河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(四十一)(教师版)

课时作业(四十一)

一、选择题

1．已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( A )

A. B. 33B. C ．2 D ．4

解析：该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图．SD ⊥底面ABCD ，SD ＝2，四边形ABCD 为正方形， 12

边长为1，所以棱锥的体积为V ＝31×2＝3，选A.

2．有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为( C )

A ．213 B ．6＋153 C ．30＋63 D ．42

解析：如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形，前、后面为平行四边形表面积S ＝3×3×2＋2×3×2＋3×3×2＝30＋63，故选C.

3．已知正三棱锥P －ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( D )

A ．4π 16π C. 3

解析：由三棱锥的主视图知，棱锥的侧棱为4

，由俯视图知底

B ．12π 64πD. 3

面边长为3，如图，O ′为△ABC 中心，O 为外接球球心，O ′C ∴PO ′＝23. OO ′＝23－R ，∴3－R ) 2＋4＝R 2，解得R ＝

4， 3

＝2，PC ＝4， 3

∴外接球表面积S ＝4πR2＝3π，选D.

4．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝( A )

A ．1∶2 C ．1∶1

B ．2∶1 D ．1∶4

解析：由三视图可知，几何体为圆柱中间挖去一个圆锥， 116故V 1＝22π×2－22π×2×33π 432V 2＝×23＝π，

33故V 1∶V 2＝1∶2，选A.

5．一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为( A )

A ．43 C ．12 解析：

2. ∴S 表2×21

×8＝

B ．8 D ．42

6．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺寸(单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是( B )

2247

A. 3 cm 3 B. 6cm 3 23

C. 3 cm 3 D ．8 cm3

解析：该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角，其体积V ＝1147

23－321×1×1＝6(cm3) ，故选B.

7. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其

直角边长均为1，则该几何体的表面积为( D )

A ．1＋2 B ．2＋22 C. 3D ．2

解析：依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P －ABCD ，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，1112

S △P AD ＝S △PCD ＝21×1＝2，S △P AB ＝S △PBC ＝2×1×2＝2，S 正方形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D.

8．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( C )

A ．4π C ．16π

B ．12π D ．64π

解析：取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC . 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平1

面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝2＝BE ，∴点E 是三棱锥S －ABC 的外接球的球心，即点E 与11

点O 重合，OA ＝2＝2

二、填空题

SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π，选C.

9．一个几何体的三视图如图所示(单位：m) ，则该几何体的体积为

________m

解析：由三视图知，该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成的组合体，故其体1

积V ＝3×2×1＋3×π×12×3＝6＋π.

答案：6＋π

10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

解析：根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体为正方体切割17

而成，即正方体截去一个棱台．如图所示，故所求几何体的体积V ＝317答案：3

S 11．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S ________.

2解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4a ＝3a 2，其内切球半径1166πa2S 3a 2

为正四面体高的4即r ＝43＝12，因此内切球表面积为S 2＝4πr2＝6则S π22

663

π6答案：π

三、解答题

12．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8

、高

为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．求

(1)该几何体的体积V ； (2)该几何体的侧面积S .

解：由三视图可知，该几何体底面是边长为8和6的矩形，高为4.

顶点在底面射影恰为底面矩形的中心．如图，E 、F 分别为CD 、BC 的中点，易求PE ＝42，PF ＝5.

∴(1)V ＝3S 矩形ABCD ·PO ＝3×6×8×4＝64. 11

PF ＋2·PE ⎫ (2)S ＝2×⎛2·

⎝⎭

＝2×⎛2×8×5＋2×6×2⎫＝40＋242.

⎝⎭

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13．(1)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩

形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )

125π

A. 12 125πC. 6

125πB. 9 125πD. 3

(2)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1(不包括端点) 上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是( A )

A. 1

B. 1 12

1C. 6 1D. 2(3)在底面半径为3，高为4＋3的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多为( C )

A ．4个 C ．6个

B ．5个 D ．7个

解析：(1)依题意，外接球的球心在Rt △ACD 的斜边AC 的中点，∵AB ＝4，BC ＝3，15

由勾股定理求得外接球的半径R 2AC ＝2，∴四面体ABCD 的外接球的体积为：

4⎛53125πV ＝3

·π＝26C.

⎝⎭

(2)可设AP 1＝x ，则BP 1＝1－x ，因线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，故由相似比例可得111

P 2到面P 1AB 1的距离为1－x ，故所求四面体P 1P 2AB 1的体积V ＝32x ×1×(1－x ) ＝6(11⎛x ＋1－x ⎫211－x ) ≤6 ＝24，当且仅当x ＝2时取等号． ⎪

⎝2⎭

(3)由题可得图1，O 1O ＝3＋r ，O 1A ＝4＋－3－r ＝1＋23－r ，OA ＝3－r ，△O 1OA 为直角三角形，所以由勾股定理得(3＋r ) 2＝(3－r ) 2＋(1＋23－r ) 2，解得r ＝1，放入的小球的半径为1. 由图2知OO 1＝OO 2＝3－1＝2，O 1O 2＝2，所以∠O 1OO 2＝60°，所以放入小球的个数最多为6个，选

答案：(1)C (2)A (3)C