两角和与差及二倍角公式

两角和与差及二倍角公式

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知cos ⎛⎝α－π6＋sin α＝53，则sin ⎛⎝α＋7π6的值是( ) A ．－

23

B. 235

5C ．－45

D. 45

解析：∵cos ⎛π⎝α－46＋sin α＝53 ∴

3342α＋2sin α＝533132α＋2α⎫4

⎭＝5

3， 3⎡⎣sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭⎤⎦＝453，∴sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭＝45

， ∴sin ⎛⎝α＋76π⎫⎭＝－sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭45. 答案：C

2．已知cos ⎛π⎝6α⎫⎭＝3

3，则cos ⎛5π⎝6π＋α⎫⎭－sin 2⎛⎝α－6的值是( ) A. 2＋2＋3 B 3

C. 2－－23 D. ＋33

解析：∵cos ⎛5⎝6＋α⎫⎭＝cos ⎡⎣π－π

6－α⎫⎭⎤⎦ ＝－cos ⎛π⎝6α⎫⎭＝－33

. 而sin 2⎛⎝α－π6＝1－cos 2⎛⎝α－π6＝1－1323， 所以原式＝－3233233

. 答案：B 3．若sin α＝

55，sin β＝10

10，且α、β为锐角，则α＋β的值为( A ．－ππ

4 B. 4

C ．π4 D. π3

)

解析：解法一：依题意有cos αcos β＝

1－

1－

⎛52＝25

5⎝5⎛102310

10⎝10＝0. 5105102

∴cos(α＋β) ＝

π

∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.

4解法二：∵α，β都是锐角，且sin αsin β＝

102＜， 102

52

＜， 52

ππ

∴0＜α，β＜，0＜α＋β＜

42∴cos αcos β＝

1－1－

⎛52＝25

5⎝5⎛102310 10⎝10sin(α＋β) ＝π

∴α＋β＝4答案：B

531022×. 5101052

45

4．在△ABC 中，若cos A ＝，cos B ＝，则cos C 的值是( )

51316

A. 65

5665D ．－

65

C. 6565

45π

解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝＞0，cos B ＝＞0，得0＜A ＜，0

5132π312

＜B ＜sin A ＝sin B ＝

2513

所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B 3124516

＝－＝，故选A. 51351365答案：A

5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．3

C ．0或3 D ．0或3

1

解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1. 当cos θ＝－1时，

213

有sin θ＝0；当cos θ有sin θ＝于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cosθ＋1) ＝033.

22

答案：D

评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．

6．(2011·海口质检) 在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )

A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形

解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B ) ＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.

2cos10°－sin20°

________．

sin70°

2cos(30°－20°) －sin20°

解析：原式＝

sin70°＝＝

2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°) －sin20°

sin70°3cos20°

3.

cos20°

3

ππcos2α12⎛0，π⎫) ＝________. α⎫＝α∈⎛0，⎫则8．已知cos ⎛(α∈⎝4⎭13⎝4⎭⎝4⎭π

α⎫sin 4⎭cos 2α－sin 2αcos2α

解析：

π2⎫sin 4＋α⎭(sinα＋cos α)

2＝

(cosα－sin α)(cosα＋sin α)

2

(sinα＋cos α) 2

π

－α⎫. ＝2(cosα－sin α) ＝2sin ⎛⎝4⎭πππ

0，⎫，则－α∈⎛0，. 又α∈⎛⎝4⎭⎝44

ππ125α⎫＝，则sin ⎛－α⎫＝由cos ⎛⎝4⎭13⎝4⎭1310

∴1310

答案：

13

9．(1＋3tan10°)·cos40°＝________. 解析：(13tan10°)cos40°＝1＝＝＝

3sin10°＋cos10°

cos40°

cos10°2sin(10°＋30°)

·cos40°

cos10°2sin40°cos40°sin80°

1.

cos10°cos10°

⎛

⎝3sin10°⎫cos40°

cos10°⎭

答案：1

10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β) ＝sin(α－β) ，则角α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cosβ＋sin β) ＝sin α(sinβ＋cos β) ．

∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α π∴α＝4π

答案：4

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为

2210

5

(1)求tan(α＋β) 的值； (2)求α＋2β的值．

解：由已知得cos α＝

225cos β＝. ∵α，β为锐角， 105725

sin β＝1－cos β. 105

∴sin α＝1－cos α＝

1

∴tan α＝7，tan β＝.

2

tan α＋tan β

＝＝－3.

