函数与方程
1. 函数零点的定义
(1) 对于函数y =f (x )(x ∈D ), 把使__________成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D )的零点。
(2) 方程f (x )=0有实根⇔函数y =f (x )的图像________⇔函数y =f (x )有_______
2. 函数零点的判定
如果函数y =f (x )在区间a,b 上连续，并且有___________，那么函数y =f (x )在区间(a,b )内有零点，即存在c ∈(a,b )，使得___________，c 就是f (x )=0的零点。 []
1. 二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与零点的关系
2. 二分法
例1 判断下列函数在给定区间上的零点的个数
(1) f (x )=ln x -
31x x ∈[1, 3] (2) f (x )=x +x +2
(3) f (x )=x +x -x -1 32
例2 若函数f (x )=ax -x -1仅有一个零点，求实数a 的取值范围 2
例3 已知a 是实数，函数f (x )=2ax +2x -3-a ，如果函数y =f (x )在区间-11, 上有2[]零点，求a 的取值范围
例4 若奇函数f (x )的定义域为R ，且在(0, +∞)上单调递增，若f (1)=0，求函数f (x )在(-2, 2)内的零点个数。
函数的图像
1. 基本初等函数的图像
指数函数，对数函数，幂函数，三角函数
2. 平移变换
y=f(x) −−−→ y=f(x+a) 沿x 轴
当a>0时，向左平移a 个单位
当a
y=f(x) y 轴−沿−−→ y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a 个单位
当a
3. 对称变换
关于y 轴对称y =f (x )−−−−−→y =f (-x )
关于x 轴对称−→y =-f (x ) y =f (x )−−−−
关于原点对称y =f (x )−−−−−→y =-f (-x )
4. 翻折变换
(1) y=f(x) →y=f(|x|)，将y=f(x)图象在y 轴右侧部分沿y 轴翻折到y 轴左侧，并保留y 轴右侧部分。
(2) y=f(x)→y=|f(x)|，将y=f(x)图象在x 轴下侧部分沿x 轴翻折到 x 轴上侧，并保留x 轴上侧部分。
5. 伸缩变换
(1) y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A
＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到．
(2) y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩
（a ＞1）到原来的1，纵坐标不变而得到． a
例1 作出下列函数的图像
(1) y =x - (2) y =x x -1
(3) y =2x +1-1 (4) y =2(x +1)
例2 当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象是（ ）
－
例3 已知函数f （x ）＝ax ＋bx ＋cx +d 的图象如图，则（ ）
A ．b ∈（－∞，0） B ．b ∈（0，1）
C ．b ∈（1，2） D ．b ∈（2，＋∞）
例4 把函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2，3) 平移，得到y ＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( )
(A)ex 3＋2 (B)ex 3－2 (C)ex 2＋3 (D)ex 2－3 －＋－＋32
例1 如图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是 ( )
(A)m1 (B)m>0，n>l
(C)m>0，0
例2 方程x =cos x 在(-∞, +∞)内的零点个数
函数与方程
1. 函数零点的定义
(1) 对于函数y =f (x )(x ∈D ), 把使__________成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D )的零点。
(2) 方程f (x )=0有实根⇔函数y =f (x )的图像________⇔函数y =f (x )有_______
2. 函数零点的判定
如果函数y =f (x )在区间a,b 上连续，并且有___________，那么函数y =f (x )在区间(a,b )内有零点，即存在c ∈(a,b )，使得___________，c 就是f (x )=0的零点。 []
1. 二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与零点的关系
2. 二分法
例1 判断下列函数在给定区间上的零点的个数
(1) f (x )=ln x -
31x x ∈[1, 3] (2) f (x )=x +x +2
(3) f (x )=x +x -x -1 32
例2 若函数f (x )=ax -x -1仅有一个零点，求实数a 的取值范围 2
例3 已知a 是实数，函数f (x )=2ax +2x -3-a ，如果函数y =f (x )在区间-11, 上有2[]零点，求a 的取值范围
例4 若奇函数f (x )的定义域为R ，且在(0, +∞)上单调递增，若f (1)=0，求函数f (x )在(-2, 2)内的零点个数。
函数的图像
1. 基本初等函数的图像
指数函数，对数函数，幂函数，三角函数
2. 平移变换
y=f(x) −−−→ y=f(x+a) 沿x 轴
当a>0时，向左平移a 个单位
当a
y=f(x) y 轴−沿−−→ y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a 个单位
当a
3. 对称变换
关于y 轴对称y =f (x )−−−−−→y =f (-x )
关于x 轴对称−→y =-f (x ) y =f (x )−−−−
关于原点对称y =f (x )−−−−−→y =-f (-x )
4. 翻折变换
(1) y=f(x) →y=f(|x|)，将y=f(x)图象在y 轴右侧部分沿y 轴翻折到y 轴左侧，并保留y 轴右侧部分。
(2) y=f(x)→y=|f(x)|，将y=f(x)图象在x 轴下侧部分沿x 轴翻折到 x 轴上侧，并保留x 轴上侧部分。
5. 伸缩变换
(1) y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A
＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到．
(2) y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩
（a ＞1）到原来的1，纵坐标不变而得到． a
例1 作出下列函数的图像
(1) y =x - (2) y =x x -1
(3) y =2x +1-1 (4) y =2(x +1)
例2 当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象是（ ）
－
例3 已知函数f （x ）＝ax ＋bx ＋cx +d 的图象如图，则（ ）
A ．b ∈（－∞，0） B ．b ∈（0，1）
C ．b ∈（1，2） D ．b ∈（2，＋∞）
例4 把函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2，3) 平移，得到y ＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( )
(A)ex 3＋2 (B)ex 3－2 (C)ex 2＋3 (D)ex 2－3 －＋－＋32
例1 如图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是 ( )
(A)m1 (B)m>0，n>l
(C)m>0，0
例2 方程x =cos x 在(-∞, +∞)内的零点个数