答案9.1
解：由分压公式得：
/U = H (jω) =U R
R j ωRC
=
R +1/(j ωC ) 1+j ωRC
1得 2
H (j ω) 具有高通特性，令H (j ωc ) =
截止频率ωc =
1
，通带范围为 ωc ~∞ RC
答案9.2
解：由阻抗并联等效公式得：
103/(j ω10-6) 103
Z (j ω) =3=Ω
10+1/(j ω10-6) 1+j ω10-3
阻抗模及幅角分别为：
Z (j ω) =令
103+(10-3ω) 2
， θ(ω) =-arctan(10-3ω)
Z (j ωc ) =1/2
求得截止角频率ωc =103rad/s，故通带及阻带分别为：
通带ω=0~103rad/s，阻带ω=103rad/s~∞。幅频特性和相频特性如图(b)和(c)所示。
--
答案9.3
解：等效输入阻抗
Z (j ω) =
R 1⨯j ωL R j ωC
+2
R 1+j ωL R 2-j C
(1)
(R +R 2) C +R 1R 2(j ωL +j ωC ) =1
R 1R 2+L +(j ωLR 2+R 1j ωC )
取极端情况，令ω=0，得Z (j ω) ω=0=R 2; 令ω→∞，得Z (j ω) ω→∞=R 1。
由Z (j ω) 不随频率变化得R 1=R 2=R ，式（1）简化为
2
L C
2R L +R 2
Z (j ω) =(j ωL +j ωC ) +(j ωL +j ωC )
R 2+L +R (j ωL +j ωC ) =R
R +L R
+(j ωL +j ωC ) 由Z (j ω) 为实数得：
2
L C L
R =R +L C
R
, R 2=
C
故当 R 1=R 2=时端口电流与端口电压的波形相似，Z (j ω) =C 。
答案9.4
解： RC并联的等效阻抗
Z /j ωC RC =
R R +1/j ωC =R
1+j ωRC
H (j ω) =U /U =Z 21
RC
j ωL +Z
RC
=
R 1
R +j ωL (1+j ωRC ) =
1-ω2LC +j ωL /R
幅频特性
H (j ω) =
1
(1-ω2
LC ) 2
+(ωL /R )
2
当ω→0时， H (j ω) =1；当ω→∞时，H (j ω) =0
所以它具有低通特性。 答案9.5
解：由KVL 及分压公式得
U =U -U =(j ωC R 2cb db R +j ωC -R +j ωC
) U 1
整理得
H (j ω) =U 21-j ωRC
U =
1
1+j ωRC 其幅频特性
此时
H (j ω) =
2+(ωRC ) 2+(ωRC )
2
2
=1
相频特性
ϕ(ω) =-2arctg(ωRC )
当ω从0变到∞时，ϕ(ω) 从0变化到-π。
注释：图中电路幅频特性为常量，与频率无关，具有全通特性，常用作移相。
答案9.6 解：设
Z 1=R 1//
R 1R 211
， Z 2=R 2// ==
j ωC 2R 2+j ωR 2C 2j ωC 1R 1+j ωR 1C 1
由分压公式得：
=U 2
Z 2
U 1
Z 1+Z 2
U R 2(1+j ωR 1C 1)
H (j ω) =2=
R (1+j ωR C ) +R (1+j ωR C ) U 1222111
当R 1C 1＝R 2C 2时，得H (j ω) =关。
R 2
，此网络函数模及辐角均不与频率无
R 1+R 2
答案9.7
解：因为电路处于谐振状态，故电感与电容串联电路相当于短路，因此有
R 1R 2U
=1=50Ω
R 1+R 2I S
代以R 1=100Ω，解得R 2=100Ω 又因为电路处于谐振状态 ， 所以
X L =X C =100Ω 故有
U L =I 2X L =
R 1I S
⨯X L =50V
R 1+R 2
答案9.8
解：(1)根据题意，电路发生谐振时，存在下列关系：
⎧ω=1/LC =104rad/s⎧R =0. 1Ω⎪⎪
解得 ⎨L =1mH ⎨I =U /R =1A
⎪C =10μF ⎪U =ωLI =10V
⎩L ⎩
品质因数
U 10Q =L ==100
