指数函数与对数函数强化训练

2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练

一、填空题:

f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)

+++=.

f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数

11

1.已知2=3=m , 且+=2,则实数m 的值为

a b

2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范

a

b

⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5

x =2⎩1,

不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) .

围 .

x x

已知函数3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为 14 . f (x ) =2-1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:

⎧e x , x ≤0. 1

4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.

2⎩ln x , x >0.

5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 .

6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 .

7.已知命题P

:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数

2

(1)a +c

2;(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 . 二、解答题:

15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .

x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;

(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .

y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,则a 的取 16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) . 值范围 . (1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值;

(2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1.

17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.

18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整

x

x

x

⎧a a ≤b

8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数

b a ≥b ⎩

f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域

2

2

9.若f (x ) =l o g (44数是 .

x

1

1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数,则方程f (x ) =x +6的零点的个

f (x +y )=f (x )+f (y ) .(1)求证f (x ) 为奇函数; 2

2

10.设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a =0时,f (x )

a x

的值域为R ;⑶当a=0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0

10增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号 .

成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式; x

11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2的

图象与函数g (x ) 的图象关于 对称,则函数g (x ) 的解析式是 ( 2 )若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范

围; (填上你认为可以成为真命题的一种情形).

*

(3)设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则

多少项的和最大?试说明理由. 20.已知f (x ) =

1

、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点,(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)x

4+2

⎧a a ≤b 1

8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是.

b a ≥b 2⎩

f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]. (1)求证点P 的纵坐标是定值;

n

(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m

1m 9.f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的

项和S m ; 2

(3)在(2)的条件下,若m ∈N *时,不等式取值范围

2

取值范围a ≤或a >1.

1

2

a a

恒成立,求实数a 的

S m S m +1

m m +1

个数是 2 .

10.设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a = 0

时,f (x ) 的值域为R ;⑶当a =0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号(2)(3)(4) . 11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2x

的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称,则函数g (x ) 的解析式是

. y =log 2x (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则

2

2.指数函数与对数函数

一、填空题:

1.已知2a =3b =m , 且+

1

a 1

=2,则实数m

b

2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是

[6,

1. 2

+∞) .

x

3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为

f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)

+++=

f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数

⎧e x , x ≤0. 11

4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.

22⎩ln x , x >0.

5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系

为m >p >n .

6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 1≤m ≤3.

7.已知命题p

:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数如果p 和Q 有且仅有一个正确,则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R .

⎧lg |x -2|,x ≠2

f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5

x =2⎩1,

不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2.

14.已知函数f (x ) =2x -1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:(1)a +c 2;(4)2b +2c >2.则所有正确命

题的题号为 (1)(4) . 二、解答题:

15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .

x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;

(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .

解:∵f (x ) +g (x ) =10x ①,∴f (-x ) +g (-x ) =10x ,∵f (x ) 为奇函数,g (x ) 为偶

函数,∴f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,∴-f (x ) +g (x ) =10x ②,由①,②解得

1111f (x ) 2x -10) ,g (x ) =2(10x 10.

1x 11x 11x 11x

(Ⅱ)解法一:g (x 1) +g (x 2) =2x ) +2x ) =2+10) +2x 101010

1

2

1

2

1

2

1

⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]

,k ∈Z , f (x ) =⎨a

log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a

16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) .

(1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值; (2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1. (Ⅰ)解:根据求导法则有f '(x ) =1-

2

111x x

) ≥210×10+x

2210

1

2

211

x x 101010

1

2

1

x 1+x 2

2

10

1

x 1+x 2

2g (x +x

2. 1

1

2

2

故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ,x >0,

于是F '(x ) =1-列表如下:

2ln x 2a

+x >0, x x

x 1+x 21x 11x 1

解法二:[g (x 1) +g (x 2)]-2g (2=2+x +2(10x ) -(10

1010

1

x +x ) =

2

2

1

2

x 1+x 2

2

2x -2=,x >0, x x

10

2

(10

x 1+x 2

+1)(10+10)

x 1+x 2

x 1x 2

2⋅10

(10

x 1+x 2

10

x 1+x 2

1

+1

=x +x

2

x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a .

x 1+x 2

2

10

x 1

x 2

2

+1)(10+10) -2⋅(10

2⋅10

x 1+x 2

x 1+x 2

+1) ⋅10

(Ⅱ)证明:由a ≥0知,F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0.

