2014届高考总复习60天冲刺模拟卷
理科数学卷（二）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的
1. 设a ∈R ，且(1+ai ) 2i 为正实数，则a =( )
A．0 B ．-1 C ．±1 D ．1 2．设集合A =⎨x
⎧
⎫x
⎩x -1⎭
B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件
C ．充要条件
3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入
的x 的值为（ ）
A．—1或1 B．—2或0 C．—2或1 D．—1或0 4. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰
直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 （ ） A ．
133+ B
．3+． D．
622
5．右边茎叶图中的数据是7名评委给参加校园歌手赛的
两位选手甲、乙评定的成绩，则乙选手成绩的众数出
正视图
现的频率是（
）
甲
2345A ． B． C． D． 5877714
6664
22
6. 已知直线l ：y =k (x -1) x +y =1相 2切，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．
侧视图
乙
7
89
9
464643
俯视图
ππ2π5π B. C. D.
3662
(x ≤1) ⎧8x -8
7．已知函数f (x ) =⎨2, g (x ) =ln x . 则f (x ) 与g (x ) 两函数的图像的交点个数为
x -6x +5(x >1) ⎩
（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4
1
8．已知四边形OABC 是边长为1的正方形，OD =3OA ，点P 为∆BCD 内（含边界）的动点，设OP =xOC +yOD (x , y ∈R ) ，则x +y 的最大值等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．
4 3
9．若x ∈A (x ≠0, x ≠1) ，且
11⎧
∈A ，则称A 是“圆梦关系集合”，在集合M =⎨-2, -1, -, 1-x 2⎩
11123
-, , , , , 2, 33232
概率是（ ） A ．
⎫
3⎬的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“圆梦关系集合”的⎭
5117 B． C． D． [1**********]23
1)，而后它按10．如图，一个物理粒子在第一秒内从原点运动到(0，2
0)→(0，1)→(1，1) 图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动（即(0，
0)→(2，0)→„）→(1，，且每一秒移动一个单位，那么2014秒时，1 2 3 4 x
这个物理粒子所处的位置的坐标为（ ）
A ．（10, 44） B．（11, 44） C ．（11, 45） D．（10, 45）
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。 1⎫11．二项式⎪的展开式中，常数项为______________．
x ⎭6
12．由曲线y =e , x =1, y =1所围成的图形面积是 .
13．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4, a 5是方程4x 2-8x +3=0的两根，则a 6
于_________. x
+a 7等
x 2y 2
14．已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y
a b
轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线左
, 则此双曲线的离心率为 2
⎧⎫⎧(3-2x ) 2013-2014(2x -3) =1⎪⎪⎪
15．已知集合P ＝（{x , y ) |2x +y =0}，Q ＝（⎨x , y ) |⎨⎬，数列2013
⎪(y -2) +1007(2y -4) =-1⎪⎪⎩⎩⎭
，其前n 项和为S n ，设点A (a 2n -1, a 2n ) ，若点A ∈P 或A ∈Q ，{a n }(n ∈N *) 的各项都为整数．．．．．．
顶点A 且直线B 1
F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为1，且当n 为偶数时，a n =
2
S n
, 则2014==______________。 21004
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 . （本小题满分13分）
小明打算从A 组和B 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择A 组动作的概率是选择B 组动作的概率的3倍，若小明选择A 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B 组动作则一定能正常发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A 组动作的概率是0.8． （Ⅰ）求小明选择A 组动作的概率；
（Ⅱ）设ξ表示小明比赛时获得的分数，求ξ的分布列与期望．
