自动控制原理课后答案5(1)

第五章 线性系统的频域分析与校正

习题与解答

5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。

ur

c

c

(a) (b)

图5-75 R-C网络

解 （a)依图：

Uc(s)

Ur(s)

R2

1R2

1R1

sC

R1



K1(1s1)T1s1

R2

K1RR

12

 1R1CRRCT112R1R2

Ga(j)

Uc(j)R2jR1R2CK(1j1)

1

Ur(j)R1R2jR1R2C1jT1

(b)依图：

Uc(s)Ur(s)

R2

11sC



2s1

T2s1

R1R2

2R2C



T(RR)C122

Gb(j)

Uc(j)1jR2C1j2



Ur(j)1j(R1R2)C1jT2

5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t) （1） r(t)sin2t

（2） r(t)sin(t30)2cos(2t45)

解 系统闭环传递函数为: (s)

1

图5-76 系统结构图 s2

频率特性: (j

)

12

j22

j244

幅频特性: (j)

14

2

相频特性: ()arctan(系统误差传递函数: e(s)

) 2

1s1

,

1G(s)s2

24

2

则 e(j)

,

e(j)arctanarctan(



2

)

（1）当r(t)sin2t时, 2，rm=1 则 (j)2

18

0.35, (j2)arctan(

2

)45 2

2

e(j2)18.4

6





e(j)2

0.79,

cssrm(j2)sin(2t)0.35sin(2t45) essrme(j2)sin(2te)0.79sin(2t18.4) （2） 当 r(t)sin(t30)2cos(2t45)时: 



11,22,

rm11rm22

(j1)

5

0.455

0.635



(j1))26.5

13

12

e(j1)e(j1))18.4



cs(t)rm(j1)sin[t30(j1)]rm(j2)cos[2t45(j2)] 0.4sin(t3.4)0.7cos(2t90)

es(t)rme(j1)sin[t30e(j1)]rme(j2)cos[2t45e(j2)] 0.63sin(t48.4)1.58cos(2t26.6)

5-3 若系统单位阶跃响应











h(t)11.8e4t0.8e9t试求系统频率特性。 解 C(s)

(t0)

11.80.836,R(s)

1 ss4s9s(s4)(s9)

则

C(s)R(s)(s)

36

(s4)(s9)

频率特性为 (j)

36

(j4)(j9)

5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：

(1)G(s)K/s (2)G(s)K/s2 (3)

G(s)K/s3

解 (1)

G(j)KKj(

)j

e2

0,G(j0) ,G(j)0

()



2

幅频特性如图解5-4(a)。 (2)

G(j)

K()(j)2



K

2

ej

0,G(j0) ,

G(j)0

() 幅频特性如图解5-4(b)。 (3)

G(j)KKj(32)

(j)3



3e 0,G(j0) ,

G(j)0

s

图解5-4

()

3

2

幅频特性如图解5-4(c)。

5-5 已知系统开环传递函数 G(s)H(s)

10

2

s(2s1)(s0.5s1)

试分别计算 0.5 和2 时开环频率特性的幅值A()和相角()。

解 G(j)H(j)

10

j(1j2)((12j0.5)

A()

10

(2)

2

(1)(0.5)

222

()90arctan2arctan

0.5

2

1

计算可得 

A(0.5)17.8885A(2)0.3835



(0.5)153.435(2)327.53

5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。

5

(2s1)(8s1)10(1s)

(2) G(s) 2

s

(1) G(s)

解 (1) G(j)

5

(116)(10)

1

122

2

G(j)tg2tg8tg取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， G(j)5, ② ω=0.25时, G(j)2, ③ ω=∞时, G(j)0,幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。

1

10

1162

G(j)00 G(j)90 G(j)1800

图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图

(2) G(j)

2

2

1

G(j)tg180 两个特殊点： ① ω=0时， G(j) ② ω=∞时, G(j)0幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。

5-7 已知系统开环传递函数 G(s)

,G(j)1800 ,G(j)900

K(T2s1)

； K,T1,T20

s(T1s1)

当1时，G(j)180，G(j)0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式G(j)。

解 G(s)

K(T2s1)

s(T1s1)

先绘制G0(s)

K(T2s1)

的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到G(j)幅相曲线。

s(T1s1)

