2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练
一、填空题：
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=．
f (1)f (3)f (5)f (7)13．定义域为R 的函数
11
1．已知2=3=m , 且+=2，则实数m 的值为
a b
2．设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范
a
b
⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) ．
围 ．
x x
已知函数3．函数f (x )=a +log a (x +1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a ，则a 的值为 14 ． f (x ) =2-1，当a f (c ) >f (b ) ．给出以下命题：
⎧e x , x ≤0. 1
4．设g (x ) =⎨则g (g ()) =．
2⎩ln x , x >0.
5．设a ＞1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 ．
6．已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数， 则m 的取值范围是 ．
7．已知命题P
：f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义，命题Q ：函数
2
(1)a +c
2；(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 ． 二、解答题：
15．定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) ＋g (x ) ＝10x ．
x ＋x （1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式；（2）证明：g (x 1) ＋g (x 2) ≥2g 2) ；
（3）试用f (x 1) ，f (x 2) ，g (x 1) ，g (x 2) 表示f (x 1－x 2) 与g (x 1＋x 2) ．
y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，则a 的取 16．设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) ． 值范围 ． （1）令F (x ) =xf '(x ) 讨论F （x ）在(0+∞) 内的单调性并求极值；
（2）求证：当x >1时，恒有x ≥ln x -2a ln x +1．
17．已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a , b ，使得f (x ) 恰在（1，+∞）上取正值，且f (3)=lg4？若存在，求出a , b 的值；若不存在，请说明理由．
18．定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23，且对任意x ，y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 19．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ，P 2(a 2, b 2) ，…，P n (a n , b n ) ，…，对每个正整
x
x
x
⎧a a ≤b
8．对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨，则函数
b a ≥b ⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域
2
2
9．若f (x ) =l o g (44数是 ．
x
1
1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数，则方程f (x ) =x +6的零点的个
f (x +y )=f (x )+f (y ) ．(1)求证f (x ) 为奇函数； 2
2
10．设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题：⑴f (x ) 有最小值；⑵当a =0时，f (x )
a x
的值域为R ；⑶当a=0时，f (x ) 为偶函数；⑷若f (x ) 在区间［2，+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0
10增，则实数a 的取范围是a ≥-4．则其中正确命题的序号 ．
成一个以P n 为顶点的等腰三角形．（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式； x
11．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数f (x ) =2的
图象与函数g (x ) 的图象关于 对称，则函数g (x ) 的解析式是 （ 2 ）若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范
围； （填上你认为可以成为真命题的一种情形）．
*
（3）设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{c n }前12．已知函数f (x ) 满足：f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，f (1)=2，则
多少项的和最大？试说明理由． 20．已知f (x ) =
1
、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点，(x ∈R ) ，P 1（x 1, y 1）x
4+2
⎧a a ≤b 1
8．对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨，则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是．
b a ≥b 2⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]． （1）求证点P 的纵坐标是定值；
n
（2）若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m
1m 9．f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的
项和S m ； 2
（3）在（2）的条件下，若m ∈N *时，不等式取值范围
2
取值范围a ≤或a >1．
1
2
a a
恒成立，求实数a 的
S m S m +1
m m +1
个数是 2 ．
10．设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题：⑴f (x ) 有最小值；⑵当a = 0
时，f (x ) 的值域为R ；⑶当a =0时，f (x ) 为偶函数；⑷若f (x ) 在区间［2，+∞) 上单调递增，则实数a 的取范围是a ≥-4．则其中正确命题的序号（2）（3）（4） ． 11．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数f (x ) =2x
的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称，则函数g (x ) 的解析式是
． y =log 2x （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可）12．已知函数f (x ) 满足：f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，f (1)=2，则
2
2．指数函数与对数函数
一、填空题：
1．已知2a =3b =m , 且+
1
a 1
=2，则实数m
b
2．设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是
[6,
1． 2
+∞) ．
x
3．函数f (x )=a +log a (x +1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a ，则a 的值为
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=
f (1)f (3)f (5)f (7)13．定义域为R 的函数
⎧e x , x ≤0. 11
4．设g (x ) =⎨则g (g ()) =．
22⎩ln x , x >0.