17. （本小题满分13分）
已知=(1+cos 2x , 1), =(-1, sin 2x +n ) (x ∈R , n ∈N *) ，且f (x ) =⋅. （Ⅰ）在锐角∆ABC 中，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边，且c =3, ∆ABC 的面积为3，
当n =1时，f (A ) =, 求a 的值. （Ⅱ）若x ∈[0,
]时，f (x ) 的最大值为a n （a n 为数列{a n }的通项公式），又数列{b n }满21
足b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
a n -1a n
π
18 ．（本小题满分13分）
如图1，正方形ABCD 的边长为6，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且BM =CN ，现将△CMN 用剪刀剪下，拼接成图2形状，然后沿图2中的AM ，△MCN ，MN ，AN 所在直线将△ABM ，△NDA 折起，使B ，C ，D 重合在点P ，如图3． （Ⅰ）求证：PA ⊥MN ；
（Ⅱ）求三棱锥P -AM N 体积的最大值；
（Ⅲ）当三棱锥P -AM N 体积取最大值时，求二面角P -AM -N 的余弦值．
B M B M (N D (M ) M
N
3
19 ．（本小题满分13分）
-1) 作抛物线y =x 2的两条切线，切点分别为A 、B ；过点P 的直如图所示，已知过一点P (1，
线l 与抛物线y =x 2和线段AB 分别相交于两点C 、D 和点Q ．
2 （Ⅰ）求直线AB 的方程；
（Ⅱ）试问：线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数是否构成等差数
列？请加以证明．
20．（本小题满分14分） 已知n ∈N ，定义函数f n (x ) =(1+x ) -1，记函数h (x ) =f 3(x ) -f 2(x )
（Ⅰ）求函数h (x ) 的极值；
（Ⅱ）若函数f n (x ) 的导函数记为f n '(x ) 。设
小关系；
（Ⅲ）对任意a
*
n
f n '(x 0) f (2)
，试比较h (x 0) 与h (2)大=n
f n '+1(x 0) f n +1(2)
g (a )
的最大值。 a 2
21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分. 若多做，则按所做的前两题计分. 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵M 有特征值λ1=8及对应特征向量α1=⎢⎥，且矩阵M 对应的变换将点(-1, 2) 变
1
⎡1⎤⎣⎦
换成(-2, 4)
（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若直线l 在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到直线l ':x -2y =4，求直线l 方程. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
) =
⎧x =2cos θ, ，圆C 的参数方程为⎨（其y =-2+2sin θ, ⎩
中θ为参数）
（Ⅰ）判断直线l 圆C 的位置关系；
⎧x =2cos ϕ，
（Ⅱ）若椭圆的参数方程为⎨（ϕ为参数），过圆C 的圆心且与直线l 垂直的
⎩y =sin ϕ
直线l '与椭圆相交于两点A , B ，求|CA |⋅|CB |.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
设函数f (x ) =x -1|+|x +1|-a （Ⅰ）当a =3时，求函数f (x ) 的定义域；
（Ⅱ）若函数f (x ) 的定义域为R , 求实数a 的取值范围.
4
龙岩一中2014届高考总复习60天冲刺模拟卷
理科数学卷（二）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一
11．15 12.e-2 13．18 14．2 15．1007
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 . （本小题满分13分）
解（Ⅰ）设小明选择B 组动作的概率为P ，则小明选择A 组动作的概率为3P ，依题意得P +3P =1
13
即P =, 3P =。所以小明选择A 组动作的概率为0.75„„„„„„
4分
44
（Ⅱ）依题意得ξ=10、6、8
3433131
P (ξ=10) =⨯=, P (ξ=6) =⨯=, P (ξ=8) =„„„„„„10分
45545204
∴ξ的分布列为
E ξ=
17. （本小题满分13分）
++2=8⋅9 „„„„„„„„„„„„„„„13分 520
解（Ⅰ） f (x ) =⋅=-1-3cos 2x +sin 2x +n ， =sin 2x -3cos 2x +n -1=2sin(2x -
当n =1时，由f (A ) =得：2sin(2A -∴sin(2A -
π
3
) +n -1，„„„„„„2分
π
3
) =3，
ππ2π3
，又∆ABC 是锐角三角形，∴-
33332
πππ
∴2A -=即A =，„„„„„„4分
333
133
=3得：b =4，„„„„„„5分 又由S ∆ABC =bc sin A =b ⨯
222
122222
由余弦定理得：a =b +c -2bc cos A =4+3-2⨯4⨯3⨯=13∴a =„„„7分
2
π