U 0. 1
（2）
=I ωC ) =1∠0︒⨯10∠-90︒V =10∠-90︒V U C
即有
u C =2cos(ωt -90︒) V
答案9.9
解：由串联谐振规律得：
⎧R =10Ω
⎪ω=1/LC =103rad/s⎪0
解得 ⎨
∆ω=ω/Q =100rad/s0⎪⎪⎩Q =ω0L /R
答案9.10
⎧R =100Ω⎪
⎨L =1H ⎪C =1μμ⎩
解：(1)
C =
1
ω02L ω0
Q
=
1-7
=1. 034⨯10F 2
(2π⨯875) ⨯0. 32
∆ω=
， Q =ω0/∆ω=875/250=3. 5
Q =ω0L /R ， R =ω0L /Q =2π⨯875⨯0. 32/3. 5=502. 65Ω 谐振频率为
f c 1=(-
11++1) ⨯f 0≈759Hz 22Q 4Q
f c2=(
11++1) ⨯f 0≈1009Hz 22Q 4Q
(2) 谐振时电路的平均功率为：
P 0=I 02R =(23. 2/502. 65) 2⨯502. 65=1. 071W
在截止频率处，电流下降至谐振电流I 0的1/2，故功率减小到P 0的一半，
所以
当f =759Hz 和f =1009Hz 时，电路平均功率均为P =P 0/2=0. 535W
(3)
U L =U C =QU =3. 5⨯23. 2=81. 2V
答案9.11
解: 谐振时
ωL =1/ωC ，即C =1/(ω2L ) =1/(4π2f 2L )
由上式求得，当f =550kHz 时 C ≈262pF ，当f =1. 6MHz 时 C ≈31pF 所以可变电容C 的变化范围应为31~262pF 答案9.12
解：当两线圈顺接时，等效电感
L =L 1+L 2+2M =0. 05H
谐振角频率
ω1=
113
==10s -6
LC 0. 05⨯20⨯10
=6∠0︒V ，则谐振时的电流 取U
=I
U 6∠0︒
=A =0. 4∠0︒A
R 1+R 25+10
由互感的元件方程得：
=(R +j ωL ) I +j ωM I =[(5+j10) ⨯0.4+j10⨯0.4]V=(2+j8)V U 11111
U =(R +j ωL ) I +j ωM I =[(10+j20) ⨯0.4+j10⨯0.4]V=(4+j12)V
2
2
1
2
1
两线圈电压的有效值分别为
U 1=22+82=8. 24V ，U 2=42+122=12. 65V 当两线圈反接时，等效电感
L ' =L 1+L 2-2M =0. 01H 谐振角频率
10. 01⨯20⨯10-6
ω2=
=2. 236⨯103rad/s
=(R +j ωL ) I -j ωM I =5Ω⨯0. 4A =2V U 11212
U =(R +j ωL ) I -j ωM I =(10+j22.36) Ω⨯0.4A =(4+j8.95)V
2
2
2
2
2
此时两线圈电压的有效值分别为
U 1=2V ，U 2=42+8. 952=9. 8V
答案9.13
解：(1)消去互感后，得图（b ）所示等效电路。
I
当等效电感M 和电容C 发生串联谐振时，即C =1/ω2M =1/106⨯1=1μF， ab 端相当于短路，端电压为零，则电流I 也为零。所以电流I 的最小值为I min =0 (2)先分析ab 端的等效导纳，由图(b)得
Y ab =
11
+
R +j ω(L 2-M ) j ωM -j /ωC
=
ω(L 2-M ) R 1
+j [-] 222222
1/ωC -ωM R +ω(L 2-M ) R +ω(L 2-M )
由于电容C 变化时，Y ab 的实部不变，所以，当并联部分发生谐振时，Y ab 最小，电压U ab =I S /ab 为最大，因此电流I 也为最大。令
ω(L 2-M ) 1
-2=0 22
1/ωC -ωM R +ω(L 2-M )
得
C =
L 2-M 2
=⨯10-6F =0. 2μF 22
R +ωL 2(L 2-M ) 4+3⨯2
由分流公式求得：
=I
j (ωM -1/ωC ) =-j 4I =2I ∠-45︒ I S S S
