[圆锥曲线]测试题

《圆锥曲线》测试题

（考试时间：90分钟 满分分值：120分） 班级_______________ 姓名_______________ 学号_____

一、选择题（5分×10＝50分）

1、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F3,0，离心率等于

3

，则双曲线C的方程是 2

·····································································································（ ）

x2y2x2y2x22x22

1 （C）1 （D

）（A

）1 （B）1

452542x2y22、已知双曲线C：221（a0，b

0C的渐近线方

ab程为·······························································································（ ） （A）y

111

x （B）yx （C）yx （D）yx 432

2

y2

3、抛物线y24x的焦点到双曲线x··················（ ） 1的渐近线的距离是 ·

3

（A）

1 （B

） （C）1 （D

22

x2y2y2x2

21与C2:221的 4、已知0，则双曲线C1:22

4cossinsinsintan



·····································································································（ ） （A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）焦距相等 （D）离心率相等 5、已知抛物线C：y8x与点M2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两

2



MB0，则k ·点，若MA·····························································（ ）

1（A） （B

（C

（D）2

2x2

y21与双曲线C2的公共 6、如图，F1,F2是椭圆C1:4

焦点，A,B分别是C1，C

2边形AF·················································（ ） 1BF2为矩形，则C2的离心率是 （A （B （C）

1

3 （D2

x2y2

7、已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别

ab

交于A，B两点。若双曲线的离心率为2，△AOB

p ·····（ ） （A）1 （B）

3

（C）2 （D）3 2

8

、过点引直线l

与曲线yA，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ·····················································（ ） （A

（B

（C

） （D

）x2y2

1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上，且直线PA2的斜率的取值9、椭圆C：

43

范围是2,1，那么直线PA1斜率的取值范围是 ···································（ ） （A） （B） （C），1 （D），1 24842410、已知圆C1:(x2)2(y3)21，圆C2:(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2

上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为 ························（ ） （A

）4 （B

1 （C

）6 （D

1333

1

3

二、填空题（5分×4＝20分）

x2y2

1的两条渐近线的方程为_________________。 11、双曲线

169

x2y2

1相交于A,B两点，若12、抛物线x2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线33

2

ABF为等边三角形，则p__________。

x2y2

13、F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF2

ab

6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_____________。

x2y2

14、椭圆:221(ab0)的左.右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，若直

线

ab

yxc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等

于__________。

2

三、解答题（共4大题，计50分）

15、（12分）讨论直线l:ykx1与双曲线c:x2y21的公共点的个数。

16、（12分）如图，直线y

11

x5抛物线yx24交于AB两点，线段ABx的垂直平分28

线与直线y5交于点Q，则 （1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值。

x

3

17、（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F， 0)、F2(1， 0)，短轴的两个端点分别为1(1

B1、 B2，则

C的方程； （1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点，且F1PFQ1，

求直线l的方程。

4

31x2y2

18、（14分）如图，椭圆C2+2=1(a>b>0)经过点P(1,)，离心率e=，直线l的方程

22ab

为x=4，则

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记

PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3。问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在求

的值；若不存在，说明理由。

5

【参考答案】 一、选择题 1、【答案】B 2、【答案】C 3、【答案】B 4、【答案】D 5、【答案】D 6、【答案】D 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】B 10、【答案】A

二、填空题 11、【答案】y3

4

x 12、【答案】6 13、

14、

1

三、解答题（共4大题，计50分） 15、提示：△ 16、

【答案】[解](1)设椭圆C的方程为x2y2

17、a2b

21(ab0). 根据题意知

a2b

a2b2

1

, 解得a2



43,b213

故椭圆C的方程为x2y2

1. 33

(2)容易求得椭圆C的方程为x2

2

y21.

6

当直线l的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1).

yk(x1)2222由x2 得(2k1)x4kx2(k1)0. 2

y12

设P(x1， y1)， Q(x2， y2),则

4k22(k21)x1x22， x1x2， F1P(x11， y1)， FQ(x21， y2) 12

2k12k1因为F0,即 1PFQ1,所以F1PFQ1

(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21

7k2120, 2k1

解得k

2

1,

即k. 77

故直线l

的方程为x1

0或x10.

18、【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,依题设知a2c,则b3c ② ②代入①解得c21,a24,b23.

2

2

3

2191 ① 22a4b

x2y2

1. 故椭圆C的方程为43

(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为yk(x1) ③

代入椭圆方程3x4y12并整理,得(4k3)x8kx4(k3)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

2

2

2

2

2

2

8k24(k23)

x1x22,x1x2 ④

4k34k23

在方程③中令x4得,M的坐标为(4,3k).

7

y31

从而k1y3k

3

x,k223,k3k1. 11x21412

注意到A,F,B共线,则有kky12AFkBF,即有

x1y

xk. 121

y33

1

所以ky2y11k2

xy23(11) 11x21x11x212x11x22

2k3

x1x222

x(x ⑤ 1x21x2)1

8k2

2④代入⑤得k31k22k224(k23)8k22k1, 4k234k2

3

1又k1

3k

2

,所以k1k22k3.故存在常数2符合题意. 方法二:设B(x0,y0)(x01),则直线FB的方程为:yy0

x(x1), 01

令x4,求得M(4,

3y0

x1

), 0从而直线PM的斜率为k2y0x01

3

2(x,

01)

yy0联立x0

1(x1) ,得A(5x08,3y0),

x2y24

2x052x0531则直线PA的斜率为:k2y02x0512(x,直线PB的斜率为:k2y03

2, 01)2(x01)