G0(s)的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲线如图解

5-7(c)所示。

依题意有： Kv

limsG(s)K， essvK1，因此K1。

s0

G(j1)arctanT290arctanT1180

arctanT1arctanT2arctan

T1T2

90

1T1T2

T1T21

T1T2j(T1T2)(T1T2)

另有： G(j1)(1jT2)(1jT1)0.5 222

1T11T21T2

T222T212T1T222T2120

T232T22T22(T221)(T22)0

可得： T2

2，T120.5，K1。

1j2

j(1j0.5)

所以： G(j)

5-8 已知系统开环传递函数 G(s)



10

2

s(s1)(s1)

试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。

解 G(j)的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。

0变化时，有 G(j0)90 G(j1)135 G(1)315

G(j)0360

分析s平面各零极点矢量随0的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。

5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。 (1) G(s) (2) G(s) (3) G(s) (4) G(s)

(5) G(s)

解 (1) G(s)

2

；

(2s1)(8s1)

200

；

s2(s1)(10s1)

40(s0.5)

s(s0.2)(s2s1)

20(3s1)

s2(6s1)(s24s25)(10s1)

8(s0.1)

s(s2s1)(s24s25)

2

(2s1)(8s1

)

图解5-9（1） Bode图 Nyquist图

(2) G(s)

200

s2

(s1)(10s1)

图解5-9（2） Bode图 Nyquist图

(3) G(s)

40(s0.5)



s(s0.2)(s2s1)

100(2s1)ss(1)(s2s1)0.2

图解5-9（3） Bode图 Nyquist图

(4) G(s)

20(3s1)

s2(6s1)(s24s25)(10s1)

20

(3s1) G(s)2s42

s(6s1)s1(10s1)

255

图解5-9（4） Bode图 Nyquist图

0.81

s1

8(s0.1)250.1 (5) G

(s) 222

s(ss1)(s4s25)142

s(ss1)ss1

525

图解5-9（5） Bode图 Nyquist图

5-10 若传递函数

G(s)

K

G0(s) sv

式中，G0(s)为G(s)中，除比例和积分两种环节外的部分。试证 1K

式中，1为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB线交点的频率，如图5－77所示。

1v

证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为

1

K。 vs

K

题意即要证明v的对数幅频曲线与0db交点处的频率值1Kv。因此，令

s

20lg

K(j)

v

0，可得

K

v1

1, 故 K,

v11K，证毕。

1v

5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求：

（1）写出对应的传递函数；

（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。

图 5－78 5－11题图

解 (a) 依图可写出：G(s)

K(1

1)(

2

1)

K100

其中参数：

20lgKL()40db，

则： G(s)

100

(s1)(s1)

12

图解5-11（a） Bode图 Nyquist图

K(

(b) 依图可写出 G(s)

s

1

1)

s2(

K01

C

2

2

1)

图解5-11（b） Bode图 Nyquist图

(c) G(s)

Ks(2

1)(

3

1)

1



20lgK10,

K

1

图解5-11（c） Bode图 Nyquist图

5-12 已知G1(s)、G2(s)和G3(s)均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 G4(s)

G1(s)G2(s)

1G2(s)G3(s)

的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 解：(1)  

L1()20lgK145.11 K1180

则： G1(s)K1

K2

s(1)0.8

K2

0 , K21 20lgK2/20lg1

L3()20lgK320lg0.111K30 (3) 

(2) G2(s)  (4) 

K3

1

90.111

,

G3(s)K3s9s

G4(s)

G1G2

1G2G318

s(0.125s1)

将G1,G2,G3代入得：G4(s)

对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：

图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图

5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。

5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

G(s)

K

； (K,T0)

s(Ts1)(s1)

（1）T2时，K值的范围； （2）K10时，T值的范围； （3）K,T值的范围。

KK(1T)j(1T2)

解 G(j)X()Y() 222

j(1j)(1jT)(1)(1T)

令 Y()0，解出



1，代入X()表达式并令其绝对值小于1

X(得出： 0K

1)

KT

1 1T

1T1

或 0T TK1

3

（1）T2时，0K；

21

（2）K10时，0T；

9

（3）K,T值的范围如图解5-14中阴影部分所示。

5-15 已知系统开环传递函数

10(s22s5)