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f (x ) =2sin(2x -) +n -1
3
πππ5πππ2π
由0≤x ≤，可得：-≤2x -≤， 当2x -=即x =时，
33323212
) =
5
π
此时sin(2x -又b n =
π
3
) =1，∴f (x ) 取最大值为n +1，∴a n =n +1„„„„„„10分
111
=-
a n -1a n n (n +1) n n +1
111111n
=1-= ∴T n =1-+-+ +- „„„„„„13分
223n n +1n +1n +1
=
18 ．（本小题满分13分）
证明（Ⅰ）∵PA ⊥PM , PA⊥PN ∴PA ⊥面PMN ∵MN ⊂面PMN
∴PA ⊥MN „„„„„„ 3分
（Ⅱ）设BM=x , 则PM=x ，PN=6-x ，PA=6
∴V P -AMN =
1
11
⨯PM ⋅PN ⋅PA =x (6-x ) =-x 2+6x =-(x -3) 2+9 32
即当x =3时，三棱锥P -AM N 的体积有最大值为9。„„„„„„ 7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得PM=3，且PM 、PN 、PA 两两相互垂直，所以以点P 为坐标原点，PA 、PM 、PN 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
z
依题意得A （6,0,0），M （0,3,0），N （0,0,3）。
∴AM =(-6, 3, 0) , MN =(0, -3, 3 ）
⎧⎪n 1⋅AM =0设平面AMN 的法向量为n 1=(x , y , z ) 由⎨得
⎪⎩n 1⋅MN =0
y
n 1=(1,2, 2) ，„„„„„„ 10分
又平面PAM 的法向量为n 2=(0, 0,1) 。„„„„„„ 11分 ∴cos =
x
22
即二面角P -A M -N 的余弦值为„„„„„„ 13分 33
2
2
2
19 ．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）设A (m , m ) ，则y /|x =m =2m ，过点A (m , m ) 处的切线方程为y -m =2m (x -m ) ，
-1) 代入切线方程得m =1
A (1, 3-, B (1, 3+，由两点式得由P (1，
到直线AB 的方程为y =2x +1„„„„„„ 5分
⎧y =kx -k -1
y +1=（k x -1），C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），Q （x 3，y 3），由⎨（Ⅱ）设直线l ：得2
⎩y =x
x 2-kx +k +1=0。∴x 1+x 2=k ，x 1x 2＝k ＋１
⎧y =kx -k -1k +２4又由⎨得到x 3＝即1-x 3＝。„„„„„„ 7分
k -22-k y =２x ＋１⎩
∴
PQ PQ 1-x 31-x 311
+=+=-x 3(+) „„„„„„ 9分 PC PD -x 1-x 2-x 1-x 2
∵1-x 3,1-x 2,1-x 1是同号 ∴
PQ PQ -x 3-x 32-(x
1+x
2) 11
+=+=-x 3+=-x 3 PC PD -x 1-x 21-x 11-x 21-(x 1+x 2) +x 1x
2
6
即∴
PQ PQ 42-k
+==2„„„„„„ 12分 PC PD 2-k 2111112
+= ∴成等差数列 PC PQ PD PC PD PQ
即线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数构成等差数列。„„„„„„13分
20．（本小题满分14分） 解（Ⅰ）依题意得h (x ) =(1+x ) 3-1-(1+x ) 2+1=(1+x ) 2x =x 3+2x 2+x
∵h /(x ) =3x 2+4x +1=(3x +1)(x +1) ∴h (x ) =0⇒x 1=-
1
, x 2=-1 3
1⎤⎡1⎫⎡
∵函数h (x ) 在(-∞，-⎥为单调递减，在⎢-，+∞⎪为单调-1]为单调递增，在⎢-1，
3⎦⎣3⎭⎣
/
递增
h -1）=0， ∴函数h (x ) 在x =-1处取极大值，h (x ) 极大值=（
141h (x ) =h （-）=- 函数h (x ) 在x =-处取极小值，„„„„ 4分 极小值
3273
n (1+x 0) n -13n -1f ' n (x 0) f n (2)n (3n +1-1)
（Ⅱ）由，得， =n +1，即1+x 0==n n
f ' n +1(x 0) f n +1(2)(n +1)(3-1) (n +1)(1+x 0) 3-1
(2n -1)3n +1
解得x 0=， „„„„„„„„„ 5分
(n +1)(3n -1) 2n +3-3n +1x +1x +1
由x 0-2=，令ϕ(x ) =2x +3-3(x ≥1) ，则ϕ' (x ) =2-3⋅ln 3， n
(n +1)(3-1)
∵x ≥1．∴ϕ' (x )
所以ϕ(x ) 在[1, +∞) 为减函数，所以ϕ(x ) ≤ϕ(1)
n +1
所以x 0
(2n -1)3n +1⎡1⎫
>0h (x ) ∵n ∈N ∴x 0=，由（Ⅰ）知函数在 -，+∞⎪为单调递增，⎢3(n +1)(3n -1) ⎣⎭
∴由x 0
*
（-（Ⅲ）由h
（ⅰ）当a
1444
）=-⇒h (-) =-（如图） 327327
„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