j (ωM -1/ωC ) +R +j ω(L 2-M ) 2-j 2
故当
C =0. 2μF时，I max =2I S =14. 14mA
答案9.14
解：电路达到谐振时，有
C =
1
1
ω2L
=
(100π) 2⨯160⨯10-3
F ≈63. 39μF
X L =ωL =X C =C =50. 24Ω 谐振时电流
I =
U 179R =12
≈10. 55A 故电容器的端电压
U C =X C I ≈530. 03V ， 线圈的端电压
U =I R 2+X 2
L L ≈544. 94V
答案9.15
解：端口等效阻抗
1j ωL ⨯R (ωL ) 2R ωLR 2Z (j ω) =j ωC +R +j ωL =1
R 2+(ωL ) 2+j[R 2+(ωL ) 2
-ωC ]令 Im [Z ]=0；解得谐振角频率
ω0=
R R 2
LC -L
2
将ω0代回式（1），得Z (j ω0) =RC 答案9.16
解：
H =I R
U R 1R (j ω) I =+j ωC -j L ) U 1+j (ωCR -R L ) S (R =
H 1
1
R (j ω) =
+(ωCR -R L )
2
=+Q 2(
ω
ω-0) 2
0ω
其中
ω10=
LC ，Q =ωR 0CR =ω，
L 1） （
画出幅频特性如图(b)所示。由幅频特性可以看出H R (j ω) 是带通函数 在截止频率处
+(ωCR -R L ) 2=2
由此解得
-L +L 2+4R 2LC L +L 2+4R 2LC
， ωC 2= ωC 1=
2RLC 2RLC ∆ω=2π∆f =ωC 2-ωC 1=
ω2L 1
==0 2LRC RC Q
所以
11C ==4≈1. 59⨯10-9F 4
R ∆ω10⨯2π⨯10
L =
11
==1. 59⨯10-5H 262-9
ω0C (2π⨯10) ⨯1. 59⨯10
答案9.17
解：由谐振时阻抗为103Ω得 R =1000Ω RLC 并联电路带宽：
∆ω=ω0/Q （参考题9.16）
由带宽与谐振角频率及品质因数的关系得：
Q =ω0/∆ω=10
RLC 并联电路的品质因数为
Q =ω0C /G =10
由上式求得：
C =10G /ω0=10/(1000⨯1000) =10μF 由ω0L =1/ω0C 得
L =1/ω02C =1/(106⨯10-5) H =0. 1H
答案9.18
解：因为电感、电容处于并联谐振状态，相当于开路
所以
i 1=0，X L =ωL =-X C =100Ω
U 10∠0︒ I 2=I C =S =A =0. 1∠90︒A j X C 100∠-90︒i 2=i C =0. 141cos(ωt +90︒) A i L =-i C =0. 141cos(ωt -90︒) A
答案9.19
解：对图示电路，谐振时感抗等于容抗
1/(ωC ) =ωL =200Ω 故
C =
1
ω2L
=
1
=5μF 6
10⨯0. 2
谐振时电阻电流等于电流源源电流，故
R =
U I C X C 2⨯200==Ω=4000Ω I R I S 0. 1
答案9.20
解：由分压公式求得：
U
H (j ω) =O
U i
=
R j ωC R
R +j ωC 1+j ωCR ==
(j ωL +) (j ωL +)
R +j ωC 1+j ωCR
R
R -ω2LCR +j ωL
若输出电压u o 中正弦分量占滤波前的5%，则相当于
H (j ω) =
R
(R -ωLCR ) +(ωL )
2
2
2
=5%
代入数值解得
C ≈0. 183μF
答案9.21
C 对基波发生并联谐振时，解：当L 1、滤波器能够阻止电流的基波通至负载，
由此得：
ωL 1=
解得
L 1=
1
（1） ωC
1
ωC
2
=
1(2πf ) C
2
≈0. 254mH
当L 1、C 与L 2组成的电路对九次谐波发生串联谐振时，九次谐波可以顺利 地通至负载，由此得到：
1
+j9ωL 2=0 （2）
j9ωC +1/(j 9ωL 1)
将式（1）代入式（2）解得
L 2=
L 1
≈3. 17μH
81ωCL 1-1