G(s)

(s2)(s0.5)

试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。G(j)的起点、终点为： G(j0)50180 G(j)100

G(j)与实轴的交点：

10(52j2)

G(j)

(2j)(0.5j)

2

2



10(5)(1)3j(5.53.5)

(12)2(1.5)2

2

2

令ImG(j)0 可解出

05.5/3.51.254

代入实部 ReG(j0)4.037

概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 Z

P2N12(

1

)2 2

所以闭环系统不稳定。

5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中

1

G(s)

s(1s)2

,

s3

H(s)

(s1)2

试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。

s2

解 内回路开环传递函数: G0(s)G(s)H(s)

(s1)4

G(j0)00

G(j0)0180



G(j)01800

大致画出G0(j)的幅相曲线如图解5-16所示。可见G0(j)不会包围（-1,j0）点。 

Z0P02N00200

即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 PZ00

由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据 Z

5-17 已知系统开环传递函数 G(s)

P2NZ12N02(1)2

系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。

10

s(0.2s20.8s1)

试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。

1010[0.8j(10.22)]

G(j) 22

j(1j0.2)(1j)(1)(10.04)

G(j)的起点、终点为：

G(j0)180 G(j0)270 G(j)0270 limRe[G

(j)]8

0



幅相特性曲线G(j)与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T10.2，小于不稳定惯性环节的时间常数T21，故()呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N12(表明闭环系统不稳定。

1

)2 2

5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 G(s)

10

s2

s(s1)(1)

4

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当0变化时，G(j)的变化趋势：

G(j0)0 G(j0)90 G(j2)153.4 G(j2)333.4 G(j)0360

绘出幅相特性曲线G(j)如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N02(1)2 表明闭环系统不稳定。



5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为

100

s(0.2s1)

50

G(s) (2)

(0.2s1)(s2)(s0.5)

10

(3) G(s)

s(0.1s1)(0.25s1)

s100(1)

(4) G(s) ss

s(s111)

1020

(1) G(s)

试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) G(s)

100



s(0.2s1)

100

s(1)5

C10022.36

画Bode图得：

g

1800G(j)1800900tg10.2C12.60

h

1G(g)



图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图

(2) G(s)

5050



ss(0.2s1)(s2)(s0.5)

(1)(1)(2s1)52

画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。 由Bode图得：c

6

1

50

令： G(j)

cc

52

解得 c

6.3

2c

1

令： G(jg)tg

1

g

5

tg

g

2

tg12g1800 解得 g3.7

1800G(j)1800tg1

1



G(g)

(

C

5

tg1

C

2

tg12C29.40

g

5

)1(

2

g

h

250

)21(2g)21

0.391

图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图

(3) G(s)

10



s(0.1s1)(0.25s1)

10s(1)(1)104

C4106.325

画Bode图得：

g4106.325

00

系统临界稳定。 h1

图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图

s100(1)

(4) G(s) ss

s(s1)(1)(1)

1020

c21.5

画Bode图得：

13.1g

180(c)24.8



h0.3439.3(dB)

系统不稳定。

5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)

试确定相角裕度为45°时的α值。 as1

s2

(a)2

解 G(j)

1

2

(tga1800)

开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点： 2

A()1a2c

2

1

c

即： 4

2ca

2c1 (1)

要求相位裕度 1800

(0

c)45

即： (1c)tgac18045018001350 

ac1 (2)

联立求解（1）、（2）两式得：c1.19， a0.84。

5-21 在已知系统中 G(s)

10

s(s1)

,

H(s)1Khs

试确定闭环系统临界稳定时的Kh。 解 开环系统传递函数为 G(s)H(s)

10(1Khs)

s(s1)

解法(一):画伯特图如图解5-21所示

图解5-21

G(j)H(j)

10(Khj1)

j(j1)

临界稳定时 (c)9001800tg1ctg1Khc1800 tg1ctg1Khc900

cKhc



1cKhc

2

1Khc0 Kh

1

c2

由Bode图 c3.16 

Kh0.1

G(j)H(j)

10(1Khj)

u()jv()

j(j1)

法(二) 

10(1Kh)10(Kh21)

u() ; v() 22

(1)(1)

