【傅渥成的回答(41票)】:
同意@罗心澄 的专业的回答。
我来画蛇添足一下，因为在其他的回答里，我还看到了一些不恰当的例子，这些例子不适合用于在类似的讨论中举例，事实上，部分回答者自以为存在的一些逻辑上的困难其实在专业人士的眼中并不存在困难。因此我觉得有必要更严格地界定哪些问题存在题主所说的「堆垛悖论」，哪些不是。如果出现了这样的「堆垛悖论」，科学家会想着用哪些方法去解决这些困难。
我从@罗心澄 所说的三种大类中前两种情况出发，具体地谈一下有哪些可操作的方案来解决这一困难。
其一，很多问题本身其实就有更精确的标准划界，甚至有的问题，即使每一步只让系统产生小的变化，系统也可能在某一个确定的点发生性质上的突变。
我想先举一个几何相变的实例（Percolation theory），来说明有的改变虽然是一个、一个逐步发生，但是转变却就是在一瞬间，那个瞬间是可以被精确捕捉到的，没有定义上的模糊性。现实生活中的许多「突变」其实更接近这样的情况，而不存在从 N 推导到 N+1 时的那种上逻辑的困难。
这种渗流转变的瞬间是可以被精确找到的。如上图，想象在一块很大的无限延伸「田」字格上，有水可以从一侧流到另外一侧。现在不断随机剪断（堵塞）其中的一些边，那么当剪断（堵塞）的边达到一定的比例（该比例显然大于 0）的时候，那么水就会无法成功的流到另外一侧，这个定义也是清楚的，而转变就是突然发生的，并不是每减小一条边流都会减小；也不是直到全图没有任何一条能够让水流通的边了，流才减小到 0。虽然看起来每一次都是堵塞掉一条边，但是转变就是会在某个值处发生。这个堵塞的比例是可以精确求解的，而两种不同的状态也是可以精确定义的。这一类的问题都不完全存在「堆垛悖论」。
除了几何相变之外，我们还可以考虑相变的过程，即讨论从一个物相过渡到另外一个物相的转变过程，例如冰融化为液态水，液态水的蒸发。这些过程都是相变的问题。
保罗·埃伦费斯特的相变分类中，有一类「一级相变」，在一级相变中，我们看到的曲线是如下图中第二幅所示的，这种转变突然发生，曲线并不连续，因此分辨这两个相并不存在多大的困难。伴随着一级相变，往往还有体积的变化和热量（相变潜热）的吸收或释放。
（图片来自于：（图片来自于：Phase diagrams describing the change in magnetization (M) as a function of temperature (T). : Magnetocaloric materials: Strained relations : Nature Materials : Nature Publishing Group）：
当然，如果不是一级相变而是二级相变，情况就会复杂一点，例如上图中的第一幅，渗流转变的曲线也与此类似。而在识别两个「相」的时候，并非总是那么简单。如果不是对物理背景比较清楚，也会有人认为上图左图中转变点并非是 Tc，而是在 M = 0.5M* 的时候取得，因此在举例子的时候，有的人一来就会举相变的例子，特别是连续相变（二级或者更高级）的例子。
可是，现实世界里的相变在描述相变的过程的时候，相的划分并不存在定义上的困难，这是因为 Landau 的贡献。Landau 用对称的程度（序参量）作为一个相的代表，例如一块冰有着固定的晶体结构，在一定的对称操作下，晶体可以保持不变；而液态的水就更加无序，因而会更加的对称，一杯水怎么旋转依然对称，冰块就不能在这么多的对称操作下保持不变。用「对称性」（从数学的角度则是不同的群元）作为标准，因此相的转变在很多情况下都变得很清晰。即使在液气相变时，两个物相都是无序的，看起来这个转变没有了对称性的改变，但是仔细分析，这个转变存在着「遍历性破缺」，因此依然可以选出相应的序参量来刻画这一转变。
至于怎样找到一个好的描述转变的量，则是接下来要讨论的问题。
顺便提一句，在@罗心澄 的回答中所说的「群体判断方案」，事实上就是统计物理中的系综（Statistical ensemble）理论。
其二，更好的分类标准的选择。
在@罗心澄 的回答中，有这样一段话：
考虑到仪器必然会有精度限制，精确语言方案实际上是无法实行的：由于我们不可能找到没有误差的仪器，所以我们永远不能根据数值判断一个数值在边界上的对象到底属于哪一边，并且我们不能简单地接受这个对象属于某一边……
这个说法是有道理的，但是仔细再想想，总觉得还不能满足。在我们现实中存在太多的分类问题并不是总是一维的，即使是「秃子」这样的概念，我们面对一个光头的小孩，我们也只会称呼他为「小光头」，而不会也认为他是「秃子」，因此一个分类问题很可能是有多个维度的。一旦出现多维度，则标准会难以确定，例如生物上「物种」的划分，就有 27 种不同的定义（据维基百科）。虽然精确的语言方案无法实现，但是我们总是希望让这个问题变成一个可以用逻辑处理的问题，即变成如@罗心澄 的回答中所说到的那样的最基本的情况。因此需要从一大堆可能不那么好的标准里面选择出最好的那一种（或者少量的几种）来。
首先，我们预先假定所有的判断标准在处理极端的两个态的时候不太会出错，只是在过渡的状态上会出现问题。例如，假设分类器总能大体认出来精确的红色和黄色，只是在从红色转变到黄色的道路上，有些不确定之处。以光的颜色为例，基本上可以认为只有波长发生了改变，这个转变就是一维的。但是还有更复杂的例子，在一个男人变成女人的过程中，可能有许多东西都发生了改变。例如，我们要分类男性和女性，一种分类方案主张用长胡子的多少来分，一种用胸围的大小来分，还有的用性器官的种类来分。自然，我们很容易可以举出例子来，这三种分类都有不恰当的地方，但是似乎这三种分类还是可以分出一个好坏来。那么怎样解决这个方案呢？在一个转变的过程中，虽然我们知道精确的方案是不可能的，但是在可能的条件下，在这转变的道路上，怎样找到最好的那个变量，用来解决这个问题呢？
这里介绍我最近看到的一个很简单、但是又很有意思的方法。为了帮助理解，我这里只简单粗暴地用一个例子进行说明，这个例子有很多很多的不妥之处，因为在例子中的分类标准都有非常明显的错误，可这个例子很夸张，可能会让人有些印象，所以我暂时保留在这里，如果我想到更好的再作些更改，而且我总觉得这个例子我还有许多言犹未尽之处。
在男人和女人之间，可能存在一些过渡的状态，就像在红色和黄色之间存在橙色那样。我们希望选取的变量在取到两种极端状态的值的中间值的时候，能够尽可能多的对应那些过渡状态。例如，我们如果用胡子的多少作为男性和女性的分类，这时候我们就应该选取「胡子不太多、也不太少」的人来进行检查，我们发现这其中可能有体内雄性激素水平较高的女性、也可能有还没有发育的男性，甚至还可能有刚刚刮过胡子的男性……因此，这时候我们抽取到男性跟女性之间的过渡状态的人的概率是很低的，因此这个分类的方案不那么恰当。同样也很不恰当的还有胸围，但是胸围跟胡子这两个变量哪个更好呢，怎样进行比较，有兴趣的朋友可以考虑一下怎样把这个问题转变为数学语言。而换成性器官，则完全不同，当发现一个既有男性器官又有女性器官的人，Ta 可能是因为基因的缘故而造成了这样的「中间态情况」，例如 XXY，当发现了一个既没有男性器官又没有女性器官的人，Ta 可能是因为手术变性的缘故而形成了「中间态情况」，因此用这个标准时，可能以更高的概率抽取到那些处在中间态的个体，我们会认为这个标准相对更好一些。在寻找沙堆的分类标准时，我们也应当去寻找一些刻画沙堆的参量，帮助我们尽可能多的找到那些「像沙堆，又不算是沙堆」的情况。当然，不是所有的问题都能都能这么方便的比较「好坏」，前面提到的两个物种的划分就是一个例子。
除此之外，为了找到最优的分类标准，还有许多可以采用的方法：
在操作的层面上，最简单常用的方法就主成分分析（Principal component analysis）的方法。
对于更高维度的数据，要找到更好的分类标准，很可能会需要在 Isomap 上进行分析。
除此之外，支持向量机 （Support vector machine）方法可以为我们提供更多种的、更加充满细节的复杂准确的分类方案。
【阮泽宇的回答(218票)】:
自问自答，纯粹是为了回答另一个问题做准备，不用专栏是因为：
专！栏！没！有！数！学！环！境！啊！哼！唧！喵！呜呜呜……QAQ
对于堆垛悖论的谷堆和秃头情况有一个常见的误解：堆垛悖论的前提是不成立的，因为，是否构成谷堆和摆放的方式有关，100000 粒谷子平摊在地上，自然不构成谷堆，但是 100001 粒谷子堆起来就构成谷堆了呀喵~ ＞▽＜
因此，这里的「构成」，并不是指一种实际上的情况，而是指所有的情况：如果，n 粒谷子在所有可能的摆放情况下都不构成谷堆，那么 n+1 粒谷子在所有可能的摆放情况下也同样不构成谷堆。
为了方便，不如作出这样的限定：在堆垛悖论中，我们总是考虑一个特定的变化过程，比如说，一根一根地拔掉某个人的头发，一粒一粒地堆出一个谷堆……这样的一个变化过程是一个确定的变化过程，假设一个人有 n 根头发，那么就有
共 n+1 个确定的状态，并且，每两个状态都是如此相似，以至于我们无法区分这两个状态。
这一类论证的通用形式如下：
对于某个充分大的
，我们有一列
，我们考虑的属性是 P，并且对于这个属性，有如下两点成立：
，并且，
。（注意到，在有穷的情况下，一个全称语句可以视作若干个无量词句的合取。）