4
时，g (a ) =h (x ) min =h (a ) =a 3+2a 2+a 3g (a ) 1
即ϕ(a ) =2=a ++2，
a a
431/
此时ϕ(a ) >0，∴ϕ(a )
3412
4144g (a ) 4
（ⅱ）当-≤a ≤-时，g (a ) =h (x ) min =h (-) =-即ϕ(a ) =2=-，此时
33327a 27a 2
491
ϕ/(a )
271612
7
1
即ϕ(a ) =2=a ++2，此时ϕ/(a )
a a 33
41
综上所述，对任意a
312
（ⅲ）当-
21．（1）选修4－2：矩阵与变换
⎡1⎤⎡8⎤⎧a +b =8，⎡a b ⎤⎡a b ⎤⎡1⎤
解（Ⅰ）设M =⎢⎥，则⎢c d ⎥⎢1⎥=8⎢1⎥=⎢8⎥，故⎨c +d =8
c d ⎣⎦⎣⎦⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡a b ⎤⎡-1⎤⎡-2⎤⎧-a +2b =-2，
又矩阵M 对应的变换将点(-1, 2) 变换成(-2, 4) ∴⎢，故 =⎨⎥⎢⎥⎢⎥
⎣c d ⎦⎣2⎦⎣4⎦⎩-c +2d =4
⎡62⎤
联立以上两方程组，解得：a =6, b =2, c =4, d =4，故M =⎢⎥. „„„„„„ 4分
44⎣⎦
（Ⅱ）设P (x , y ) 是直线l 上任意一点，它在矩阵M 对应的变换下变为点P '(x ', y ') ，
⎡62⎤⎡x ⎤⎡x '⎤⎧6x +2y =x '，则⎢，即 =⎨⎥⎢⎥⎢⎥''⎣44⎦⎣y ⎦⎣y ⎦⎩4x +4y =y
又因为点P '(x ', y ') 在直线l ':x -2y =4上，所以有:x '-2y '=4, 把x ', y '代人得：x +3y +2=0 故所求直线l 的方程为：x +3y +2=0. „„„„„„ 7分
（2）选修4—4：坐标系与参数方程
化为直角坐标方程：x +y -1=0.
422
将圆的参数方程化为普通方程：x +(y +2) =4，圆心为C (0, -2) ，r =2
解：（Ⅰ）将直线l
极坐标方程为ρsin(θ+
π
) =
∴圆心C
到直线的距离为d =
=
>r =2， =2∴直线l 与圆C 相离。„„„„„„ 3分
x 2y 2
（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程为+=1，
43
又∵直线l ：x +y -1=0的斜率k 1=-1，∴直线l '的斜率为k 2=1，即倾斜角为
π
， 4
⎧π2⎧
x =t cos ，x =t ，⎪⎪⎪⎪22（t 为参数）则直线l '的参数方程为：⎨，即⎨，
π⎪y =-2+t sin ⎪y =-2+2t
⎪⎪4⎩2⎩
⎧2
t ，⎪x =
⎪x 2y 222
把直线l '的参数方程⎨代入+=1得：7t -t +8=0
43⎪y =-2+2t
⎪2⎩
由于∆=(-2) 2-4⨯7⨯8>0，
8
⎧2t +t =，⎪⎪127故可设t 1, t 2是上述方程的两个实根，则有⎨又直线l '过点C (0, -2) ，故由上式及t ⎪t t =812⎪7⎩8
的几何意义得：|CA |⋅|CB |=|t 1t 2|=. „„„„„„ 7分
7
（3）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）当a =3时，依题意得： |x -1|+|x +1|≥3
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为{x |x ≤-或x ≥。
3232
⎧x ≤-1⎧-11
（法二）不等式可化为⎨或⎨或⎨，
-2x ≥32≥32x ≥3⎩⎩⎩33
∴不等式的解集为{x |x ≤-或x ≥}。„„„„„„ 4分
22
（Ⅱ）依题意得：关于x 的不等式|x -1|+|x +1|-a ≥0在R 上恒成立，„„„„5分 即a ≤|x -1|+|x +1|在R 上恒成立， |x -1|+|x +1|≥|(x -1) -(x +1) |=2 „„„„„„6分 ∴a ≤2 „„„„„„7分
9
2014届高考总复习60天冲刺模拟卷
理科数学卷（二）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的
1. 设a ∈R ，且(1+ai ) 2i 为正实数，则a =( )
A．0 B ．-1 C ．±1 D ．1 2．设集合A =⎨x
⎧
⎫x
⎩x -1⎭
B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件
C ．充要条件
3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入
的x 的值为（ ）
A．—1或1 B．—2或0 C．—2或1 D．—1或0 4. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰
直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 （ ） A ．
133+ B
．3+． D．
622
5．右边茎叶图中的数据是7名评委给参加校园歌手赛的
两位选手甲、乙评定的成绩，则乙选手成绩的众数出
正视图
现的频率是（
）
甲
2345A ． B． C． D． 5877714
6664
22
6. 已知直线l ：y =k (x -1) x +y =1相 2切，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．
侧视图
乙
7
89
9
464643
俯视图
ππ2π5π B. C. D.