令 v()0 , 则 10(Kh21)0  

2Kh



1

(1) Kh

又令 u()

10(1Kh)

1

(21)

1

1) Kh

代入(1)得： 10(1Kh)(

2

10Kh9Kh10 解出： Kh

19 Kh

1020

,Kh1（舍去）。

故当 1/秒，Kh时，系统临界稳定。

Ke0.8s

5-22 若单位反馈系统的开环传递函数G(s)，试确定使系统稳定的K的临界

s1

值。

解 G(j)

K

ej0.8

1j

幅频特性为 G(j)相频特性为 ()e

K1

j0.8

2



1

0.8tg1()

1j

求幅相特性通过(-1,j0)点时的Ｋ值 即 G(j)

K

2

1 (1)

1

()G(j)0.8tg (2) 由(2)式 tg0.8

tg(tg)tg(0.8)tg0.8 tg0.8 代入(1)：

11

K[tg(0.8)]

2

1



K[tg(0.8)]2sec0.8

,

K2.65

解出 : c2.45

5-23 设单位反馈系统的开环传递函数

5s2es

G(s) 4

(s1)

试确定闭环系统稳定的延迟时间τ的范围。

52

1 (1) 解 令 G(j)

(12)2

G(j)180

2

由(1): 1

180



4tg11800 (2)

解得： 11.618, 20.618(舍去） 将ω=0.618代入(2)式： 

180



36004tg1

解得：τ=1.3686,由图可见：当τ〈1.3686时，G(jω)不包围(-1,j0)点,所以的稳定范围是： 0

5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求 （1）写出系统开环传递函数； （2）利用相角裕度判断系统的稳定性；

（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。 解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： G(s)

10

ss

s(1)(1)0.120

（2）系统的开环相频特性为 ()90arctan截止频率 c0.1101 相角裕度 180(c)2.85 故系统稳定。

（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数



0.1

arctan



20

G(s)

100

s

s(s1)(1)

200

其截止频率 c110c10

而相角裕度 1180(c1)2.85 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得



0.160.4(

1

1)=1 sin

ts

K0

c



K0

0.1ts1

10c1

所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。

第五章 线性系统的频域分析与校正

习题与解答

5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。

ur

c

c

(a) (b)

图5-75 R-C网络

解 （a)依图：

Uc(s)

Ur(s)

R2

1R2

1R1

sC

R1



K1(1s1)T1s1

R2

K1RR

12

 1R1CRRCT112R1R2

Ga(j)

Uc(j)R2jR1R2CK(1j1)

1

Ur(j)R1R2jR1R2C1jT1

(b)依图：

Uc(s)Ur(s)

R2

11sC



2s1

T2s1

R1R2

2R2C



T(RR)C122

Gb(j)

Uc(j)1jR2C1j2



Ur(j)1j(R1R2)C1jT2

5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t) （1） r(t)sin2t

（2） r(t)sin(t30)2cos(2t45)

解 系统闭环传递函数为: (s)

1

图5-76 系统结构图 s2

频率特性: (j

)

12

j22

j244

幅频特性: (j)

14

2

相频特性: ()arctan(系统误差传递函数: e(s)

) 2

1s1

,

1G(s)s2

24

2

则 e(j)

,

e(j)arctanarctan(



2

)

（1）当r(t)sin2t时, 2，rm=1 则 (j)2

18

0.35, (j2)arctan(

2

)45 2

2

e(j2)18.4

6





e(j)2

0.79,

cssrm(j2)sin(2t)0.35sin(2t45) essrme(j2)sin(2te)0.79sin(2t18.4) （2） 当 r(t)sin(t30)2cos(2t45)时: 



11,22,

rm11rm22

(j1)

5

0.455

0.635



(j1))26.5

13

12

e(j1)e(j1))18.4



cs(t)rm(j1)sin[t30(j1)]rm(j2)cos[2t45(j2)] 0.4sin(t3.4)0.7cos(2t90)

es(t)rme(j1)sin[t30e(j1)]rme(j2)cos[2t45e(j2)] 0.63sin(t48.4)1.58cos(2t26.6)

5-3 若系统单位阶跃响应











h(t)11.8e4t0.8e9t试求系统频率特性。 解 C(s)

