公差鲁棒设计的应用
摘要
本文将鲁棒设计的确定方法应用在具有几何公差的制造构件的名义尺寸的确定上。优化搜索的方法就是在构件的装配中具有最少的可变性，对于固定的一套公差，通过一个或更多的相关参数就可以测量出来。通过一个多参数的装配问题体现了该方法的目的。当名义尺寸可以进行调整以满足其它设计的要求时，该方法为提高装配质量提供了一种潜在方法，但同时又没有缩小公差的范围。
介绍
在制造构件中，在两个单个构件之间可能存在任何一个参数都能改变的情况。将大量的相同名义构件中将这种变化减小至零是高生产成本相关的一个限制条件。在此前提下，有限的公差也许于相关构件的尺寸相关，比如说实现装置〔1-5〕的要求函数。
在上述公差中，装配的个性比如说两个构件或其它尺寸间的特殊间隔，代表了这个装配的属性，而不是单个构件的属性。那种可变性同时也是在设计规定范围内也代表了与产品相关的短暂或更长时间的性能变化，因此也成为控制质量倍受关注的因素〔6-8〕。
公差也可以用〔9-11〕中的方法表示，它可能影响在研究不确定性因素后果的所采用的计算方法的类型。比如说，文献12建议统计制造过程中产生的公差，在统计/控制前提下，计算整个带有公差的构件装配的费用函数。同时也可参见文献〔13.14〕中阐述的优化总费用的其它方法。本文尽管不涉及整个费用的分析，但是涉及到减少设计中关键特征的不确定因素，如果有必要的话可以应用在整个分析中的单个构件上。文献15提供了一种公差分析的再现方法，并讨论了机械装配中尺寸公差的Taguchi 分析类型。经过修改后的Taguchi 分析方法被用于确定系统反应函数〔16〕的力矩，用于减小损失函数值。作者也提醒尽管该程序并不确定优化涉及，但是能作为重复的决策过程中的一部分。Jeang 〔文献17〕采用了与整个费用相关的Taguchi 分析类型损失函数，以确定优化公差，同时也指出了参数化设计的优点。因为在很多情况下，一个改进了的设计方案能调整名义设计点，且没有附加费用，也不缩小公差范围。
文献〔18-20〕提供了基于整个费用分析基础上的公差设计的其它方法。在文献〔18〕中，公差都采用标准偏差和确定最小的费用优化SD 方法加以解释。该文提供了非线性公差的实例。
文献19提供了带有模拟样本值的试验设计方法，以确定制造后装置整个费用最小值的条件。而文献20采用遗传算法以减小制造费用函数值。受到成功设计的装配的目标可能性的限制，且考虑到每个尺寸的公差，就只能为固定名义尺寸进行公差设计。这些方法中的大部分都必须确定一个或多个反应函数。文献21阐述了确定特殊设计函数的分布函数的模拟方法。当涉及到很多变量时，它就是一个非常集中的计算过程。采用部分知识，比如文献16 中的就足以确定反应的鲁棒。
参数化设计（本文的主要内容）主要是在允许有可变性和限制条件的前提下确定优化的名义设计参数的值。要么是最小化费用函数的值，要么是最大化鲁棒设计值。后者可以用很
多方法加以定义。但是一般地，它与输出可变性测量的结果刚好相反，或者对给定的参数值的不确定性作出相应的反应。文献22采用信噪比作为鲁棒最大参数化设计的研究的对象，采用的方法是改进的Taguchi 方法。采用只包括点可能性权重、限制参数值和没有规定名义值的因子实验方法。有些给出的例子只有一些不确定尺寸，但是该项研究并不特别针对尺寸公差方面的问题。
正如上面讨论的一样，如果只有一个或多个的不确定变量，那么鲁棒的定义也就不同，文献23等价定义了根据性能参数的最小敏感性的最大鲁棒。该研究也不是直接针对尺寸公差问题的，但是与本文具有几个相同的特征，易于进一步地讨论。因为性能参数的变化范围和敏感函数成比例，因此它具有很大的相似形，只是可变性的计算并不需要对性能参数函数微分。这并非是对所有的题的闭式解析形式。很明显该方法是与性能参数值直接相关的鲁棒设计方法，而不是针对文献[17-19]整体费用的，它采用非线性编程确定受到性能参数和设计参数限制的最小敏感性，结果显示对计算所得的结果有很大的影响。可以做如下确定，它不需要分配设计参数的可能性。这使设计者能按照自己拥有的知识采用更实际的方法。作者对设计变量和不确定变量做了一些区分，但是这种区分也是不太明显的，并且认为包含所有的设计变量，以之作为优化程序的独立变量是有益的。同时还建议该方法还可以扩展至多反应函数。