答案9.1
解：由分压公式得：
/U = H (jω) =U R
R j ωRC
=
R +1/(j ωC ) 1+j ωRC
1得 2
H (j ω) 具有高通特性，令H (j ωc ) =
截止频率ωc =
1
，通带范围为 ωc ~∞ RC
答案9.2
解：由阻抗并联等效公式得：
103/(j ω10-6) 103
Z (j ω) =3=Ω
10+1/(j ω10-6) 1+j ω10-3
阻抗模及幅角分别为：
Z (j ω) =令
103+(10-3ω) 2
， θ(ω) =-arctan(10-3ω)
Z (j ωc ) =1/2
求得截止角频率ωc =103rad/s，故通带及阻带分别为：
通带ω=0~103rad/s，阻带ω=103rad/s~∞。幅频特性和相频特性如图(b)和(c)所示。
--
答案9.3
解：等效输入阻抗
Z (j ω) =
R 1⨯j ωL R j ωC
+2
R 1+j ωL R 2-j C
(1)
(R +R 2) C +R 1R 2(j ωL +j ωC ) =1
R 1R 2+L +(j ωLR 2+R 1j ωC )
取极端情况，令ω=0，得Z (j ω) ω=0=R 2; 令ω→∞，得Z (j ω) ω→∞=R 1。
由Z (j ω) 不随频率变化得R 1=R 2=R ，式（1）简化为
2
L C
2R L +R 2
Z (j ω) =(j ωL +j ωC ) +(j ωL +j ωC )
R 2+L +R (j ωL +j ωC ) =R
R +L R
+(j ωL +j ωC ) 由Z (j ω) 为实数得：
2
L C L
R =R +L C
R
, R 2=
C
故当 R 1=R 2=时端口电流与端口电压的波形相似，Z (j ω) =C 。
答案9.4
解： RC并联的等效阻抗
Z /j ωC RC =
R R +1/j ωC =R
1+j ωRC
H (j ω) =U /U =Z 21
RC
j ωL +Z
RC
=
R 1
R +j ωL (1+j ωRC ) =
1-ω2LC +j ωL /R
幅频特性
H (j ω) =
1
(1-ω2
LC ) 2
+(ωL /R )
2
当ω→0时， H (j ω) =1；当ω→∞时，H (j ω) =0
所以它具有低通特性。 答案9.5
解：由KVL 及分压公式得
U =U -U =(j ωC R 2cb db R +j ωC -R +j ωC
) U 1
整理得
H (j ω) =U 21-j ωRC
U =
1
1+j ωRC 其幅频特性
此时
H (j ω) =
2+(ωRC ) 2+(ωRC )
2
2
=1
相频特性
ϕ(ω) =-2arctg(ωRC )
当ω从0变到∞时，ϕ(ω) 从0变化到-π。
注释：图中电路幅频特性为常量，与频率无关，具有全通特性，常用作移相。
答案9.6 解：设
Z 1=R 1//
R 1R 211
， Z 2=R 2// ==
j ωC 2R 2+j ωR 2C 2j ωC 1R 1+j ωR 1C 1
由分压公式得：
=U 2
Z 2
U 1
Z 1+Z 2
U R 2(1+j ωR 1C 1)
H (j ω) =2=
R (1+j ωR C ) +R (1+j ωR C ) U 1222111
当R 1C 1＝R 2C 2时，得H (j ω) =关。
R 2
，此网络函数模及辐角均不与频率无
R 1+R 2
答案9.7
解：因为电路处于谐振状态，故电感与电容串联电路相当于短路，因此有
R 1R 2U
=1=50Ω
R 1+R 2I S
代以R 1=100Ω，解得R 2=100Ω 又因为电路处于谐振状态 ， 所以
X L =X C =100Ω 故有
U L =I 2X L =
R 1I S
⨯X L =50V
R 1+R 2
答案9.8
解：(1)根据题意，电路发生谐振时，存在下列关系：
⎧ω=1/LC =104rad/s⎧R =0. 1Ω⎪⎪
解得 ⎨L =1mH ⎨I =U /R =1A
⎪C =10μF ⎪U =ωLI =10V
⎩L ⎩
品质因数
U 10Q =L ==100
