2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练
一、填空题:
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=.
f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数
11
1.已知2=3=m , 且+=2,则实数m 的值为
a b
2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范
a
b
⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) .
围 .
x x
已知函数3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为 14 . f (x ) =2-1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:
⎧e x , x ≤0. 1
4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.
2⎩ln x , x >0.
5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 .
6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 .
7.已知命题P
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数
2
(1)a +c
2;(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 . 二、解答题:
15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .
x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;
(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .
y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,则a 的取 16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) . 值范围 . (1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值;
(2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1.
17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.
18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整
x
x
x
⎧a a ≤b
8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数
b a ≥b ⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域
2
2
9.若f (x ) =l o g (44数是 .
x
1
1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数,则方程f (x ) =x +6的零点的个
f (x +y )=f (x )+f (y ) .(1)求证f (x ) 为奇函数; 2
2
10.设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a =0时,f (x )
a x
的值域为R ;⑶当a=0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0
10增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号 .
成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式; x
11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2的
图象与函数g (x ) 的图象关于 对称,则函数g (x ) 的解析式是 ( 2 )若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范
围; (填上你认为可以成为真命题的一种情形).
*
(3)设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则
多少项的和最大?试说明理由. 20.已知f (x ) =
1
、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点,(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)x
4+2
⎧a a ≤b 1
8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是.
b a ≥b 2⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]. (1)求证点P 的纵坐标是定值;
n
(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m
1m 9.f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的
项和S m ; 2
(3)在(2)的条件下,若m ∈N *时,不等式取值范围
2
取值范围a ≤或a >1.
1
2
a a
恒成立,求实数a 的
S m S m +1
m m +1
个数是 2 .
10.设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a = 0
时,f (x ) 的值域为R ;⑶当a =0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号(2)(3)(4) . 11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2x
的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称,则函数g (x ) 的解析式是
. y =log 2x (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则
2
2.指数函数与对数函数
一、填空题:
1.已知2a =3b =m , 且+
1
a 1
=2,则实数m
b
2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是
[6,
1. 2
+∞) .
x
3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=
f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数
⎧e x , x ≤0. 11
4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.
22⎩ln x , x >0.
5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系
为m >p >n .
6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 1≤m ≤3.
7.已知命题p
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数如果p 和Q 有且仅有一个正确,则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R .
⎧lg |x -2|,x ≠2
f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2.
14.已知函数f (x ) =2x -1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:(1)a +c 2;(4)2b +2c >2.则所有正确命
题的题号为 (1)(4) . 二、解答题:
15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .
x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;
(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .
-
解:∵f (x ) +g (x ) =10x ①,∴f (-x ) +g (-x ) =10x ,∵f (x ) 为奇函数,g (x ) 为偶
-
函数,∴f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,∴-f (x ) +g (x ) =10x ②,由①,②解得
1111f (x ) 2x -10) ,g (x ) =2(10x 10.
1x 11x 11x 11x
(Ⅱ)解法一:g (x 1) +g (x 2) =2x ) +2x ) =2+10) +2x 101010
1
2
1
2
1
2
1
⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]
,k ∈Z , f (x ) =⎨a
log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a
16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) .
(1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值; (2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1. (Ⅰ)解:根据求导法则有f '(x ) =1-
2
111x x
) ≥210×10+x
2210
1
2
211
x x 101010
1
2
1
x 1+x 2
2
+
10
1
x 1+x 2
2g (x +x
2. 1
1
2
2
故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ,x >0,
+
于是F '(x ) =1-列表如下:
2ln x 2a
+x >0, x x
x 1+x 21x 11x 1
解法二:[g (x 1) +g (x 2)]-2g (2=2+x +2(10x ) -(10
1010
1
x +x ) =
2
2
1
2
x 1+x 2
2
2x -2=,x >0, x x
10
2
(10
x 1+x 2
+1)(10+10)
x 1+x 2
x 1x 2
2⋅10
(10
x 1+x 2
10
x 1+x 2
1
+1
=x +x
2
x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a .
x 1+x 2
2
10
x 1
x 2
2
+1)(10+10) -2⋅(10
2⋅10
x 1+x 2
x 1+x 2
+1) ⋅10
(Ⅱ)证明:由a ≥0知,F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0.
