【本讲主要内容】
中考中的数形结合思想
例2. 若点A （a ，b ）在第二象限，则一次函数y =ax +b 的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析：∵点A （a ，b ）在第二象限，∴a0，所以可画出y ＝ax ＋b 的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过第几象限。 解：∵点A （a ，b ）在第二象限 ∴a0
∴一次函数与y 轴交点在x 轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图象看出它不经过第三象限
∴∆=b 2-4ac >0
故选A 评析：由数的特征a0，决定了抛物线的开口方向及与y 轴交点的坐标，从而为画抛物线的示意图作好准备，又由抛物线与x 轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数→形→数的数形结合思想。
例4. 已知：矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，若A 点与原点重合，AB 边与x 轴重合，
求矩形ABCD 四个顶点的坐标。 分析：题目中只说A 点与原点重合，AB 边与x 轴重合，而没有指明它位于第几象限，因此应画出图象，分别加以考虑。 解：若矩形ABCD 在第一象限（如图），则它的顶点的坐标分别为： A （0，0），B （4，0），C （4，3），D （0，3）
如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想
去思考，通过图象比较直观地求出a 的取值范围。
解：将方程ax 2-2x +1=0（a >0）化为
x 2-
21
x +=0（a >0） a a
设y =x 2-
21
x +（a >0） a a
画出它的示意图，可以看出：
当x =1时，y0。
当x ＝2时，y =k -6
（1）当k -1>0时，抛物线的开口向上，画出它的示意图（如图1） 由图象看出：
⎧k -1>0
⎨
k -6
解得1
图1
分析：由图象看出：使反比例的函数的值小于一次函数的值的x ，抛物线的一部分应在
直线下方，所以x
解：当x
例5. 如图是三个反比例函数y =
k 1k k
由此观察得到
、y =2、y =3在x 轴上方的图象，
x x x
又y =
3的图象在y =2的上方 x x
∴k 3>k 2 ∴k 3>k 2>k 1 故选C
评析：借助于图象的位置比较k 1、k 2、k 3的大小直观、简明。
例6. 已知：a0，且|a |>|c |>|b |
化简：(b +c ) 2+|a -c |+a 2-2ab +b 2
分析：由于题目中a 、b 、c 之间的关系比较复杂，讨论起来将要分很多情况。如果我们把a 、b 、c 所代表的点表示在数轴上，那么三个非负数化简将变得比较简单。
2. 二次函数y =x 2-2x -3与x 轴两交点之间的距离是__________。
3. 图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系中不正确的是（ ） A. h＝m B. k＝n C. k>n D. k>0，h>0
6. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A. abc>0
B. b 2-4ac >0
C. 2a +b >0
D. 4a -2b +c
x
【综合测试答案】
1. B 解：对于A ，正确；对于B ，不正确；对于C ，正确；对于D ，正确。 故选B 。 2. 4
解：画出y =x 2-2x -3的图象的示意图，
∴y 1-y 2>0 故应选A
5. C
解：由于超过4立方米收费增加为4.5元/m3，共计6.5元/m3，因此增加的幅度大，故选C 。
6. D 解：对于A ，∵图象开口向上，∴a>0；
当x ＝0时，y0，∴b 0正确 2a 对于B ，∵图象与x 轴有两个交点 ∴ax 2+bx +c =0有两个不等实根 ∴∆=b 2-4ac >0，正确；
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中考中的数形结合思想
例2. 若点A （a ，b ）在第二象限，则一次函数y =ax +b 的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析：∵点A （a ，b ）在第二象限，∴a0，所以可画出y ＝ax ＋b 的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过第几象限。 解：∵点A （a ，b ）在第二象限 ∴a0
∴一次函数与y 轴交点在x 轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图象看出它不经过第三象限
∴∆=b 2-4ac >0
故选A 评析：由数的特征a0，决定了抛物线的开口方向及与y 轴交点的坐标，从而为画抛物线的示意图作好准备，又由抛物线与x 轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数→形→数的数形结合思想。
例4. 已知：矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，若A 点与原点重合，AB 边与x 轴重合，
求矩形ABCD 四个顶点的坐标。 分析：题目中只说A 点与原点重合，AB 边与x 轴重合，而没有指明它位于第几象限，因此应画出图象，分别加以考虑。 解：若矩形ABCD 在第一象限（如图），则它的顶点的坐标分别为： A （0，0），B （4，0），C （4，3），D （0，3）
如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想
去思考，通过图象比较直观地求出a 的取值范围。
解：将方程ax 2-2x +1=0（a >0）化为
x 2-
21
x +=0（a >0） a a
设y =x 2-
21
x +（a >0） a a
画出它的示意图，可以看出：
当x =1时，y0。
当x ＝2时，y =k -6
（1）当k -1>0时，抛物线的开口向上，画出它的示意图（如图1） 由图象看出：
⎧k -1>0
⎨
k -6
解得1
图1
分析：由图象看出：使反比例的函数的值小于一次函数的值的x ，抛物线的一部分应在
直线下方，所以x
解：当x
例5. 如图是三个反比例函数y =
k 1k k
由此观察得到
、y =2、y =3在x 轴上方的图象，
x x x
又y =
3的图象在y =2的上方 x x
∴k 3>k 2 ∴k 3>k 2>k 1 故选C
评析：借助于图象的位置比较k 1、k 2、k 3的大小直观、简明。
例6. 已知：a0，且|a |>|c |>|b |
化简：(b +c ) 2+|a -c |+a 2-2ab +b 2
分析：由于题目中a 、b 、c 之间的关系比较复杂，讨论起来将要分很多情况。如果我们把a 、b 、c 所代表的点表示在数轴上，那么三个非负数化简将变得比较简单。
2. 二次函数y =x 2-2x -3与x 轴两交点之间的距离是__________。
3. 图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系中不正确的是（ ） A. h＝m B. k＝n C. k>n D. k>0，h>0
6. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A. abc>0
B. b 2-4ac >0
C. 2a +b >0
D. 4a -2b +c
x
【综合测试答案】
1. B 解：对于A ，正确；对于B ，不正确；对于C ，正确；对于D ，正确。 故选B 。 2. 4
解：画出y =x 2-2x -3的图象的示意图，
∴y 1-y 2>0 故应选A
5. C
解：由于超过4立方米收费增加为4.5元/m3，共计6.5元/m3，因此增加的幅度大，故选C 。
6. D 解：对于A ，∵图象开口向上，∴a>0；
当x ＝0时，y0，∴b 0正确 2a 对于B ，∵图象与x 轴有两个交点 ∴ax 2+bx +c =0有两个不等实根 ∴∆=b 2-4ac >0，正确；
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