圆周角定理 1

第二十四章圆

24.1.4圆周角

阜康市二中鲁斌

一、教材内容:人教版九年级上册第二十四章圆第四课时垂直于圆周角教学设计

二、教材分析:

《圆周角》是人教版九年级上册数学教材《圆》这一章中的重要一节,它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角,圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理,学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。因此让学生多角度、多层次地理解并

三、教学目标:

1. 理解圆周角的概念.探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理,解决简单问题。

2. 在探索圆周角的过程中,培养动手操作、自主探索与合作交流的能力,体会分情况逐一证明的必要性。

3. 在互相交流的过程中,培养解决数学问题的能力,激发学习数学的兴趣.

四、教学重点难点

重点:探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系.

难点:应用圆周角定理解决简单问题

五、学情分析:

在此之前,学生已经掌握了圆心角的定义,对圆心角、弧、弦的关系有了认识,因此在学习圆周角的定义时,学生会对圆内的又一类角很有兴致,同时圆周角的定义是类比圆心角得到的,让学生体会类比思想的重要性,而圆周角定理的证明用到了完全归纳法,分为三种情况证明,对于学生有些难度。

六、教学过程:

(一)、创设情境 引入新知 出示多媒体课件:

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行

无人防守的射门训练,甲、乙两名运动员分别在C、

D两处,他们都说在自己所在位置对球门AB的张

角大,你认为他们谁说的对?

(甲对球门AB的张角为∠C 乙对球门AB的张角为∠D)

问题 ∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗?(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。) 他们有什么共同特点?

(① 角的顶点在圆上② 角的两边都与圆相交).

设计意图:联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境,导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望,把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中

问题 你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?

圆周角定义: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫圆周角

特征:①角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交

设计意图:让学生给圆周角下定义,提高学生的概括能力.

练习1:如图,判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。

小结:

判断要点:①角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交

问题 如图,任取一段,那么它所对的圆心角有几个?那弧AB所对

的圆周角有多少个呢?

一条弧所对的圆心角只有一个,一条弧所对的圆周角有无数个。

(任取优弧上一点,连接的两个端点即为所对的一个圆周角)

(二)那么今天我们就来研究一下,

之间的关系

. 所对的圆周角与它所对的圆心角

量一量: 测量下面图中

所对的圆心角和一个圆周角的度数。

所对的圆周角∠=______°

所对的圆心角∠=______°

图(1)

设计意图:学生亲手度量,进行实验、探究、得出结论,激发学生求知欲望。

问题:

1.观察测量结果你有什么发现?

2.你得出了什么猜想?

猜想:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3.怎样验证你的猜想呢?

方法1:几何画板直观演示

在验证过程中,

首先,拖动C点的位置,圆周角与圆心角的度数不变.

然后,拖动A点的位置,改变圆心角的大小,圆周角的度数也随之改变,并且是比值永远是0.5得到猜想的正确性

方法2 你能不能利用几何推理来证明你的猜想呢?

在证明之前,先要将我们所要证明的命题转化为数学语言。分析出猜想的已知和求证 已知:所对的圆周角为∠ACB,所对的圆心角为∠AOB

求证:∠ACB=1∠AOB.

2

分析图形:

再次利用几何画板,移动

C点的位置,提醒学生观察圆心与圆周角的位置关系,得到以下

三种图形.

圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况:

①圆心在圆周角一条边上

②圆心在圆周角内

③圆心在圆周角外

(1)证明圆心在圆周角边上的情况:

证明:∵OC=OB,

∴∠C=∠B.

又 ∵∠AOB=∠C+∠B,

∴∠C=1∠AOB. 2

分析证明过程中所用的到条件:

①直径(过圆周角顶点的直径)

②等腰三角形 ③三角形外角定理

引导学生用以上三点知识证明下面的两种情况。

给学生时间讨论以下两种情况的证明,教师巡视,提醒学生构造条件

(2)证明圆心在圆周角内部的情况:

学生一时难以找到证明的途径,引导学生将图形②通过添加过圆周角顶点C的直径转化为图形①解决.