3662
(x ≤1) ⎧8x -8
7．已知函数f (x ) =⎨2, g (x ) =ln x . 则f (x ) 与g (x ) 两函数的图像的交点个数为
x -6x +5(x >1) ⎩
（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4
1
8．已知四边形OABC 是边长为1的正方形，OD =3OA ，点P 为∆BCD 内（含边界）的动点，设OP =xOC +yOD (x , y ∈R ) ，则x +y 的最大值等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．
4 3
9．若x ∈A (x ≠0, x ≠1) ，且
11⎧
∈A ，则称A 是“圆梦关系集合”，在集合M =⎨-2, -1, -, 1-x 2⎩
11123
-, , , , , 2, 33232
概率是（ ） A ．
⎫
3⎬的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“圆梦关系集合”的⎭
5117 B． C． D． [1**********]23
1)，而后它按10．如图，一个物理粒子在第一秒内从原点运动到(0，2
0)→(0，1)→(1，1) 图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动（即(0，
0)→(2，0)→„）→(1，，且每一秒移动一个单位，那么2014秒时，1 2 3 4 x
这个物理粒子所处的位置的坐标为（ ）
A ．（10, 44） B．（11, 44） C ．（11, 45） D．（10, 45）
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。 1⎫11．二项式⎪的展开式中，常数项为______________．
x ⎭6
12．由曲线y =e , x =1, y =1所围成的图形面积是 .
13．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4, a 5是方程4x 2-8x +3=0的两根，则a 6
于_________. x
+a 7等
x 2y 2
14．已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y
a b
轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线左
, 则此双曲线的离心率为 2
⎧⎫⎧(3-2x ) 2013-2014(2x -3) =1⎪⎪⎪
15．已知集合P ＝（{x , y ) |2x +y =0}，Q ＝（⎨x , y ) |⎨⎬，数列2013
⎪(y -2) +1007(2y -4) =-1⎪⎪⎩⎩⎭
，其前n 项和为S n ，设点A (a 2n -1, a 2n ) ，若点A ∈P 或A ∈Q ，{a n }(n ∈N *) 的各项都为整数．．．．．．
顶点A 且直线B 1
F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为1，且当n 为偶数时，a n =
2
S n
, 则2014==______________。 21004
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 . （本小题满分13分）
小明打算从A 组和B 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择A 组动作的概率是选择B 组动作的概率的3倍，若小明选择A 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B 组动作则一定能正常发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A 组动作的概率是0.8． （Ⅰ）求小明选择A 组动作的概率；
（Ⅱ）设ξ表示小明比赛时获得的分数，求ξ的分布列与期望．
17. （本小题满分13分）
已知=(1+cos 2x , 1), =(-1, sin 2x +n ) (x ∈R , n ∈N *) ，且f (x ) =⋅. （Ⅰ）在锐角∆ABC 中，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边，且c =3, ∆ABC 的面积为3，
当n =1时，f (A ) =, 求a 的值. （Ⅱ）若x ∈[0,
]时，f (x ) 的最大值为a n （a n 为数列{a n }的通项公式），又数列{b n }满21
足b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
a n -1a n
π
18 ．（本小题满分13分）