因此，
。
但是显然，根据我们日常用语言的使用方式，
。
解决尝试及其问题
对于问题的处理，一共有三类：
否定前提/否定推理
否定翻译
接受悖论
1. 否定前提/否定推理
1.1 划界方案
第一种解决方案是直接划定界线。这种方案在法律制定中最为常用，比如说，我国法律规定盗窃公私财物「数额较大」、「数额巨大」、「数额特别巨大」的标准分别为：
价值人民币 500 元至 2000 元以上的，为「数额较大」。
价值人民币 5000 元至 2 万元以上的，为「数额巨大」。
价值人民币 3 万元至 10 万元以上的，为「数额特别巨大」。
通过这种方式，将模糊谓词「数额较大」、「数额巨大」、「数额特别巨大」变成了精确谓词。进而，使得条件句
对于某个特定的 i 不成立，比如在这里「如果一个人盗窃财物数额特别巨大，那么再少一元也是特别巨大」在当前金额为三万整的时候就不再成立。
类似的情况还出现在对于可见光的规定中：
紫色 668–789 THz 380–450 nm
靛色 631–668 THz 450–475 nm
蓝色 606–630 THz 476–495 nm
綠色 526–606 THz 495–570 nm
黃色 508–526 THz 570–590 nm
橙色 484–508 THz 590–620 nm
紅色 400–484 THz 620–750 nm
划界虽然可以解决问题，但是划界本身是随意的。以法律为例，不同国家的法律对于盗窃金额以及量刑等级的划分方式都有差异，这种差异不仅体现在具体界线的金额上，还是体现在界线的数量上。一个简单的划界并不具有说服力，而仅仅是一个出于实践的便利而采用的权宜之计。因此，我们可以进一步追问，为什么要划定这样的界线？是否存在非实践的理由驱使我们这样做？并且，由于人的认知精度有限，我们在特定情况下可能会问出这样的问题：「为什么明明 a 和 b 看不出差别，但是 a 具有 P 性质而 b 却没有？」在不回答这些问题之前，划界就不是一个好的方案，至少，不是一个完整的方案。以法律实践为例，即便我们假设法律本身是明确的，但是对于财产的价值估计在某种程度上依旧是任意的，这也就使得判决本身不可避免地带有运气的成分。以可见光为例，假设 100 次测量中，被测量单色光的波长有 49 次落在 590nm 以下，49 次落在 590nm 以上，2 次恰好为 590 nm，那么这束光是什么颜色的？而为什么，我们肉眼明明不能分别波长为 590.1nm 和 589.9nm 的光，但是它们却是不同颜色的？
当然，还有人以另外一个理由主张划界本身是困难的。考虑堆垛和秃头悖论，沙子和头发的排列方式会产生影响：再多的沙子，如果是均匀地铺成薄薄的一层，也不能被称为沙堆；一个人的头发如果像地中海那样少了一半（或者更多），那么显然被称为秃子不足为过，但是如果均匀地少了一半，又或者，均匀地每九根只剩下一根，则大部分人或许根本看不出来，或者，仅仅是觉得稀疏了一些，而不会将其称为秃子。不过，根据前面的预设，这个理由并不能够构成一个很好的理由。因为我们考虑的是一个具体的把人的头发一根根去掉的具体过程，期间任意一个状态
和它相邻的状态
都只相差一根头发。并且，如果认为
的情况下这个人是秃头，那么在
的情况下这个人也必定是秃头（因为多拔掉了一根头发），相对地，由于认知不可分辨的假设，我们会认为，如果在
的情况下这个人不是秃头，那么在
的情况下这个人也不是秃头。同理，对于沙堆，我们可以考虑按照某个不使得沙堆倒塌的特定顺序依次拿掉沙子的情况。
因此，对于划界方案的唯一有力反驳还是界线本身的合理性。
1.2 认识论方案
认识论方案是一个耐人寻味的方案。它是对划界方案的改进，认识论方案认为，虽然存在一条界线，但这条界线并不是人为划定的，并且，由于认知能力的限制，我们没有办法知道这条界线在哪里。因此，仅仅是我们自己以为「对于任意的
」都是如此，但是实际上存在某个特定的 j，使得
和
有本质区别。
对于认识论方案有两种不同的理解：
对象的性质在某个地方发生了本体论意义上根本性的转变，但是由于认知精度的限制，我们无法认识到这种区别。
并不是每个增加一点点或者减少一点点的过程都是不可察觉的，存在这样的较为明显的分界点，但是由于可能的情况种类数目太多，我们无法逐一设想出每一种情况，进而即便有小的跳跃或者是突变，我们也无法察觉。
第一种情况似乎是常见的情况。至少对于光线来说，人由于自身的视觉精度限制，无法区分两种波长过于靠近的光。因此，认识不到界线似乎有可能就是因为人类自身能力识别精度不足导致的。当我们将大多数具体的论证列出来的时候似乎也是如此：
由于我们没有办法分辨多一粒沙和少一粒沙的沙堆，所以我们认为它们要么都是沙堆，要么都不是。
由于我们没有办法分辨多一根头发和少一根头发的人，所以我们认为他们要么都是秃子，要么都不是。
由于我们没有办法分辨两个身高相差1nm 的人，所以我们认为他们具有完全相同的身高。
但是，以上论证都是基于同一个理由：如果 a 和 b 在我们所要考察的方面相似，那么如果 a 具有我们所要考察的性质 P，那么 b 也具有性质 P。
事实上这种替换的问题在于将相似（认知不可分辨）以某种方式和同一性等同起来，但是，相似性虽然具有自反性和对称性，却没有传递性。因此，认知不可分辨不能作为事实上对应性质完全相同的理由，进而，如果仅仅是以相似性作为理由，那么对于任意的 i，我们都推不出
。
然而，采用第一种观点的前提是承认本体论意义上的边界是存在并且明确的。但是，如果我们考虑到实际上这些概念是人脑创造出来的概念，那么我们就很难将这些概念的本体论层面和认识论层面区分开来。进而，上面支持认识论方案的理由就会变成反对认识论方案的理由：我们使用「红」、「大」、「秃顶」、「高」这些词汇的时候，本来就是在模糊的意义上使用的，换而言之，这种模糊是本体论意义上的，而不仅仅是认识论意义上的。
同时，我们似乎还会面临另一个问题，就是我们的词语同时有两个方面，一方面是一个二分性的「是」或者「不是」。而另一方面，我们的词语内部还有程度的区别，即「富有」可以分为「小康」，「富裕」，「富豪」，「富可敌国」不同的等级。这种困难就像是「不是论证的语句」和「坏的论证」之间的关系那样，在某种程度上是纠缠不清的。
当然，这种论证方式对于另一些概念是不成立的，比如说我们可以具体指出一个人拥有多少钱，这种情况下，无论差异多么细小，比如说相差 0.01 元的情况，我们也可以分辨出一个人「拥有 1000000 元」和「拥有 1000000.01 元」是不同的。从这个意义上来说，我们可以将堆垛悖论分为两类。当然，如果我们的确用语言去叙述，而不是去看一系列的一个人变成秃头的过程，那么似乎对于秃头悖论，我们也可以非常明确地区分这个人的两个状态。从这个意义上来说，这种不协调性实际上是概念和认知之间的不协调性，或者说，概念和印象之间的不协调性。
1.3 多值逻辑方案
基于前面对于程度的考虑，产生悖论的一个可能的原因是没有区分概念内部的不同程度，这种对于程度的不敏感最终导致了一个对象逐步演变为另一个和自身相去甚远的对象，进而引起荒谬感。另一方面，以沙堆为例，或许4 粒沙子构成的正四面体构型沙堆就已经可以称为沙堆，仅仅是因为它非常小而已，所以事实上堆垛悖论本质上是关于堆垛的大小而不是关于是不是堆垛的讨论，但是如果我们能够成功地刻画堆垛的大小程度，那么悖论也就可以被解决了。
考虑多值逻辑的另一个理由是，一个群体中总有一部分对象不能被划归到两个极端中，总有一些「中等」或者说「不确定」的情况，这种情况的存在使得我们似乎既不能断定 P(a)，也不能断定 -P(a)。（在非数学环境下，命题前面的「-」表示否定）
基于后一种理由，我们可以考虑符合直观的三值逻辑，即承认一种情况，使得在这种情况下 P(a) 的值既不真也不假。而由于中间某个条件句前件为真而后件不确定或者前件不确定而后件为假，所以我们认为这个条件句的赋值也是不确定而不是真，进而，否定了前提。
类似地，多值逻辑还可以用来表示一个命题成立的「程度」，比如说，如果 X 有一百万，那么他就是百万富翁级的富有，而如果他有 1000 万，那么他就是千万富翁级的富有，进而 Rich(X) 在两种情况下取值不同。
但是，对于前面三值逻辑的运算规则，有一个非常不直观的地方，就是如果p 的取值是不确定，那么-p 的取值也是不确定，而由于逻辑的真值函项性，
的取值也只能是不确定，这样就否定了排中律。
同时，对于取有穷多个值的多值逻辑，由于取值必然是离散的，也就使得不同的程度之间有一个飞跃，也即划定了不同程度之间的界线，进而就会产生疑问：「为什么 a 和 b 那么相似，却被分入不同类别中，而 a 和 c 的差别如此大却被分入同一个类别中？」
这种质疑本质上和对于划界方案的质疑是一样的。并且，和三值逻辑中第三值「不确定」有着直观解释不同，离散的多值逻辑的运算规则会更加不直观，并且，似乎也没有办法很好地解决排中律不成立的问题。
1.4 模糊逻辑方案
多值逻辑的极致则是采取某种稠密甚至连续的取值，可以引入模糊逻辑中的模糊集和隶属度的概念。通过连续赋值，可以解决多值逻辑中离散量分类产生的不连续的飞跃。但是，模糊逻辑并不能解决排中律不成立的问题。并且，模糊逻辑的演算规则同样非常不直观。
虽然从直观上来看，模糊逻辑应该满足如下运算规则：
.
.
.
