第十二章 全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念： 1. 基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平
移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2. 基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对
应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3. 全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4. 证明两个三角形全等的基本思路：
5. 角平分线：
⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. (4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等 6. 证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 7. 学习全等三角形应注意以下几个问题： (1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； (2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
常考例题精选 3.(2015·绥化中考) 如图，A ，B ，C 三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB ≌△BCD.
4.(2015·临沂中考) 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm，则AE= cm.
5.(2015·武汉中考) 如图，点E ，F 在BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠
D.
6.(2015·昆明中考) 已知：如图，AD ，BC 相交于点O ，OA=OD，AB ∥CD. 求证：AB=CD.
7.(2015·大理中考) 如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 .
(2)添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由.
8.(2015·随州中考) 如图，点F ，B ，E ，C 在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF. 能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF? 如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明. 提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC ∥
DF.
9.(2015·河源中考) 如图，已知AB=CD，∠B=∠C ，AC 和BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，连接OE.
(1)求证：△AOB ≌△DOC.(2)求∠AEO 的度数.
10.(2014·泸州实验质检) 如图所示，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC ，∠BCD. 求证：AE=DE.
通关精选
1．如图，△ABC ≌△EFD ，且AB ＝EF ，EC ＝4，CD ＝3，则AC ＝( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8
, 第1题图)
2．如图，AC ＝BD ，AO ＝BO ，CO ＝DO ，∠D ＝30°，∠A ＝95°，则∠AOB 等于( )
A ．120° B ．125° C ．130° D ．135°
, 第2题图)
3．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CB ，则△ABC ≌△CDA 的依据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS
, 第3题图)
4．(2015·六盘水) 如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是( )
A ．∠A ＝∠D B ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBC D ．AC ＝BD
, 第4题图)
5．如图，△ABC 和△EDF 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝∠E ，点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC ≌△EDF 的是( )
A ．AB ＝ED B ．AC ＝EF C ．AC ∥EF D ．BF ＝DC
, 第5题图)
6．如图，在△ABC 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为( )
A ．60° B ．62° C ．64° D ．66°
, 第6题图)
7．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE ＝DF ，连接BF ，CE. 下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE. 其中正确的有( )
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
, 第7题图)
8．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为20，30，40，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于( )
A ．1∶1∶1 B ．1∶2∶3 C ．2∶3∶4 D ．3∶4∶5
, 第8题图)
9．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当的长为半径画弧，交
1
x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于2MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P. 若点P 的坐标为(2a，b ＋1) ，则a 与b 的数量关系为( )
A ．a ＝b B ．2a ＋b ＝－1 C ．2a －b ＝1 D ．2a ＋b ＝1
, 第9题图)
10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE ＋AC ＝AB. 其中正确的有( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
, 第10题图)
11．已知△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则△DEF 的周长为________cm ，面积为_________cm 2.
12．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是：________________________．
, 第12题图)
13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为___________．
, 第13题图)
15．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，CE ，BD 相交于O ，则图中全等的直角三角形有___________对．
, 第15题图)
16．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝___________度．
, 第16题图)
17．如图，已知相交直线AB 和CD 及另一直线MN ，如果要在MN 上找出与AB ，CD 距离相等的点，则这样的点至少有________个，最多有________个．
, 第17题图)
18．如图，已知△ABC 的三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且DC ＝BC ，若∠BAC ＝80°，则∠BOD 的度数为________．
, 第18题图) 19． (2015·昆明) 如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF. 求证：AC ＝DF.
20．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长为a m ，FG 的长为b m ．如果a ＝b ，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
21．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BE ＝FC ，求证：BD ＝DF.
22．如图，在△ABE 和△ACF 中，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，BE ＝CF. 求证：(1)∠1＝∠2；(2)CM＝BN.
23．如图①，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC ，FB ⊥AC ，AB ＝CD.
(1)若BD 与EF 交于点G ，试证明BD 平分EF ；
(2)若将△DEC 沿AC 方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
24．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段上以3 cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以相同速度由点C 向点A 运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD 与△CQP 全等时，求点P 运动的时间．
25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°.