+∞) ,恒有F (x ) =xf '(x ) >0. 于是由上表知,对一切x ∈(0,
⋅
+∞) 内单调增加. 从而当x >0时,恒有f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,
所以当x >1时,f (x ) >f (1)=0,即x -1-ln x +2a ln x >0.
2
x 1+x 2
2
=
(10
x 1+x 2
+1)[10+10-2⋅⋅10
x 1+x 2
x 1x 2
x 1+x 2
2
2⋅102⋅10
(3)f (x 1-x 2) =f (x 1) g (x 2) -g (x 1) f (x 2) ,g (x 1+x 2) =g (x 1) g (x 2) -f (x 1) f (x 2) .
反思:掌握函数的函数解析式,奇函数,单调性,等常规问题的处理方法,第
(2)问,把函数与不等式的证明,函数与指对式的化简变形结合起来,提升学生综合应用知识的能力.第(2)问还具有高等数学里凸函数的背景.
变式:函数y =f (x ) 为R 上的偶函数,且对于任意实数都有
](10x 1+x 2
+1)[210×10-2⋅⋅10
x 1+x 2
x 1x 2
]
=0.
故当x >1时,恒有x >ln x -2a ln x +1.
反思:利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。
x
变式:已知函数f (x ) =e -kx ,x ∈R 若k >0,且对于任意x ∈R ,f (x ) >0
2
恒成立,试确定实数k 的取值范围;
由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数. 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立.
由f '(x ) =e -k =0得x =ln k .
x
f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时,f (x ) =log a x ,求
x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.
1]时,f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) . ①当k ∈(0,
x
+∞) 上单调递增.故f (x ) ≥f (0)=1>0,符合题意. 此时f (x ) 在[0,
,+∞) 时,ln k >0. ②当k ∈(1
',∴10,又k >1
综合①,②得,实数k 的取值范围是0
17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.
点拨:要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为(0,+∞)建立k 的关系
式,显性f (x ) 的单调性是解题的关键.
解∵ a –kb >0,即 (
x
x
点拨:欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立.在式子
f (x +y )=f (x )+f (y ) 中,令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题,求f (0)的值.令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0,f (x ) 是奇函数得到证明.
(1)证明:f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R ) , ① 令x =y =0,代入①式,得f (0+0)=f (0)+f(0),即 f (0)=0. 令y =-x ,代入①式,得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ,又f (0)=0,则有
0=f (x )+f (-x ) .即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立,所以f (x ) 是奇函数. (2)解:f (3)=log23>0,即f (3)>f (0),又f (x ) 在R 上是单调函数,所
以f (x ) 在R 上是增函数,又由(1)f (x ) 是奇函数.
f (k ·3) <-f (3-9-2)=f (-3+9+2), k ·3<-3+9+2, 3
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
-(1+k ) ·3+2>0对任意x ∈R 成立.
x
2
x
令t =3>0,问题等价于t -(1+
k )t+2>0对任意t >0恒成立. 令f(t)= t
2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当
a a x
) >k .又 a >1>b >0,∴ >1 ∴ x >loga k 为其定
b b b
b
1+k
. 2
义域满足的条件,又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) , ∴log a k =0, ∴k =1. ∴f (x )=lg(a –b ) .
若存在适合条件的a ,b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立,
又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增.
∴x >1时f (x ) > f (1) ,由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4
3
3
3
3
x
x
x
x
1+k
0,符合题意; 2
⎧1+k
≥01+k ⎪
当对任意t >0,f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时,2
22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2
解得-1≤k
综上所述,当k
3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立.
反思:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f (x ) 是奇函数且在x ∈
R 上是增函数,把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t >0恒成立.对二次函数f (t ) 进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k ·3<-3+9+2得k
x
x
x
2
x
x
x
+1-1
注意到a >1>b >0,解得a =, b =.
22
∴存在这样的a ,b 满足题意.
变式:(1)函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在(1,
+∞)有意义, 求实数k 的取值范围; (2)设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形?并说明理由.