但是，如果我们假定 A 的头发严格比 B 多。(p)「A 为秃头」的真值为 0.6，(q)「B 为秃头」的真值为 0.7，那么直觉上
的真值至少应该很高。但是如果我们认为
等值于
，那么，这一句几乎必然真的句子的真值却只有0.7。（貌似这个例子不是很好，不过，如果分别是 0.45 和 0.55 的话，那么这个蕴含句的真值就只有 0.55，0.4 和 0.6 的情况下也仅有 0.6。）
个人认为，上面那个反驳本质上和排中律的问题是一样的，因为无论我们对 p、q 怎么赋值，只要V(p) > V(q)，那么V (
) 就大于 0.5。如果将这里的模糊值理解为正确的概率，那么就可以接受了。而当 V(p) 和 V(q) 的差值一定的时候，它们的取值越是倾向两边，则越
的值越大（趋近于1）。这是因为，越是趋于中间，则体现出我们的判断越不确定，进而，出错的可能性越大。但是如果我们认定了V (p) > V (q)，那么对
判断出错的可能性还是低于 0.5。但是无论如何，这种解释的说服力不够，并且，当我们考虑模糊逻辑本身的发展历程的时候，就会发现模糊逻辑本身作为解释而言常常是不好的（由于反直观地不承认排中律），它的价值大多在应用上。
1.5 群体判断方案
在前面的判断中，我们都假设这个判断是由一个人进行的，但是如果我们假定一个群体中的每个个体都有一个清晰的界线，那么我们可以通过将群体中的个体的界线综合起来，得到一个模糊函数。但是这种方案的问题在于，很多情况下对于每个个体来说，清晰的界线也是不存在的，甚至，一个一致的界线都是不存在的。因此，「让每个人做出判断”这一步甚至都可能无法完成，那么后面的“合理地将个人判断汇总起来」也就是空谈了。
这种方案想做的事情本质上和模糊逻辑方案是一致的，仅仅是为解决一个集体中个体对象的语言不能统一所采用的方法，但是这种方法并不能够解决个体的语言本身的问题。
1.6 超赋值方案
超赋值方案是在经典逻辑的基础上引入一个新的概念——超级真。
我们说一个命题是超级真的（
），如果对于任意划界下的赋值
，
，其中At 为原子命题集合，E 是一个划界集合。类似地可以定义超级假的概念：如果一个命题是超级假的，那么对于任意的赋值它都为假。而剩下的那些命题，我们说它们的真值是未定义的。
而通过将推理有效性的「保真」重新定义为「保超级真」，原来的论证是无效的，因为它不保超级真。又或者认为，这些论证的部分前提在某些划界标准下为真，而在另一些下面为假，因而是真值不定的。
从结果上来看，超赋值方案否认作为归纳步骤的前提，也即，否认
。但是，如果这句话翻译为「存在j，使得
成立而
不成立」，那么这就是认为边界存在。
但是认为边界存在就会面临前面对于划界问题的质疑。而如果要避免这种质疑，就只能认为边界不存在，也即，接受一个存在命题，但却拒绝接受这个存在命题的任何代入特例。这显然是不直观的。
1.7 反对 cut 规则
经典逻辑中实际上有一条用于将短论证组合成长论证的规则。这条规则如下：
如果
，
，那么
。
当然，对于不同强度的 cut 规则，作为中间项的可以不是一个命题，而是一个命题集合。
一个反对三值逻辑的理由是，三值逻辑加入不确定之后，没有办法很好地区分以下两个条件句：
如果 A 是秃头，那么他再多掉一根头发也是秃头。
如果 A 是秃头，那么他再多一根头发也是秃头。
但是，如果我们认为，实际上的推理模式并不是上面那样基于语句的模式，而是基于认知的模式——「由于我们无法分辨两个相邻的状态
和
，因此我们认为
」，那么，我们就并不是在通过单纯的对于对象的语言描述来进行推理：虽然我们知道「如果 A 是秃头，那么他再多掉一根头发也是秃头」，但是对于呈现在我们面前的两个状态a、a' 来说，我们根本就不知道哪个是
，哪个是
。因此，我们没有办法采用这种推理模式。（事实上，如果我们有能力分辨 a 和 a'，那么条件句是否成立就不是那么显然的了。）此外，另一个辅佐相似性可以反驳简单逻辑推理的事例是，如果我们的推理模式中包含「如果 A 是沙堆，那么 A 再多 n 颗沙子也是沙堆」的推理模式，那么我们就无法理解为什么我们会把游泳池中的一个小沙堆称为沙堆，而不把填满游泳池的沙称为沙堆了。（注意到这里后者实际上是前者的一个严格扩充，是在没有改变前者的排列方式的情况下完成的，所以不存在改变排列的问题。）于是事实上我们赖以推理的模式还是相似性而不是单纯的数量关系。
认知不可分辨不是等价关系，因此，虽然我们有
和
，但是我们未必会有
，进而，无法使用前提
来得到 c 和 a 具有相同的性质。
但是，由于我们分别能够得到结论
以及
，根据 biconsitional 算子的传递性以及组合论证的 cut 规则，我们能进一步得到
。但是这合理么？我们得到前面的结论，是因为我们处在只考虑 a 和 b 的状态中，这时，我们不能分辨他们两个。而我们得到后面的结论，则是因为我们处在只考虑 b 和 c 的情况下。但是我们的认知精度却有可能让我们分辨 a 和 c。将两个论证结合起来用到了cut 规则，而在这种情况下，使用 cut 规则是显然不合理的：我们不能将两个不同语境中的论证的结论结合起来。
考虑这个论证：波长为 440nm 的光和波长为 442nm 的光颜色相同，波长为 444nm 的光和波长为 442nm 的光颜色相同。因此，波长为 440nm 的光和波长为 444nm 的光颜色相同。但事实上我们是能够分辨这两者的。或者，将前面的谓词视为「和波长为 442nm 的光颜色相同」，这样，我们就有「A、B都和波长为 442nm 的光颜色相同」，但是「A、B颜色不同」的结论。进一步，我们或许可以得到一个新的反直觉的规则：就算 a、c 分别和 b 在是否拥有 P 性上是同一的，但是由于这是基于各自语境的，所以我们不能认为 a、c 在是否拥有 P 性上是同一的。因为后面这个命题是一个应用了跨语境的 cut 规则的论证的推论。（这个推理有如下假定：人类能分辨波长差大于 3nm 的单色光，而不能分辨波长差小于3nm 的单色光。注意到这个地方的数值并不重要，只是为了举例。）
如果我们在这里否定了 cut 规则，我们就要问，在什么情况下我们应该否定 cut 规则，或者，在什么情况下使用 cut 规则是合适的？显然，在跨语境的情况下使用 cut 规则是有风险的。而在保持语境单一的情况下（比如单一的数学语境中），使用 cut 规则就是安全的。但是进一步产生的问题是，如果我们否认日常语境中的 cut 规则，那是否意味着任何时候我们在日常生活中都不能进行长推理呢？如果不是，什么情况下日常生活中的语境是对 cut 规则安全的呢？
原本我想到了一个技术性的答案，不过我现在考虑了另一个情况，就是，凡是涉及人类认知的语句，当我们进行长推理的时候都必须慎重，因为人类的知觉是不一致的，或者说，不协调的。比如说：我们对比下午两点和下午四点时同一个对象的影子，可以发现影子长度有一个明显的变化，但是我们如果盯着影子看，会感觉到「影子是不动的」。这个时候，虽然我们可以通过实际情况来修正我们的经验，但是我们依旧无法排除「影子是不动的」这个初始的经验判断。类似的情况还包括对于大多数连续细微变化的判断。但是，我们日常语言中包含了许许多多这类描述我们直接认知经验的语句，我们不可能排除这些语句，而只可能在觉察到异样的时候，回过头反省自己得到某个悖论的过程是否引入了一种跨语境的长推理。
2 否认翻译的理想语言方案
Russell 和 Frege 会认为，产生这个悖论是因为我们的自然语言有严重的缺陷。我们需要理想语言而不是自然语言。
事实上，对于不确定陈述，除了可以认为是语句本身的真值不确定，也可以认为是需要在在两个极端之间插入第三个摹状词，比如说「不高不矮」、「不胖不瘦」、「不贫穷也不富有」、「不红不黄」……
当然，正如前面的三值逻辑那样，如果仅仅是添加谓词，只要谓词是有穷多个，那么不同的谓词之间的差别就依然存在。但是，如果我们采用连续的谓词，或者，采用一个以实数（事实上有理数就足够了）作为第二个变元的二元谓词呢？
在这种情况下，我们并不将模糊性处理为原子命题真值的取值，而将其处理为另一种形式。以光线为例，我们并不说 Red(a)，而说 Red(a,0.7)。也即，将模糊性放在谓词上而不是命题上。同时，如果
，那么
。
但是这种处理方式有一个问题：
如果我们进行划界，比如，认为
使得
，那么就会产生和划界问题完全一样的后果。而如果我们不这样处理，那么实际上我们就是彻底否定了「红」这个谓词，而将它拆分成了连续的不同程度的红。或者说，仅仅是不同名称的色块，而不能告诉我们到底哪一块是日常语言意义上的红，而哪一块不是。但是，这种拆分是有意义的，至少从 trope 理论的角度上来说是这样。
此外，考虑到仪器必然会有精度限制，精确语言方案实际上是无法实行的：由于我们不可能找到没有误差的仪器，所以我们永远不能根据数值判断一个数值在边界上的对象到底属于哪一边，并且我们不能简单地接受这个对象属于某一边，因为如果下一次它被检测出属于另一边的话，那么它就同时具有 P 和非 P 两种性质，而这显然是矛盾的。并且物理学的结果告诉我们，这种检测错误是不可避免的。这就和前面划界方案面临的问题类似。
另一种精确语言方案支持 trope 理论，对于每一个
，我们设计一个专门的谓词
来表达
的P 性。但是如果我们采用这种方案，就会和上面一样丧失原本使用 P 这个谓词所要表达的概括性的作用。然而，这种方案可以视作一种对于语言的规范性重建，并且在事实上比前面的方案更为合适。
3 从语境主义的角度上接受悖论
接受结论就是按照字面上的意思：接受悖论。但是如果我们同时接受
和
，那么我们的信念显然就是不一致的。因此，逻辑的规范性我们不应该接受悖论。而这个悖论本身的结构就保证了它在两个方向上都是成立的，因为如下两个命题是等价的：
.
.
