若n 为偶数，则S 偶-S 奇=
[例1]解答下述问题：
nd . 2
111
, , 成等差数列，求证： a b c
b +c c +a a +b b b b
, , （1）成等差数列； （2）a -, -, c -成等比数列. a b c 222
（Ⅰ）已知
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2，求项数n. （Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
a k 1, a k 2, , a k n 恰为等比数列, 其中k 1=1, k 2=5, k 3=17, 求数列{k n }的前n 项和.
[例2]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
二、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2. 、在等差数列{a n }中，a 1=4, 且a 1, a 5, a 13成等比数列，则{a n }的通项公式为 （ ）
（A ）a n =3n +1 （B ）a n =n +3 （C ）a n =3n +1或a n =4 （D ）a n =n +3或a n =4 3、已知a , b , c 成等比数列，且x , y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则
a c
+的值为 （ ） x y
（A ）
1
（B ）-2 （C ）2 （D ） 不确定 2
2
2
4、互不相等的三个正数a , b , c 成等差数列，x 是a , b 的等比中项，y 是b , c 的等比中项，那么x ，b ，y 三个数
（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列
（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列{a n }的前n 项和为S n , S 2n +1=4n 2+2n , 则此数列的通项公式为 （ ）
（A ）a n =2n -2 （B ）a n =8n -2 （C ）a n =2n -1 （D ）a n =n 2-n
6、已知(z -x ) =4(x -y )(y -z ) ，则 （ ） （A ）x , y , z 成等差数列 （B ）x , y , z 成等比数列 （C ）
2
2
111111
, , 成等差数列 （D ）, , 成等比数列 x y z x y z
7、数列{a n }的前n 项和S n =a n -1，则关于数列{a n }的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，
也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1
1111
, 3, 5, 7, ⋯, 前n 项和为 （ ） 24816
1111112222
（A ）n -n +1 （B ）n -n +1+ （C ）n -n -n +1 （D ）n -n -n +1+
222222
9、若两个等差数列{a n }、且满足{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，
（A ）
A n 4n +2a +a 13
，则5的值为 （ ） =
B n 5n -5b 5+b 13
78197
（B ） （C ） （D ） 97208
10、已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-5n +2, 则数列a n 的前10项和为 （ ）
（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60
11、已知数列{a n }的通项公式a n =n +5为, 从{a n }中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个
新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）
}
n (3n +13) 3n +10n -33n +1+10n -3n
（A ） （B ）3+5 （C ） （D ）
222
12、下列命题中是真命题的是 ( ) A ．数列{a n }是等差数列的充要条件是a n =pn +q (p ≠0)
B ．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n =an 2+bn +a , 如果此数列是等差数列, 那么此数列也是等比数列 C ．数列{a n }是等比数列的充要条件a n =ab n -1
D ．如果一个数列{a n }的前n 项和S n =ab n +c (a ≠0, b ≠0, b ≠1) , 则此数列是等比数列的充要条件是
a +c =0
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1a 5, a 7, a 8, 成等差数列，则公比q 14、已知等差数列{a n }，公差d ≠0, a 1, a 5, a 17成等比数列，则15、已知数列{a n }满足S n =1+
a 1+a 5+a 17
a 2+a 6+a 18
1
a n , 则a n 4
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题
17、已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列a b n 是公比为q 的等比数列，b 1=1, b 2=10, b 3=46 ，求公比q 及b n 。
18、已知等差数列{a n }的公差与等比数列{b n }的公比相等，且都等于d (d >0, d ≠1) , a 1=b 1 ，
{}
a 3=3b 3, a 5=5b 5, 求a n , b n 。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知{a n }为等比数列，a 3=2, a 2+a 4=
20
，求{a n }的通项式。 3
21、数列{a n }的前n 项和记为S n , a 1=1, a n +1=2S n +1(n ≥1)
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3成等比数列，求T n 22、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *).
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足4b 1-1.4b 2-1...4b n -1=(a n +1) b n (n ∈N *) ，证明：{b n }是等差数列；
数列综合题
13.
1+5
2
14. 2629 15. 41n 3(-3) 16. ±63
三、解答题
17. a b 1=a 1, a b 2=a 10=a 1+9d , a b 3=a 46=a 1+45d
由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d ) 得a 1=3d , 即a b 1=3d , a b 2=12d , a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1, a 1+(b n -1) d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2
18. ∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②
4
②①, 得1-5d 1-3d 2=2，∴ d 2=1或d 2=15, 由题意，d =5, a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1) d =5(n -6) 19. 设这四个数为
a
q
, a , aq , 2aq -a ⎧a
则⎪⎨q a ⋅aq =216① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ⎪⎩
a +aq +(3aq -a ) =36②③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18 20. 解: 设等比数列{a q , 则q ≠0, a a n }的公比为2=3q = 2
q
, a 4=a 3q =2q
所以 2 + 2q =20 , 解得q =1 , q 11n －1=18－
12= 3, 当q 1=a 1=18.所以 a n =18×() －= 2×33n q 33333.