+∞) ,恒有F (x ) =xf '(x ) >0. 于是由上表知,对一切x ∈(0,

+∞) 内单调增加. 从而当x >0时,恒有f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,

所以当x >1时,f (x ) >f (1)=0,即x -1-ln x +2a ln x >0.

2

x 1+x 2

2

(10

x 1+x 2

+1)[10+10-2⋅⋅10

x 1+x 2

x 1x 2

x 1+x 2

2

2⋅102⋅10

(3)f (x 1-x 2) =f (x 1) g (x 2) -g (x 1) f (x 2) ,g (x 1+x 2) =g (x 1) g (x 2) -f (x 1) f (x 2) .

反思:掌握函数的函数解析式,奇函数,单调性,等常规问题的处理方法,第

(2)问,把函数与不等式的证明,函数与指对式的化简变形结合起来,提升学生综合应用知识的能力.第(2)问还具有高等数学里凸函数的背景.

变式:函数y =f (x ) 为R 上的偶函数,且对于任意实数都有

](10x 1+x 2

+1)[210×10-2⋅⋅10

x 1+x 2

x 1x 2

]

=0.

故当x >1时,恒有x >ln x -2a ln x +1.

反思:利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。

x

变式:已知函数f (x ) =e -kx ,x ∈R 若k >0,且对于任意x ∈R ,f (x ) >0

2

恒成立,试确定实数k 的取值范围;

由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数. 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立.

由f '(x ) =e -k =0得x =ln k .

x

f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时,f (x ) =log a x ,求

x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.

1]时,f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) . ①当k ∈(0,

x

+∞) 上单调递增.故f (x ) ≥f (0)=1>0,符合题意. 此时f (x ) 在[0,

,+∞) 时,ln k >0. ②当k ∈(1

',∴10,又k >1

综合①,②得,实数k 的取值范围是0

17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.

点拨:要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为(0,+∞)建立k 的关系

式,显性f (x ) 的单调性是解题的关键.

解∵ a –kb >0,即 (

x

x

点拨:欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立.在式子

f (x +y )=f (x )+f (y ) 中,令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题,求f (0)的值.令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0,f (x ) 是奇函数得到证明.

(1)证明:f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R ) , ① 令x =y =0,代入①式,得f (0+0)=f (0)+f(0),即 f (0)=0. 令y =-x ,代入①式,得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ,又f (0)=0,则有

0=f (x )+f (-x ) .即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立,所以f (x ) 是奇函数. (2)解:f (3)=log23>0,即f (3)>f (0),又f (x ) 在R 上是单调函数,所

以f (x ) 在R 上是增函数,又由(1)f (x ) 是奇函数.

f (k ·3) <-f (3-9-2)=f (-3+9+2), k ·3<-3+9+2, 3

2x

x

x

x

x

x

x

x

x

-(1+k ) ·3+2>0对任意x ∈R 成立.

x

2

x

令t =3>0,问题等价于t -(1+

k )t+2>0对任意t >0恒成立. 令f(t)= t

2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当

a a x

) >k .又 a >1>b >0,∴ >1 ∴ x >loga k 为其定

b b b

b

1+k

. 2

义域满足的条件,又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) , ∴log a k =0, ∴k =1. ∴f (x )=lg(a –b ) .

若存在适合条件的a ,b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立,

又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增.

∴x >1时f (x ) > f (1) ,由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4

3

3

3

3

x

x

x

x

1+k

0,符合题意; 2

⎧1+k

≥01+k ⎪

当对任意t >0,f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时,2

22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2

解得-1≤k

综上所述,当k

3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立.

反思:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f (x ) 是奇函数且在x ∈

R 上是增函数,把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t >0恒成立.对二次函数f (t ) 进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k ·3<-3+9+2得k

x

x

x

2

x

x

x

+1-1

注意到a >1>b >0,解得a =, b =.

22

∴存在这样的a ,b 满足题意.

变式:(1)函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在(1,

+∞)有意义, 求实数k 的取值范围; (2)设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形?并说明理由.

18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有

f (x +y )=f (x )+f (y ) .

(1)求证f (x ) 为奇函数;

(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.

x

x

x

22x x

.+3-1u =3+-1

3x 3x

≥1,即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k

只要使k

2

-1恒成立,3x

变式:函数y =a x 与y =log a x (0

0

(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m),求数列{a n }的前m 项和S m ;

n m

4

不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围.([-2, ])

3

x

19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(

a x

) (0

a m a m +1

(3)在(2)的条件下,若m ∈N 时,不等式恒成立,求实数a 的

S m S m +1

取值范围.

