浅谈用高斯定理求解电场问题[1]

浅谈用高斯定理求解电场问题

摘要：本文主要介绍了电场强度，高斯定理，应用高斯定理求解电场问题以及步骤，注意

事项。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。对应用高斯定理求解电场问题作了总结归纳。高斯定理是电磁学的一条重要定理，这里对高斯定理作了比较详细的介绍，并提供了数学法、直接证明法等方法证明高斯定理，以及介绍高斯定理的应用和使用高斯定理应注意的问题，从中可以发现高斯定理在解决电场和磁场学中的方便之处。

关键词：电场强度；高斯定理；证明；方法；应用；步骤 正文：1．1.电场强度

放入电场中某点的电荷所受的电场力F 跟它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度，



是描写电场强弱的物理量。用E 来表示，定义式为：E=F/q ，单位(N/C)牛/库伦，付/

米(V/m)。 1.2 电场强度的物理意义

(1) 电场强度是从力的角度来反映电场本身性质的物理量。(2) 定义式即电场内容某点的电场强度在数值上等于单位电荷在该点受到的电场力。(3)电场强度E 的大小，方向是由电场本身决定的，是客观存在的，与放不放检验电荷，以及放入检验电荷的正负，电量的多少均无关，既不能认为E 与成正比，也不能认为E 与q 成反比。检验电荷q 充当《测量工具》的作用。电场强度的大小，关系到电工设备中各处绝缘材料的承受能力、导电材料中出现的电流密度、端钮上的电压，以及是否产生电晕、闪络现象等问题，是设计中需考虑的重要物理量之一。电场中某点的场强方向规定为放在该点的正电荷受到的静电力方向。

1.3电场强度叠加原理

电场强度遵从场强叠加原理，即空间总的场强等于各电场单独存在时场强的矢量和，即场强叠加原理是实验规律，它表明各个电场都在独立地起作用，并不因存在其他电场而有所影响。以上叙述既适用于静电场也适用于有旋电场或由两者构成的普遍电场。电场强度的叠加遵循矢量合成的平行四边形定则。试探电荷q0在点电荷q1q2qn所共同激发的电场所受的力为













FF1F2Fn

FFFF

12nq0q1q2q0



E总E1E2En (2-1)

2高斯定理的阐述和意义 2.1高斯定理

高斯定理是静电场的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在闭曲面内的总点量之间的关系。电场强度E 在任意面积上的面积分称为电场强度对该面积的通量，根据库伦定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，这就是高斯定理。高斯定理给出了穿过任意闭合曲面的通量与场源电荷之间在量值上的关系。这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。 2.2高斯定理的表述

高斯定理是关于静电场中通过任一闭合曲面的电通量与这个曲面中所包含的电荷之间的定量关系。 物理上静电场的高斯定理： 在一半径r的球面S包围一位于球心的点电





Q荷Q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等，都是E2。

40rQ2

通过这个球面S的电通量为 eE.dSEdS4.rE从此例中可以看出，

若将球面S变为任意通过球面S的电通量只与其中的电量Q有关，与高斯面的半径r无关。闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为Q



Q

负电荷-Q，则E的方向处处与面元dS取向相反，可计算出穿过S面的电通量为

se

0

.若闭合面S内是

0。

若电荷Q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零。 如果闭合面S内有若干个电荷通量为

nn1

eEdsEidsEIds

s

si1

i1

s

Q1Q2Q3

,,Qn;由场强叠加原理可知，通过S面的电

0

Q (3-2)

i

i1

n

上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的0 分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为

e

d

S

1

0



V

dq

(3-3)

3应用高斯定理求解电场问题的步骤 3.1高斯定理的应用

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的

带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时， 应注意：（1）首先利用电荷的对称分布确定电力线形状；（2）所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；（3）当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强E的大小应处处相等，这样E可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。

3.2高斯定理在电场中的一般应用步骤

(1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场



q；(4) 分析高斯面内的电荷量q；(5) 应用高斯定理求在高斯面内的垂直面积S

解:e

Eds

s

(s内)



生的场。但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱。 利用高斯定理求场强的一般步骤：1、进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）。2、根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②

0

我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产



n穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量与E平行或垂直，



n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面。3、计算电通量EdS和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某

些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。 4高斯定理的应用举例

例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为。

（图5-1无布)

解：（利用高斯定理求解） 带电称性，考虑离直线距离为R的一所示）。由于空间各向同性而带电，所以电场分布具有轴对称

直线的电场分布应具有轴对点P处的场强E（如图（1）电直线为无限长，且均匀带性，因而P点的电场方向唯限长均匀带电直线的电场分

一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和P

点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的唱腔大小也都相等，而且方向都沿径向。作一个通过P点，以带电直线为轴，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为

dddd

e

S1

S

St

Sb

(5-1)

在S面的上、下底面（St和Sb）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于零。而在侧面（S1）上各点E的方向与各该点的法线方向相同，所以有

ddEdSEdSE2Rl

S

S1

S1

S1

此封闭面内包围的电荷

q

int

l。由高斯定理得E2Rll/0由此得

E(5-2)

20R

利用高斯定理计算场强分布要简便得多。 5总结：应用高斯定理解题的步骤：

由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可见，当条件允许时，

（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积。面上或



某部分曲面上各点的场强大小相等且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的E方向一致

EE或垂直或是成恒定角度，以便于计算。（3）应用高斯定理求解出的大小。（4）说明的方向。不论电荷或者电场分布是否具有对称性，只要定理求解。不要被电荷或者电场对称性所迷惑。

根据上述分析可知，对于电场和磁场的重要的基本定理之一的高斯定理，我们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电场和磁场学中，当条件允许时，利用高斯定理可以很方便的解决相关的问题。