(t0)

11.80.836,R(s)

1 ss4s9s(s4)(s9)

则

C(s)R(s)(s)

36

(s4)(s9)

频率特性为 (j)

36

(j4)(j9)

5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：

(1)G(s)K/s (2)G(s)K/s2 (3)

G(s)K/s3

解 (1)

G(j)KKj(

)j

e2

0,G(j0) ,G(j)0

()



2

幅频特性如图解5-4(a)。 (2)

G(j)

K()(j)2



K

2

ej

0,G(j0) ,

G(j)0

() 幅频特性如图解5-4(b)。 (3)

G(j)KKj(32)

(j)3



3e 0,G(j0) ,

G(j)0

s

图解5-4

()

3

2

幅频特性如图解5-4(c)。

5-5 已知系统开环传递函数 G(s)H(s)

10

2

s(2s1)(s0.5s1)

试分别计算 0.5 和2 时开环频率特性的幅值A()和相角()。

解 G(j)H(j)

10

j(1j2)((12j0.5)

A()

10

(2)

2

(1)(0.5)

222

()90arctan2arctan

0.5

2

1

计算可得 

A(0.5)17.8885A(2)0.3835



(0.5)153.435(2)327.53

5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。

5

(2s1)(8s1)10(1s)

(2) G(s) 2

s

(1) G(s)

解 (1) G(j)

5

(116)(10)

1

122

2

G(j)tg2tg8tg取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， G(j)5, ② ω=0.25时, G(j)2, ③ ω=∞时, G(j)0,幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。

1

10

1162

G(j)00 G(j)90 G(j)1800

图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图

(2) G(j)

2

2

1

G(j)tg180 两个特殊点： ① ω=0时， G(j) ② ω=∞时, G(j)0幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。

5-7 已知系统开环传递函数 G(s)

,G(j)1800 ,G(j)900

K(T2s1)

； K,T1,T20

s(T1s1)

当1时，G(j)180，G(j)0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式G(j)。

解 G(s)

K(T2s1)

s(T1s1)

先绘制G0(s)

K(T2s1)

的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到G(j)幅相曲线。

s(T1s1)

G0(s)的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲线如图解

5-7(c)所示。

依题意有： Kv

limsG(s)K， essvK1，因此K1。

s0

G(j1)arctanT290arctanT1180

arctanT1arctanT2arctan

T1T2

90

1T1T2

T1T21

T1T2j(T1T2)(T1T2)

另有： G(j1)(1jT2)(1jT1)0.5 222

1T11T21T2

T222T212T1T222T2120

T232T22T22(T221)(T22)0

可得： T2

2，T120.5，K1。

1j2

j(1j0.5)

所以： G(j)

5-8 已知系统开环传递函数 G(s)



10

2

s(s1)(s1)

试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。

解 G(j)的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。

0变化时，有 G(j0)90 G(j1)135 G(1)315

G(j)0360

分析s平面各零极点矢量随0的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。

5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。 (1) G(s) (2) G(s) (3) G(s) (4) G(s)

(5) G(s)

解 (1) G(s)

2

；

(2s1)(8s1)

200

；

s2(s1)(10s1)

40(s0.5)

s(s0.2)(s2s1)

20(3s1)

s2(6s1)(s24s25)(10s1)

8(s0.1)

s(s2s1)(s24s25)

2

(2s1)(8s1

)

图解5-9（1） Bode图 Nyquist图

(2) G(s)

200

s2

(s1)(10s1)

图解5-9（2） Bode图 Nyquist图

(3) G(s)

40(s0.5)



s(s0.2)(s2s1)

100(2s1)ss(1)(s2s1)0.2

图解5-9（3） Bode图 Nyquist图

(4) G(s)

20(3s1)

s2(6s1)(s24s25)(10s1)

20

(3s1) G(s)2s42

s(6s1)s1(10s1)

255

图解5-9（4） Bode图 Nyquist图

0.81

s1

8(s0.1)250.1 (5) G

(s) 222

s(ss1)(s4s25)142

s(ss1)ss1

525

图解5-9（5） Bode图 Nyquist图

5-10 若传递函数

G(s)

