变式论文变式教学论文：高中数学教学的变式和实践
【摘 要】介绍变式教学的理论基础，用实际教学中的
案例介绍了教学中的变式练习实践。
【关键词】变式 高中数学知识 变式教学
众所周知，在我国的传统数学教学过程中，十分注重“变
式教学”。正是因为运用了“变式教学”。我国学生在具有良
好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家
学生，但是我国学生在动手能力和解决比较复杂、开放的数
学问题上却逊于西方学生也是不争的事实。变式是指变换问
题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态。高
中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对
数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的
目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性
和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识
才能不断深入。
在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知
识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情
况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可
以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，
去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈
一下变式练习在实际教学中的应用。
题目1：（高中数学新教材第二册（上）p130 例2）直
线y=x-2与抛物线y=2x相交于a 、b 两点，求证：oa⊥ob。
本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广
变式：由原式知y=x-2与x 轴交点坐标为（2，0），对抛物
线y=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列
变式：
变式1：直线l 过定点（2p ，0），与抛物线y=2px（p ＞
0）交于a 、b 两点，o 为原点，求证：oa⊥ob。
证明：设l 的一般方程式为x=ky+2p，代入题目中的抛
物线方程中，化简得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，
所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以⊥，即oa⊥ob。
如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可
有下面的试题：
变式2：（2004年重庆高考理科卷）设p ＞0是一常数，
过点q （2p ，0）的直线与抛物线y=2px交于相异两点a 、b ，
以线段ab 为直径作圆h （h 为圆心）。试证抛物线顶点在圆h
的圆周上；并求圆h 的面积最小时直线ab 的方程。
由变式1可知oa⊥ob，即点o 在圆h 上，因h 为圆心，
故h 为ab 的中点。由中点坐标公式可以求出
x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。
显然oh 为圆的半径，且oh==，所以当n=0时，圆的半
径最小。此时ab 的方程为x=2p。
当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式1
的条件和结论进行互换得到下列命题：
变式3：若a 、b 为抛物线y=2px(p＞0) 上两个动点，o
为原点，且oa⊥ob，求证：直线ab 过定点。
过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不
仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问
题和解决问题。本题只要设出a 、b 两点坐标，根据这两点
满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍
微改变一下设问则可得到下面试题：
变式4：(2001春季高考题) 设点a 、b 为抛物线y=4px
（p ＞0）上原点以外的两个动点，已知oa⊥ob，om⊥ab，求
点m 的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。
解有上面的变式可知ab 过定点n （4p ，0），om⊥ab?
om⊥mn，所以点m 的轨迹是以on 为直径的圆（除原点），其
方程也可求出。
思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点
考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何
的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过
程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定
的收获和提高。
题目2：（高中数学新教材第二册（下a 、b ）p131 例2）
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有
一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内
每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路
正常工作的概率。
本题比较容易，但是我们可借助本题进行如下变式探
究：
将已知中的条件变形如下：
变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情
况下，怎样求线路正常工作的概率？
解：设这三个开关能闭合为事件a ，b ，c ，则可求得概
率为p(a)p（b ）p （c ）=0.7=0.343。
变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在
其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率？
假设三个开关为m ，m ，m 由已知m ，m 串联，再与m 并
联，则线路正常工作的概率为1-［1-p(a)p（b ）］［1-p(c)］
=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。
变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在
其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率？
假设由已知并联，再与串联，则得
（1-［1-p(a)］［1-p （b ）］)p(c)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637
以上3个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者
多个呢？会有怎样的情况发生？将上述题目题变成开放式
的问题：
著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，
它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可
能附近就有好几个。”由此在数学教学中 ，若通过变式教学，
引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方
法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示
其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变
得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习
知识，又有利于培养学生的创新能力。
参考文献：
［1］谢景力. 数学教学的变式及实践研究［d ］.2006.
变式论文变式教学论文：高中数学教学的变式和实践
【摘 要】介绍变式教学的理论基础，用实际教学中的
案例介绍了教学中的变式练习实践。
【关键词】变式 高中数学知识 变式教学
众所周知，在我国的传统数学教学过程中，十分注重“变
式教学”。正是因为运用了“变式教学”。我国学生在具有良
好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家
学生，但是我国学生在动手能力和解决比较复杂、开放的数
学问题上却逊于西方学生也是不争的事实。变式是指变换问
题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态。高
中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对
数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的
目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性
和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识
才能不断深入。
在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知
识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情
况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可
以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，
去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈
一下变式练习在实际教学中的应用。
题目1：（高中数学新教材第二册（上）p130 例2）直
线y=x-2与抛物线y=2x相交于a 、b 两点，求证：oa⊥ob。
本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广
变式：由原式知y=x-2与x 轴交点坐标为（2，0），对抛物
线y=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列
变式：
变式1：直线l 过定点（2p ，0），与抛物线y=2px（p ＞
0）交于a 、b 两点，o 为原点，求证：oa⊥ob。
证明：设l 的一般方程式为x=ky+2p，代入题目中的抛
物线方程中，化简得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，
所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以⊥，即oa⊥ob。
如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可
有下面的试题：
变式2：（2004年重庆高考理科卷）设p ＞0是一常数，
过点q （2p ，0）的直线与抛物线y=2px交于相异两点a 、b ，
以线段ab 为直径作圆h （h 为圆心）。试证抛物线顶点在圆h
的圆周上；并求圆h 的面积最小时直线ab 的方程。
由变式1可知oa⊥ob，即点o 在圆h 上，因h 为圆心，
故h 为ab 的中点。由中点坐标公式可以求出
x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。
显然oh 为圆的半径，且oh==，所以当n=0时，圆的半
径最小。此时ab 的方程为x=2p。
当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式1
的条件和结论进行互换得到下列命题：
变式3：若a 、b 为抛物线y=2px(p＞0) 上两个动点，o
为原点，且oa⊥ob，求证：直线ab 过定点。
过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不
仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问
题和解决问题。本题只要设出a 、b 两点坐标，根据这两点
满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍
微改变一下设问则可得到下面试题：
变式4：(2001春季高考题) 设点a 、b 为抛物线y=4px
（p ＞0）上原点以外的两个动点，已知oa⊥ob，om⊥ab，求
点m 的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。
解有上面的变式可知ab 过定点n （4p ，0），om⊥ab?
om⊥mn，所以点m 的轨迹是以on 为直径的圆（除原点），其
方程也可求出。
思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点
考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何
的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过
程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定
的收获和提高。
题目2：（高中数学新教材第二册（下a 、b ）p131 例2）
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有
一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内
每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路
正常工作的概率。
本题比较容易，但是我们可借助本题进行如下变式探
究：
将已知中的条件变形如下：
变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情
况下，怎样求线路正常工作的概率？
解：设这三个开关能闭合为事件a ，b ，c ，则可求得概
率为p(a)p（b ）p （c ）=0.7=0.343。
变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在
其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率？
假设三个开关为m ，m ，m 由已知m ，m 串联，再与m 并
联，则线路正常工作的概率为1-［1-p(a)p（b ）］［1-p(c)］
=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。
变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在
其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率？
假设由已知并联，再与串联，则得
（1-［1-p(a)］［1-p （b ）］)p(c)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637
以上3个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者
多个呢？会有怎样的情况发生？将上述题目题变成开放式
的问题：
著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，
它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可
能附近就有好几个。”由此在数学教学中 ，若通过变式教学，
引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方
法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示
其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变
得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习
知识，又有利于培养学生的创新能力。
参考文献：
［1］谢景力. 数学教学的变式及实践研究［d ］.2006.