U 0. 1
（2）
=I ωC ) =1∠0︒⨯10∠-90︒V =10∠-90︒V U C
即有
u C =2cos(ωt -90︒) V
答案9.9
解：由串联谐振规律得：
⎧R =10Ω
⎪ω=1/LC =103rad/s⎪0
解得 ⎨
∆ω=ω/Q =100rad/s0⎪⎪⎩Q =ω0L /R
答案9.10
⎧R =100Ω⎪
⎨L =1H ⎪C =1μμ⎩
解：(1)
C =
1
ω02L ω0
Q
=
1-7
=1. 034⨯10F 2
(2π⨯875) ⨯0. 32
∆ω=
， Q =ω0/∆ω=875/250=3. 5
Q =ω0L /R ， R =ω0L /Q =2π⨯875⨯0. 32/3. 5=502. 65Ω 谐振频率为
f c 1=(-
11++1) ⨯f 0≈759Hz 22Q 4Q
f c2=(
11++1) ⨯f 0≈1009Hz 22Q 4Q
(2) 谐振时电路的平均功率为：
P 0=I 02R =(23. 2/502. 65) 2⨯502. 65=1. 071W
在截止频率处，电流下降至谐振电流I 0的1/2，故功率减小到P 0的一半，
所以
当f =759Hz 和f =1009Hz 时，电路平均功率均为P =P 0/2=0. 535W
(3)
U L =U C =QU =3. 5⨯23. 2=81. 2V
答案9.11
解: 谐振时
ωL =1/ωC ，即C =1/(ω2L ) =1/(4π2f 2L )
由上式求得，当f =550kHz 时 C ≈262pF ，当f =1. 6MHz 时 C ≈31pF 所以可变电容C 的变化范围应为31~262pF 答案9.12
解：当两线圈顺接时，等效电感
L =L 1+L 2+2M =0. 05H
谐振角频率
ω1=
113
==10s -6
LC 0. 05⨯20⨯10
=6∠0︒V ，则谐振时的电流 取U
=I
U 6∠0︒
=A =0. 4∠0︒A
R 1+R 25+10
由互感的元件方程得：
=(R +j ωL ) I +j ωM I =[(5+j10) ⨯0.4+j10⨯0.4]V=(2+j8)V U 11111
U =(R +j ωL ) I +j ωM I =[(10+j20) ⨯0.4+j10⨯0.4]V=(4+j12)V
2
2
1
2
1
两线圈电压的有效值分别为
U 1=22+82=8. 24V ，U 2=42+122=12. 65V 当两线圈反接时，等效电感
L ' =L 1+L 2-2M =0. 01H 谐振角频率
10. 01⨯20⨯10-6
ω2=
=2. 236⨯103rad/s
=(R +j ωL ) I -j ωM I =5Ω⨯0. 4A =2V U 11212
U =(R +j ωL ) I -j ωM I =(10+j22.36) Ω⨯0.4A =(4+j8.95)V
2
2
2
2
2
此时两线圈电压的有效值分别为
U 1=2V ，U 2=42+8. 952=9. 8V
答案9.13
解：(1)消去互感后，得图（b ）所示等效电路。
I
当等效电感M 和电容C 发生串联谐振时，即C =1/ω2M =1/106⨯1=1μF， ab 端相当于短路，端电压为零，则电流I 也为零。所以电流I 的最小值为I min =0 (2)先分析ab 端的等效导纳，由图(b)得
Y ab =
11
+
R +j ω(L 2-M ) j ωM -j /ωC
=
ω(L 2-M ) R 1
+j [-] 222222
1/ωC -ωM R +ω(L 2-M ) R +ω(L 2-M )
由于电容C 变化时，Y ab 的实部不变，所以，当并联部分发生谐振时，Y ab 最小，电压U ab =I S /ab 为最大，因此电流I 也为最大。令
ω(L 2-M ) 1
-2=0 22
1/ωC -ωM R +ω(L 2-M )
得
C =
L 2-M 2
=⨯10-6F =0. 2μF 22
R +ωL 2(L 2-M ) 4+3⨯2
由分流公式求得：
=I
j (ωM -1/ωC ) =-j 4I =2I ∠-45︒ I S S S