5．设a ＞1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系
为m >p >n ．
6．已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数， 则m 的取值范围是 1≤m ≤3．
7．已知命题p
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义，命题Q ：函数如果p 和Q 有且仅有一个正确，则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R ．
⎧lg |x -2|,x ≠2
f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2．
14．已知函数f (x ) =2x -1，当a f (c ) >f (b ) ．给出以下命题：(1)a +c 2；(4)2b +2c >2．则所有正确命
题的题号为 (1)(4) ． 二、解答题：
15．定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) ＋g (x ) ＝10x ．
x ＋x （1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式；（2）证明：g (x 1) ＋g (x 2) ≥2g 2) ；
（3）试用f (x 1) ，f (x 2) ，g (x 1) ，g (x 2) 表示f (x 1－x 2) 与g (x 1＋x 2) ．
－
解：∵f (x ) ＋g (x ) ＝10x ①，∴f (－x ) ＋g (－x ) ＝10x ，∵f (x ) 为奇函数，g (x ) 为偶
－
函数，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，g (－x ) ＝g (x ) ，∴－f (x ) ＋g (x ) ＝10x ②，由①，②解得
1111f (x ) 2x －10) ，g (x ) ＝2(10x 10．
1x 11x 11x 11x
（Ⅱ）解法一：g (x 1) ＋g (x 2) ＝2x ) ＋2x ) ＝2＋10) ＋2x 101010
1
2
1
2
1
2
1
⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]
，k ∈Z ， f (x ) =⎨a
log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a
16．设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) ．
（1）令F (x ) =xf '(x ) 讨论F （x ）在(0+∞) 内的单调性并求极值； （2）求证：当x >1时，恒有x ≥ln x -2a ln x +1． （Ⅰ）解：根据求导法则有f '(x ) =1-
2
111x x
) ≥210×10＋x
2210
1
2
211
x x 101010
1
2
1
x 1＋x 2
2
＋
10
1
x 1＋x 2
2g (x ＋x
2． 1
1
2
2
故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ，x >0，
＋
于是F '(x ) =1-列表如下：
2ln x 2a
+x >0， x x
x 1＋x 21x 11x 1
解法二：[g (x 1) ＋g (x 2)]－2g (2＝2＋x ＋2(10x ) －(10
1010
1
x ＋x ) ＝
2
2
1
2
x 1＋x 2
2
2x -2=，x >0， x x
10
2
(10
x 1＋x 2
＋1)(10＋10)
x 1＋x 2
x 1x 2
2⋅10
(10
x 1＋x 2
10
x 1＋x 2
1
＋1
＝x ＋x
2
x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a ．
x 1＋x 2
2
10
x 1
x 2
2
＋1)(10＋10) －2⋅(10
2⋅10
x 1＋x 2
x 1＋x 2
＋1) ⋅10
（Ⅱ）证明：由a ≥0知，F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0．
+∞) ，恒有F (x ) =xf '(x ) >0． 于是由上表知，对一切x ∈(0，
⋅
+∞) 内单调增加． 从而当x >0时，恒有f '(x ) >0，故f (x ) 在(0，
所以当x >1时，f (x ) >f (1)=0，即x -1-ln x +2a ln x >0．
2
x 1＋x 2
2
＝
(10
x 1＋x 2
＋1)[10＋10－2⋅⋅10
x 1＋x 2
x 1x 2
x 1＋x 2
2
2⋅102⋅10
（3）f (x 1－x 2) ＝f (x 1) g (x 2) －g (x 1) f (x 2) ，g (x 1＋x 2) ＝g (x 1) g (x 2) －f (x 1) f (x 2) ．
反思：掌握函数的函数解析式，奇函数，单调性，等常规问题的处理方法，第
（2）问，把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，提升学生综合应用知识的能力．第（2）问还具有高等数学里凸函数的背景．
变式：函数y =f (x ) 为R 上的偶函数，且对于任意实数都有
](10x 1＋x 2
＋1)[210×10－2⋅⋅10
x 1＋x 2
x 1x 2
]
＝0．
故当x >1时，恒有x >ln x -2a ln x +1．
反思：利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。
x
变式：已知函数f (x ) =e -kx ，x ∈R 若k >0，且对于任意x ∈R ，f (x ) >0
2
恒成立，试确定实数k 的取值范围；
由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数． 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立．
由f '(x ) =e -k =0得x =ln k ．
x
f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时，f (x ) =log a x ，求
x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.
1]时，f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) ． ①当k ∈(0，
x
+∞) 上单调递增．故f (x ) ≥f (0)=1>0，符合题意． 此时f (x ) 在[0，
，+∞) 时，ln k >0． ②当k ∈(1
'，∴10，又k >1
综合①，②得，实数k 的取值范围是0
17．已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a , b ，使得f (x ) 恰在（1，+∞）上取正值，且f (3)=lg4？若存在，求出a , b 的值；若不存在，请说明理由．
点拨：要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为（0，+∞）建立k 的关系
式，显性f (x ) 的单调性是解题的关键.