也即，从一个方向上，我们会得到所有人都是秃头，而从另一个方向上我们会得到秃头不存在。
另一方面，以秃头悖论为例，如果我们真的考虑一个人一根头发都没有的情况，那么就不会说「如果他有一根头发不算秃头，那么就算他一根头发都没有也不算秃头」，而至少会出于情理说：「就算他有一根头发的时候不是秃头，当他一根头发都没有的时候也应该是秃头了」。
或者，考虑这样的情况：大多数情况下，我们不会把一个堆成正四面体状的四个等大球状沙粒称为沙堆，但是我们会说：「即便这种情况下四个依然构成沙堆，但是去掉一个也就无论如何都称不上堆了 」。又或者，考虑两个和一个的情况，「沙堆至少是复数个沙粒吧，两个怎么能称为沙堆呢？」虽然实际上我们不会认为两粒沙子和一粒沙子会构成沙堆，但是在特定的情况下，我们认为这构成了某种必要条件。因此，这可以视作不存在一个大边界，而仅仅存在一些特定的情况下存在一系列的小边界。因此语境主义的另一个方向是为超赋值方案提供辩护：我们有一个作为整体的边界，这个边界并不存在于任何两个对象之间，而是在不同的语境下出现在不同的位置上。
个人认为在特定语境下接受悖论是没问题的，但是一般来说并不是接受对于头尾两项的悖论，而是接受关于某个中间的项的悖论。根据语境主义解释，当我们说一个对象既可以视作 P 也可以视作非 P 的时候，是由于我们的语境不同，并且，永远都不是同时视作 P 且非 P，因此，这也并不构成矛盾——在每个将其视作 P 或者非 P 的语境中，我们都是一致的。而当我们转换语境的时候，实际上我们转换了头脑中的整套概念。就像是 Gestalt 图中，假设我们有一连串的从鸭子变成兔子的图片，那么对于正中间的那个图片，我们将其视作鸭子还是兔子，完全取决于我们是从鸭子开始看的，还是从兔子开始看的。甚至有可能，看到最后，我们会把鸭子的抽象画看成兔子，而将兔子的抽象画看成鸭子。这也不是不可能的。当然，我们不可能把实际上的兔子看成鸭子，也不可能把实际上的鸭子看成兔子。
结论
堆垛悖论不是一个悖论，而是一组悖论。在不同的情况下，导致悖论的原因是不同的，进而，解决悖论的方案也是不同的。在这里我考虑三个思路。
条件句成立的前提为两个状态的差别非常小，以至于认知不可分辨，并且假设对于所有的 i ，
。但是认知不可分辨是语境依赖的，虽然在一个小范围内的对象是认知不可分辨的，但是通过 cut 规则进行推理会导致论域扩大，进而甚至包括两个认知可分辨的对象，从而导致矛盾。因此我们应该拒绝跨语境的 cut 规则。
针对认知可分辨的情况，拒绝接受前提中对应的条件句。根据超赋值方案，我们的理解可以是：每一个条件句都是真的，但是其中有很多不是超级真的。从某种角度上来说，接受界线的存在也不是不可以的，当然更好的理解方式是认为，界线被「稀释」成了一个一个的子界线，其中作为每个子界线的命题的可接受度都不为 1。但是引入可接受度就会导致排中律失效。因此讨论必须以另一套语词进行。
考虑语境，我们可以认为处于中间位置的元素同时具有两种属性，但却并不构成矛盾。而这一种思想推广到极致就是在特定的语境下接受结论。但是认为由于结论成立的语境不同，所以不构成矛盾。从形式上来说，并不是 F(a) 和 -F(a)，而是 F(a,c) 和- F(a,c')。另一方面，也可以视作处于中间位置的元素同时具有两种属性。
【Ivony的回答(30票)】:
其实这个不是芝诺悖论，芝诺悖论的主要问题是无穷和有穷之间的不可调和的矛盾。
谷堆悖论本质上和忒修斯之船悖论是一样的，利用的是不良好定义。
例如谷堆就是一个不良好的定义，接下来我从这一点出发逐一击破这些悖论：
谷堆与有多少颗谷子没有关系，因为如果所有的谷子都平铺在地上，或者说我在地上画一个很大的棋盘格，每个格子里只能放一颗谷子，那么无论放多少谷子都不能形成谷堆。
所以我们将谷堆定义为，至少有一颗谷子是摞在其他谷子上的，而不是在地面上的，这时候我们可以轻松的得到在第放几颗谷子的时候得到了一个谷堆。
我们将秃头定义为头上没有一根头发的人，所以对于头上只有一根头发的人来说，只要他失去了这唯一的头发，就会成为秃子，否则就不是。
【WeiHu的回答(5票)】:
数理逻辑外行。提供一种思考，还请作者批评。
@罗心澄 的回答在我理解是唯实论的，就是假设了“谷堆”，“秃子”这个词语不是人们为了方便交流而制造的，而是确实有一类事物，他们完美得像典范一样，代表了谷堆，代表了秃子。我们生活中遇到了这样的典范事物，所以我们的自然语言中才出现了“谷堆”“秃子”来指代这样的典范。我觉得这也算种本质主义吧。
我们用自然语言，就是为了方便的表示自然界的事物。所以方便是第一位，精确是第二位。而“三角形”这个概念和“秃子”不是一类概念。“三角形”这个概念人构造出来的。“三角形”这个词语是形式语言，我们只会用对待形式语言的方式去使用“三角形”这个概念。我们不会去“说”：“三角形真牛b”。为何，我们以对待形式语言的方式去处理自然语言呢？
堆垛悖论我认为不算是悖论。这是一个佯谬。因为，我们拿了人工构造的形式语言去约束人类在生活中演化出的自然言语。为什么不能拿形式语言去精确化自然语言呢？莱布尼茨也想这么做。我非常也能理解维特晚期转向日常语言游戏。因为当你拿形式语言去分析自然语言的时候，你其实是在构造新的一门形式语言。只不过这个新的形式语言用的不是符合而是汉字罢了。
想像一下，如果有两种文明
1》一个是来自亚马逊丛林的“博爱族”。他们部落对秃顶有着强烈的同情心。所以，哪怕有一根头发也不算秃顶。
2》另一个文明是，来自火星的“精确族”人，他们头上只会长3根头发。于是他们的文化对秃顶有更精确词语：秃零（没头发），秃壹（只有一根），秃贰（只有两根）
想像这样的文明，秃顶悖论或堆垛悖论在他们眼里是不存在的。因为他们有关“秃顶”的使用非常接近形式语言。所以分析这个悖论的关键是不是考察“词语的严格意义”（语义），而是考察“人们到底是怎么使用词语的”（语用）。
“理论总是灰色的，只有生活的金树才能长青啊！放过自然语言吧！我想给大家念首诗！让你们感受一下存在者！”——海德格尔
【知乎用户的回答(1票)】:
其实人不是通过数量来判断的谷粒和谷堆，也就是说不可能通过数量的变化反映出这到底是谷粒还是谷堆，人在判断某一事物时不是用简单形式来判断的，还要借助周围环境与经验。
比如说沙粒与沙漠，一粒沙是沙，百万吨沙也是沙，什么时候变成一把沙子，沙堆或沙漠呢？
不是看个数，是看人的经验和环境，视觉上，当沙粒的视觉表现形态可以被以人体尺度宏观感知到是三维立体形状的时候，经验告诉人，这是沙堆。
当沙粒的视觉表现形态超过人体尺度达到一望无际时，人可能会猜测这是不是沙漠，但如果加上气候干燥，空气炎热，甚至能看到仙人掌和沙漠动物，人根据经验很快就能判断出这是一个沙漠。
判断一个事物靠的不完全是其本身的性质，还要考虑环境的影响，个人经验主体视角和所选尺度的大小来综合判断。
回到谷粒上来，如果蚂蚁有人的经验体系，蚂蚁若感知到一粒谷子，去观察它，可能和人看到石油罐的大小体积感觉差不多，那么只要一百粒，一千粒谷子堆积起来，蚂蚁可能就要认定它看到谷山了，人的判断也是如此。
再看头发，几根头发的人从宏观来看，只要在正常的人体尺度距离观察，那可以忽略不计，这个人被判断为秃头，或者预判为秃头。头发的数量不是问题，头发是如何排列的，是如何影响人去观察的，是什么视觉形态的，这是问题。
比如头发数量很多，但是分布稀疏到头皮显而易见，乍看还是容易被认为是秃头的。
再次声明，人不是完全通过事物本身的抽象结构去认识事物的，总要结合环境，经验，还有观察者选用的尺度，方法，才能判断一个模糊的概念。
事物本身没有变，都是那几个基本粒子，基本作用力。是形态的变化，观察角度的变化，经验的变化，才会有这么多彩的世界，大自然的材料根本就没有变，变的只是它组建东西的方式，还有我们走过的风景。
【大名的回答(3票)】:
谷堆是集合."谷堆"这个集合包含了无穷子元素.分别为"m粒谷子组成的东西","m+1粒谷子组成的东西"......
一粒谷子不构成谷堆实际是指"一粒谷子组成的东西"不属于"谷堆"这个集合.
如果 n 粒谷子不构成谷堆是指"n粒谷子组成的东西"不属于"谷堆"这个集合.
但是这推导不出来"n+1粒谷子组成的东西"一定也不属于"谷堆"这个集合.
【魏雪平的回答(1票)】:
我想因为在这悖论中，根本就不存在谷堆概念，只存在非谷堆概念。n粒谷子不是谷堆，n是一个没有范围的数，即n可以为任意数，令n=n+1，当然也没有谷堆。
【袁子才的回答(1票)】:
这个问题的本质是谷粒和谷堆的界限不分，两者的概念之间有很巨大的空间。
【胭之小茉的回答(1票)】:
真不好玩，我用题主的主问题来证明一下哦~~
反堆垛悖论：如果我们承认以下两个前提，那么堆垛悖论就不存在：
1、一个堆单元不构成堆垛，并且
如果n个堆单元不构成堆垛，那么n+1个堆单元也不构成堆垛。
以上如果成立，可证明：堆垛不构成，那么堆垛悖论也也就不存在。
这种所谓的悖论，就是个文字游戏，有什么好玩的呀。
【刘玩玩的回答(0票)】:
我就觉得类似这些无聊的悖论，全是因语言无法做到准确表达的缺陷。如一些哲学悖论，都是语言上逻辑的梗。等哪天语言进步了，这些没有伤人脑筋的悖论就没有了。
【刘易斯的回答(0票)】:
http://plato.stanford.edu/entries/vagueness/
【歪钩的回答(0票)】:
所谓悖论，就是脱离实际的智障，电脑里叫死循环。一旦结合现实，一切悖论都会被重置，消失，因为它们根本就不存在，都是虚拟假设的，直到后来被骗子设立骗局。
【李光的回答(0票)】:
其实解释这个悖论很简单。。。有两种办法
1 不承认预设前提 用严谨的数字论证 比如在学习语文的时候 我们说 人们 的“们”是指大于等于2的人 所以1粒谷子不是堆 2粒在实然上已经构成了“一小堆”的概念 所以说 两粒谷子不构成堆的前提预设是错误的 之所以产生理所应当的认可两粒不构成堆的原因是我们人类强大的意淫能力 我们一想到谷堆就总想到CCTV中农民伯伯憨厚的笑脸和背景中堆成小山一样的谷子。。
2 解答的方式就更简单了 否认题干 这个世界上是不是存在“谷堆” “富翁”“秃子” 从文意中 以上三个概念都是相对性概念 例如 100000个谷子组成的堆相较于两个谷子组成的就更能称之为”谷堆“ 财富积累了100W的和我比就更能被称之为富翁。
其实产生以上悖论的原因我认为是模糊了日常生活常识和严谨的数学论证的边界造成的情况。