11－tan α·tan β

1－7×

2

17＋2

(1)tan(α＋β) ＝

12×22tan β4

(2)∵tan2β＝， ＝1231－tan β

1－⎛⎝2tan α＋tan2β

＝

1－tan α·tan2β

4

7＋3

∴tan(α＋2β) 1. 41－7×

3

∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β3π3π，∴α＋2β＝. 24

113π

12．已知cos α＝cos(α－β) 0

分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β) 可求得cos β.

1π

解：(1)由cos α0

72得sin α1－cos α＝

243

1－⎛⎝7＝7.

sin α437

∴tan α＝＝3.

cos α71于是tan2α＝

2×32tan α3

＝－. ＝471－tan α1－(43) 2

ππ

(2)由0

又∵cos(α－β) ＝，

14

∴sin(α－β) ＝1－cos (α－β) ＝由β＝α－(α－β) ，得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β) ＋sin αsin(α－β)

3

14

1134331＝＋＝7147142π所以β＝3

π3ππ335

α⎫＝，sin ⎛β⎫＝，求sin(α＋β) 的值． 13．已知0

解：∵α

44

3ππππ

∴－－α

442434

α⎫，∴sin ⎛－α⎫＝－. 又∵cos ⎛⎝4⎭5⎝4⎭5π3π3π

又∵0

4443π5＋β⎫＝ 又∵sin ⎛⎝4⎭133π12β⎫＝－， ∴cos ⎛⎝4⎭13π⎤∴sin(α＋β) ＝－cos ⎡⎣2＋(α＋β) ⎦

3π＋β⎫－π－α⎫⎤ ＝－cos ⎡⎣⎝4⎭⎝4⎭⎦

3ππ3ππ

β⎫cos ⎛－α⎫－sin ⎛β⎫sin α⎫ ＝－cos 4⎭⎝4⎭⎝4⎭4⎭12354××⎛－⎫ ＝－⎛⎝13513⎝5⎭362056＝＋＝656565

评析：三角函数的给值求值问题

解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常见的配角技巧

α11

α＝α＝(α＋β) －β；α＝β－(β－α) ；α＝[(α＋β) ＋(α－β)]；β＝α＋β) －(α－β)]；

222πππ

α⎫. α＝⎛⎭42⎝4

两角和与差及二倍角公式

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知cos ⎛⎝α－π6＋sin α＝53，则sin ⎛⎝α＋7π6的值是( ) A ．－

23

B. 235

5C ．－45

D. 45

解析：∵cos ⎛π⎝α－46＋sin α＝53 ∴

3342α＋2sin α＝533132α＋2α⎫4

⎭＝5

3， 3⎡⎣sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭⎤⎦＝453，∴sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭＝45

， ∴sin ⎛⎝α＋76π⎫⎭＝－sin ⎛π⎝6＋α⎫⎭45. 答案：C

2．已知cos ⎛π⎝6α⎫⎭＝3

3，则cos ⎛5π⎝6π＋α⎫⎭－sin 2⎛⎝α－6的值是( ) A. 2＋2＋3 B 3

C. 2－－23 D. ＋33

解析：∵cos ⎛5⎝6＋α⎫⎭＝cos ⎡⎣π－π

6－α⎫⎭⎤⎦ ＝－cos ⎛π⎝6α⎫⎭＝－33

. 而sin 2⎛⎝α－π6＝1－cos 2⎛⎝α－π6＝1－1323， 所以原式＝－3233233

. 答案：B 3．若sin α＝

55，sin β＝10

10，且α、β为锐角，则α＋β的值为( A ．－ππ

4 B. 4

C ．π4 D. π3

)

解析：解法一：依题意有cos αcos β＝

1－

1－

⎛52＝25

5⎝5⎛102310

10⎝10＝0. 5105102

∴cos(α＋β) ＝

π

∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.

4解法二：∵α，β都是锐角，且sin αsin β＝

102＜， 102

52

＜， 52

ππ

∴0＜α，β＜，0＜α＋β＜

42∴cos αcos β＝

1－1－

⎛52＝25

5⎝5⎛102310 10⎝10sin(α＋β) ＝π

∴α＋β＝4答案：B

531022×. 5101052

45

4．在△ABC 中，若cos A ＝，cos B ＝，则cos C 的值是( )

51316

A. 65

5665D ．－

65

C. 6565

45π

解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝＞0，cos B ＝＞0，得0＜A ＜，0

5132π312

＜B ＜sin A ＝sin B ＝

2513

所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B 3124516

＝－＝，故选A. 51351365答案：A

5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．3

C ．0或3 D ．0或3

1

解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1. 当cos θ＝－1时，

213

有sin θ＝0；当cos θ有sin θ＝于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cosθ＋1) ＝033.