18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有
f (x +y )=f (x )+f (y ) .
(1)求证f (x ) 为奇函数;
(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.
x
x
x
22x x
.+3-1u =3+-1
3x 3x
≥1,即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k
只要使k
2
-1恒成立,3x
变式:函数y =a x 与y =log a x (0
0
(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m),求数列{a n }的前m 项和S m ;
n m
4
不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围.([-2, ])
3
x
19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(
a x
) (0
a m a m +1
(3)在(2)的条件下,若m ∈N 时,不等式恒成立,求实数a 的
S m S m +1
取值范围.
*
(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.
(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;
(2)若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前多少项的和最大?试说明理由. 解1)由题意知:a n =n +(2)∵函数y =2000(
解:(1)由
x 1+x 2
知,x 1+x 2=1,则 =11114x 11
y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1
4+24+24+22(4x +2) 2
标是,为定值. 4
1a
, ∴b n =2000() 210
1
n +2
-112
(2)已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ,
.
又
S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)
a x
) (0b n +1>b n +2.则10
二式相加,得
-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)
k -k k -k
因为m , +m m =1(k =1, 2, …m-1) ,故f (m ) +f (m m ) =2
又f (1) =,从而S m =12 (3m -1) . 6
以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(
a 2a
) +() -1>0,解得a
或a >5(5-1) .∴5(-1)
(3)∵5(5-1)
1
27
+lg 2000. 10
m
m +1
a (3)由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立.
⎧c n ≥0,
数列{c n }是一个递减的等差数列,由⎨ 解得n =20,故数列{c n }前
c ≤0, ⎩n +1
20项和最大.
显然,a ≠0,
a (ⅰ)当a 0
m
3m +23
3m -13m -1
3
有最大值5,3m -12
不成立,所以a
(ⅱ)当a >0时,因为a
故a >
5
2
m
1
20.已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)
4+2
点,且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是
>0,则由式①得,a >=1+
3
又3m 随m 的增大而减小,所以当m =1时,1+-1
.
1
.(1)求证点P 的纵坐标是定值; 2
2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练
一、填空题:
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=.
f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数
11
1.已知2=3=m , 且+=2,则实数m 的值为
a b
2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范
a
b
⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) .
围 .
x x
已知函数3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为 14 . f (x ) =2-1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:
⎧e x , x ≤0. 1
4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.
2⎩ln x , x >0.
5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 .
6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 .
7.已知命题P
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数
2
(1)a +c
2;(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 . 二、解答题:
15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .
x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;
(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .
y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,则a 的取 16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) . 值范围 . (1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值;
(2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1.
17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.
18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整
x
x
x
⎧a a ≤b
8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数
b a ≥b ⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域
2
2
9.若f (x ) =l o g (44数是 .
x
1
1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数,则方程f (x ) =x +6的零点的个
f (x +y )=f (x )+f (y ) .(1)求证f (x ) 为奇函数; 2
2
10.设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a =0时,f (x )
a x
的值域为R ;⑶当a=0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0
10增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号 .
成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式; x
11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2的
图象与函数g (x ) 的图象关于 对称,则函数g (x ) 的解析式是 ( 2 )若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范
围; (填上你认为可以成为真命题的一种情形).
*
(3)设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则
多少项的和最大?试说明理由. 20.已知f (x ) =
1
、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点,(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)x
4+2
⎧a a ≤b 1
8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是.
b a ≥b 2⎩
f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]. (1)求证点P 的纵坐标是定值;
n
(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m
1m 9.f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的
项和S m ; 2
(3)在(2)的条件下,若m ∈N *时,不等式取值范围
2
取值范围a ≤或a >1.
1
2
a a
恒成立,求实数a 的
S m S m +1
m m +1
个数是 2 .
10.设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a = 0
时,f (x ) 的值域为R ;⑶当a =0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号(2)(3)(4) . 11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2x
的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称,则函数g (x ) 的解析式是
. y =log 2x (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则
2
2.指数函数与对数函数
一、填空题:
1.已知2a =3b =m , 且+
1
a 1
=2,则实数m
b
2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是
[6,
1. 2
+∞) .
x
3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为
f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)
+++=
f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数
⎧e x , x ≤0. 11
4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.