一般地，鲁棒设计认为对于给定水平的设计变量的可变性设计，经常以相互制约的形式存在一组优化的名义设计参数值（参见文献[24-27]）。该方法在尺寸公差方面的外延就是确定一个装配中构件的一组名义尺寸。对于给定的公差，一个装配中的一个或更多的特殊参数在组成该装配时具有最小的可变性。当所有构件的尺寸都为名义尺寸时，这个最小值受具有名义尺寸的规定尺寸的影响。同样为了避免与装配的概念设计偏离，构件的名义尺寸可以控制在与原始设计匹配的限制内[见文献28]。
上述受限制的优化过程可以通过一些方法来实现。文献[16，19，29]采用的因子设计方法或者通过给构件尺寸或数字化建模的装配赋予一定的可能性，以确定性能尺寸值的变化的仿真方法都是可行的[见文献24]。本文的方法是基于设计空间集合的一种方法，在形式上的是确定的。对于性能测量，要确定在公差范围内的最小值和最大值，采用Simplex 搜索算法
[文献24]能将视为可变性的差别最小化。通过采用转化方法能消除不等式限制条件，采用混合的Lagrange 乘子和惩罚函数格式[文献30，32]能将名义设计规定融入新的目标函数中。 理论
采用变量xi （i=1,……,n ）表示装配中各构件的尺，这样形成向量X ，它具有名义设计⎛-⎫值x i , X ⎪。 ⎝⎭
通常假设公差是不对称的，那么，对于给定的名义尺寸。
x i -l i ≤x i ≤x i +u i （1）
上式定义了公差极限li 和ui （i=1,……,n ）。
设计变量的不确定性的简单描述看起来对尺寸公差中的问题是比较合适的。因为那种不确定性是要经常表示出来的，也就象要考虑尺寸极限一样。如果问题不是这样，可以采用文献30类似的分析方法。
为了将鲁棒设计技术用于公差问题上，就必须认识设计问题中与性能参量结果等价的特---
征。本文讨论了这些特征将在构件总装配中体现出来。比如说必须和设计值非常接近的间隙就不具备公差尺寸中的变量继承性。
如果特征这样表示：
c =c (x 1,..., x n ) （2）
上式对于给定装配的尺寸关系应该是可以定义其最大值和最小值的：
-+u i ⎫⎛-⎫⎛c U X ⎪=c ..., x -l i ,... ⎪⎪⎝⎭ ⎝⎭(3)
⎫⎛-⎫⎛c L X ⎪=c ..., x -l i ,... ⎪⎪⎝⎭ ⎝⎭
--+u i (4)
比如：它是名义尺寸X 的函数。
那么受到相关的约束，某装配变量的优化值与特殊特征的变量之间的差值为：
⎛-⎫ V X ⎪=c U -c L （5） ⎝⎭
它是最小的。
对于典型的约束，它就定义了这类确定性优化问题。
⎛-⎫使V X ⎪最小化，即： ⎝⎭
⎛-⎫ c N =c X ⎪ （6） ⎝⎭
A ≤X ≤B （7）
其中A 和B 是一个名义尺寸上xi 的上限和下限ai 和bi 的变量。
对于这类问题可以采用很多的方法加以解决。在此处采用的方法说明如下：
将矩阵进行转换得到： -
⎧-a i +b i ⎪x i --1⎪ y i =sin ⎨⎪b i -a i ⎪2⎩⎫⎪⎪⎬ (8) ⎪⎪⎭
为了减小不等式约束的个数，而采用Langrangian 函数L 的等于约束，问题可以简化为无约束问题：
L (Y ) =V Y (Y ) +λ{c N -c Y (Y ) } (9)
其中λ是Langrangian 乘子，Vy 和c Y 是经过公式8转换后，由表达式5和6的得到Y 的函数。
实际上，表达式9可以采用文献32中的方法加以改进，得到目标函数：
F (Y )=V Y (Y )+s c N -c Y (Y 122g {c N -c Y (Y )} (10) 2