*

(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.

(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;

(2)若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前多少项的和最大?试说明理由. 解1)由题意知:a n =n +(2)∵函数y =2000(

解:(1)由

x 1+x 2

知,x 1+x 2=1,则 =11114x 11

y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1

4+24+24+22(4x +2) 2

标是,为定值. 4

1a

, ∴b n =2000() 210

1

n +2

-112

(2)已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ,

S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)

a x

) (0b n +1>b n +2.则10

二式相加,得

-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)

k -k k -k

因为m , +m m =1(k =1, 2, …m-1) ,故f (m ) +f (m m ) =2

又f (1) =,从而S m =12 (3m -1) . 6

以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(

a 2a

) +() -1>0,解得a

或a >5(5-1) .∴5(-1)

(3)∵5(5-1)

1

27

+lg 2000. 10

m

m +1

a (3)由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立.

⎧c n ≥0,

数列{c n }是一个递减的等差数列,由⎨ 解得n =20,故数列{c n }前

c ≤0, ⎩n +1

20项和最大.

显然,a ≠0,

a (ⅰ)当a 0

m

3m +23

3m -13m -1

3

有最大值5,3m -12

不成立,所以a

(ⅱ)当a >0时,因为a

故a >

5

2

m

1

20.已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)

4+2

点,且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是

>0,则由式①得,a >=1+

3

又3m 随m 的增大而减小,所以当m =1时,1+-1

1

.(1)求证点P 的纵坐标是定值; 2

2012年高考数学总复习之指数函数与对数函数强化训练

一、填空题:

f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)

+++=.

f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数

11

1.已知2=3=m , 且+=2,则实数m 的值为

a b

2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x +y 的取值范

a

b

⎧lg |x -2|,x ≠2f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5

x =2⎩1,

不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) .

围 .

x x

已知函数3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为 14 . f (x ) =2-1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:

⎧e x , x ≤0. 1

4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.

2⎩ln x , x >0.

5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为 .

6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 .

7.已知命题P

:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数

2

(1)a +c

2;(4)2b +2c >2则所有正确命题的题号为 . 二、解答题:

15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .

x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;

(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .

y =lg(ax -x +a ) 的定义域为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,则a 的取 16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) . 值范围 . (1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值;

(2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1.

17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.

18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整

x

x

x

⎧a a ≤b

8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数

b a ≥b ⎩

f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域

2

2

9.若f (x ) =l o g (44数是 .

x

1

1) ++k x (k ∈R ) 是偶函数,则方程f (x ) =x +6的零点的个

f (x +y )=f (x )+f (y ) .(1)求证f (x ) 为奇函数; 2

2

10.设函数f (x )=lg(x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a =0时,f (x )

a x

的值域为R ;⑶当a=0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递数n 点P n 位于函数y =2000() (0

10增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号 .

成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式; x

11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2的

图象与函数g (x ) 的图象关于 对称,则函数g (x ) 的解析式是 ( 2 )若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范

围; (填上你认为可以成为真命题的一种情形).

*

(3)设c n =lg b n (n ∈N ), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则

多少项的和最大?试说明理由. 20.已知f (x ) =

1

、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两点,(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)x

4+2

⎧a a ≤b 1

8.对任意的实数a , b 定义运算*如下a *b =⎨,则函数且线段P 1P 2中点P 的横坐标是.

b a ≥b 2⎩

f (x ) =log 1(3x -2) *log 2x 的值域(-∞, 0]. (1)求证点P 的纵坐标是定值;

n

(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m ), 求数列{a n }的前m

1m 9.f (x ) =log 4(4x +1) +kx (k ∈R) 是偶函数则方程f (x ) =x +6的零点的

项和S m ; 2

(3)在(2)的条件下,若m ∈N *时,不等式取值范围

2

取值范围a ≤或a >1.

1

2

a a

恒成立,求实数a 的

S m S m +1

m m +1

个数是 2 .