解∵ a –kb >0，即 (
x
x
点拨：欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立．在式子
f (x +y )=f (x )+f (y ) 中，令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题，求f (0)的值．令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0，f (x ) 是奇函数得到证明．
(1)证明：f (x +y )=f (x )+f (y )(x ，y ∈R ) ， ① 令x =y =0，代入①式，得f (0+0)=f (0)+f(0)，即 f (0)=0． 令y =-x ，代入①式，得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ，又f (0)=0，则有
0=f (x )+f (-x ) ．即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立，所以f (x ) 是奇函数． (2)解：f (3)=log23＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x ) 在R 上是单调函数，所
以f (x ) 在R 上是增函数，又由(1)f (x ) 是奇函数．
f (k ·3) ＜-f (3-9-2)=f (-3+9+2)， k ·3＜-3+9+2， 3
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
-(1+k ) ·3+2＞0对任意x ∈R 成立．
x
2
x
令t =3＞0，问题等价于t -(1+
k )t+2＞0对任意t ＞0恒成立． 令f(t)= t
2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当
a a x
) >k ．又 a >1>b >0，∴ >1 ∴ x >loga k 为其定
b b b
b
1+k
． 2
义域满足的条件，又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) ， ∴log a k =0， ∴k =1． ∴f (x )=lg(a –b ) ．
若存在适合条件的a ，b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立，
又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增．
∴x >1时f (x ) > f (1) ，由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4
3
3
3
3
x
x
x
x
1+k
0，符合题意； 2
⎧1+k
≥01+k ⎪
当对任意t >0，f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时，2
22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2
解得-1≤k
综上所述，当k
3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立．
反思：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f (x ) 是奇函数且在x ∈
R 上是增函数，把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f (t ) 进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k ·3＜-3+9+2得k
x
x
x
2
x
x
x
+1-1
注意到a >1>b >0，解得a =, b =．
22
∴存在这样的a ，b 满足题意．
变式：（1）函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在（1，
+∞）有意义, 求实数k 的取值范围； （2）设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形？并说明理由．
18．定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23，且对任意x ，y ∈R 都有
f (x +y )=f (x )+f (y ) ．
(1)求证f (x ) 为奇函数；
(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
x
x
x
22x x
．+3-1u =3+-1
3x 3x
≥1，即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k
只要使k
2
-1恒成立，3x
变式：函数y =a x 与y =log a x (0
0
（2）若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m)，求数列{a n }的前m 项和S m ；
n m
4
不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围．（[-2, ]）
3
x
19．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ，P 2(a 2, b 2) ，…，P n (a n , b n ) ，…，对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(
a x
) (0
a m a m +1
（3）在（2）的条件下，若m ∈N 时，不等式恒成立，求实数a 的
S m S m +1
取值范围．
*
(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形．
（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；
（2）若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；（3）设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{c n }前多少项的和最大？试说明理由． 解1）由题意知：a n =n +（2）∵函数y =2000(
解：（1）由
x 1+x 2
知，x 1+x 2=1，则 =11114x 11
y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1
4+24+24+22(4x +2) 2
标是，为定值． 4
1a
, ∴b n =2000() 210
1
n +2
-112
（2）已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ，
．
又
S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)
a x
) (0b n +1>b n +2．则10
二式相加，得
-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)
k -k k -k
因为m ， +m m =1(k =1, 2, …m-1) ，故f (m ) +f (m m ) =2
又f (1) =，从而S m =12 (3m -1) ． 6
以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(
a 2a
) +() －1>0,解得a
或a >5(5－1) ．∴5(－1)
（3）∵5(5－1)
1
27
+lg 2000． 10
m
m +1
a （3）由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立．
⎧c n ≥0,
数列{c n }是一个递减的等差数列，由⎨ 解得n =20，故数列{c n }前
c ≤0, ⎩n +1
20项和最大．
显然，a ≠0，
a （ⅰ）当a 0
m
3m +23
3m -13m -1
3
有最大值5，3m -12
不成立，所以a
（ⅱ）当a >0时，因为a
故a >
5
2
m
1
20．已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ，P 1（x 1, y 1）
4+2
点，且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是
>0，则由式①得，a >=1+
3
又3m 随m 的增大而减小，所以当m =1时，1+-1
．
1
．（1）求证点P 的纵坐标是定值； 2
2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练
一、填空题：
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=．
f (1)f (3)f (5)f (7)13．定义域为R 的函数
11
1．已知2=3=m , 且+=2，则实数m 的值为
a b
2．设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范
a
b
⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) ．
围 ．
x x
已知函数3．函数f (x )=a +log a (x +1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a ，则a 的值为 14 ． f (x ) =2-1，当a f (c ) >f (b ) ．给出以下命题：
⎧e x , x ≤0. 1
4．设g (x ) =⎨则g (g ()) =．
2⎩ln x , x >0.