采用Complex 搜索算法和采用一定的控制方法控制乘子s 和g 的增长方式，式8提供了在优化点处名义尺寸x i 的所需值。 -
实例
为了说明上述程序的使用方法，采用了文献4阐述的自行车曲柄装置。这是一个只包括四个构件--曲柄、带罗纹的锥形开口销、带平台的圆形轴和保持开口销的螺母/垫片。图1所示为分析中采用的10个公差尺寸。，它代表该装配的横断面。注意变量x6是从与开口销没有锥度的一端平行的平面上量取的弧度角。
由于尺寸变量被选择的公差所包含，下面的距离对于装配的充分性能是非常重要的必须具有优先考虑的最小可变性。
1． 曲柄体上销螺纹的长度：
35 c 1= x s i n x +x --x +x -x +x 6⎪/s i n x 6 (11) ⎪c o s 864717 ⎪22⎭⎝⎝⎭⎛x ⎛x ⎫⎫
2． 当用螺母和垫片固定开口销时，没有结合的螺纹的长度：
53 c 2= x 1-x 2+2⎪cos x 6-x 4+2+x 7+(x 8-x 9+x 10)sin x 6⎪⎪/sin x 6 (12) ⎭⎝⎝⎭⎛⎛x ⎫x ⎫
3． 轴与轴孔之间的间隙：
c 3=1(x 3-x 4) (13) 2
另外，为保证开口销大端的直径仍何必销孔直径小，就必须对带开口销锥度角加以限制。 c 4=x 5-x 2- ⎛x 3⎫2 (14) +x 8-c 1⎪tan x 6=x 11⎝2⎭
比如，间隙比零大，其中x11是一个松弛变量，它的名义值是并不需要确定的。每个公差尺寸假设在如下范围中：
x i -t i ≤x i ≤x i +t i (15)
对于名义值x i ，规定有对称公差±t i 。
那么就可能确定上述尺寸（c1和c3）的上限和下限值，比如：
c 3L ---1⎧⎛-⎫⎛-⎫⎫=⎨ x 3-t 3⎪- x 4+t 4⎪⎬ (16) 2⎩⎝⎭⎝⎭⎭
这样确定了所有的三维尺寸的整个变量函数。
c 3U 1⎧⎛-⎫⎛-⎫⎫=⎨ x 3+t 3⎪- x 4-t 4⎪⎬ (17) 2⎩⎝⎭⎝⎭⎭
-注意公式18应该予以加权，允许对门在尺寸上有不同的重要性。在本文中，第三线性
关系是不予以考虑的，因为它不是变量X 的函数。
该类问题的限制条件为三个尺寸c1，c2和c3应该在所有构件均为名义尺寸时具有他们正确的名义值。这对于开口销角度限制也是一样的，这由方程14确定。
包括惩罚函数，结果优化问题可以采用以下的形式表示：
F Y (Y )=V Y (Y )+s 1c 1N -c 1Y (Y ) +s 2c 2N -c 2Y (Y )
2+s 3c 3N -c 3Y (Y ) +s 4x 11-c 4Y (Y )
1122 （18） g 1(c 1N -c 1Y (Y ) )+g 2(c 2N -c 2Y (Y ) )22
21122+g 3(c 3N -c 3Y (Y ) )+g 4x 11-c 4Y (Y ) 22+()
当Y 是名义尺寸矢量的无限制转换形式时，X 是用Y 表示成函数的尺寸ci Y ，ci N 是尺-
寸ci 的名义值，s 和g 分别是乘子和惩罚函数的权重。实际中采用文献28中撰写的Simplex 搜索算法进行优化。乘子s 和g 具有初始值，按照一定的循环条件增加。为了避免目标函数的不良修正，在一定的循环后赋给一定的初始值。下面对数字结果进行了归纳和讨论。他们是采用Fortran77编写的程序，在SUN/UNIX系统平台运行得到的结果。
结果
表1所示为名义尺寸上假定的限制条件ai 和bi 。他们都是基于考虑中曲柄装置的测量值上的。这样可以为每个构件尺寸选择一个合适的范围。下面所示是选定的名义尺寸c 1N ，c 2N 和c 3N 的固定值。如果构件尺寸就是他们的名义值时，关键尺寸的实际值就是这些值。
两种不同公差(t1 ……t 10) 的计算程序运行后的结果如表2和3所示。当所有的尺寸均为名义尺寸，以及尺寸c1和c2中的可变性之和时，公差参数ti 都对应每个构件的尺寸，和优化名义尺寸的结果(x 1……. -x 10) 尺寸，以及c1,c2, 和c3的实际值。