【黄明皓的回答(0票)】:
请百度 模糊数学，一个人是不是秃头，可以给他打个分，没头发就是100%秃头，有一根头发99%，以此类推
【李一航的回答(0票)】:
为什么如此多的人认为这些悖论都是无聊的文字游戏呢？！正是这些悖论才有讨论的意义，非黑即白的问题既然已经有了确定的答案，还有什么可讨论的呢。辩题向来都是左右皆可的。
正式答案如下：
个人浅见。如有冒犯，还望海涵。
大神们用了过多的数学概念，却错过了从本质上来剖析这个问题：
无论“谷堆”还是“秃子”，都并不是“数学概念”！所以用量化的数学语言去定义本身就是无法做到的。
精确的数学语言只能表述精确的数学概念。诸如谷堆等事物的定义，与数学不是同一领域。
另外，如果一定要用数学去表述堆垛类问题，我认为用概率论会更合适。举例来说：
我爱 一个美女。她稍微变丑一点点，是不会改变我爱她这个事实的。这是否说明世界上没有我不爱的女孩呢？不是的。一个女孩越丑，我爱上她的概率就越小。
如果一个人撒一把随机数量的谷子在地上，然后我们问另一个人：这是谷堆吗？ 很明显，谷子的数量越大，这个人认为这可以称为谷堆的概率就越高。若扔下的谷子数量是1，我们可以认为它被看作是谷堆的概率趋近于零。若谷子数是1亿，那么概率会趋近于1。
结论：
1.数学语言只能做到精确的定义数学概念。对其他领域的定义会显出无力。这不代表不能描述，而是只能描述其相关性，却不能做出是与非的定义。
2.对于堆垛类概念，使用概率论领域内的数学语言能更贴切的描述。
以上。
非数学专业，妄言这么多，望指正。
【知乎用户的回答(0票)】:
根据你的定义当然不存在。但是你这么定义不符合实际。比如算不算谷堆，这是由人说了算的，而不是由你的公理说了算的。
我觉得应该把问题改成
现在有N粒谷子，随便找一个人来，问这个算不算谷堆，他只能答算或者不算。现在问你，他会答算还是不算呢？假如你猜对了奖2块钱，猜错了扣1块钱，你是猜算还是不算呢？假如你猜对了奖1块钱，猜错了扣2块钱，你是猜算还是不算呢？
这就是个概率问题吧。
【赵阳的回答(0票)】:
首先你得定义什么是谷堆，定义了以后自然解决
原文地址:知乎
【傅渥成的回答(41票)】:
同意@罗心澄 的专业的回答。
我来画蛇添足一下，因为在其他的回答里，我还看到了一些不恰当的例子，这些例子不适合用于在类似的讨论中举例，事实上，部分回答者自以为存在的一些逻辑上的困难其实在专业人士的眼中并不存在困难。因此我觉得有必要更严格地界定哪些问题存在题主所说的「堆垛悖论」，哪些不是。如果出现了这样的「堆垛悖论」，科学家会想着用哪些方法去解决这些困难。
我从@罗心澄 所说的三种大类中前两种情况出发，具体地谈一下有哪些可操作的方案来解决这一困难。
其一，很多问题本身其实就有更精确的标准划界，甚至有的问题，即使每一步只让系统产生小的变化，系统也可能在某一个确定的点发生性质上的突变。
我想先举一个几何相变的实例（Percolation theory），来说明有的改变虽然是一个、一个逐步发生，但是转变却就是在一瞬间，那个瞬间是可以被精确捕捉到的，没有定义上的模糊性。现实生活中的许多「突变」其实更接近这样的情况，而不存在从 N 推导到 N+1 时的那种上逻辑的困难。
这种渗流转变的瞬间是可以被精确找到的。如上图，想象在一块很大的无限延伸「田」字格上，有水可以从一侧流到另外一侧。现在不断随机剪断（堵塞）其中的一些边，那么当剪断（堵塞）的边达到一定的比例（该比例显然大于 0）的时候，那么水就会无法成功的流到另外一侧，这个定义也是清楚的，而转变就是突然发生的，并不是每减小一条边流都会减小；也不是直到全图没有任何一条能够让水流通的边了，流才减小到 0。虽然看起来每一次都是堵塞掉一条边，但是转变就是会在某个值处发生。这个堵塞的比例是可以精确求解的，而两种不同的状态也是可以精确定义的。这一类的问题都不完全存在「堆垛悖论」。
除了几何相变之外，我们还可以考虑相变的过程，即讨论从一个物相过渡到另外一个物相的转变过程，例如冰融化为液态水，液态水的蒸发。这些过程都是相变的问题。
保罗·埃伦费斯特的相变分类中，有一类「一级相变」，在一级相变中，我们看到的曲线是如下图中第二幅所示的，这种转变突然发生，曲线并不连续，因此分辨这两个相并不存在多大的困难。伴随着一级相变，往往还有体积的变化和热量（相变潜热）的吸收或释放。
（图片来自于：（图片来自于：Phase diagrams describing the change in magnetization (M) as a function of temperature (T). : Magnetocaloric materials: Strained relations : Nature Materials : Nature Publishing Group）：
当然，如果不是一级相变而是二级相变，情况就会复杂一点，例如上图中的第一幅，渗流转变的曲线也与此类似。而在识别两个「相」的时候，并非总是那么简单。如果不是对物理背景比较清楚，也会有人认为上图左图中转变点并非是 Tc，而是在 M = 0.5M* 的时候取得，因此在举例子的时候，有的人一来就会举相变的例子，特别是连续相变（二级或者更高级）的例子。
可是，现实世界里的相变在描述相变的过程的时候，相的划分并不存在定义上的困难，这是因为 Landau 的贡献。Landau 用对称的程度（序参量）作为一个相的代表，例如一块冰有着固定的晶体结构，在一定的对称操作下，晶体可以保持不变；而液态的水就更加无序，因而会更加的对称，一杯水怎么旋转依然对称，冰块就不能在这么多的对称操作下保持不变。用「对称性」（从数学的角度则是不同的群元）作为标准，因此相的转变在很多情况下都变得很清晰。即使在液气相变时，两个物相都是无序的，看起来这个转变没有了对称性的改变，但是仔细分析，这个转变存在着「遍历性破缺」，因此依然可以选出相应的序参量来刻画这一转变。
至于怎样找到一个好的描述转变的量，则是接下来要讨论的问题。
顺便提一句，在@罗心澄 的回答中所说的「群体判断方案」，事实上就是统计物理中的系综（Statistical ensemble）理论。
其二，更好的分类标准的选择。
在@罗心澄 的回答中，有这样一段话：
考虑到仪器必然会有精度限制，精确语言方案实际上是无法实行的：由于我们不可能找到没有误差的仪器，所以我们永远不能根据数值判断一个数值在边界上的对象到底属于哪一边，并且我们不能简单地接受这个对象属于某一边……
这个说法是有道理的，但是仔细再想想，总觉得还不能满足。在我们现实中存在太多的分类问题并不是总是一维的，即使是「秃子」这样的概念，我们面对一个光头的小孩，我们也只会称呼他为「小光头」，而不会也认为他是「秃子」，因此一个分类问题很可能是有多个维度的。一旦出现多维度，则标准会难以确定，例如生物上「物种」的划分，就有 27 种不同的定义（据维基百科）。虽然精确的语言方案无法实现，但是我们总是希望让这个问题变成一个可以用逻辑处理的问题，即变成如@罗心澄 的回答中所说到的那样的最基本的情况。因此需要从一大堆可能不那么好的标准里面选择出最好的那一种（或者少量的几种）来。
首先，我们预先假定所有的判断标准在处理极端的两个态的时候不太会出错，只是在过渡的状态上会出现问题。例如，假设分类器总能大体认出来精确的红色和黄色，只是在从红色转变到黄色的道路上，有些不确定之处。以光的颜色为例，基本上可以认为只有波长发生了改变，这个转变就是一维的。但是还有更复杂的例子，在一个男人变成女人的过程中，可能有许多东西都发生了改变。例如，我们要分类男性和女性，一种分类方案主张用长胡子的多少来分，一种用胸围的大小来分，还有的用性器官的种类来分。自然，我们很容易可以举出例子来，这三种分类都有不恰当的地方，但是似乎这三种分类还是可以分出一个好坏来。那么怎样解决这个方案呢？在一个转变的过程中，虽然我们知道精确的方案是不可能的，但是在可能的条件下，在这转变的道路上，怎样找到最好的那个变量，用来解决这个问题呢？
这里介绍我最近看到的一个很简单、但是又很有意思的方法。为了帮助理解，我这里只简单粗暴地用一个例子进行说明，这个例子有很多很多的不妥之处，因为在例子中的分类标准都有非常明显的错误，可这个例子很夸张，可能会让人有些印象，所以我暂时保留在这里，如果我想到更好的再作些更改，而且我总觉得这个例子我还有许多言犹未尽之处。
在男人和女人之间，可能存在一些过渡的状态，就像在红色和黄色之间存在橙色那样。我们希望选取的变量在取到两种极端状态的值的中间值的时候，能够尽可能多的对应那些过渡状态。例如，我们如果用胡子的多少作为男性和女性的分类，这时候我们就应该选取「胡子不太多、也不太少」的人来进行检查，我们发现这其中可能有体内雄性激素水平较高的女性、也可能有还没有发育的男性，甚至还可能有刚刚刮过胡子的男性……因此，这时候我们抽取到男性跟女性之间的过渡状态的人的概率是很低的，因此这个分类的方案不那么恰当。同样也很不恰当的还有胸围，但是胸围跟胡子这两个变量哪个更好呢，怎样进行比较，有兴趣的朋友可以考虑一下怎样把这个问题转变为数学语言。而换成性器官，则完全不同，当发现一个既有男性器官又有女性器官的人，Ta 可能是因为基因的缘故而造成了这样的「中间态情况」，例如 XXY，当发现了一个既没有男性器官又没有女性器官的人，Ta 可能是因为手术变性的缘故而形成了「中间态情况」，因此用这个标准时，可能以更高的概率抽取到那些处在中间态的个体，我们会认为这个标准相对更好一些。在寻找沙堆的分类标准时，我们也应当去寻找一些刻画沙堆的参量，帮助我们尽可能多的找到那些「像沙堆，又不算是沙堆」的情况。当然，不是所有的问题都能都能这么方便的比较「好坏」，前面提到的两个物种的划分就是一个例子。
除此之外，为了找到最优的分类标准，还有许多可以采用的方法：
在操作的层面上，最简单常用的方法就主成分分析（Principal component analysis）的方法。
对于更高维度的数据，要找到更好的分类标准，很可能会需要在 Isomap 上进行分析。
除此之外，支持向量机 （Support vector machine）方法可以为我们提供更多种的、更加充满细节的复杂准确的分类方案。
【阮泽宇的回答(218票)】:
自问自答，纯粹是为了回答另一个问题做准备，不用专栏是因为：
专！栏！没！有！数！学！环！境！啊！哼！唧！喵！呜呜呜……QAQ