10.设函数f (x )=lg (x +ax -a -1), 给出下述命题:⑴f (x ) 有最小值;⑵当a = 0

时,f (x ) 的值域为R ;⑶当a =0时,f (x ) 为偶函数;⑷若f (x ) 在区间[2,+∞) 上单调递增,则实数a 的取范围是a ≥-4.则其中正确命题的序号(2)(3)(4) . 11.将下面不完整的命题补充完整,并使之成为一个真命题:若函数f (x ) =2x

的图象与函数g (x ) 的图象关于y =x 对称,则函数g (x ) 的解析式是

. y =log 2x (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)12.已知函数f (x ) 满足:f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,f (1)=2,则

2

2.指数函数与对数函数

一、填空题:

1.已知2a =3b =m , 且+

1

a 1

=2,则实数m

b

2.设正数x,y 满足log 2(x +y +3) =log 2x +log 2y , 则x+y的取值范围是

[6,

1. 2

+∞) .

x

3.函数f (x )=a +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则a 的值为

f 2(1)+f (2)f 2(2)+f (4)f 2(3)+f (6)f 2(4)+f (8)

+++=

f (1)f (3)f (5)f (7)13.定义域为R 的函数

⎧e x , x ≤0. 11

4.设g (x ) =⎨则g (g ()) =.

22⎩ln x , x >0.

5.设a >1且m =log a (a 2+1), n =log a (a -1), p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系

为m >p >n .

6.已知f (x ) =lg(-x 2+8x -7) 在(m , m +1) 上是增函数, 则m 的取值范围是 1≤m ≤3.

7.已知命题p

:f (x ) =x ∈(-∞,0]上有意义,命题Q :函数如果p 和Q 有且仅有一个正确,则a 的y =lg(ax 2-x +a ) 的定义域为R .

⎧lg |x -2|,x ≠2

f (x ) =⎨, 若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5

x =2⎩1,

不同实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, 则f (x 1+x 2+x 2+x 4+x 5) =2lg 2.

14.已知函数f (x ) =2x -1,当a f (c ) >f (b ) .给出以下命题:(1)a +c 2;(4)2b +2c >2.则所有正确命

题的题号为 (1)(4) . 二、解答题:

15.定义域均为R 的奇函数f (x ) 与偶函数g (x ) 满足f (x ) +g (x ) =10x .

x +x (1)求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式;(2)证明:g (x 1) +g (x 2) ≥2g 2) ;

(3)试用f (x 1) ,f (x 2) ,g (x 1) ,g (x 2) 表示f (x 1-x 2) 与g (x 1+x 2) .

解:∵f (x ) +g (x ) =10x ①,∴f (-x ) +g (-x ) =10x ,∵f (x ) 为奇函数,g (x ) 为偶

函数,∴f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,∴-f (x ) +g (x ) =10x ②,由①,②解得

1111f (x ) 2x -10) ,g (x ) =2(10x 10.

1x 11x 11x 11x

(Ⅱ)解法一:g (x 1) +g (x 2) =2x ) +2x ) =2+10) +2x 101010

1

2

1

2

1

2

1

⎧log (2+x -2k ), x ∈[2k -1,2k ]

,k ∈Z , f (x ) =⎨a

log (2-x +2k ), x ∈(2k ,2k +1]⎩a

16.设 a ≥0, f (x ) =x -1-ln 2x +2a ln x (x >0) .

(1)令F (x ) =xf '(x ) 讨论F (x )在(0+∞) 内的单调性并求极值; (2)求证:当x >1时,恒有x ≥ln x -2a ln x +1. (Ⅰ)解:根据求导法则有f '(x ) =1-

2

111x x

) ≥210×10+x

2210

1

2

211

x x 101010

1

2

1

x 1+x 2

2

10

1

x 1+x 2

2g (x +x

2. 1

1

2

2

故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ,x >0,

于是F '(x ) =1-列表如下:

2ln x 2a

+x >0, x x

x 1+x 21x 11x 1

解法二:[g (x 1) +g (x 2)]-2g (2=2+x +2(10x ) -(10

1010

1

x +x ) =

2

2

1

2

x 1+x 2

2

2x -2=,x >0, x x

10

2

(10

x 1+x 2

+1)(10+10)

x 1+x 2

x 1x 2

2⋅10

(10

x 1+x 2

10

x 1+x 2

1

+1

=x +x

2

x =2处取故知F (x ) 在(0得极小值F (2)=2-2ln 2+2a .

x 1+x 2

2

10

x 1

x 2

2

+1)(10+10) -2⋅(10

2⋅10

x 1+x 2

x 1+x 2

+1) ⋅10

(Ⅱ)证明:由a ≥0知,F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0.