--与优化名义尺寸非常相似的尺寸是从使所选择的尺寸c1和c2的可变性最小的一组名义x 10尺寸中获得的。在具有更小公差的第二种情况下，获得了与规定的限制条件更好的匹配性。
这也正如期望的一样，可变性参数V 从5.12mm 减小到1.52mm 。在该示例中，V 由c1和c2的可变性的和组成，他们都按照比如大约V/2的大小顺序排列。
可以采用更长的程序实现与限制条件的更好的一致性。但是如果一致性改善很小，而且只要这些尺寸稳定在某些值附近，那么优化尺寸的结果和任何重要角度的可变性是不会有很大改变结论的。
表4所示为名义变量的允许范围的一组值。采用表3中所列的值和公差作为程序的输入值，结果如表5所示。如果给定一个更小的可变性，x 1，x 2，x 5和x 6都将超过前面使用的上限值。只要给出一个许可的更大范围，程序获得一组新的优化值。因为该程序导致所选----
的尺寸c1和c2具有更小的可变性（方程11和12）。
设计者希望能得到固定的某个尺寸，这可以通过模拟得到表6中所示的结果。孔的尺寸x 3和x 6得到他们允许的范围14.9-15.1mm 和8.9-9.1mm 。其他参数的结果如表5所示。最为附加约束的结果，确定了一种新的方法，可变性V 也稍微有所增加（1.27-1.29）。
b i
--
表3 减小后的公差
i
结论
本文开发了基于变量限定范围的确定性优化过程，并利用它确定非顶相应装配尺寸公差和合适限制条件下的优化名义值。该方法需要对公差做合理的解释。如果不能表示为可变性
限定范围，就只能得到简单的分析结果。可以通过使装配某关键尺寸可变性测量值最小的方法获得最优解。通过对带有10个参数和不同公差简单装配的应用，深入地阐明了该方法的实质，同时也表明该方法对于给顶的条件和特殊的限制条件，具有一个唯一的最优解。该方法可以作为鲁棒设计技术单独使用，也可以作为一个更复杂费用优化程序的一部分。
公差鲁棒设计的应用
摘要
本文将鲁棒设计的确定方法应用在具有几何公差的制造构件的名义尺寸的确定上。优化搜索的方法就是在构件的装配中具有最少的可变性，对于固定的一套公差，通过一个或更多的相关参数就可以测量出来。通过一个多参数的装配问题体现了该方法的目的。当名义尺寸可以进行调整以满足其它设计的要求时，该方法为提高装配质量提供了一种潜在方法，但同时又没有缩小公差的范围。
介绍
在制造构件中，在两个单个构件之间可能存在任何一个参数都能改变的情况。将大量的相同名义构件中将这种变化减小至零是高生产成本相关的一个限制条件。在此前提下，有限的公差也许于相关构件的尺寸相关，比如说实现装置〔1-5〕的要求函数。
在上述公差中，装配的个性比如说两个构件或其它尺寸间的特殊间隔，代表了这个装配的属性，而不是单个构件的属性。那种可变性同时也是在设计规定范围内也代表了与产品相关的短暂或更长时间的性能变化，因此也成为控制质量倍受关注的因素〔6-8〕。
公差也可以用〔9-11〕中的方法表示，它可能影响在研究不确定性因素后果的所采用的计算方法的类型。比如说，文献12建议统计制造过程中产生的公差，在统计/控制前提下，计算整个带有公差的构件装配的费用函数。同时也可参见文献〔13.14〕中阐述的优化总费用的其它方法。本文尽管不涉及整个费用的分析，但是涉及到减少设计中关键特征的不确定因素，如果有必要的话可以应用在整个分析中的单个构件上。文献15提供了一种公差分析的再现方法，并讨论了机械装配中尺寸公差的Taguchi 分析类型。经过修改后的Taguchi 分析方法被用于确定系统反应函数〔16〕的力矩，用于减小损失函数值。作者也提醒尽管该程序并不确定优化涉及，但是能作为重复的决策过程中的一部分。Jeang 〔文献17〕采用了与整个费用相关的Taguchi 分析类型损失函数，以确定优化公差，同时也指出了参数化设计的优点。因为在很多情况下，一个改进了的设计方案能调整名义设计点，且没有附加费用，也不缩小公差范围。