K

G0(s) sv

式中，G0(s)为G(s)中，除比例和积分两种环节外的部分。试证 1K

式中，1为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB线交点的频率，如图5－77所示。

1v

证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为

1

K。 vs

K

题意即要证明v的对数幅频曲线与0db交点处的频率值1Kv。因此，令

s

20lg

K(j)

v

0，可得

K

v1

1, 故 K,

v11K，证毕。

1v

5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求：

（1）写出对应的传递函数；

（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。

图 5－78 5－11题图

解 (a) 依图可写出：G(s)

K(1

1)(

2

1)

K100

其中参数：

20lgKL()40db，

则： G(s)

100

(s1)(s1)

12

图解5-11（a） Bode图 Nyquist图

K(

(b) 依图可写出 G(s)

s

1

1)

s2(

K01

C

2

2

1)

图解5-11（b） Bode图 Nyquist图

(c) G(s)

Ks(2

1)(

3

1)

1



20lgK10,

K

1

图解5-11（c） Bode图 Nyquist图

5-12 已知G1(s)、G2(s)和G3(s)均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 G4(s)

G1(s)G2(s)

1G2(s)G3(s)

的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 解：(1)  

L1()20lgK145.11 K1180

则： G1(s)K1

K2

s(1)0.8

K2

0 , K21 20lgK2/20lg1

L3()20lgK320lg0.111K30 (3) 

(2) G2(s)  (4) 

K3

1

90.111

,

G3(s)K3s9s

G4(s)

G1G2

1G2G318

s(0.125s1)

将G1,G2,G3代入得：G4(s)

对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：

图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图

5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。

5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

G(s)

K

； (K,T0)

s(Ts1)(s1)

（1）T2时，K值的范围； （2）K10时，T值的范围； （3）K,T值的范围。

KK(1T)j(1T2)

解 G(j)X()Y() 222

j(1j)(1jT)(1)(1T)

令 Y()0，解出



1，代入X()表达式并令其绝对值小于1

X(得出： 0K

1)

KT

1 1T

1T1

或 0T TK1

3

（1）T2时，0K；

21

（2）K10时，0T；

9

（3）K,T值的范围如图解5-14中阴影部分所示。

5-15 已知系统开环传递函数

10(s22s5)

G(s)

(s2)(s0.5)

试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。G(j)的起点、终点为： G(j0)50180 G(j)100

G(j)与实轴的交点：

10(52j2)

G(j)

(2j)(0.5j)

2

2



10(5)(1)3j(5.53.5)

(12)2(1.5)2

2

2

令ImG(j)0 可解出

05.5/3.51.254

代入实部 ReG(j0)4.037

概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 Z

P2N12(

1

)2 2

所以闭环系统不稳定。

5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中

1

G(s)

s(1s)2

,

s3

H(s)

(s1)2

试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。

s2

解 内回路开环传递函数: G0(s)G(s)H(s)

(s1)4

G(j0)00

G(j0)0180



G(j)01800

大致画出G0(j)的幅相曲线如图解5-16所示。可见G0(j)不会包围（-1,j0）点。 

Z0P02N00200

即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 PZ00

由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据 Z

5-17 已知系统开环传递函数 G(s)

P2NZ12N02(1)2

系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。

10

s(0.2s20.8s1)

试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。

1010[0.8j(10.22)]

G(j) 22

j(1j0.2)(1j)(1)(10.04)

G(j)的起点、终点为：

G(j0)180 G(j0)270 G(j)0270 limRe[G

(j)]8

0



幅相特性曲线G(j)与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T10.2，小于不稳定惯性环节的时间常数T21，故()呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N12(表明闭环系统不稳定。

1

)2 2

5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 G(s)

10

s2

s(s1)(1)

4

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当0变化时，G(j)的变化趋势：

G(j0)0 G(j0)90 G(j2)153.4 G(j2)333.4 G(j)0360

绘出幅相特性曲线G(j)如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N02(1)2 表明闭环系统不稳定。



5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为

100

s(0.2s1)

50

G(s) (2)

(0.2s1)(s2)(s0.5)

10

(3) G(s)

s(0.1s1)(0.25s1)

s100(1)

(4) G(s) ss

s(s111)

1020

(1) G(s)

试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) G(s)

100



s(0.2s1)