+∞) ,恒有F (x ) =xf '(x ) >0. 于是由上表知,对一切x ∈(0,

+∞) 内单调增加. 从而当x >0时,恒有f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,

所以当x >1时,f (x ) >f (1)=0,即x -1-ln x +2a ln x >0.

2

x 1+x 2

2

(10

x 1+x 2

+1)[10+10-2⋅⋅10

x 1+x 2

x 1x 2

x 1+x 2

2

2⋅102⋅10

(3)f (x 1-x 2) =f (x 1) g (x 2) -g (x 1) f (x 2) ,g (x 1+x 2) =g (x 1) g (x 2) -f (x 1) f (x 2) .

反思:掌握函数的函数解析式,奇函数,单调性,等常规问题的处理方法,第

(2)问,把函数与不等式的证明,函数与指对式的化简变形结合起来,提升学生综合应用知识的能力.第(2)问还具有高等数学里凸函数的背景.

变式:函数y =f (x ) 为R 上的偶函数,且对于任意实数都有

](10x 1+x 2

+1)[210×10-2⋅⋅10

x 1+x 2

x 1x 2

]

=0.

故当x >1时,恒有x >ln x -2a ln x +1.

反思:利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。

x

变式:已知函数f (x ) =e -kx ,x ∈R 若k >0,且对于任意x ∈R ,f (x ) >0

2

恒成立,试确定实数k 的取值范围;

由f (|-x |)=f (|x |)可知f (|x |)是偶函数. 于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立.

由f '(x ) =e -k =0得x =ln k .

x

f (x +1) =f (x -1) 成立, 当x ∈[1,2]时,f (x ) =log a x ,求

x ∈[2k -1,2k +1](k 为整数) 时y =f (x ) 的解析式.

1]时,f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) . ①当k ∈(0,

x

+∞) 上单调递增.故f (x ) ≥f (0)=1>0,符合题意. 此时f (x ) 在[0,

,+∞) 时,ln k >0. ②当k ∈(1

',∴10,又k >1

综合①,②得,实数k 的取值范围是0

17.已知函数f (x ) =lg(a x -kb x )(k >0, a >1>b >0) 的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a , b ,使得f (x ) 恰在(1,+∞)上取正值,且f (3)=lg4?若存在,求出a , b 的值;若不存在,请说明理由.

点拨:要求a,b 的值即先求k 的值。利用定义域恰为(0,+∞)建立k 的关系

式,显性f (x ) 的单调性是解题的关键.

解∵ a –kb >0,即 (

x

x

点拨:欲证f (x ) 为奇函数即要证对任意x 都有f (-x )=-f (x ) 成立.在式子

f (x +y )=f (x )+f (y ) 中,令y =-x 可得f (0)=f (x )+f (-x ) 于是又提出新的问题,求f (0)的值.令x =y =0可得f (0)=f (0)+f (0)即f (0)=0,f (x ) 是奇函数得到证明.

(1)证明:f (x +y )=f (x )+f (y )(x ,y ∈R ) , ① 令x =y =0,代入①式,得f (0+0)=f (0)+f(0),即 f (0)=0. 令y =-x ,代入①式,得 f (x -x )=f (x )+f (-x ) ,又f (0)=0,则有

0=f (x )+f (-x ) .即f (-x )=-f (x ) 对任意x ∈R 成立,所以f (x ) 是奇函数. (2)解:f (3)=log23>0,即f (3)>f (0),又f (x ) 在R 上是单调函数,所

以f (x ) 在R 上是增函数,又由(1)f (x ) 是奇函数.

f (k ·3) <-f (3-9-2)=f (-3+9+2), k ·3<-3+9+2, 3

2x

x

x

x

x

x

x

x

x

-(1+k ) ·3+2>0对任意x ∈R 成立.

x

2

x

令t =3>0,问题等价于t -(1+

k )t+2>0对任意t >0恒成立. 令f(t)= t

2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当

a a x

) >k .又 a >1>b >0,∴ >1 ∴ x >loga k 为其定

b b b

b

1+k

. 2

义域满足的条件,又∵函数f (x ) 的定义域恰为(0,+∞) , ∴log a k =0, ∴k =1. ∴f (x )=lg(a –b ) .

若存在适合条件的a ,b 则f (3)=lg(a –b )= lg4且lg(a –b )>0 对x >1恒成立,

又由题意可知f (x ) 在(1,+∞) 上单调递增.