对于堆垛悖论的谷堆和秃头情况有一个常见的误解：堆垛悖论的前提是不成立的，因为，是否构成谷堆和摆放的方式有关，100000 粒谷子平摊在地上，自然不构成谷堆，但是 100001 粒谷子堆起来就构成谷堆了呀喵~ ＞▽＜
因此，这里的「构成」，并不是指一种实际上的情况，而是指所有的情况：如果，n 粒谷子在所有可能的摆放情况下都不构成谷堆，那么 n+1 粒谷子在所有可能的摆放情况下也同样不构成谷堆。
为了方便，不如作出这样的限定：在堆垛悖论中，我们总是考虑一个特定的变化过程，比如说，一根一根地拔掉某个人的头发，一粒一粒地堆出一个谷堆……这样的一个变化过程是一个确定的变化过程，假设一个人有 n 根头发，那么就有
共 n+1 个确定的状态，并且，每两个状态都是如此相似，以至于我们无法区分这两个状态。
这一类论证的通用形式如下：
对于某个充分大的
，我们有一列
，我们考虑的属性是 P，并且对于这个属性，有如下两点成立：
，并且，
。（注意到，在有穷的情况下，一个全称语句可以视作若干个无量词句的合取。）
因此，
。
但是显然，根据我们日常用语言的使用方式，
。
解决尝试及其问题
对于问题的处理，一共有三类：
否定前提/否定推理
否定翻译
接受悖论
1. 否定前提/否定推理
1.1 划界方案
第一种解决方案是直接划定界线。这种方案在法律制定中最为常用，比如说，我国法律规定盗窃公私财物「数额较大」、「数额巨大」、「数额特别巨大」的标准分别为：
价值人民币 500 元至 2000 元以上的，为「数额较大」。
价值人民币 5000 元至 2 万元以上的，为「数额巨大」。
价值人民币 3 万元至 10 万元以上的，为「数额特别巨大」。
通过这种方式，将模糊谓词「数额较大」、「数额巨大」、「数额特别巨大」变成了精确谓词。进而，使得条件句
对于某个特定的 i 不成立，比如在这里「如果一个人盗窃财物数额特别巨大，那么再少一元也是特别巨大」在当前金额为三万整的时候就不再成立。
类似的情况还出现在对于可见光的规定中：
紫色 668–789 THz 380–450 nm
靛色 631–668 THz 450–475 nm
蓝色 606–630 THz 476–495 nm
綠色 526–606 THz 495–570 nm
黃色 508–526 THz 570–590 nm
橙色 484–508 THz 590–620 nm
紅色 400–484 THz 620–750 nm
划界虽然可以解决问题，但是划界本身是随意的。以法律为例，不同国家的法律对于盗窃金额以及量刑等级的划分方式都有差异，这种差异不仅体现在具体界线的金额上，还是体现在界线的数量上。一个简单的划界并不具有说服力，而仅仅是一个出于实践的便利而采用的权宜之计。因此，我们可以进一步追问，为什么要划定这样的界线？是否存在非实践的理由驱使我们这样做？并且，由于人的认知精度有限，我们在特定情况下可能会问出这样的问题：「为什么明明 a 和 b 看不出差别，但是 a 具有 P 性质而 b 却没有？」在不回答这些问题之前，划界就不是一个好的方案，至少，不是一个完整的方案。以法律实践为例，即便我们假设法律本身是明确的，但是对于财产的价值估计在某种程度上依旧是任意的，这也就使得判决本身不可避免地带有运气的成分。以可见光为例，假设 100 次测量中，被测量单色光的波长有 49 次落在 590nm 以下，49 次落在 590nm 以上，2 次恰好为 590 nm，那么这束光是什么颜色的？而为什么，我们肉眼明明不能分别波长为 590.1nm 和 589.9nm 的光，但是它们却是不同颜色的？
当然，还有人以另外一个理由主张划界本身是困难的。考虑堆垛和秃头悖论，沙子和头发的排列方式会产生影响：再多的沙子，如果是均匀地铺成薄薄的一层，也不能被称为沙堆；一个人的头发如果像地中海那样少了一半（或者更多），那么显然被称为秃子不足为过，但是如果均匀地少了一半，又或者，均匀地每九根只剩下一根，则大部分人或许根本看不出来，或者，仅仅是觉得稀疏了一些，而不会将其称为秃子。不过，根据前面的预设，这个理由并不能够构成一个很好的理由。因为我们考虑的是一个具体的把人的头发一根根去掉的具体过程，期间任意一个状态
和它相邻的状态
都只相差一根头发。并且，如果认为
的情况下这个人是秃头，那么在
的情况下这个人也必定是秃头（因为多拔掉了一根头发），相对地，由于认知不可分辨的假设，我们会认为，如果在
的情况下这个人不是秃头，那么在
的情况下这个人也不是秃头。同理，对于沙堆，我们可以考虑按照某个不使得沙堆倒塌的特定顺序依次拿掉沙子的情况。
因此，对于划界方案的唯一有力反驳还是界线本身的合理性。
1.2 认识论方案
认识论方案是一个耐人寻味的方案。它是对划界方案的改进，认识论方案认为，虽然存在一条界线，但这条界线并不是人为划定的，并且，由于认知能力的限制，我们没有办法知道这条界线在哪里。因此，仅仅是我们自己以为「对于任意的
」都是如此，但是实际上存在某个特定的 j，使得
和
有本质区别。
对于认识论方案有两种不同的理解：
对象的性质在某个地方发生了本体论意义上根本性的转变，但是由于认知精度的限制，我们无法认识到这种区别。
并不是每个增加一点点或者减少一点点的过程都是不可察觉的，存在这样的较为明显的分界点，但是由于可能的情况种类数目太多，我们无法逐一设想出每一种情况，进而即便有小的跳跃或者是突变，我们也无法察觉。
第一种情况似乎是常见的情况。至少对于光线来说，人由于自身的视觉精度限制，无法区分两种波长过于靠近的光。因此，认识不到界线似乎有可能就是因为人类自身能力识别精度不足导致的。当我们将大多数具体的论证列出来的时候似乎也是如此：
由于我们没有办法分辨多一粒沙和少一粒沙的沙堆，所以我们认为它们要么都是沙堆，要么都不是。
由于我们没有办法分辨多一根头发和少一根头发的人，所以我们认为他们要么都是秃子，要么都不是。
由于我们没有办法分辨两个身高相差1nm 的人，所以我们认为他们具有完全相同的身高。
但是，以上论证都是基于同一个理由：如果 a 和 b 在我们所要考察的方面相似，那么如果 a 具有我们所要考察的性质 P，那么 b 也具有性质 P。
事实上这种替换的问题在于将相似（认知不可分辨）以某种方式和同一性等同起来，但是，相似性虽然具有自反性和对称性，却没有传递性。因此，认知不可分辨不能作为事实上对应性质完全相同的理由，进而，如果仅仅是以相似性作为理由，那么对于任意的 i，我们都推不出
。
然而，采用第一种观点的前提是承认本体论意义上的边界是存在并且明确的。但是，如果我们考虑到实际上这些概念是人脑创造出来的概念，那么我们就很难将这些概念的本体论层面和认识论层面区分开来。进而，上面支持认识论方案的理由就会变成反对认识论方案的理由：我们使用「红」、「大」、「秃顶」、「高」这些词汇的时候，本来就是在模糊的意义上使用的，换而言之，这种模糊是本体论意义上的，而不仅仅是认识论意义上的。
同时，我们似乎还会面临另一个问题，就是我们的词语同时有两个方面，一方面是一个二分性的「是」或者「不是」。而另一方面，我们的词语内部还有程度的区别，即「富有」可以分为「小康」，「富裕」，「富豪」，「富可敌国」不同的等级。这种困难就像是「不是论证的语句」和「坏的论证」之间的关系那样，在某种程度上是纠缠不清的。
当然，这种论证方式对于另一些概念是不成立的，比如说我们可以具体指出一个人拥有多少钱，这种情况下，无论差异多么细小，比如说相差 0.01 元的情况，我们也可以分辨出一个人「拥有 1000000 元」和「拥有 1000000.01 元」是不同的。从这个意义上来说，我们可以将堆垛悖论分为两类。当然，如果我们的确用语言去叙述，而不是去看一系列的一个人变成秃头的过程，那么似乎对于秃头悖论，我们也可以非常明确地区分这个人的两个状态。从这个意义上来说，这种不协调性实际上是概念和认知之间的不协调性，或者说，概念和印象之间的不协调性。
1.3 多值逻辑方案
基于前面对于程度的考虑，产生悖论的一个可能的原因是没有区分概念内部的不同程度，这种对于程度的不敏感最终导致了一个对象逐步演变为另一个和自身相去甚远的对象，进而引起荒谬感。另一方面，以沙堆为例，或许4 粒沙子构成的正四面体构型沙堆就已经可以称为沙堆，仅仅是因为它非常小而已，所以事实上堆垛悖论本质上是关于堆垛的大小而不是关于是不是堆垛的讨论，但是如果我们能够成功地刻画堆垛的大小程度，那么悖论也就可以被解决了。
考虑多值逻辑的另一个理由是，一个群体中总有一部分对象不能被划归到两个极端中，总有一些「中等」或者说「不确定」的情况，这种情况的存在使得我们似乎既不能断定 P(a)，也不能断定 -P(a)。（在非数学环境下，命题前面的「-」表示否定）
基于后一种理由，我们可以考虑符合直观的三值逻辑，即承认一种情况，使得在这种情况下 P(a) 的值既不真也不假。而由于中间某个条件句前件为真而后件不确定或者前件不确定而后件为假，所以我们认为这个条件句的赋值也是不确定而不是真，进而，否定了前提。
类似地，多值逻辑还可以用来表示一个命题成立的「程度」，比如说，如果 X 有一百万，那么他就是百万富翁级的富有，而如果他有 1000 万，那么他就是千万富翁级的富有，进而 Rich(X) 在两种情况下取值不同。
但是，对于前面三值逻辑的运算规则，有一个非常不直观的地方，就是如果p 的取值是不确定，那么-p 的取值也是不确定，而由于逻辑的真值函项性，
的取值也只能是不确定，这样就否定了排中律。
同时，对于取有穷多个值的多值逻辑，由于取值必然是离散的，也就使得不同的程度之间有一个飞跃，也即划定了不同程度之间的界线，进而就会产生疑问：「为什么 a 和 b 那么相似，却被分入不同类别中，而 a 和 c 的差别如此大却被分入同一个类别中？」
这种质疑本质上和对于划界方案的质疑是一样的。并且，和三值逻辑中第三值「不确定」有着直观解释不同，离散的多值逻辑的运算规则会更加不直观，并且，似乎也没有办法很好地解决排中律不成立的问题。
1.4 模糊逻辑方案
多值逻辑的极致则是采取某种稠密甚至连续的取值，可以引入模糊逻辑中的模糊集和隶属度的概念。通过连续赋值，可以解决多值逻辑中离散量分类产生的不连续的飞跃。但是，模糊逻辑并不能解决排中律不成立的问题。并且，模糊逻辑的演算规则同样非常不直观。
虽然从直观上来看，模糊逻辑应该满足如下运算规则：
.
.
.