22

答案：D

评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．

6．(2011·海口质检) 在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )

A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形

解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B ) ＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.

2cos10°－sin20°

________．

sin70°

2cos(30°－20°) －sin20°

解析：原式＝

sin70°＝＝

2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°) －sin20°

sin70°3cos20°

3.

cos20°

3

ππcos2α12⎛0，π⎫) ＝________. α⎫＝α∈⎛0，⎫则8．已知cos ⎛(α∈⎝4⎭13⎝4⎭⎝4⎭π

α⎫sin 4⎭cos 2α－sin 2αcos2α

解析：

π2⎫sin 4＋α⎭(sinα＋cos α)

2＝

(cosα－sin α)(cosα＋sin α)

2

(sinα＋cos α) 2

π

－α⎫. ＝2(cosα－sin α) ＝2sin ⎛⎝4⎭πππ

0，⎫，则－α∈⎛0，. 又α∈⎛⎝4⎭⎝44

ππ125α⎫＝，则sin ⎛－α⎫＝由cos ⎛⎝4⎭13⎝4⎭1310

∴1310

答案：

13

9．(1＋3tan10°)·cos40°＝________. 解析：(13tan10°)cos40°＝1＝＝＝

3sin10°＋cos10°

cos40°

cos10°2sin(10°＋30°)

·cos40°

cos10°2sin40°cos40°sin80°

1.

cos10°cos10°

⎛

⎝3sin10°⎫cos40°

cos10°⎭

答案：1

10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β) ＝sin(α－β) ，则角α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cosβ＋sin β) ＝sin α(sinβ＋cos β) ．

∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α π∴α＝4π

答案：4

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为

2210

5

(1)求tan(α＋β) 的值； (2)求α＋2β的值．

解：由已知得cos α＝

225cos β＝. ∵α，β为锐角， 105725

sin β＝1－cos β. 105

∴sin α＝1－cos α＝

1

∴tan α＝7，tan β＝.

2

tan α＋tan β

＝＝－3.

11－tan α·tan β

1－7×

2

17＋2

(1)tan(α＋β) ＝

12×22tan β4

(2)∵tan2β＝， ＝1231－tan β

1－⎛⎝2tan α＋tan2β

＝

1－tan α·tan2β

4

7＋3

∴tan(α＋2β) 1. 41－7×

3

∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β3π3π，∴α＋2β＝. 24

113π

12．已知cos α＝cos(α－β) 0

分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β) 可求得cos β.

1π

解：(1)由cos α0

72得sin α1－cos α＝

243

1－⎛⎝7＝7.

sin α437

∴tan α＝＝3.

cos α71于是tan2α＝

2×32tan α3

＝－. ＝471－tan α1－(43) 2

ππ

(2)由0

又∵cos(α－β) ＝，

14

∴sin(α－β) ＝1－cos (α－β) ＝由β＝α－(α－β) ，得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β) ＋sin αsin(α－β)

3

14

1134331＝＋＝7147142π所以β＝3

π3ππ335

α⎫＝，sin ⎛β⎫＝，求sin(α＋β) 的值． 13．已知0

解：∵α

44

3ππππ

∴－－α

442434

α⎫，∴sin ⎛－α⎫＝－. 又∵cos ⎛⎝4⎭5⎝4⎭5π3π3π

又∵0

4443π5＋β⎫＝ 又∵sin ⎛⎝4⎭133π12β⎫＝－， ∴cos ⎛⎝4⎭13π⎤∴sin(α＋β) ＝－cos ⎡⎣2＋(α＋β) ⎦

3π＋β⎫－π－α⎫⎤ ＝－cos ⎡⎣⎝4⎭⎝4⎭⎦

3ππ3ππ

β⎫cos ⎛－α⎫－sin ⎛β⎫sin α⎫ ＝－cos 4⎭⎝4⎭⎝4⎭4⎭12354××⎛－⎫ ＝－⎛⎝13513⎝5⎭362056＝＋＝656565

评析：三角函数的给值求值问题

解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常见的配角技巧

α11

α＝α＝(α＋β) －β；α＝β－(β－α) ；α＝[(α＋β) ＋(α－β)]；β＝α＋β) －(α－β)]；

222πππ

α⎫. α＝⎛⎭42⎝4