(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
2.(2015·齐齐哈尔中考) 在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB ，AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，证明： AM是△AEG 的中线。
第十二章 全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念： 1. 基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平
移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2. 基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对
应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3. 全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4. 证明两个三角形全等的基本思路：
5. 角平分线：
⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. (4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等 6. 证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 7. 学习全等三角形应注意以下几个问题： (1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； (2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
常考例题精选 3.(2015·绥化中考) 如图，A ，B ，C 三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB ≌△BCD.
4.(2015·临沂中考) 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm，则AE= cm.
5.(2015·武汉中考) 如图，点E ，F 在BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠
D.
6.(2015·昆明中考) 已知：如图，AD ，BC 相交于点O ，OA=OD，AB ∥CD. 求证：AB=CD.
7.(2015·大理中考) 如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 .
(2)添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由.
8.(2015·随州中考) 如图，点F ，B ，E ，C 在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF. 能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF? 如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明. 提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC ∥
DF.
9.(2015·河源中考) 如图，已知AB=CD，∠B=∠C ，AC 和BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，连接OE.
(1)求证：△AOB ≌△DOC.(2)求∠AEO 的度数.
10.(2014·泸州实验质检) 如图所示，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC ，∠BCD. 求证：AE=DE.
通关精选
1．如图，△ABC ≌△EFD ，且AB ＝EF ，EC ＝4，CD ＝3，则AC ＝( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8
, 第1题图)
2．如图，AC ＝BD ，AO ＝BO ，CO ＝DO ，∠D ＝30°，∠A ＝95°，则∠AOB 等于( )
A ．120° B ．125° C ．130° D ．135°
, 第2题图)
3．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CB ，则△ABC ≌△CDA 的依据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS
, 第3题图)
4．(2015·六盘水) 如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是( )
A ．∠A ＝∠D B ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBC D ．AC ＝BD
, 第4题图)
5．如图，△ABC 和△EDF 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝∠E ，点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC ≌△EDF 的是( )
A ．AB ＝ED B ．AC ＝EF C ．AC ∥EF D ．BF ＝DC
, 第5题图)
6．如图，在△ABC 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为( )
A ．60° B ．62° C ．64° D ．66°
, 第6题图)
7．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE ＝DF ，连接BF ，CE. 下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE. 其中正确的有( )
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
, 第7题图)
8．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为20，30，40，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于( )
A ．1∶1∶1 B ．1∶2∶3 C ．2∶3∶4 D ．3∶4∶5
, 第8题图)
9．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当的长为半径画弧，交
1
x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于2MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P. 若点P 的坐标为(2a，b ＋1) ，则a 与b 的数量关系为( )
A ．a ＝b B ．2a ＋b ＝－1 C ．2a －b ＝1 D ．2a ＋b ＝1
, 第9题图)
10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE ＋AC ＝AB. 其中正确的有( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
, 第10题图)
11．已知△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则△DEF 的周长为________cm ，面积为_________cm 2.
12．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是：________________________．
, 第12题图)
13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为___________．
, 第13题图)
15．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，CE ，BD 相交于O ，则图中全等的直角三角形有___________对．
, 第15题图)
16．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝___________度．
, 第16题图)
17．如图，已知相交直线AB 和CD 及另一直线MN ，如果要在MN 上找出与AB ，CD 距离相等的点，则这样的点至少有________个，最多有________个．
, 第17题图)
18．如图，已知△ABC 的三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且DC ＝BC ，若∠BAC ＝80°，则∠BOD 的度数为________．
, 第18题图) 19． (2015·昆明) 如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF. 求证：AC ＝DF.
20．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长为a m ，FG 的长为b m ．如果a ＝b ，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
21．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BE ＝FC ，求证：BD ＝DF.
22．如图，在△ABE 和△ACF 中，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，BE ＝CF. 求证：(1)∠1＝∠2；(2)CM＝BN.
23．如图①，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC ，FB ⊥AC ，AB ＝CD.
(1)若BD 与EF 交于点G ，试证明BD 平分EF ；
(2)若将△DEC 沿AC 方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
24．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段上以3 cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以相同速度由点C 向点A 运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD 与△CQP 全等时，求点P 运动的时间．
25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°.
(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
2.(2015·齐齐哈尔中考) 在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB ，AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，证明： AM是△AEG 的中线。