5．设a ＞1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 ．
6．已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数， 则m 的取值范围是 ．
7．已知命题P
：f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义，命题Q ：函数
2
(1)a +c
2；(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 ． 二、解答题：
15．定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) ＋g (x ) ＝10x ．
x ＋x （1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式；（2）证明：g (x 1) ＋g (x 2) ≥2g 2) ；
（3）试用f (x 1) ，f (x 2) ，g (x 1) ，g (x 2) 表示f (x 1－x 2) 与g (x 1＋x 2) ．
y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，则a 的取 16．设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) ． 值范围 ． （1）令F (x ) =xf '(x ) 讨论F （x ）在(0+∞) 内的单调性并求极值；
（2）求证：当x >1时，恒有x ≥ln x -2a ln x +1．
17．已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a , b ，使得f (x ) 恰在（1，+∞）上取正值，且f (3)=lg4？若存在，求出a , b 的值；若不存在，请说明理由．
18．定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23，且对任意x ，y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 19．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ，P 2(a 2, b 2) ，…，P n (a n , b n ) ，…，对每个正整
x
x
x
⎧a a ≤b
8．对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨，则函数
b a ≥b ⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域
2
2
9．若f (x ) =l o g (44数是 ．
x
1
1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数，则方程f (x ) =x +6的零点的个
f (x +y )=f (x )+f (y ) ．(1)求证f (x ) 为奇函数； 2
2
10．设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题：⑴f (x ) 有最小值；⑵当a =0时，f (x )
a x
的值域为R ；⑶当a=0时，f (x ) 为偶函数；⑷若f (x ) 在区间［2，+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0
10增，则实数a 的取范围是a ≥-4．则其中正确命题的序号 ．
成一个以P n 为顶点的等腰三角形．（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式； x
11．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数f (x ) =2的
图象与函数g (x ) 的图象关于 对称，则函数g (x ) 的解析式是 （ 2 ）若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范
围； （填上你认为可以成为真命题的一种情形）．
*
（3）设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{c n }前12．已知函数f (x ) 满足：f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，f (1)=2，则
多少项的和最大？试说明理由． 20．已知f (x ) =
1
、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点，(x ∈R ) ，P 1（x 1, y 1）x
4+2
⎧a a ≤b 1
8．对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨，则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是．
b a ≥b 2⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]． （1）求证点P 的纵坐标是定值；
n
（2）若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m
1m 9．f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的
项和S m ； 2
（3）在（2）的条件下，若m ∈N *时，不等式取值范围
2
取值范围a ≤或a >1．
1
2
a a
恒成立，求实数a 的
S m S m +1
m m +1
个数是 2 ．
10．设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题：⑴f (x ) 有最小值；⑵当a = 0
时，f (x ) 的值域为R ；⑶当a =0时，f (x ) 为偶函数；⑷若f (x ) 在区间［2，+∞) 上单调递增，则实数a 的取范围是a ≥-4．则其中正确命题的序号（2）（3）（4） ． 11．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数f (x ) =2x
的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称，则函数g (x ) 的解析式是
． y =log 2x （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可）12．已知函数f (x ) 满足：f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，f (1)=2，则
2
2．指数函数与对数函数
一、填空题：
1．已知2a =3b =m , 且+
1
a 1
=2，则实数m
b
2．设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是
[6,
1． 2
+∞) ．
x
3．函数f (x )=a +log a (x +1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a ，则a 的值为
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=
f (1)f (3)f (5)f (7)13．定义域为R 的函数
⎧e x , x ≤0. 11
4．设g (x ) =⎨则g (g ()) =．
22⎩ln x , x >0.