所以k2y02x052y032y0x01k2

2(xx12k3,

01)2(01)x01

故存在常数2符合题意

8

《圆锥曲线》测试题

（考试时间：90分钟 满分分值：120分） 班级_______________ 姓名_______________ 学号_____

一、选择题（5分×10＝50分）

1、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F3,0，离心率等于

3

，则双曲线C的方程是 2

·····································································································（ ）

x2y2x2y2x22x22

1 （C）1 （D

）（A

）1 （B）1

452542x2y22、已知双曲线C：221（a0，b

0C的渐近线方

ab程为·······························································································（ ） （A）y

111

x （B）yx （C）yx （D）yx 432

2

y2

3、抛物线y24x的焦点到双曲线x··················（ ） 1的渐近线的距离是 ·

3

（A）

1 （B

） （C）1 （D

22

x2y2y2x2

21与C2:221的 4、已知0，则双曲线C1:22

4cossinsinsintan



·····································································································（ ） （A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）焦距相等 （D）离心率相等 5、已知抛物线C：y8x与点M2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两

2



MB0，则k ·点，若MA·····························································（ ）

1（A） （B

（C

（D）2

2x2

y21与双曲线C2的公共 6、如图，F1,F2是椭圆C1:4

焦点，A,B分别是C1，C

2边形AF·················································（ ） 1BF2为矩形，则C2的离心率是 （A （B （C）

1

3 （D2

x2y2

7、已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别

ab

交于A，B两点。若双曲线的离心率为2，△AOB

p ·····（ ） （A）1 （B）

3

（C）2 （D）3 2

8

、过点引直线l

与曲线yA，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ·····················································（ ） （A

（B

（C

） （D

）x2y2

1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上，且直线PA2的斜率的取值9、椭圆C：

43

范围是2,1，那么直线PA1斜率的取值范围是 ···································（ ） （A） （B） （C），1 （D），1 24842410、已知圆C1:(x2)2(y3)21，圆C2:(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2

上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为 ························（ ） （A

）4 （B

1 （C

）6 （D

1333

1

3

二、填空题（5分×4＝20分）

x2y2

1的两条渐近线的方程为_________________。 11、双曲线

169

x2y2

1相交于A,B两点，若12、抛物线x2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线33

2

ABF为等边三角形，则p__________。

x2y2

13、F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF2

ab

6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_____________。

x2y2

14、椭圆:221(ab0)的左.右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，若直

线

ab

yxc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等

于__________。

2

三、解答题（共4大题，计50分）

15、（12分）讨论直线l:ykx1与双曲线c:x2y21的公共点的个数。

16、（12分）如图，直线y

11

x5抛物线yx24交于AB两点，线段ABx的垂直平分28

线与直线y5交于点Q，则 （1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值。

x

3

17、（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F， 0)、F2(1， 0)，短轴的两个端点分别为1(1

B1、 B2，则

C的方程； （1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点，且F1PFQ1，

求直线l的方程。

4

31x2y2

18、（14分）如图，椭圆C2+2=1(a>b>0)经过点P(1,)，离心率e=，直线l的方程

22ab

为x=4，则

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记

PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3。问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在求

的值；若不存在，说明理由。

5

【参考答案】 一、选择题 1、【答案】B 2、【答案】C 3、【答案】B 4、【答案】D 5、【答案】D 6、【答案】D 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】B 10、【答案】A

二、填空题 11、【答案】y3

4

x 12、【答案】6 13、

14、

1

三、解答题（共4大题，计50分） 15、提示：△ 16、

【答案】[解](1)设椭圆C的方程为x2y2

17、a2b

21(ab0). 根据题意知

a2b

a2b2

1

, 解得a2



43,b213

故椭圆C的方程为x2y2

1. 33

(2)容易求得椭圆C的方程为x2

2

y21.

6

当直线l的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1).

yk(x1)2222由x2 得(2k1)x4kx2(k1)0. 2

y12

设P(x1， y1)， Q(x2， y2),则

4k22(k21)x1x22， x1x2， F1P(x11， y1)， FQ(x21， y2) 12

2k12k1因为F0,即 1PFQ1,所以F1PFQ1

(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21

7k2120, 2k1

解得k

2

1,

即k. 77

故直线l

的方程为x1

0或x10.

18、【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,依题设知a2c,则b3c ② ②代入①解得c21,a24,b23.

2

2

3

2191 ① 22a4b

x2y2

1. 故椭圆C的方程为43

(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为yk(x1) ③

代入椭圆方程3x4y12并整理,得(4k3)x8kx4(k3)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

2

2

2

2

2

2

8k24(k23)

x1x22,x1x2 ④

4k34k23

在方程③中令x4得,M的坐标为(4,3k).

7

y31

从而k1y3k

3

x,k223,k3k1. 11x21412

注意到A,F,B共线,则有kky12AFkBF,即有

x1y

xk. 121

y33

1

所以ky2y11k2

xy23(11) 11x21x11x212x11x22

2k3

x1x222

x(x ⑤ 1x21x2)1

8k2

2④代入⑤得k31k22k224(k23)8k22k1, 4k234k2

3

1又k1

3k

2

,所以k1k22k3.故存在常数2符合题意. 方法二:设B(x0,y0)(x01),则直线FB的方程为:yy0

x(x1), 01

令x4,求得M(4,

3y0

x1

), 0从而直线PM的斜率为k2y0x01

3

2(x,

01)

yy0联立x0

1(x1) ,得A(5x08,3y0),

x2y24

2x052x0531则直线PA的斜率为:k2y02x0512(x,直线PB的斜率为:k2y03

2, 01)2(x01)

所以k2y02x052y032y0x01k2

2(xx12k3,

01)2(01)x01

故存在常数2符合题意

8