j (ωM -1/ωC ) +R +j ω(L 2-M ) 2-j 2
故当
C =0. 2μF时，I max =2I S =14. 14mA
答案9.14
解：电路达到谐振时，有
C =
1
1
ω2L
=
(100π) 2⨯160⨯10-3
F ≈63. 39μF
X L =ωL =X C =C =50. 24Ω 谐振时电流
I =
U 179R =12
≈10. 55A 故电容器的端电压
U C =X C I ≈530. 03V ， 线圈的端电压
U =I R 2+X 2
L L ≈544. 94V
答案9.15
解：端口等效阻抗
1j ωL ⨯R (ωL ) 2R ωLR 2Z (j ω) =j ωC +R +j ωL =1
R 2+(ωL ) 2+j[R 2+(ωL ) 2
-ωC ]令 Im [Z ]=0；解得谐振角频率
ω0=
R R 2
LC -L
2
将ω0代回式（1），得Z (j ω0) =RC 答案9.16
解：
H =I R
U R 1R (j ω) I =+j ωC -j L ) U 1+j (ωCR -R L ) S (R =
H 1
1
R (j ω) =
+(ωCR -R L )
2
=+Q 2(
ω
ω-0) 2
0ω
其中
ω10=
LC ，Q =ωR 0CR =ω，
L 1） （
画出幅频特性如图(b)所示。由幅频特性可以看出H R (j ω) 是带通函数 在截止频率处
+(ωCR -R L ) 2=2
由此解得
-L +L 2+4R 2LC L +L 2+4R 2LC
， ωC 2= ωC 1=
2RLC 2RLC ∆ω=2π∆f =ωC 2-ωC 1=
ω2L 1
==0 2LRC RC Q
所以
11C ==4≈1. 59⨯10-9F 4
R ∆ω10⨯2π⨯10
L =
11
==1. 59⨯10-5H 262-9
ω0C (2π⨯10) ⨯1. 59⨯10
答案9.17
解：由谐振时阻抗为103Ω得 R =1000Ω RLC 并联电路带宽：
∆ω=ω0/Q （参考题9.16）
由带宽与谐振角频率及品质因数的关系得：
Q =ω0/∆ω=10
RLC 并联电路的品质因数为
Q =ω0C /G =10
由上式求得：
C =10G /ω0=10/(1000⨯1000) =10μF 由ω0L =1/ω0C 得
L =1/ω02C =1/(106⨯10-5) H =0. 1H
答案9.18
解：因为电感、电容处于并联谐振状态，相当于开路
所以
i 1=0，X L =ωL =-X C =100Ω
U 10∠0︒ I 2=I C =S =A =0. 1∠90︒A j X C 100∠-90︒i 2=i C =0. 141cos(ωt +90︒) A i L =-i C =0. 141cos(ωt -90︒) A
答案9.19
解：对图示电路，谐振时感抗等于容抗
1/(ωC ) =ωL =200Ω 故
C =
1
ω2L
=
1
=5μF 6
10⨯0. 2
谐振时电阻电流等于电流源源电流，故
R =
U I C X C 2⨯200==Ω=4000Ω I R I S 0. 1
答案9.20
解：由分压公式求得：
U
H (j ω) =O
U i
=
R j ωC R
R +j ωC 1+j ωCR ==
(j ωL +) (j ωL +)
R +j ωC 1+j ωCR
R
R -ω2LCR +j ωL
若输出电压u o 中正弦分量占滤波前的5%，则相当于
H (j ω) =
R
(R -ωLCR ) +(ωL )
2
2
2
=5%
代入数值解得
C ≈0. 183μF
答案9.21
C 对基波发生并联谐振时，解：当L 1、滤波器能够阻止电流的基波通至负载，
由此得：
ωL 1=
解得
L 1=
1
（1） ωC
1
ωC
2
=
1(2πf ) C
2
≈0. 254mH
当L 1、C 与L 2组成的电路对九次谐波发生串联谐振时，九次谐波可以顺利 地通至负载，由此得到：
1
+j9ωL 2=0 （2）
j9ωC +1/(j 9ωL 1)
将式（1）代入式（2）解得
L 2=
L 1
≈3. 17μH
81ωCL 1-1