5．设a ＞1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系
为m >p >n ．
6．已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数， 则m 的取值范围是 1≤m ≤3．
7．已知命题p
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义，命题Q ：函数如果p 和Q 有且仅有一个正确，则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R ．
⎧lg |x -2|,x ≠2
f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2．
14．已知函数f (x ) =2x -1，当a f (c ) >f (b ) ．给出以下命题：(1)a +c 2；(4)2b +2c >2．则所有正确命
题的题号为 (1)(4) ． 二、解答题：
15．定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) ＋g (x ) ＝10x ．
x ＋x （1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式；（2）证明：g (x 1) ＋g (x 2) ≥2g 2) ；
（3）试用f (x 1) ，f (x 2) ，g (x 1) ，g (x 2) 表示f (x 1－x 2) 与g (x 1＋x 2) ．
－
解：∵f (x ) ＋g (x ) ＝10x ①，∴f (－x ) ＋g (－x ) ＝10x ，∵f (x ) 为奇函数，g (x ) 为偶
－
函数，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，g (－x ) ＝g (x ) ，∴－f (x ) ＋g (x ) ＝10x ②，由①，②解得
1111f (x ) 2x －10) ，g (x ) ＝2(10x 10．
1x 11x 11x 11x
（Ⅱ）解法一：g (x 1) ＋g (x 2) ＝2x ) ＋2x ) ＝2＋10) ＋2x 101010
1
2
1
2
1
2
1
⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]
，k ∈Z ， f (x ) =⎨a
log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a
16．设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) ．
（1）令F (x ) =xf '(x ) 讨论F （x ）在(0+∞) 内的单调性并求极值； （2）求证：当x >1时，恒有x ≥ln x -2a ln x +1． （Ⅰ）解：根据求导法则有f '(x ) =1-
2
111x x
) ≥210×10＋x
2210
1
2
211
x x 101010
1
2
1
x 1＋x 2
2
＋
10
1
x 1＋x 2
2g (x ＋x
2． 1
1
2
2
故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ，x >0，
＋
于是F '(x ) =1-列表如下：
2ln x 2a
+x >0， x x
x 1＋x 21x 11x 1
解法二：[g (x 1) ＋g (x 2)]－2g (2＝2＋x ＋2(10x ) －(10
1010
1
x ＋x ) ＝
2
2
1
2
x 1＋x 2
2
2x -2=，x >0， x x
10
2
(10
x 1＋x 2
＋1)(10＋10)
x 1＋x 2
x 1x 2
2⋅10
(10
x 1＋x 2
10
x 1＋x 2
1
＋1
＝x ＋x
2
x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a ．
x 1＋x 2
2
10
x 1
x 2
2
＋1)(10＋10) －2⋅(10
2⋅10
x 1＋x 2
x 1＋x 2
＋1) ⋅10
（Ⅱ）证明：由a ≥0知，F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0．
+∞) ，恒有F (x ) =xf '(x ) >0． 于是由上表知，对一切x ∈(0，
⋅
+∞) 内单调增加． 从而当x >0时，恒有f '(x ) >0，故f (x ) 在(0，
所以当x >1时，f (x ) >f (1)=0，即x -1-ln x +2a ln x >0．
2
x 1＋x 2
2
＝
(10
x 1＋x 2
＋1)[10＋10－2⋅⋅10
x 1＋x 2
x 1x 2
x 1＋x 2
2
2⋅102⋅10
（3）f (x 1－x 2) ＝f (x 1) g (x 2) －g (x 1) f (x 2) ，g (x 1＋x 2) ＝g (x 1) g (x 2) －f (x 1) f (x 2) ．
反思：掌握函数的函数解析式，奇函数，单调性，等常规问题的处理方法，第
（2）问，把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，提升学生综合应用知识的能力．第（2）问还具有高等数学里凸函数的背景．
变式：函数y =f (x ) 为R 上的偶函数，且对于任意实数都有
](10x 1＋x 2
＋1)[210×10－2⋅⋅10
x 1＋x 2
x 1x 2
]
＝0．
故当x >1时，恒有x >ln x -2a ln x +1．
反思：利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。
x
变式：已知函数f (x ) =e -kx ，x ∈R 若k >0，且对于任意x ∈R ，f (x ) >0
2
恒成立，试确定实数k 的取值范围；
由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数． 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立．
由f '(x ) =e -k =0得x =ln k ．
x
f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时，f (x ) =log a x ，求
x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.
1]时，f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) ． ①当k ∈(0，
x
+∞) 上单调递增．故f (x ) ≥f (0)=1>0，符合题意． 此时f (x ) 在[0，
，+∞) 时，ln k >0． ②当k ∈(1
'，∴10，又k >1
综合①，②得，实数k 的取值范围是0
17．已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a , b ，使得f (x ) 恰在（1，+∞）上取正值，且f (3)=lg4？若存在，求出a , b 的值；若不存在，请说明理由．
点拨：要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为（0，+∞）建立k 的关系
式，显性f (x ) 的单调性是解题的关键.