证明: 过圆心角顶点C作圆

O

的直径

CD,利用(1)的结论

∠1=

∴∠1+∠3=11∠2.∠3=∠4. 2211∠2+∠4, 22

1∠AOB. 2即:∠ACB=

(3)证明圆心在圆周角外部的情况:

证明:过圆心角顶点C作圆O的直径CD.

利用(1)的结论

∠1=11∠2.∠BCD=∠BOD. 22

11∠BOD-∠2, 22 ∴∠BCD-∠1=

即:∠ABC=

1∠AOB. 2

小结:指出这种将一般转换为特殊的思维是转化思想,是今后学习常用到的方法.

定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

符号:所对的圆周角为∠ACB,

所对的圆心角为∠AOB

∠ACB=1∠AOB. 2

练习2.填空

(1)已知:如图,若圆心角∠BOC的度数为100°,则圆周角∠BAC的度数为____________.

(2) 已知:如图,点A、P、B

是⊙

O

上的三点,

若∠APB=25°,则∠AOB的度数为___________.

(3) 已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=25°,则∠A的度数为__________.

(4)已知:如图,在⊙O中,∠B=90°,则∠COB的度数为________.

(5)若的度数为80°,则所对的圆心角是_________度,所对的圆周角是_______度。

设计意图:利用本节课所学的内容解决问题,同时巩固本节课所学的内容。

练习3:回到课前的问题。

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈射门训练,甲、乙两名运动员分别在C、 D两处,他们都说在自己所在位置对球门AB的张角大,你认为他们谁说的对?

解:由圆周角定理可知:

11CAOBDAOBCD 22

总结:一般情况下,圆周角的问题可以转化为它同弧所对的圆心角的问题

来解决。

小结:

①圆周角的定义②圆周角定理数学思想:①类比思想②分类思想③转化思想

第二十四章圆

24.1.4圆周角

阜康市二中鲁斌

一、教材内容:人教版九年级上册第二十四章圆第四课时垂直于圆周角教学设计

二、教材分析:

《圆周角》是人教版九年级上册数学教材《圆》这一章中的重要一节,它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角,圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理,学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。因此让学生多角度、多层次地理解并

三、教学目标:

1. 理解圆周角的概念.探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理,解决简单问题。

2. 在探索圆周角的过程中,培养动手操作、自主探索与合作交流的能力,体会分情况逐一证明的必要性。

3. 在互相交流的过程中,培养解决数学问题的能力,激发学习数学的兴趣.

四、教学重点难点

重点:探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系.

难点:应用圆周角定理解决简单问题

五、学情分析:

在此之前,学生已经掌握了圆心角的定义,对圆心角、弧、弦的关系有了认识,因此在学习圆周角的定义时,学生会对圆内的又一类角很有兴致,同时圆周角的定义是类比圆心角得到的,让学生体会类比思想的重要性,而圆周角定理的证明用到了完全归纳法,分为三种情况证明,对于学生有些难度。

六、教学过程:

(一)、创设情境 引入新知 出示多媒体课件:

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行

无人防守的射门训练,甲、乙两名运动员分别在C、

D两处,他们都说在自己所在位置对球门AB的张

角大,你认为他们谁说的对?

(甲对球门AB的张角为∠C 乙对球门AB的张角为∠D)

问题 ∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗?(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。) 他们有什么共同特点?

(① 角的顶点在圆上② 角的两边都与圆相交).

设计意图:联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境,导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望,把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中

问题 你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?

圆周角定义: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫圆周角

特征:①角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交

设计意图:让学生给圆周角下定义,提高学生的概括能力.

练习1:如图,判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。

小结:

判断要点:①角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交

问题 如图,任取一段,那么它所对的圆心角有几个?那弧AB所对

的圆周角有多少个呢?