当q =3时, a 29 , 所以a 2－
1= n =9
×3n －1=2×3n 3.
21. 解：(I)由a n +1=2S n +1可得a n =2S n -1+1(n ≥2)，两式相减得
a n +1-a n =2a n , a n +1=3a n (n ≥2)又a 2=2S 1+1=3 ∴a 2=3a 1
故{a -1n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴a n =3n （Ⅱ）设{b n }的公差为d
由T 3=15得，可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5 故可设b 1=5-d , b 3=5+d 又a 1=1, a 2=3, a 3=9
b n =a 1d n -1=-·(5n -1 5)
由题意可得(5-d +1)(5+d +9)=(5+3)2
解得d 1=2, d 2=10
∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0 ∴d =2
∴T (n -1)
n =3n +
n 2
⨯2=n 2+2n 22（I ）： a n +1=2a n +(1n ∈, ) N * ∴a n +1+1=2(a n +1),
∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 ∴a n +1=2n .
即 a n =22-1(n ∈N *).
（II ）证法一： 4b 1-14b 2-1...4b n -1=(a b n +1) n .
∴4(b 1+b 2+... +b n ) -n =2nb n .
∴2[(b 1+b 2+... +b n ) -n ]=nb n , 2[(b 1+b 2+... +b n +b n +1) -(n +1)]=(n +1) b n +1. ②－①，得2(b n +1-1) =(n +1) b n +1-nb n , 即(n -1) b
n +1-nb n +2=0, ③
nb n +2-(n +1) b n +1+2=0. ④
④－③，得 nb n +2-2nb n +1+nb n =0, 即 b n +2-2b n +1+b n =0,
∴b n +2-b n +1=b n +1-b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列。
①②
一、等差等比数列基础知识点
1．概念与公式：
①等差数列：1°. 定义：若数列{a n }满足a n +1-a n =d (常数), 则{a n }称等差数列；
2°. 通项公式：a n =a 1+(n -1) d =a k +(n -k ) d ; 3°. 前n 项和公式：公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
②等比数列：1°. 定义若数列{a n }满足
a n +1
，则{a n }称等比数列；2°. 通项公式：=q （常数）
a n
a n =a 1q
n -1
=a k q
n -k
a 1-a n q a 1(1-q n )
=(q ≠1), 当q=1时S n =na 1. ; 3°. 前n 项和公式：S n =
1-q 1-q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{a n }:a 1, a 2, a 3, , a n ,
1°. 若{a n }是等差数列，则a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= . ②中项及性质：
1°. 设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且A =
a +b
; 2
2°. 设a ,G , b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且G =±ab . ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且p +q =r +s , 1°. 若{a n }是等差数列，则a p +a q =a r +a s ; 2°. 若{a n }是等比数列，则a p ⋅a q =a r ⋅a s ; ④顺次n 项和性质：
1°. 若{a n }是公差为d 的等差数列，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2……组成公差为n 2d 的等差数列；
2°. 若{a n }是公差为q 的等比数列，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2……组成公差为q n 的等比数列. （注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若{a n }是等比数列，则顺次n 项的乘积：a 1a 2 a n , a n +1a n +2 a 2n , a 2n +1a 2n +2 a 3n 组成公比这q n 的等比数列.
⑥若{a n }是公差为d 的等差数列，1°. 若n 为奇数，则S n =na 中且S 奇-S 偶=a 中(注:a 中指中项, 即a 中=a n +1,
2
2
而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°. 若n 为偶数，则S 偶-S 奇=
[例1]解答下述问题：
nd . 2
111
, , 成等差数列，求证： a b c
b +c c +a a +b b b b
, , （1）成等差数列； （2）a -, -, c -成等比数列. a b c 222
（Ⅰ）已知
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2，求项数n. （Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
a k 1, a k 2, , a k n 恰为等比数列, 其中k 1=1, k 2=5, k 3=17, 求数列{k n }的前n 项和.