解∵ a –kb >0，即 (
x
x
点拨：欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立．在式子
f (x +y )=f (x )+f (y ) 中，令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题，求f (0)的值．令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0，f (x ) 是奇函数得到证明．
(1)证明：f (x +y )=f (x )+f (y )(x ，y ∈R ) ， ① 令x =y =0，代入①式，得f (0+0)=f (0)+f(0)，即 f (0)=0． 令y =-x ，代入①式，得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ，又f (0)=0，则有
0=f (x )+f (-x ) ．即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立，所以f (x ) 是奇函数． (2)解：f (3)=log23＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x ) 在R 上是单调函数，所
以f (x ) 在R 上是增函数，又由(1)f (x ) 是奇函数．
f (k ·3) ＜-f (3-9-2)=f (-3+9+2)， k ·3＜-3+9+2， 3
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
-(1+k ) ·3+2＞0对任意x ∈R 成立．
x
2
x
令t =3＞0，问题等价于t -(1+
k )t+2＞0对任意t ＞0恒成立． 令f(t)= t
2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当
a a x
) >k ．又 a >1>b >0，∴ >1 ∴ x >loga k 为其定
b b b
b
1+k
． 2
义域满足的条件，又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) ， ∴log a k =0， ∴k =1． ∴f (x )=lg(a –b ) ．
若存在适合条件的a ，b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立，
又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增．
∴x >1时f (x ) > f (1) ，由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4
3
3
3
3
x
x
x
x
1+k
0，符合题意； 2
⎧1+k
≥01+k ⎪
当对任意t >0，f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时，2
22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2
解得-1≤k
综上所述，当k
3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立．
反思：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f (x ) 是奇函数且在x ∈
R 上是增函数，把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f (t ) 进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k ·3＜-3+9+2得k
x
x
x
2
x
x
x
+1-1
注意到a >1>b >0，解得a =, b =．
22
∴存在这样的a ，b 满足题意．
变式：（1）函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在（1，
+∞）有意义, 求实数k 的取值范围； （2）设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形？并说明理由．
18．定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23，且对任意x ，y ∈R 都有
f (x +y )=f (x )+f (y ) ．
(1)求证f (x ) 为奇函数；
(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
x
x
x
22x x
．+3-1u =3+-1
3x 3x
≥1，即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k
只要使k
2
-1恒成立，3x
变式：函数y =a x 与y =log a x (0
0
（2）若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m)，求数列{a n }的前m 项和S m ；
n m
4
不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围．（[-2, ]）
3
x
19．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ，P 2(a 2, b 2) ，…，P n (a n , b n ) ，…，对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(
a x
) (0
a m a m +1
（3）在（2）的条件下，若m ∈N 时，不等式恒成立，求实数a 的
S m S m +1
取值范围．
*
(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形．
（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；
（2）若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；（3）设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{c n }前多少项的和最大？试说明理由． 解1）由题意知：a n =n +（2）∵函数y =2000(
解：（1）由
x 1+x 2
知，x 1+x 2=1，则 =11114x 11
y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1
4+24+24+22(4x +2) 2
标是，为定值． 4
1a
, ∴b n =2000() 210
1
n +2
-112
（2）已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ，
．
又
S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)
a x
) (0b n +1>b n +2．则10
二式相加，得
-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)
k -k k -k
因为m ， +m m =1(k =1, 2, …m-1) ，故f (m ) +f (m m ) =2
又f (1) =，从而S m =12 (3m -1) ． 6
以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(
a 2a
) +() －1>0,解得a
或a >5(5－1) ．∴5(－1)
（3）∵5(5－1)
1
27
+lg 2000． 10
m
m +1
a （3）由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立．
⎧c n ≥0,
数列{c n }是一个递减的等差数列，由⎨ 解得n =20，故数列{c n }前
c ≤0, ⎩n +1
20项和最大．
显然，a ≠0，
a （ⅰ）当a 0
m
3m +23
3m -13m -1
3
有最大值5，3m -12
不成立，所以a
（ⅱ）当a >0时，因为a
故a >
5
2
m
1
20．已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ，P 1（x 1, y 1）
4+2
点，且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是
>0，则由式①得，a >=1+
3
又3m 随m 的增大而减小，所以当m =1时，1+-1
．
1
．（1）求证点P 的纵坐标是定值； 2