文献〔18-20〕提供了基于整个费用分析基础上的公差设计的其它方法。在文献〔18〕中，公差都采用标准偏差和确定最小的费用优化SD 方法加以解释。该文提供了非线性公差的实例。
文献19提供了带有模拟样本值的试验设计方法，以确定制造后装置整个费用最小值的条件。而文献20采用遗传算法以减小制造费用函数值。受到成功设计的装配的目标可能性的限制，且考虑到每个尺寸的公差，就只能为固定名义尺寸进行公差设计。这些方法中的大部分都必须确定一个或多个反应函数。文献21阐述了确定特殊设计函数的分布函数的模拟方法。当涉及到很多变量时，它就是一个非常集中的计算过程。采用部分知识，比如文献16 中的就足以确定反应的鲁棒。
参数化设计（本文的主要内容）主要是在允许有可变性和限制条件的前提下确定优化的名义设计参数的值。要么是最小化费用函数的值，要么是最大化鲁棒设计值。后者可以用很
多方法加以定义。但是一般地，它与输出可变性测量的结果刚好相反，或者对给定的参数值的不确定性作出相应的反应。文献22采用信噪比作为鲁棒最大参数化设计的研究的对象，采用的方法是改进的Taguchi 方法。采用只包括点可能性权重、限制参数值和没有规定名义值的因子实验方法。有些给出的例子只有一些不确定尺寸，但是该项研究并不特别针对尺寸公差方面的问题。
正如上面讨论的一样，如果只有一个或多个的不确定变量，那么鲁棒的定义也就不同，文献23等价定义了根据性能参数的最小敏感性的最大鲁棒。该研究也不是直接针对尺寸公差问题的，但是与本文具有几个相同的特征，易于进一步地讨论。因为性能参数的变化范围和敏感函数成比例，因此它具有很大的相似形，只是可变性的计算并不需要对性能参数函数微分。这并非是对所有的题的闭式解析形式。很明显该方法是与性能参数值直接相关的鲁棒设计方法，而不是针对文献[17-19]整体费用的，它采用非线性编程确定受到性能参数和设计参数限制的最小敏感性，结果显示对计算所得的结果有很大的影响。可以做如下确定，它不需要分配设计参数的可能性。这使设计者能按照自己拥有的知识采用更实际的方法。作者对设计变量和不确定变量做了一些区分，但是这种区分也是不太明显的，并且认为包含所有的设计变量，以之作为优化程序的独立变量是有益的。同时还建议该方法还可以扩展至多反应函数。
一般地，鲁棒设计认为对于给定水平的设计变量的可变性设计，经常以相互制约的形式存在一组优化的名义设计参数值（参见文献[24-27]）。该方法在尺寸公差方面的外延就是确定一个装配中构件的一组名义尺寸。对于给定的公差，一个装配中的一个或更多的特殊参数在组成该装配时具有最小的可变性。当所有构件的尺寸都为名义尺寸时，这个最小值受具有名义尺寸的规定尺寸的影响。同样为了避免与装配的概念设计偏离，构件的名义尺寸可以控制在与原始设计匹配的限制内[见文献28]。
上述受限制的优化过程可以通过一些方法来实现。文献[16，19，29]采用的因子设计方法或者通过给构件尺寸或数字化建模的装配赋予一定的可能性，以确定性能尺寸值的变化的仿真方法都是可行的[见文献24]。本文的方法是基于设计空间集合的一种方法，在形式上的是确定的。对于性能测量，要确定在公差范围内的最小值和最大值，采用Simplex 搜索算法
[文献24]能将视为可变性的差别最小化。通过采用转化方法能消除不等式限制条件，采用混合的Lagrange 乘子和惩罚函数格式[文献30，32]能将名义设计规定融入新的目标函数中。 理论
采用变量xi （i=1,……,n ）表示装配中各构件的尺，这样形成向量X ，它具有名义设计⎛-⎫值x i , X ⎪。 ⎝⎭
通常假设公差是不对称的，那么，对于给定的名义尺寸。
x i -l i ≤x i ≤x i +u i （1）
上式定义了公差极限li 和ui （i=1,……,n ）。
设计变量的不确定性的简单描述看起来对尺寸公差中的问题是比较合适的。因为那种不确定性是要经常表示出来的，也就象要考虑尺寸极限一样。如果问题不是这样，可以采用文献30类似的分析方法。