[例2]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
二、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2. 、在等差数列{a n }中，a 1=4, 且a 1, a 5, a 13成等比数列，则{a n }的通项公式为 （ ）
（A ）a n =3n +1 （B ）a n =n +3 （C ）a n =3n +1或a n =4 （D ）a n =n +3或a n =4 3、已知a , b , c 成等比数列，且x , y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则
a c
+的值为 （ ） x y
（A ）
1
（B ）-2 （C ）2 （D ） 不确定 2
2
2
4、互不相等的三个正数a , b , c 成等差数列，x 是a , b 的等比中项，y 是b , c 的等比中项，那么x ，b ，y 三个数
（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列
（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列{a n }的前n 项和为S n , S 2n +1=4n 2+2n , 则此数列的通项公式为 （ ）
（A ）a n =2n -2 （B ）a n =8n -2 （C ）a n =2n -1 （D ）a n =n 2-n
6、已知(z -x ) =4(x -y )(y -z ) ，则 （ ） （A ）x , y , z 成等差数列 （B ）x , y , z 成等比数列 （C ）
2
2
111111
, , 成等差数列 （D ）, , 成等比数列 x y z x y z
7、数列{a n }的前n 项和S n =a n -1，则关于数列{a n }的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，
也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1
1111
, 3, 5, 7, ⋯, 前n 项和为 （ ） 24816
1111112222
（A ）n -n +1 （B ）n -n +1+ （C ）n -n -n +1 （D ）n -n -n +1+
222222
9、若两个等差数列{a n }、且满足{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，
（A ）
A n 4n +2a +a 13
，则5的值为 （ ） =
B n 5n -5b 5+b 13
78197
（B ） （C ） （D ） 97208
10、已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-5n +2, 则数列a n 的前10项和为 （ ）
（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60
11、已知数列{a n }的通项公式a n =n +5为, 从{a n }中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个
新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）
}
n (3n +13) 3n +10n -33n +1+10n -3n
（A ） （B ）3+5 （C ） （D ）
222
12、下列命题中是真命题的是 ( ) A ．数列{a n }是等差数列的充要条件是a n =pn +q (p ≠0)
B ．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n =an 2+bn +a , 如果此数列是等差数列, 那么此数列也是等比数列 C ．数列{a n }是等比数列的充要条件a n =ab n -1
D ．如果一个数列{a n }的前n 项和S n =ab n +c (a ≠0, b ≠0, b ≠1) , 则此数列是等比数列的充要条件是
a +c =0
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1a 5, a 7, a 8, 成等差数列，则公比q 14、已知等差数列{a n }，公差d ≠0, a 1, a 5, a 17成等比数列，则15、已知数列{a n }满足S n =1+
a 1+a 5+a 17
a 2+a 6+a 18
1
a n , 则a n 4
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题
17、已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列a b n 是公比为q 的等比数列，b 1=1, b 2=10, b 3=46 ，求公比q 及b n 。
18、已知等差数列{a n }的公差与等比数列{b n }的公比相等，且都等于d (d >0, d ≠1) , a 1=b 1 ，
{}
a 3=3b 3, a 5=5b 5, 求a n , b n 。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知{a n }为等比数列，a 3=2, a 2+a 4=
20
，求{a n }的通项式。 3
21、数列{a n }的前n 项和记为S n , a 1=1, a n +1=2S n +1(n ≥1)
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3成等比数列，求T n 22、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *).
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足4b 1-1.4b 2-1...4b n -1=(a n +1) b n (n ∈N *) ，证明：{b n }是等差数列；
数列综合题
13.
1+5
2
14. 2629 15. 41n 3(-3) 16. ±63
三、解答题
17. a b 1=a 1, a b 2=a 10=a 1+9d , a b 3=a 46=a 1+45d
由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d ) 得a 1=3d , 即a b 1=3d , a b 2=12d , a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1, a 1+(b n -1) d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2
18. ∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②
4
②①, 得1-5d 1-3d 2=2，∴ d 2=1或d 2=15, 由题意，d =5, a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1) d =5(n -6) 19. 设这四个数为
a
q
, a , aq , 2aq -a ⎧a
则⎪⎨q a ⋅aq =216① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ⎪⎩
a +aq +(3aq -a ) =36②③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18 20. 解: 设等比数列{a q , 则q ≠0, a a n }的公比为2=3q = 2
q
, a 4=a 3q =2q
所以 2 + 2q =20 , 解得q =1 , q 11n －1=18－
12= 3, 当q 1=a 1=18.所以 a n =18×() －= 2×33n q 33333.
当q =3时, a 29 , 所以a 2－
1= n =9
×3n －1=2×3n 3.
21. 解：(I)由a n +1=2S n +1可得a n =2S n -1+1(n ≥2)，两式相减得
a n +1-a n =2a n , a n +1=3a n (n ≥2)又a 2=2S 1+1=3 ∴a 2=3a 1
故{a -1n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴a n =3n （Ⅱ）设{b n }的公差为d
由T 3=15得，可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5 故可设b 1=5-d , b 3=5+d 又a 1=1, a 2=3, a 3=9
b n =a 1d n -1=-·(5n -1 5)
由题意可得(5-d +1)(5+d +9)=(5+3)2
解得d 1=2, d 2=10
∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0 ∴d =2
∴T (n -1)
n =3n +
n 2
⨯2=n 2+2n 22（I ）： a n +1=2a n +(1n ∈, ) N * ∴a n +1+1=2(a n +1),
∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 ∴a n +1=2n .
即 a n =22-1(n ∈N *).
（II ）证法一： 4b 1-14b 2-1...4b n -1=(a b n +1) n .
∴4(b 1+b 2+... +b n ) -n =2nb n .
∴2[(b 1+b 2+... +b n ) -n ]=nb n , 2[(b 1+b 2+... +b n +b n +1) -(n +1)]=(n +1) b n +1. ②－①，得2(b n +1-1) =(n +1) b n +1-nb n , 即(n -1) b
n +1-nb n +2=0, ③
nb n +2-(n +1) b n +1+2=0. ④
④－③，得 nb n +2-2nb n +1+nb n =0, 即 b n +2-2b n +1+b n =0,
∴b n +2-b n +1=b n +1-b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列。
①②