如图1，正方形ABCD 的边长为6，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且BM =CN ，现将△CMN 用剪刀剪下，拼接成图2形状，然后沿图2中的AM ，△MCN ，MN ，AN 所在直线将△ABM ，△NDA 折起，使B ，C ，D 重合在点P ，如图3． （Ⅰ）求证：PA ⊥MN ；
（Ⅱ）求三棱锥P -AM N 体积的最大值；
（Ⅲ）当三棱锥P -AM N 体积取最大值时，求二面角P -AM -N 的余弦值．
B M B M (N D (M ) M
N
3
19 ．（本小题满分13分）
-1) 作抛物线y =x 2的两条切线，切点分别为A 、B ；过点P 的直如图所示，已知过一点P (1，
线l 与抛物线y =x 2和线段AB 分别相交于两点C 、D 和点Q ．
2 （Ⅰ）求直线AB 的方程；
（Ⅱ）试问：线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数是否构成等差数
列？请加以证明．
20．（本小题满分14分） 已知n ∈N ，定义函数f n (x ) =(1+x ) -1，记函数h (x ) =f 3(x ) -f 2(x )
（Ⅰ）求函数h (x ) 的极值；
（Ⅱ）若函数f n (x ) 的导函数记为f n '(x ) 。设
小关系；
（Ⅲ）对任意a
*
n
f n '(x 0) f (2)
，试比较h (x 0) 与h (2)大=n
f n '+1(x 0) f n +1(2)
g (a )
的最大值。 a 2
21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分. 若多做，则按所做的前两题计分. 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵M 有特征值λ1=8及对应特征向量α1=⎢⎥，且矩阵M 对应的变换将点(-1, 2) 变
1
⎡1⎤⎣⎦
换成(-2, 4)
（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若直线l 在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到直线l ':x -2y =4，求直线l 方程. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
) =
⎧x =2cos θ, ，圆C 的参数方程为⎨（其y =-2+2sin θ, ⎩
中θ为参数）
（Ⅰ）判断直线l 圆C 的位置关系；
⎧x =2cos ϕ，
（Ⅱ）若椭圆的参数方程为⎨（ϕ为参数），过圆C 的圆心且与直线l 垂直的
⎩y =sin ϕ
直线l '与椭圆相交于两点A , B ，求|CA |⋅|CB |.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
设函数f (x ) =x -1|+|x +1|-a （Ⅰ）当a =3时，求函数f (x ) 的定义域；
（Ⅱ）若函数f (x ) 的定义域为R , 求实数a 的取值范围.
4
龙岩一中2014届高考总复习60天冲刺模拟卷
理科数学卷（二）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一
11．15 12.e-2 13．18 14．2 15．1007
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 . （本小题满分13分）
解（Ⅰ）设小明选择B 组动作的概率为P ，则小明选择A 组动作的概率为3P ，依题意得P +3P =1
13
即P =, 3P =。所以小明选择A 组动作的概率为0.75„„„„„„
4分
44
（Ⅱ）依题意得ξ=10、6、8
3433131
P (ξ=10) =⨯=, P (ξ=6) =⨯=, P (ξ=8) =„„„„„„10分
45545204
∴ξ的分布列为
E ξ=
17. （本小题满分13分）
++2=8⋅9 „„„„„„„„„„„„„„„13分 520
解（Ⅰ） f (x ) =⋅=-1-3cos 2x +sin 2x +n ， =sin 2x -3cos 2x +n -1=2sin(2x -
当n =1时，由f (A ) =得：2sin(2A -∴sin(2A -
π
3
) +n -1，„„„„„„2分
π
3
) =3，
ππ2π3
，又∆ABC 是锐角三角形，∴-
33332
πππ
∴2A -=即A =，„„„„„„4分
333
133
=3得：b =4，„„„„„„5分 又由S ∆ABC =bc sin A =b ⨯
222
122222
由余弦定理得：a =b +c -2bc cos A =4+3-2⨯4⨯3⨯=13∴a =„„„7分
2
π