EdS可以积分，就可以利用高斯

浅谈用高斯定理求解电场问题

摘要：本文主要介绍了电场强度，高斯定理，应用高斯定理求解电场问题以及步骤，注意

事项。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。对应用高斯定理求解电场问题作了总结归纳。高斯定理是电磁学的一条重要定理，这里对高斯定理作了比较详细的介绍，并提供了数学法、直接证明法等方法证明高斯定理，以及介绍高斯定理的应用和使用高斯定理应注意的问题，从中可以发现高斯定理在解决电场和磁场学中的方便之处。

关键词：电场强度；高斯定理；证明；方法；应用；步骤 正文：1．1.电场强度

放入电场中某点的电荷所受的电场力F 跟它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度，



是描写电场强弱的物理量。用E 来表示，定义式为：E=F/q ，单位(N/C)牛/库伦，付/

米(V/m)。 1.2 电场强度的物理意义

(1) 电场强度是从力的角度来反映电场本身性质的物理量。(2) 定义式即电场内容某点的电场强度在数值上等于单位电荷在该点受到的电场力。(3)电场强度E 的大小，方向是由电场本身决定的，是客观存在的，与放不放检验电荷，以及放入检验电荷的正负，电量的多少均无关，既不能认为E 与成正比，也不能认为E 与q 成反比。检验电荷q 充当《测量工具》的作用。电场强度的大小，关系到电工设备中各处绝缘材料的承受能力、导电材料中出现的电流密度、端钮上的电压，以及是否产生电晕、闪络现象等问题，是设计中需考虑的重要物理量之一。电场中某点的场强方向规定为放在该点的正电荷受到的静电力方向。

1.3电场强度叠加原理

电场强度遵从场强叠加原理，即空间总的场强等于各电场单独存在时场强的矢量和，即场强叠加原理是实验规律，它表明各个电场都在独立地起作用，并不因存在其他电场而有所影响。以上叙述既适用于静电场也适用于有旋电场或由两者构成的普遍电场。电场强度的叠加遵循矢量合成的平行四边形定则。试探电荷q0在点电荷q1q2qn所共同激发的电场所受的力为













FF1F2Fn

FFFF

12nq0q1q2q0



E总E1E2En (2-1)

2高斯定理的阐述和意义 2.1高斯定理

高斯定理是静电场的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在闭曲面内的总点量之间的关系。电场强度E 在任意面积上的面积分称为电场强度对该面积的通量，根据库伦定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，这就是高斯定理。高斯定理给出了穿过任意闭合曲面的通量与场源电荷之间在量值上的关系。这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。 2.2高斯定理的表述

高斯定理是关于静电场中通过任一闭合曲面的电通量与这个曲面中所包含的电荷之间的定量关系。 物理上静电场的高斯定理： 在一半径r的球面S包围一位于球心的点电





Q荷Q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等，都是E2。

40rQ2

通过这个球面S的电通量为 eE.dSEdS4.rE从此例中可以看出，

若将球面S变为任意通过球面S的电通量只与其中的电量Q有关，与高斯面的半径r无关。闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为Q



Q

负电荷-Q，则E的方向处处与面元dS取向相反，可计算出穿过S面的电通量为

se

0

.若闭合面S内是

0。

若电荷Q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零。 如果闭合面S内有若干个电荷通量为

nn1

eEdsEidsEIds

s

si1

i1

s

Q1Q2Q3

,,Qn;由场强叠加原理可知，通过S面的电

0

Q (3-2)

i

i1

n

上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的0 分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为

e

d

S

1

0



V

dq

(3-3)

3应用高斯定理求解电场问题的步骤 3.1高斯定理的应用

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的

带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时， 应注意：（1）首先利用电荷的对称分布确定电力线形状；（2）所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；（3）当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强E的大小应处处相等，这样E可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。

3.2高斯定理在电场中的一般应用步骤

(1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场



q；(4) 分析高斯面内的电荷量q；(5) 应用高斯定理求在高斯面内的垂直面积S

解:e

Eds

s

(s内)



生的场。但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱。 利用高斯定理求场强的一般步骤：1、进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）。2、根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②

0

我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产



n穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量与E平行或垂直，



n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面。3、计算电通量EdS和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某

些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。 4高斯定理的应用举例

例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为。

（图5-1无布)

解：（利用高斯定理求解） 带电称性，考虑离直线距离为R的一所示）。由于空间各向同性而带电，所以电场分布具有轴对称

直线的电场分布应具有轴对点P处的场强E（如图（1）电直线为无限长，且均匀带性，因而P点的电场方向唯限长均匀带电直线的电场分

一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和P

点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的唱腔大小也都相等，而且方向都沿径向。作一个通过P点，以带电直线为轴，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为

dddd

e

S1

S

St

Sb

(5-1)

在S面的上、下底面（St和Sb）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于零。而在侧面（S1）上各点E的方向与各该点的法线方向相同，所以有

ddEdSEdSE2Rl

S

S1

S1

S1

此封闭面内包围的电荷

q

int

l。由高斯定理得E2Rll/0由此得

E(5-2)

20R

利用高斯定理计算场强分布要简便得多。 5总结：应用高斯定理解题的步骤：

由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可见，当条件允许时，

（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积。面上或



某部分曲面上各点的场强大小相等且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的E方向一致

EE或垂直或是成恒定角度，以便于计算。（3）应用高斯定理求解出的大小。（4）说明的方向。不论电荷或者电场分布是否具有对称性，只要定理求解。不要被电荷或者电场对称性所迷惑。

根据上述分析可知，对于电场和磁场的重要的基本定理之一的高斯定理，我们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电场和磁场学中，当条件允许时，利用高斯定理可以很方便的解决相关的问题。



EdS可以积分，就可以利用高斯