∴x >1时f (x ) > f (1) ,由题意可知f (1)=0 即a –b =1 又a –b =4

3

3

3

3

x

x

x

x

1+k

0,符合题意; 2

⎧1+k

≥01+k ⎪

当对任意t >0,f (t ) >0恒成立⇔⎨≥0时,2

22⎪⎩∆=(1+k ) -4⨯2

解得-1≤k

综上所述,当k

3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立.

反思:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f (x ) 是奇函数且在x ∈

R 上是增函数,把问题转化成二次函数f (t )= t -(1+k ) t +2对于任意t >0恒成立.对二次函数f (t ) 进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k ·3<-3+9+2得k

x

x

x

2

x

x

x

+1-1

注意到a >1>b >0,解得a =, b =.

22

∴存在这样的a ,b 满足题意.

变式:(1)函数f (x ) =lg(a x -kb x ), a >0, b >0, a ≠1, b ≠1且a,b 为常数在(1,

+∞)有意义, 求实数k 的取值范围; (2)设函数f (x ) =log 4(a -2x +x 2) 其中a 为常数且f (3)=1讨论函数f (x ) 的图象是否是轴对称图形?并说明理由.

18.定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log23,且对任意x ,y ∈R 都有

f (x +y )=f (x )+f (y ) .

(1)求证f (x ) 为奇函数;

(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.

x

x

x

22x x

.+3-1u =3+-1

3x 3x

≥1,即u 的最小值为1要使x ∈R 对不等式k

只要使k

2

-1恒成立,3x

变式:函数y =a x 与y =log a x (0

0

(2)若数列{a n }的通项公式是a n =f ()(m ∈N *, n =1,2, …m),求数列{a n }的前m 项和S m ;

n m

4

不等式5ta +(4-3t )log a x >0恒成立, 求t 的取值范围.([-2, ])

3

x

19.在xOy 平面上有一点列P 1(a 1, b 1) ,P 2(a 2, b 2) ,…,P n (a n , b n ) ,…,对每个正整数n 点P n 位于函数y =2000(

a x

) (0

a m a m +1

(3)在(2)的条件下,若m ∈N 时,不等式恒成立,求实数a 的

S m S m +1

取值范围.

*

(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.

(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;

(2)若对于每个正整数n , 以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设c n =lg b n (n ∈N *), 若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前多少项的和最大?试说明理由. 解1)由题意知:a n =n +(2)∵函数y =2000(

解:(1)由

x 1+x 2

知,x 1+x 2=1,则 =11114x 11

y 1+y 2=x 1+1-x 1=x 1+= 故点P 的纵坐1

4+24+24+22(4x +2) 2

标是,为定值. 4

1a

, ∴b n =2000() 210

1

n +2

-112

(2)已知S m =a 1+a 2+…+a m =f ( ) +f () +…+f (m ) +f (1) ,

S m =a m -1+a m -2+…+a 1+a m =f (m ) +f (m ) +…+f (m ) +f (1)

a x

) (0b n +1>b n +2.则10

二式相加,得

-1-2-12S m =[f (m ) +f (m m )]+[f (m ) +f (m m )]+…+[f (m m ) +f (m )]+2f (1)

k -k k -k

因为m , +m m =1(k =1, 2, …m-1) ,故f (m ) +f (m m ) =2

又f (1) =,从而S m =12 (3m -1) . 6

以b n , b n +1, b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即(

a 2a

) +() -1>0,解得a

或a >5(5-1) .∴5(-1)

(3)∵5(5-1)

1

27

+lg 2000. 10

m

m +1

a (3)由得12a m (3m …①对m ∈N *恒成立.

⎧c n ≥0,

数列{c n }是一个递减的等差数列,由⎨ 解得n =20,故数列{c n }前

c ≤0, ⎩n +1

20项和最大.

显然,a ≠0,

a (ⅰ)当a 0

m

3m +23

3m -13m -1

3

有最大值5,3m -12

不成立,所以a

(ⅱ)当a >0时,因为a

故a >

5

2

m

1

20.已知f (x ) =x 、P 2(x 2, y 2) 是函数y =f (x ) 图象上两(x ∈R ) ,P 1(x 1, y 1)

4+2

点,且线段 P 1P 2中点P 的横坐标是

>0,则由式①得,a >=1+

3

又3m 随m 的增大而减小,所以当m =1时,1+-1

1

.(1)求证点P 的纵坐标是定值; 2


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