一条弧所对的圆心角只有一个,一条弧所对的圆周角有无数个。

(任取优弧上一点,连接的两个端点即为所对的一个圆周角)

(二)那么今天我们就来研究一下,

之间的关系

. 所对的圆周角与它所对的圆心角

量一量: 测量下面图中

所对的圆心角和一个圆周角的度数。

所对的圆周角∠=______°

所对的圆心角∠=______°

图(1)

设计意图:学生亲手度量,进行实验、探究、得出结论,激发学生求知欲望。

问题:

1.观察测量结果你有什么发现?

2.你得出了什么猜想?

猜想:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3.怎样验证你的猜想呢?

方法1:几何画板直观演示

在验证过程中,

首先,拖动C点的位置,圆周角与圆心角的度数不变.

然后,拖动A点的位置,改变圆心角的大小,圆周角的度数也随之改变,并且是比值永远是0.5得到猜想的正确性

方法2 你能不能利用几何推理来证明你的猜想呢?

在证明之前,先要将我们所要证明的命题转化为数学语言。分析出猜想的已知和求证 已知:所对的圆周角为∠ACB,所对的圆心角为∠AOB

求证:∠ACB=1∠AOB.

2

分析图形:

再次利用几何画板,移动

C点的位置,提醒学生观察圆心与圆周角的位置关系,得到以下

三种图形.

圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况:

①圆心在圆周角一条边上

②圆心在圆周角内

③圆心在圆周角外

(1)证明圆心在圆周角边上的情况:

证明:∵OC=OB,

∴∠C=∠B.

又 ∵∠AOB=∠C+∠B,

∴∠C=1∠AOB. 2

分析证明过程中所用的到条件:

①直径(过圆周角顶点的直径)

②等腰三角形 ③三角形外角定理

引导学生用以上三点知识证明下面的两种情况。

给学生时间讨论以下两种情况的证明,教师巡视,提醒学生构造条件

(2)证明圆心在圆周角内部的情况:

学生一时难以找到证明的途径,引导学生将图形②通过添加过圆周角顶点C的直径转化为图形①解决.

证明: 过圆心角顶点C作圆

O

的直径

CD,利用(1)的结论

∠1=

∴∠1+∠3=11∠2.∠3=∠4. 2211∠2+∠4, 22

1∠AOB. 2即:∠ACB=

(3)证明圆心在圆周角外部的情况:

证明:过圆心角顶点C作圆O的直径CD.

利用(1)的结论

∠1=11∠2.∠BCD=∠BOD. 22

11∠BOD-∠2, 22 ∴∠BCD-∠1=

即:∠ABC=

1∠AOB. 2

小结:指出这种将一般转换为特殊的思维是转化思想,是今后学习常用到的方法.

定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

符号:所对的圆周角为∠ACB,

所对的圆心角为∠AOB

∠ACB=1∠AOB. 2

练习2.填空

(1)已知:如图,若圆心角∠BOC的度数为100°,则圆周角∠BAC的度数为____________.

(2) 已知:如图,点A、P、B

是⊙

O

上的三点,

若∠APB=25°,则∠AOB的度数为___________.

(3) 已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=25°,则∠A的度数为__________.

(4)已知:如图,在⊙O中,∠B=90°,则∠COB的度数为________.

(5)若的度数为80°,则所对的圆心角是_________度,所对的圆周角是_______度。

设计意图:利用本节课所学的内容解决问题,同时巩固本节课所学的内容。

练习3:回到课前的问题。

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈射门训练,甲、乙两名运动员分别在C、 D两处,他们都说在自己所在位置对球门AB的张角大,你认为他们谁说的对?

解:由圆周角定理可知:

11CAOBDAOBCD 22

总结:一般情况下,圆周角的问题可以转化为它同弧所对的圆心角的问题

来解决。

小结:

①圆周角的定义②圆周角定理数学思想:①类比思想②分类思想③转化思想


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