22⎩ln x , x >0.
5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系
为m >p >n .
6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 1≤m ≤3.
7.已知命题p
:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数如果p 和Q 有且仅有一个正确,则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R .
⎧lg |x -2|,x ≠2
f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5
x =2⎩1,
不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2.
14.已知函数f (x ) =2x -1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:(1)a +c 2;(4)2b +2c >2.则所有正确命
题的题号为 (1)(4) . 二、解答题:
15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .
x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;
(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .
-
解:∵f (x ) +g (x ) =10x ①,∴f (-x ) +g (-x ) =10x ,∵f (x ) 为奇函数,g (x ) 为偶
-
函数,∴f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,∴-f (x ) +g (x ) =10x ②,由①,②解得
1111f (x ) 2x -10) ,g (x ) =2(10x 10.
1x 11x 11x 11x
(Ⅱ)解法一:g (x 1) +g (x 2) =2x ) +2x ) =2+10) +2x 101010
1
2
1
2
1
2
1
⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]
,k ∈Z , f (x ) =⎨a
log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a
16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) .
(1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值; (2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1. (Ⅰ)解:根据求导法则有f '(x ) =1-
2
111x x
) ≥210×10+x
2210
1
2
211
x x 101010
1
2
1
x 1+x 2
2
+
10
1
x 1+x 2
2g (x +x
2. 1
1
2
2
故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ,x >0,
+
于是F '(x ) =1-列表如下:
2ln x 2a
+x >0, x x
x 1+x 21x 11x 1
解法二:[g (x 1) +g (x 2)]-2g (2=2+x +2(10x ) -(10
1010
1
x +x ) =
2
2
1
2
x 1+x 2
2
2x -2=,x >0, x x
10
2
(10
x 1+x 2
+1)(10+10)
x 1+x 2
x 1x 2
2⋅10
(10
x 1+x 2
10
x 1+x 2
1
+1
=x +x
2
x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a .
x 1+x 2
2
10
x 1
x 2
2
+1)(10+10) -2⋅(10
2⋅10
x 1+x 2
x 1+x 2
+1) ⋅10
(Ⅱ)证明:由a ≥0知,F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0.
+∞) ,恒有F (x ) =xf '(x ) >0. 于是由上表知,对一切x ∈(0,
⋅
+∞) 内单调增加. 从而当x >0时,恒有f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,
所以当x >1时,f (x ) >f (1)=0,即x -1-ln x +2a ln x >0.
2
x 1+x 2
2
=
(10
x 1+x 2
+1)[10+10-2⋅⋅10
x 1+x 2
x 1x 2
x 1+x 2
2
2⋅102⋅10
(3)f (x 1-x 2) =f (x 1) g (x 2) -g (x 1) f (x 2) ,g (x 1+x 2) =g (x 1) g (x 2) -f (x 1) f (x 2) .
反思:掌握函数的函数解析式,奇函数,单调性,等常规问题的处理方法,第
(2)问,把函数与不等式的证明,函数与指对式的化简变形结合起来,提升学生综合应用知识的能力.第(2)问还具有高等数学里凸函数的背景.
变式:函数y =f (x ) 为R 上的偶函数,且对于任意实数都有
](10x 1+x 2
+1)[210×10-2⋅⋅10
x 1+x 2
x 1x 2
]
=0.
故当x >1时,恒有x >ln x -2a ln x +1.
反思:利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。
x
变式:已知函数f (x ) =e -kx ,x ∈R 若k >0,且对于任意x ∈R ,f (x ) >0
2
恒成立,试确定实数k 的取值范围;
由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数. 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立.
由f '(x ) =e -k =0得x =ln k .
x
f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时,f (x ) =log a x ,求
x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.
1]时,f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) . ①当k ∈(0,
x
+∞) 上单调递增.故f (x ) ≥f (0)=1>0,符合题意. 此时f (x ) 在[0,
,+∞) 时,ln k >0. ②当k ∈(1
',∴10,又k >1
综合①,②得,实数k 的取值范围是0
17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.