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f (x ) =2sin(2x -) +n -1
3
πππ5πππ2π
由0≤x ≤，可得：-≤2x -≤， 当2x -=即x =时，
33323212
) =
5
π
此时sin(2x -又b n =
π
3
) =1，∴f (x ) 取最大值为n +1，∴a n =n +1„„„„„„10分
111
=-
a n -1a n n (n +1) n n +1
111111n
=1-= ∴T n =1-+-+ +- „„„„„„13分
223n n +1n +1n +1
=
18 ．（本小题满分13分）
证明（Ⅰ）∵PA ⊥PM , PA⊥PN ∴PA ⊥面PMN ∵MN ⊂面PMN
∴PA ⊥MN „„„„„„ 3分
（Ⅱ）设BM=x , 则PM=x ，PN=6-x ，PA=6
∴V P -AMN =
1
11
⨯PM ⋅PN ⋅PA =x (6-x ) =-x 2+6x =-(x -3) 2+9 32
即当x =3时，三棱锥P -AM N 的体积有最大值为9。„„„„„„ 7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得PM=3，且PM 、PN 、PA 两两相互垂直，所以以点P 为坐标原点，PA 、PM 、PN 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
z
依题意得A （6,0,0），M （0,3,0），N （0,0,3）。
∴AM =(-6, 3, 0) , MN =(0, -3, 3 ）
⎧⎪n 1⋅AM =0设平面AMN 的法向量为n 1=(x , y , z ) 由⎨得
⎪⎩n 1⋅MN =0
y
n 1=(1,2, 2) ，„„„„„„ 10分
又平面PAM 的法向量为n 2=(0, 0,1) 。„„„„„„ 11分 ∴cos =
x
22
即二面角P -A M -N 的余弦值为„„„„„„ 13分 33
2
2
2
19 ．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）设A (m , m ) ，则y /|x =m =2m ，过点A (m , m ) 处的切线方程为y -m =2m (x -m ) ，
-1) 代入切线方程得m =1
A (1, 3-, B (1, 3+，由两点式得由P (1，
到直线AB 的方程为y =2x +1„„„„„„ 5分
⎧y =kx -k -1
y +1=（k x -1），C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），Q （x 3，y 3），由⎨（Ⅱ）设直线l ：得2
⎩y =x
x 2-kx +k +1=0。∴x 1+x 2=k ，x 1x 2＝k ＋１
⎧y =kx -k -1k +２4又由⎨得到x 3＝即1-x 3＝。„„„„„„ 7分
k -22-k y =２x ＋１⎩
∴
PQ PQ 1-x 31-x 311
+=+=-x 3(+) „„„„„„ 9分 PC PD -x 1-x 2-x 1-x 2
∵1-x 3,1-x 2,1-x 1是同号 ∴
PQ PQ -x 3-x 32-(x
1+x
2) 11
+=+=-x 3+=-x 3 PC PD -x 1-x 21-x 11-x 21-(x 1+x 2) +x 1x
2
6
即∴
PQ PQ 42-k
+==2„„„„„„ 12分 PC PD 2-k 2111112
+= ∴成等差数列 PC PQ PD PC PD PQ
即线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数构成等差数列。„„„„„„13分
20．（本小题满分14分） 解（Ⅰ）依题意得h (x ) =(1+x ) 3-1-(1+x ) 2+1=(1+x ) 2x =x 3+2x 2+x
∵h /(x ) =3x 2+4x +1=(3x +1)(x +1) ∴h (x ) =0⇒x 1=-
1
, x 2=-1 3
1⎤⎡1⎫⎡
∵函数h (x ) 在(-∞，-⎥为单调递减，在⎢-，+∞⎪为单调-1]为单调递增，在⎢-1，
3⎦⎣3⎭⎣
/
递增
h -1）=0， ∴函数h (x ) 在x =-1处取极大值，h (x ) 极大值=（
141h (x ) =h （-）=- 函数h (x ) 在x =-处取极小值，„„„„ 4分 极小值
3273
n (1+x 0) n -13n -1f ' n (x 0) f n (2)n (3n +1-1)
（Ⅱ）由，得， =n +1，即1+x 0==n n
f ' n +1(x 0) f n +1(2)(n +1)(3-1) (n +1)(1+x 0) 3-1
(2n -1)3n +1
解得x 0=， „„„„„„„„„ 5分