为了将鲁棒设计技术用于公差问题上，就必须认识设计问题中与性能参量结果等价的特---
征。本文讨论了这些特征将在构件总装配中体现出来。比如说必须和设计值非常接近的间隙就不具备公差尺寸中的变量继承性。
如果特征这样表示：
c =c (x 1,..., x n ) （2）
上式对于给定装配的尺寸关系应该是可以定义其最大值和最小值的：
-+u i ⎫⎛-⎫⎛c U X ⎪=c ..., x -l i ,... ⎪⎪⎝⎭ ⎝⎭(3)
⎫⎛-⎫⎛c L X ⎪=c ..., x -l i ,... ⎪⎪⎝⎭ ⎝⎭
--+u i (4)
比如：它是名义尺寸X 的函数。
那么受到相关的约束，某装配变量的优化值与特殊特征的变量之间的差值为：
⎛-⎫ V X ⎪=c U -c L （5） ⎝⎭
它是最小的。
对于典型的约束，它就定义了这类确定性优化问题。
⎛-⎫使V X ⎪最小化，即： ⎝⎭
⎛-⎫ c N =c X ⎪ （6） ⎝⎭
A ≤X ≤B （7）
其中A 和B 是一个名义尺寸上xi 的上限和下限ai 和bi 的变量。
对于这类问题可以采用很多的方法加以解决。在此处采用的方法说明如下：
将矩阵进行转换得到： -
⎧-a i +b i ⎪x i --1⎪ y i =sin ⎨⎪b i -a i ⎪2⎩⎫⎪⎪⎬ (8) ⎪⎪⎭
为了减小不等式约束的个数，而采用Langrangian 函数L 的等于约束，问题可以简化为无约束问题：
L (Y ) =V Y (Y ) +λ{c N -c Y (Y ) } (9)
其中λ是Langrangian 乘子，Vy 和c Y 是经过公式8转换后，由表达式5和6的得到Y 的函数。
实际上，表达式9可以采用文献32中的方法加以改进，得到目标函数：
F (Y )=V Y (Y )+s c N -c Y (Y 122g {c N -c Y (Y )} (10) 2
采用Complex 搜索算法和采用一定的控制方法控制乘子s 和g 的增长方式，式8提供了在优化点处名义尺寸x i 的所需值。 -
实例
为了说明上述程序的使用方法，采用了文献4阐述的自行车曲柄装置。这是一个只包括四个构件--曲柄、带罗纹的锥形开口销、带平台的圆形轴和保持开口销的螺母/垫片。图1所示为分析中采用的10个公差尺寸。，它代表该装配的横断面。注意变量x6是从与开口销没有锥度的一端平行的平面上量取的弧度角。
由于尺寸变量被选择的公差所包含，下面的距离对于装配的充分性能是非常重要的必须具有优先考虑的最小可变性。
1． 曲柄体上销螺纹的长度：
35 c 1= x s i n x +x --x +x -x +x 6⎪/s i n x 6 (11) ⎪c o s 864717 ⎪22⎭⎝⎝⎭⎛x ⎛x ⎫⎫
2． 当用螺母和垫片固定开口销时，没有结合的螺纹的长度：
53 c 2= x 1-x 2+2⎪cos x 6-x 4+2+x 7+(x 8-x 9+x 10)sin x 6⎪⎪/sin x 6 (12) ⎭⎝⎝⎭⎛⎛x ⎫x ⎫
3． 轴与轴孔之间的间隙：
c 3=1(x 3-x 4) (13) 2
另外，为保证开口销大端的直径仍何必销孔直径小，就必须对带开口销锥度角加以限制。 c 4=x 5-x 2- ⎛x 3⎫2 (14) +x 8-c 1⎪tan x 6=x 11⎝2⎭
比如，间隙比零大，其中x11是一个松弛变量，它的名义值是并不需要确定的。每个公差尺寸假设在如下范围中：
x i -t i ≤x i ≤x i +t i (15)
对于名义值x i ，规定有对称公差±t i 。
那么就可能确定上述尺寸（c1和c3）的上限和下限值，比如：
c 3L ---1⎧⎛-⎫⎛-⎫⎫=⎨ x 3-t 3⎪- x 4+t 4⎪⎬ (16) 2⎩⎝⎭⎝⎭⎭
这样确定了所有的三维尺寸的整个变量函数。
c 3U 1⎧⎛-⎫⎛-⎫⎫=⎨ x 3+t 3⎪- x 4-t 4⎪⎬ (17) 2⎩⎝⎭⎝⎭⎭