点拨:要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为(0,+∞)建立k 的关系
式,显性f (x ) 的单调性是解题的关键.
解∵ a –kb >0,即 (
x
x
点拨:欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立.在式子
f (x +y )=f (x )+f (y ) 中,令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题,求f (0)的值.令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0,f (x ) 是奇函数得到证明.
(1)证明:f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R ) , ① 令x =y =0,代入①式,得f (0+0)=f (0)+f(0),即 f (0)=0. 令y =-x ,代入①式,得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ,又f (0)=0,则有
0=f (x )+f (-x ) .即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立,所以f (x ) 是奇函数. (2)解:f (3)=log23>0,即f (3)>f (0),又f (x ) 在R 上是单调函数,所
以f (x ) 在R 上是增函数,又由(1)f (x ) 是奇函数.
f (k ·3) <-f (3-9-2)=f (-3+9+2), k ·3<-3+9+2, 3
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
-(1+k ) ·3+2>0对任意x ∈R 成立.
x
2
x
令t =3>0,问题等价于t -(1+
k )t+2>0对任意t >0恒成立. 令f(t)= t
2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当
a a x
) >k .又 a >1>b >0,∴ >1 ∴ x >loga k 为其定
b b b
b
1+k
. 2
义域满足的条件,又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) , ∴log a k =0, ∴k =1. ∴f (x )=lg(a –b ) .
若存在适合条件的a ,b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立,
又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增.
∴x >1时f (x ) > f (1) ,由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4
3
3
3
3
x
x
x
x
1+k
0,符合题意; 2
⎧1+k
≥01+k ⎪
当对任意t >0,f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时,2
22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2
解得-1≤k
综上所述,当k
3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立.
反思:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f (x ) 是奇函数且在x ∈
R 上是增函数,把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t >0恒成立.对二次函数f (t ) 进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k ·3<-3+9+2得k
x
x
x
2
x
x
x
+1-1
注意到a >1>b >0,解得a =, b =.
22
∴存在这样的a ,b 满足题意.
变式:(1)函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在(1,
+∞)有意义, 求实数k 的取值范围; (2)设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形?并说明理由.
18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有
f (x +y )=f (x )+f (y ) .
(1)求证f (x ) 为奇函数;
(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.
x
x
x
22x x
.+3-1u =3+-1
3x 3x
≥1,即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k
只要使k
2
-1恒成立,3x
变式:函数y =a x 与y =log a x (0
0
(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m),求数列{a n }的前m 项和S m ;
n m
4
不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围.([-2, ])
3
x
19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(
a x
) (0
a m a m +1
(3)在(2)的条件下,若m ∈N 时,不等式恒成立,求实数a 的
S m S m +1
取值范围.
*
(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.
(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;
(2)若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前多少项的和最大?试说明理由. 解1)由题意知:a n =n +(2)∵函数y =2000(
解:(1)由
x 1+x 2
知,x 1+x 2=1,则 =11114x 11
y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1
4+24+24+22(4x +2) 2
标是,为定值. 4
1a
, ∴b n =2000() 210
1
n +2
-112
(2)已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ,
.
又
S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)
a x
) (0b n +1>b n +2.则10
二式相加,得
-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)
k -k k -k
因为m , +m m =1(k =1, 2, …m-1) ,故f (m ) +f (m m ) =2
又f (1) =,从而S m =12 (3m -1) . 6
以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(
a 2a
) +() -1>0,解得a
或a >5(5-1) .∴5(-1)
(3)∵5(5-1)
1
27
+lg 2000. 10
m
m +1
a (3)由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立.
⎧c n ≥0,
数列{c n }是一个递减的等差数列,由⎨ 解得n =20,故数列{c n }前
c ≤0, ⎩n +1
20项和最大.
显然,a ≠0,
a (ⅰ)当a 0
m
3m +23
3m -13m -1
3
有最大值5,3m -12
不成立,所以a
(ⅱ)当a >0时,因为a
故a >
5
2
m
1
20.已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)
4+2
点,且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是
>0,则由式①得,a >=1+
3
又3m 随m 的增大而减小,所以当m =1时,1+-1
.
1
.(1)求证点P 的纵坐标是定值; 2