(n +1)(3n -1) 2n +3-3n +1x +1x +1
由x 0-2=，令ϕ(x ) =2x +3-3(x ≥1) ，则ϕ' (x ) =2-3⋅ln 3， n
(n +1)(3-1)
∵x ≥1．∴ϕ' (x )
所以ϕ(x ) 在[1, +∞) 为减函数，所以ϕ(x ) ≤ϕ(1)
n +1
所以x 0
(2n -1)3n +1⎡1⎫
>0h (x ) ∵n ∈N ∴x 0=，由（Ⅰ）知函数在 -，+∞⎪为单调递增，⎢3(n +1)(3n -1) ⎣⎭
∴由x 0
*
（-（Ⅲ）由h
（ⅰ）当a
1444
）=-⇒h (-) =-（如图） 327327
„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
4
时，g (a ) =h (x ) min =h (a ) =a 3+2a 2+a 3g (a ) 1
即ϕ(a ) =2=a ++2，
a a
431/
此时ϕ(a ) >0，∴ϕ(a )
3412
4144g (a ) 4
（ⅱ）当-≤a ≤-时，g (a ) =h (x ) min =h (-) =-即ϕ(a ) =2=-，此时
33327a 27a 2
491
ϕ/(a )
271612
7
1
即ϕ(a ) =2=a ++2，此时ϕ/(a )
a a 33
41
综上所述，对任意a
312
（ⅲ）当-
21．（1）选修4－2：矩阵与变换
⎡1⎤⎡8⎤⎧a +b =8，⎡a b ⎤⎡a b ⎤⎡1⎤
解（Ⅰ）设M =⎢⎥，则⎢c d ⎥⎢1⎥=8⎢1⎥=⎢8⎥，故⎨c +d =8
c d ⎣⎦⎣⎦⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡a b ⎤⎡-1⎤⎡-2⎤⎧-a +2b =-2，
又矩阵M 对应的变换将点(-1, 2) 变换成(-2, 4) ∴⎢，故 =⎨⎥⎢⎥⎢⎥
⎣c d ⎦⎣2⎦⎣4⎦⎩-c +2d =4
⎡62⎤
联立以上两方程组，解得：a =6, b =2, c =4, d =4，故M =⎢⎥. „„„„„„ 4分
44⎣⎦
（Ⅱ）设P (x , y ) 是直线l 上任意一点，它在矩阵M 对应的变换下变为点P '(x ', y ') ，
⎡62⎤⎡x ⎤⎡x '⎤⎧6x +2y =x '，则⎢，即 =⎨⎥⎢⎥⎢⎥''⎣44⎦⎣y ⎦⎣y ⎦⎩4x +4y =y
又因为点P '(x ', y ') 在直线l ':x -2y =4上，所以有:x '-2y '=4, 把x ', y '代人得：x +3y +2=0 故所求直线l 的方程为：x +3y +2=0. „„„„„„ 7分
（2）选修4—4：坐标系与参数方程
化为直角坐标方程：x +y -1=0.
422
将圆的参数方程化为普通方程：x +(y +2) =4，圆心为C (0, -2) ，r =2
解：（Ⅰ）将直线l
极坐标方程为ρsin(θ+
π
) =
∴圆心C
到直线的距离为d =
=
>r =2， =2∴直线l 与圆C 相离。„„„„„„ 3分
x 2y 2
（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程为+=1，
43
又∵直线l ：x +y -1=0的斜率k 1=-1，∴直线l '的斜率为k 2=1，即倾斜角为
π
， 4
⎧π2⎧
x =t cos ，x =t ，⎪⎪⎪⎪22（t 为参数）则直线l '的参数方程为：⎨，即⎨，
π⎪y =-2+t sin ⎪y =-2+2t
⎪⎪4⎩2⎩
⎧2
t ，⎪x =
⎪x 2y 222
把直线l '的参数方程⎨代入+=1得：7t -t +8=0
43⎪y =-2+2t
⎪2⎩
由于∆=(-2) 2-4⨯7⨯8>0，
8
⎧2t +t =，⎪⎪127故可设t 1, t 2是上述方程的两个实根，则有⎨又直线l '过点C (0, -2) ，故由上式及t ⎪t t =812⎪7⎩8
的几何意义得：|CA |⋅|CB |=|t 1t 2|=. „„„„„„ 7分
7
（3）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）当a =3时，依题意得： |x -1|+|x +1|≥3
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为{x |x ≤-或x ≥。
3232
⎧x ≤-1⎧-11
（法二）不等式可化为⎨或⎨或⎨，
-2x ≥32≥32x ≥3⎩⎩⎩33
∴不等式的解集为{x |x ≤-或x ≥}。„„„„„„ 4分
22
（Ⅱ）依题意得：关于x 的不等式|x -1|+|x +1|-a ≥0在R 上恒成立，„„„„5分 即a ≤|x -1|+|x +1|在R 上恒成立， |x -1|+|x +1|≥|(x -1) -(x +1) |=2 „„„„„„6分 ∴a ≤2 „„„„„„7分
9