但是，如果我们假定 A 的头发严格比 B 多。(p)「A 为秃头」的真值为 0.6，(q)「B 为秃头」的真值为 0.7，那么直觉上
的真值至少应该很高。但是如果我们认为
等值于
，那么，这一句几乎必然真的句子的真值却只有0.7。（貌似这个例子不是很好，不过，如果分别是 0.45 和 0.55 的话，那么这个蕴含句的真值就只有 0.55，0.4 和 0.6 的情况下也仅有 0.6。）
个人认为，上面那个反驳本质上和排中律的问题是一样的，因为无论我们对 p、q 怎么赋值，只要V(p) > V(q)，那么V (
) 就大于 0.5。如果将这里的模糊值理解为正确的概率，那么就可以接受了。而当 V(p) 和 V(q) 的差值一定的时候，它们的取值越是倾向两边，则越
的值越大（趋近于1）。这是因为，越是趋于中间，则体现出我们的判断越不确定，进而，出错的可能性越大。但是如果我们认定了V (p) > V (q)，那么对
判断出错的可能性还是低于 0.5。但是无论如何，这种解释的说服力不够，并且，当我们考虑模糊逻辑本身的发展历程的时候，就会发现模糊逻辑本身作为解释而言常常是不好的（由于反直观地不承认排中律），它的价值大多在应用上。
1.5 群体判断方案
在前面的判断中，我们都假设这个判断是由一个人进行的，但是如果我们假定一个群体中的每个个体都有一个清晰的界线，那么我们可以通过将群体中的个体的界线综合起来，得到一个模糊函数。但是这种方案的问题在于，很多情况下对于每个个体来说，清晰的界线也是不存在的，甚至，一个一致的界线都是不存在的。因此，「让每个人做出判断”这一步甚至都可能无法完成，那么后面的“合理地将个人判断汇总起来」也就是空谈了。
这种方案想做的事情本质上和模糊逻辑方案是一致的，仅仅是为解决一个集体中个体对象的语言不能统一所采用的方法，但是这种方法并不能够解决个体的语言本身的问题。
1.6 超赋值方案
超赋值方案是在经典逻辑的基础上引入一个新的概念——超级真。
我们说一个命题是超级真的（
），如果对于任意划界下的赋值
，
，其中At 为原子命题集合，E 是一个划界集合。类似地可以定义超级假的概念：如果一个命题是超级假的，那么对于任意的赋值它都为假。而剩下的那些命题，我们说它们的真值是未定义的。
而通过将推理有效性的「保真」重新定义为「保超级真」，原来的论证是无效的，因为它不保超级真。又或者认为，这些论证的部分前提在某些划界标准下为真，而在另一些下面为假，因而是真值不定的。
从结果上来看，超赋值方案否认作为归纳步骤的前提，也即，否认
。但是，如果这句话翻译为「存在j，使得
成立而
不成立」，那么这就是认为边界存在。
但是认为边界存在就会面临前面对于划界问题的质疑。而如果要避免这种质疑，就只能认为边界不存在，也即，接受一个存在命题，但却拒绝接受这个存在命题的任何代入特例。这显然是不直观的。
1.7 反对 cut 规则
经典逻辑中实际上有一条用于将短论证组合成长论证的规则。这条规则如下：
如果
，
，那么
。
当然，对于不同强度的 cut 规则，作为中间项的可以不是一个命题，而是一个命题集合。
一个反对三值逻辑的理由是，三值逻辑加入不确定之后，没有办法很好地区分以下两个条件句：
如果 A 是秃头，那么他再多掉一根头发也是秃头。
如果 A 是秃头，那么他再多一根头发也是秃头。
但是，如果我们认为，实际上的推理模式并不是上面那样基于语句的模式，而是基于认知的模式——「由于我们无法分辨两个相邻的状态
和
，因此我们认为
」，那么，我们就并不是在通过单纯的对于对象的语言描述来进行推理：虽然我们知道「如果 A 是秃头，那么他再多掉一根头发也是秃头」，但是对于呈现在我们面前的两个状态a、a' 来说，我们根本就不知道哪个是
，哪个是
。因此，我们没有办法采用这种推理模式。（事实上，如果我们有能力分辨 a 和 a'，那么条件句是否成立就不是那么显然的了。）此外，另一个辅佐相似性可以反驳简单逻辑推理的事例是，如果我们的推理模式中包含「如果 A 是沙堆，那么 A 再多 n 颗沙子也是沙堆」的推理模式，那么我们就无法理解为什么我们会把游泳池中的一个小沙堆称为沙堆，而不把填满游泳池的沙称为沙堆了。（注意到这里后者实际上是前者的一个严格扩充，是在没有改变前者的排列方式的情况下完成的，所以不存在改变排列的问题。）于是事实上我们赖以推理的模式还是相似性而不是单纯的数量关系。
认知不可分辨不是等价关系，因此，虽然我们有
和
，但是我们未必会有
，进而，无法使用前提
来得到 c 和 a 具有相同的性质。
但是，由于我们分别能够得到结论
以及
，根据 biconsitional 算子的传递性以及组合论证的 cut 规则，我们能进一步得到
。但是这合理么？我们得到前面的结论，是因为我们处在只考虑 a 和 b 的状态中，这时，我们不能分辨他们两个。而我们得到后面的结论，则是因为我们处在只考虑 b 和 c 的情况下。但是我们的认知精度却有可能让我们分辨 a 和 c。将两个论证结合起来用到了cut 规则，而在这种情况下，使用 cut 规则是显然不合理的：我们不能将两个不同语境中的论证的结论结合起来。
考虑这个论证：波长为 440nm 的光和波长为 442nm 的光颜色相同，波长为 444nm 的光和波长为 442nm 的光颜色相同。因此，波长为 440nm 的光和波长为 444nm 的光颜色相同。但事实上我们是能够分辨这两者的。或者，将前面的谓词视为「和波长为 442nm 的光颜色相同」，这样，我们就有「A、B都和波长为 442nm 的光颜色相同」，但是「A、B颜色不同」的结论。进一步，我们或许可以得到一个新的反直觉的规则：就算 a、c 分别和 b 在是否拥有 P 性上是同一的，但是由于这是基于各自语境的，所以我们不能认为 a、c 在是否拥有 P 性上是同一的。因为后面这个命题是一个应用了跨语境的 cut 规则的论证的推论。（这个推理有如下假定：人类能分辨波长差大于 3nm 的单色光，而不能分辨波长差小于3nm 的单色光。注意到这个地方的数值并不重要，只是为了举例。）
如果我们在这里否定了 cut 规则，我们就要问，在什么情况下我们应该否定 cut 规则，或者，在什么情况下使用 cut 规则是合适的？显然，在跨语境的情况下使用 cut 规则是有风险的。而在保持语境单一的情况下（比如单一的数学语境中），使用 cut 规则就是安全的。但是进一步产生的问题是，如果我们否认日常语境中的 cut 规则，那是否意味着任何时候我们在日常生活中都不能进行长推理呢？如果不是，什么情况下日常生活中的语境是对 cut 规则安全的呢？
原本我想到了一个技术性的答案，不过我现在考虑了另一个情况，就是，凡是涉及人类认知的语句，当我们进行长推理的时候都必须慎重，因为人类的知觉是不一致的，或者说，不协调的。比如说：我们对比下午两点和下午四点时同一个对象的影子，可以发现影子长度有一个明显的变化，但是我们如果盯着影子看，会感觉到「影子是不动的」。这个时候，虽然我们可以通过实际情况来修正我们的经验，但是我们依旧无法排除「影子是不动的」这个初始的经验判断。类似的情况还包括对于大多数连续细微变化的判断。但是，我们日常语言中包含了许许多多这类描述我们直接认知经验的语句，我们不可能排除这些语句，而只可能在觉察到异样的时候，回过头反省自己得到某个悖论的过程是否引入了一种跨语境的长推理。
2 否认翻译的理想语言方案
Russell 和 Frege 会认为，产生这个悖论是因为我们的自然语言有严重的缺陷。我们需要理想语言而不是自然语言。
事实上，对于不确定陈述，除了可以认为是语句本身的真值不确定，也可以认为是需要在在两个极端之间插入第三个摹状词，比如说「不高不矮」、「不胖不瘦」、「不贫穷也不富有」、「不红不黄」……
当然，正如前面的三值逻辑那样，如果仅仅是添加谓词，只要谓词是有穷多个，那么不同的谓词之间的差别就依然存在。但是，如果我们采用连续的谓词，或者，采用一个以实数（事实上有理数就足够了）作为第二个变元的二元谓词呢？
在这种情况下，我们并不将模糊性处理为原子命题真值的取值，而将其处理为另一种形式。以光线为例，我们并不说 Red(a)，而说 Red(a,0.7)。也即，将模糊性放在谓词上而不是命题上。同时，如果
，那么
。
但是这种处理方式有一个问题：
如果我们进行划界，比如，认为
使得
，那么就会产生和划界问题完全一样的后果。而如果我们不这样处理，那么实际上我们就是彻底否定了「红」这个谓词，而将它拆分成了连续的不同程度的红。或者说，仅仅是不同名称的色块，而不能告诉我们到底哪一块是日常语言意义上的红，而哪一块不是。但是，这种拆分是有意义的，至少从 trope 理论的角度上来说是这样。
此外，考虑到仪器必然会有精度限制，精确语言方案实际上是无法实行的：由于我们不可能找到没有误差的仪器，所以我们永远不能根据数值判断一个数值在边界上的对象到底属于哪一边，并且我们不能简单地接受这个对象属于某一边，因为如果下一次它被检测出属于另一边的话，那么它就同时具有 P 和非 P 两种性质，而这显然是矛盾的。并且物理学的结果告诉我们，这种检测错误是不可避免的。这就和前面划界方案面临的问题类似。
另一种精确语言方案支持 trope 理论，对于每一个
，我们设计一个专门的谓词
来表达
的P 性。但是如果我们采用这种方案，就会和上面一样丧失原本使用 P 这个谓词所要表达的概括性的作用。然而，这种方案可以视作一种对于语言的规范性重建，并且在事实上比前面的方案更为合适。
3 从语境主义的角度上接受悖论
接受结论就是按照字面上的意思：接受悖论。但是如果我们同时接受
和
，那么我们的信念显然就是不一致的。因此，逻辑的规范性我们不应该接受悖论。而这个悖论本身的结构就保证了它在两个方向上都是成立的，因为如下两个命题是等价的：
.
.