-注意公式18应该予以加权，允许对门在尺寸上有不同的重要性。在本文中，第三线性
关系是不予以考虑的，因为它不是变量X 的函数。
该类问题的限制条件为三个尺寸c1，c2和c3应该在所有构件均为名义尺寸时具有他们正确的名义值。这对于开口销角度限制也是一样的，这由方程14确定。
包括惩罚函数，结果优化问题可以采用以下的形式表示：
F Y (Y )=V Y (Y )+s 1c 1N -c 1Y (Y ) +s 2c 2N -c 2Y (Y )
2+s 3c 3N -c 3Y (Y ) +s 4x 11-c 4Y (Y )
1122 （18） g 1(c 1N -c 1Y (Y ) )+g 2(c 2N -c 2Y (Y ) )22
21122+g 3(c 3N -c 3Y (Y ) )+g 4x 11-c 4Y (Y ) 22+()
当Y 是名义尺寸矢量的无限制转换形式时，X 是用Y 表示成函数的尺寸ci Y ，ci N 是尺-
寸ci 的名义值，s 和g 分别是乘子和惩罚函数的权重。实际中采用文献28中撰写的Simplex 搜索算法进行优化。乘子s 和g 具有初始值，按照一定的循环条件增加。为了避免目标函数的不良修正，在一定的循环后赋给一定的初始值。下面对数字结果进行了归纳和讨论。他们是采用Fortran77编写的程序，在SUN/UNIX系统平台运行得到的结果。
结果
表1所示为名义尺寸上假定的限制条件ai 和bi 。他们都是基于考虑中曲柄装置的测量值上的。这样可以为每个构件尺寸选择一个合适的范围。下面所示是选定的名义尺寸c 1N ，c 2N 和c 3N 的固定值。如果构件尺寸就是他们的名义值时，关键尺寸的实际值就是这些值。
两种不同公差(t1 ……t 10) 的计算程序运行后的结果如表2和3所示。当所有的尺寸均为名义尺寸，以及尺寸c1和c2中的可变性之和时，公差参数ti 都对应每个构件的尺寸，和优化名义尺寸的结果(x 1……. -x 10) 尺寸，以及c1,c2, 和c3的实际值。
--与优化名义尺寸非常相似的尺寸是从使所选择的尺寸c1和c2的可变性最小的一组名义x 10尺寸中获得的。在具有更小公差的第二种情况下，获得了与规定的限制条件更好的匹配性。
这也正如期望的一样，可变性参数V 从5.12mm 减小到1.52mm 。在该示例中，V 由c1和c2的可变性的和组成，他们都按照比如大约V/2的大小顺序排列。
可以采用更长的程序实现与限制条件的更好的一致性。但是如果一致性改善很小，而且只要这些尺寸稳定在某些值附近，那么优化尺寸的结果和任何重要角度的可变性是不会有很大改变结论的。
表4所示为名义变量的允许范围的一组值。采用表3中所列的值和公差作为程序的输入值，结果如表5所示。如果给定一个更小的可变性，x 1，x 2，x 5和x 6都将超过前面使用的上限值。只要给出一个许可的更大范围，程序获得一组新的优化值。因为该程序导致所选----
的尺寸c1和c2具有更小的可变性（方程11和12）。
设计者希望能得到固定的某个尺寸，这可以通过模拟得到表6中所示的结果。孔的尺寸x 3和x 6得到他们允许的范围14.9-15.1mm 和8.9-9.1mm 。其他参数的结果如表5所示。最为附加约束的结果，确定了一种新的方法，可变性V 也稍微有所增加（1.27-1.29）。
b i
--
表3 减小后的公差
i
结论
本文开发了基于变量限定范围的确定性优化过程，并利用它确定非顶相应装配尺寸公差和合适限制条件下的优化名义值。该方法需要对公差做合理的解释。如果不能表示为可变性
限定范围，就只能得到简单的分析结果。可以通过使装配某关键尺寸可变性测量值最小的方法获得最优解。通过对带有10个参数和不同公差简单装配的应用，深入地阐明了该方法的实质，同时也表明该方法对于给顶的条件和特殊的限制条件，具有一个唯一的最优解。该方法可以作为鲁棒设计技术单独使用，也可以作为一个更复杂费用优化程序的一部分。