·圆锥曲线的切线方程
寇宗娣
（白银市第一中学
甘肃
白银
730900）
高中数学第七章第6节例2中对于过圆x2+y2=r2上一
点p（x0，y0）的切线方程有详细证明与解答，并求得此切线方程为x0x+y0y=r2。由此，我们来考虑这样一个问题：过圆心不在原点的圆上一点p（x0，y0）的切线方程如何？过其它圆锥曲线上一点的切线方程又如何？以下进行分析证明.
1.过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点p（x0，y0）做此圆的切线，求其方程.
解法一：利用坐标系转换法，不妨设x'=x-a，y'=y-b，则在x'o'y'坐标系中，圆的方程为x'2+y'2=r2,点p的坐标为（x0-a，y0-b），因而，根据例2可知，在x'o'y'坐标系中，过点p的圆x'2+y'2=r2的切线方程为（x0-a）x'+（y0-b）y'=r2，由此可知，此切线在坐标系xoy中对应的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
解法二：向量法，在切线上任取不同于p点的任意一点M(x,y),记圆心为C，则
x-yy=1.以猜想为：x2
2
得a2b2y02x2-a4b2y02=b4x02x2-2a2b4x0x+a4b4.即（a2b2y02-b4x02）x+2a2b4x0x-a4b2y0-a4b4=0.（3）
222222
又-ay0+bx0=ab，
∴（3）可以化为a2b4x2-2a2b4x0x+a4b2y0+a4b4=0，即b2x2-2a2x0x+a2y0+a2b2=0.（4）∴（4）中有
△=4b4x02-4b2（a2y02+a2b2）
=4b2（b2x02-a2y02）-4a2b4=4a2b4-4a2b4=0.∴（4）有唯一实数解.
x-yy=1是过双曲线x2-y2=1上的点p（x，即直线x0y0）的切线方程.
22
同理，可知过y-x=1上一点p（x0，y0）的切线方程为
yy-xx=1.h）2-（y-k）2=1上一点p利用坐标平移变换可知：（x-x-h）-（y0-k）（y-k）=1.（x0，y0）的切线方程为：（x0-h）（k）2-（x-h）2=1上一点p（x，y）的切线过双曲线（y-00方程为：
（y0-k）（y-k）
x-yy=1，证明：联立x2-y2=1,x2
2
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·圆锥曲线的切线方程
寇宗娣
（白银市第一中学
甘肃
白银
730900）
高中数学第七章第6节例2中对于过圆x2+y2=r2上一
点p（x0，y0）的切线方程有详细证明与解答，并求得此切线方程为x0x+y0y=r2。由此，我们来考虑这样一个问题：过圆心不在原点的圆上一点p（x0，y0）的切线方程如何？过其它圆锥曲线上一点的切线方程又如何？以下进行分析证明.
1.过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点p（x0，y0）做此圆的切线，求其方程.
解法一：利用坐标系转换法，不妨设x'=x-a，y'=y-b，则在x'o'y'坐标系中，圆的方程为x'2+y'2=r2,点p的坐标为（x0-a，y0-b），因而，根据例2可知，在x'o'y'坐标系中，过点p的圆x'2+y'2=r2的切线方程为（x0-a）x'+（y0-b）y'=r2，由此可知，此切线在坐标系xoy中对应的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
解法二：向量法，在切线上任取不同于p点的任意一点M(x,y),记圆心为C，则
x-yy=1.以猜想为：x2
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得a2b2y02x2-a4b2y02=b4x02x2-2a2b4x0x+a4b4.即（a2b2y02-b4x02）x+2a2b4x0x-a4b2y0-a4b4=0.（3）
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又-ay0+bx0=ab，
∴（3）可以化为a2b4x2-2a2b4x0x+a4b2y0+a4b4=0，即b2x2-2a2x0x+a2y0+a2b2=0.（4）∴（4）中有
△=4b4x02-4b2（a2y02+a2b2）
=4b2（b2x02-a2y02）-4a2b4=4a2b4-4a2b4=0.∴（4）有唯一实数解.
x-yy=1是过双曲线x2-y2=1上的点p（x，即直线x0y0）的切线方程.
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同理，可知过y-x=1上一点p（x0，y0）的切线方程为
yy-xx=1.h）2-（y-k）2=1上一点p利用坐标平移变换可知：（x-x-h）-（y0-k）（y-k）=1.（x0，y0）的切线方程为：（x0-h）（k）2-（x-h）2=1上一点p（x，y）的切线过双曲线（y-00方程为：
（y0-k）（y-k）
x-yy=1，证明：联立x2-y2=1,x2
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