也即，从一个方向上，我们会得到所有人都是秃头，而从另一个方向上我们会得到秃头不存在。
另一方面，以秃头悖论为例，如果我们真的考虑一个人一根头发都没有的情况，那么就不会说「如果他有一根头发不算秃头，那么就算他一根头发都没有也不算秃头」，而至少会出于情理说：「就算他有一根头发的时候不是秃头，当他一根头发都没有的时候也应该是秃头了」。
或者，考虑这样的情况：大多数情况下，我们不会把一个堆成正四面体状的四个等大球状沙粒称为沙堆，但是我们会说：「即便这种情况下四个依然构成沙堆，但是去掉一个也就无论如何都称不上堆了 」。又或者，考虑两个和一个的情况，「沙堆至少是复数个沙粒吧，两个怎么能称为沙堆呢？」虽然实际上我们不会认为两粒沙子和一粒沙子会构成沙堆，但是在特定的情况下，我们认为这构成了某种必要条件。因此，这可以视作不存在一个大边界，而仅仅存在一些特定的情况下存在一系列的小边界。因此语境主义的另一个方向是为超赋值方案提供辩护：我们有一个作为整体的边界，这个边界并不存在于任何两个对象之间，而是在不同的语境下出现在不同的位置上。
个人认为在特定语境下接受悖论是没问题的，但是一般来说并不是接受对于头尾两项的悖论，而是接受关于某个中间的项的悖论。根据语境主义解释，当我们说一个对象既可以视作 P 也可以视作非 P 的时候，是由于我们的语境不同，并且，永远都不是同时视作 P 且非 P，因此，这也并不构成矛盾——在每个将其视作 P 或者非 P 的语境中，我们都是一致的。而当我们转换语境的时候，实际上我们转换了头脑中的整套概念。就像是 Gestalt 图中，假设我们有一连串的从鸭子变成兔子的图片，那么对于正中间的那个图片，我们将其视作鸭子还是兔子，完全取决于我们是从鸭子开始看的，还是从兔子开始看的。甚至有可能，看到最后，我们会把鸭子的抽象画看成兔子，而将兔子的抽象画看成鸭子。这也不是不可能的。当然，我们不可能把实际上的兔子看成鸭子，也不可能把实际上的鸭子看成兔子。
结论
堆垛悖论不是一个悖论，而是一组悖论。在不同的情况下，导致悖论的原因是不同的，进而，解决悖论的方案也是不同的。在这里我考虑三个思路。
条件句成立的前提为两个状态的差别非常小，以至于认知不可分辨，并且假设对于所有的 i ，
。但是认知不可分辨是语境依赖的，虽然在一个小范围内的对象是认知不可分辨的，但是通过 cut 规则进行推理会导致论域扩大，进而甚至包括两个认知可分辨的对象，从而导致矛盾。因此我们应该拒绝跨语境的 cut 规则。
针对认知可分辨的情况，拒绝接受前提中对应的条件句。根据超赋值方案，我们的理解可以是：每一个条件句都是真的，但是其中有很多不是超级真的。从某种角度上来说，接受界线的存在也不是不可以的，当然更好的理解方式是认为，界线被「稀释」成了一个一个的子界线，其中作为每个子界线的命题的可接受度都不为 1。但是引入可接受度就会导致排中律失效。因此讨论必须以另一套语词进行。
考虑语境，我们可以认为处于中间位置的元素同时具有两种属性，但却并不构成矛盾。而这一种思想推广到极致就是在特定的语境下接受结论。但是认为由于结论成立的语境不同，所以不构成矛盾。从形式上来说，并不是 F(a) 和 -F(a)，而是 F(a,c) 和- F(a,c')。另一方面，也可以视作处于中间位置的元素同时具有两种属性。
【Ivony的回答(30票)】:
其实这个不是芝诺悖论，芝诺悖论的主要问题是无穷和有穷之间的不可调和的矛盾。
谷堆悖论本质上和忒修斯之船悖论是一样的，利用的是不良好定义。
例如谷堆就是一个不良好的定义，接下来我从这一点出发逐一击破这些悖论：
谷堆与有多少颗谷子没有关系，因为如果所有的谷子都平铺在地上，或者说我在地上画一个很大的棋盘格，每个格子里只能放一颗谷子，那么无论放多少谷子都不能形成谷堆。
所以我们将谷堆定义为，至少有一颗谷子是摞在其他谷子上的，而不是在地面上的，这时候我们可以轻松的得到在第放几颗谷子的时候得到了一个谷堆。
我们将秃头定义为头上没有一根头发的人，所以对于头上只有一根头发的人来说，只要他失去了这唯一的头发，就会成为秃子，否则就不是。
【WeiHu的回答(5票)】:
数理逻辑外行。提供一种思考，还请作者批评。
@罗心澄 的回答在我理解是唯实论的，就是假设了“谷堆”，“秃子”这个词语不是人们为了方便交流而制造的，而是确实有一类事物，他们完美得像典范一样，代表了谷堆，代表了秃子。我们生活中遇到了这样的典范事物，所以我们的自然语言中才出现了“谷堆”“秃子”来指代这样的典范。我觉得这也算种本质主义吧。
我们用自然语言，就是为了方便的表示自然界的事物。所以方便是第一位，精确是第二位。而“三角形”这个概念和“秃子”不是一类概念。“三角形”这个概念人构造出来的。“三角形”这个词语是形式语言，我们只会用对待形式语言的方式去使用“三角形”这个概念。我们不会去“说”：“三角形真牛b”。为何，我们以对待形式语言的方式去处理自然语言呢？
堆垛悖论我认为不算是悖论。这是一个佯谬。因为，我们拿了人工构造的形式语言去约束人类在生活中演化出的自然言语。为什么不能拿形式语言去精确化自然语言呢？莱布尼茨也想这么做。我非常也能理解维特晚期转向日常语言游戏。因为当你拿形式语言去分析自然语言的时候，你其实是在构造新的一门形式语言。只不过这个新的形式语言用的不是符合而是汉字罢了。
想像一下，如果有两种文明
1》一个是来自亚马逊丛林的“博爱族”。他们部落对秃顶有着强烈的同情心。所以，哪怕有一根头发也不算秃顶。
2》另一个文明是，来自火星的“精确族”人，他们头上只会长3根头发。于是他们的文化对秃顶有更精确词语：秃零（没头发），秃壹（只有一根），秃贰（只有两根）
想像这样的文明，秃顶悖论或堆垛悖论在他们眼里是不存在的。因为他们有关“秃顶”的使用非常接近形式语言。所以分析这个悖论的关键是不是考察“词语的严格意义”（语义），而是考察“人们到底是怎么使用词语的”（语用）。
“理论总是灰色的，只有生活的金树才能长青啊！放过自然语言吧！我想给大家念首诗！让你们感受一下存在者！”——海德格尔
【知乎用户的回答(1票)】:
其实人不是通过数量来判断的谷粒和谷堆，也就是说不可能通过数量的变化反映出这到底是谷粒还是谷堆，人在判断某一事物时不是用简单形式来判断的，还要借助周围环境与经验。
比如说沙粒与沙漠，一粒沙是沙，百万吨沙也是沙，什么时候变成一把沙子，沙堆或沙漠呢？
不是看个数，是看人的经验和环境，视觉上，当沙粒的视觉表现形态可以被以人体尺度宏观感知到是三维立体形状的时候，经验告诉人，这是沙堆。
当沙粒的视觉表现形态超过人体尺度达到一望无际时，人可能会猜测这是不是沙漠，但如果加上气候干燥，空气炎热，甚至能看到仙人掌和沙漠动物，人根据经验很快就能判断出这是一个沙漠。
判断一个事物靠的不完全是其本身的性质，还要考虑环境的影响，个人经验主体视角和所选尺度的大小来综合判断。
回到谷粒上来，如果蚂蚁有人的经验体系，蚂蚁若感知到一粒谷子，去观察它，可能和人看到石油罐的大小体积感觉差不多，那么只要一百粒，一千粒谷子堆积起来，蚂蚁可能就要认定它看到谷山了，人的判断也是如此。
再看头发，几根头发的人从宏观来看，只要在正常的人体尺度距离观察，那可以忽略不计，这个人被判断为秃头，或者预判为秃头。头发的数量不是问题，头发是如何排列的，是如何影响人去观察的，是什么视觉形态的，这是问题。
比如头发数量很多，但是分布稀疏到头皮显而易见，乍看还是容易被认为是秃头的。
再次声明，人不是完全通过事物本身的抽象结构去认识事物的，总要结合环境，经验，还有观察者选用的尺度，方法，才能判断一个模糊的概念。
事物本身没有变，都是那几个基本粒子，基本作用力。是形态的变化，观察角度的变化，经验的变化，才会有这么多彩的世界，大自然的材料根本就没有变，变的只是它组建东西的方式，还有我们走过的风景。
【大名的回答(3票)】:
谷堆是集合."谷堆"这个集合包含了无穷子元素.分别为"m粒谷子组成的东西","m+1粒谷子组成的东西"......
一粒谷子不构成谷堆实际是指"一粒谷子组成的东西"不属于"谷堆"这个集合.
如果 n 粒谷子不构成谷堆是指"n粒谷子组成的东西"不属于"谷堆"这个集合.
但是这推导不出来"n+1粒谷子组成的东西"一定也不属于"谷堆"这个集合.
【魏雪平的回答(1票)】:
我想因为在这悖论中，根本就不存在谷堆概念，只存在非谷堆概念。n粒谷子不是谷堆，n是一个没有范围的数，即n可以为任意数，令n=n+1，当然也没有谷堆。
【袁子才的回答(1票)】:
这个问题的本质是谷粒和谷堆的界限不分，两者的概念之间有很巨大的空间。
【胭之小茉的回答(1票)】:
真不好玩，我用题主的主问题来证明一下哦~~
反堆垛悖论：如果我们承认以下两个前提，那么堆垛悖论就不存在：
1、一个堆单元不构成堆垛，并且
如果n个堆单元不构成堆垛，那么n+1个堆单元也不构成堆垛。
以上如果成立，可证明：堆垛不构成，那么堆垛悖论也也就不存在。
这种所谓的悖论，就是个文字游戏，有什么好玩的呀。
【刘玩玩的回答(0票)】:
我就觉得类似这些无聊的悖论，全是因语言无法做到准确表达的缺陷。如一些哲学悖论，都是语言上逻辑的梗。等哪天语言进步了，这些没有伤人脑筋的悖论就没有了。
【刘易斯的回答(0票)】:
http://plato.stanford.edu/entries/vagueness/
【歪钩的回答(0票)】:
所谓悖论，就是脱离实际的智障，电脑里叫死循环。一旦结合现实，一切悖论都会被重置，消失，因为它们根本就不存在，都是虚拟假设的，直到后来被骗子设立骗局。
【李光的回答(0票)】:
其实解释这个悖论很简单。。。有两种办法
1 不承认预设前提 用严谨的数字论证 比如在学习语文的时候 我们说 人们 的“们”是指大于等于2的人 所以1粒谷子不是堆 2粒在实然上已经构成了“一小堆”的概念 所以说 两粒谷子不构成堆的前提预设是错误的 之所以产生理所应当的认可两粒不构成堆的原因是我们人类强大的意淫能力 我们一想到谷堆就总想到CCTV中农民伯伯憨厚的笑脸和背景中堆成小山一样的谷子。。
2 解答的方式就更简单了 否认题干 这个世界上是不是存在“谷堆” “富翁”“秃子” 从文意中 以上三个概念都是相对性概念 例如 100000个谷子组成的堆相较于两个谷子组成的就更能称之为”谷堆“ 财富积累了100W的和我比就更能被称之为富翁。
其实产生以上悖论的原因我认为是模糊了日常生活常识和严谨的数学论证的边界造成的情况。
【黄明皓的回答(0票)】:
请百度 模糊数学，一个人是不是秃头，可以给他打个分，没头发就是100%秃头，有一根头发99%，以此类推
【李一航的回答(0票)】:
为什么如此多的人认为这些悖论都是无聊的文字游戏呢？！正是这些悖论才有讨论的意义，非黑即白的问题既然已经有了确定的答案，还有什么可讨论的呢。辩题向来都是左右皆可的。
正式答案如下：
个人浅见。如有冒犯，还望海涵。
大神们用了过多的数学概念，却错过了从本质上来剖析这个问题：
无论“谷堆”还是“秃子”，都并不是“数学概念”！所以用量化的数学语言去定义本身就是无法做到的。
精确的数学语言只能表述精确的数学概念。诸如谷堆等事物的定义，与数学不是同一领域。
另外，如果一定要用数学去表述堆垛类问题，我认为用概率论会更合适。举例来说：
我爱 一个美女。她稍微变丑一点点，是不会改变我爱她这个事实的。这是否说明世界上没有我不爱的女孩呢？不是的。一个女孩越丑，我爱上她的概率就越小。
如果一个人撒一把随机数量的谷子在地上，然后我们问另一个人：这是谷堆吗？ 很明显，谷子的数量越大，这个人认为这可以称为谷堆的概率就越高。若扔下的谷子数量是1，我们可以认为它被看作是谷堆的概率趋近于零。若谷子数是1亿，那么概率会趋近于1。
结论：
1.数学语言只能做到精确的定义数学概念。对其他领域的定义会显出无力。这不代表不能描述，而是只能描述其相关性，却不能做出是与非的定义。
2.对于堆垛类概念，使用概率论领域内的数学语言能更贴切的描述。
以上。
非数学专业，妄言这么多，望指正。
【知乎用户的回答(0票)】:
根据你的定义当然不存在。但是你这么定义不符合实际。比如算不算谷堆，这是由人说了算的，而不是由你的公理说了算的。
我觉得应该把问题改成
现在有N粒谷子，随便找一个人来，问这个算不算谷堆，他只能答算或者不算。现在问你，他会答算还是不算呢？假如你猜对了奖2块钱，猜错了扣1块钱，你是猜算还是不算呢？假如你猜对了奖1块钱，猜错了扣2块钱，你是猜算还是不算呢？
这就是个概率问题吧。
【赵阳的回答(0票)】:
首先你得定义什么是谷堆，定义了以后自然解决
原文地址:知乎