100

s(1)5

C10022.36

画Bode图得：

g

1800G(j)1800900tg10.2C12.60

h

1G(g)



图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图

(2) G(s)

5050



ss(0.2s1)(s2)(s0.5)

(1)(1)(2s1)52

画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。 由Bode图得：c

6

1

50

令： G(j)

cc

52

解得 c

6.3

2c

1

令： G(jg)tg

1

g

5

tg

g

2

tg12g1800 解得 g3.7

1800G(j)1800tg1

1



G(g)

(

C

5

tg1

C

2

tg12C29.40

g

5

)1(

2

g

h

250

)21(2g)21

0.391

图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图

(3) G(s)

10



s(0.1s1)(0.25s1)

10s(1)(1)104

C4106.325

画Bode图得：

g4106.325

00

系统临界稳定。 h1

图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图

s100(1)

(4) G(s) ss

s(s1)(1)(1)

1020

c21.5

画Bode图得：

13.1g

180(c)24.8



h0.3439.3(dB)

系统不稳定。

5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)

试确定相角裕度为45°时的α值。 as1

s2

(a)2

解 G(j)

1

2

(tga1800)

开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点： 2

A()1a2c

2

1

c

即： 4

2ca

2c1 (1)

要求相位裕度 1800

(0

c)45

即： (1c)tgac18045018001350 

ac1 (2)

联立求解（1）、（2）两式得：c1.19， a0.84。

5-21 在已知系统中 G(s)

10

s(s1)

,

H(s)1Khs

试确定闭环系统临界稳定时的Kh。 解 开环系统传递函数为 G(s)H(s)

10(1Khs)

s(s1)

解法(一):画伯特图如图解5-21所示

图解5-21

G(j)H(j)

10(Khj1)

j(j1)

临界稳定时 (c)9001800tg1ctg1Khc1800 tg1ctg1Khc900

cKhc



1cKhc

2

1Khc0 Kh

1

c2

由Bode图 c3.16 

Kh0.1

G(j)H(j)

10(1Khj)

u()jv()

j(j1)

法(二) 

10(1Kh)10(Kh21)

u() ; v() 22

(1)(1)

令 v()0 , 则 10(Kh21)0  

2Kh



1

(1) Kh

又令 u()

10(1Kh)

1

(21)

1

1) Kh

代入(1)得： 10(1Kh)(

2

10Kh9Kh10 解出： Kh

19 Kh

1020

,Kh1（舍去）。

故当 1/秒，Kh时，系统临界稳定。

Ke0.8s

5-22 若单位反馈系统的开环传递函数G(s)，试确定使系统稳定的K的临界

s1

值。

解 G(j)

K

ej0.8

1j

幅频特性为 G(j)相频特性为 ()e

K1

j0.8

2



1

0.8tg1()

1j

求幅相特性通过(-1,j0)点时的Ｋ值 即 G(j)

K

2

1 (1)

1

()G(j)0.8tg (2) 由(2)式 tg0.8

tg(tg)tg(0.8)tg0.8 tg0.8 代入(1)：

11

K[tg(0.8)]

2

1



K[tg(0.8)]2sec0.8

,

K2.65

解出 : c2.45

5-23 设单位反馈系统的开环传递函数

5s2es

G(s) 4

(s1)

试确定闭环系统稳定的延迟时间τ的范围。

52

1 (1) 解 令 G(j)

(12)2

G(j)180

2

由(1): 1

180



4tg11800 (2)

解得： 11.618, 20.618(舍去） 将ω=0.618代入(2)式： 

180



36004tg1

解得：τ=1.3686,由图可见：当τ〈1.3686时，G(jω)不包围(-1,j0)点,所以的稳定范围是： 0

5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求 （1）写出系统开环传递函数； （2）利用相角裕度判断系统的稳定性；

（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。 解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： G(s)

10

ss

s(1)(1)0.120

（2）系统的开环相频特性为 ()90arctan截止频率 c0.1101 相角裕度 180(c)2.85 故系统稳定。

（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数



0.1

arctan



20

G(s)

100

s

s(s1)(1)

200

其截止频率 c110c10

而相角裕度 1180(c1)2.85 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得



0.160.4(

1

1)=1 sin

ts

K0

c



K0

0.1ts1

10c1

所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。