智巧趣题
教学目标
数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。
智巧趣题
本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。
例题精讲
【例1】 (超常、超常3) 集市上有位卖鱼的老人，3条鱼5元，这时来了3个人，准备一起买者3 条鱼，
可是每人都是2元的钱，卖鱼的老人又没有零钱找，最后三个人觉得6元买3条鱼也挺值就每人出2元买了. 卖鱼的老人越想越觉得不合适，怎么能多收1元呢？于是他坐车去追买鱼人，追上时卖鱼的老人说：“多收你们1元，坐车用4角，还剩6角，退给你们每人2角.”可是3个人怎么算也不对，每人出2元，又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐车的4角，一共5元8角，怎么少2角呢？ 你知道为什么吗？
【分析】 其实没少. 应当5元4角加上退回的6角共6元.
(超常2、超常1) 3人去餐馆吃饭，每人出10元，结帐时共花25元，找回5元，用剩下的5元买了2元的水果，剩下3元每人退1元，结果一算账：每人实际出9元，共27元，加上卖水果的2元，共29元，怎么少了1元呢？
【分析】 27元包括25元的餐费和2元的水果，再加上退的3元共30元.
【例2】 (超常、超常3) 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正反
面各需1分钟），问煎3个饼至少需要几分钟？
【分析】 先煎第一个饼和第二个饼的正面用1分钟，再煎第一个饼的反面和第三个饼的正面用1分钟，接着
煎第二个饼和第三个饼的反面用1分钟，共用3分钟。
（超常2）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正反面各需
，问煎2009个饼至少需要几分钟？ 1分钟）
2009是奇数，所以如果两个两个地煎，最后肯定会剩下一个，结合上题煎3个饼的例子，可以先【分析】
两个两个地煎好2006个，最后的3个再用3分钟煎完，因此一共需要2009分钟。 （超常1）（2009年12月6日“数学大王”邀请赛三年级第6题）烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要烤3个烧饼至少需要_______分钟。 【分析】第一次烤①的正面和②的正面，需要3分钟；
第二次烤①的反面和③的正面，需要3分钟； 第三次烤②的反面和③的反面，需要2分钟； 所以要烤3个烧饼至少需要3+3+2=8分钟。
【例3】 (超常) 一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样，可是人不在时，狐狸要
吃鹅，鹅要吃玉米. 那么应该怎样渡河呢？
【分析】 先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船，
第四次再把鹅带过去即可.
（超常3）有3个商人和3个随从在河岸边, 他们都想过河, 只有一艘船, 没有船夫, 而且船一次只能载2个人. 任何时候船过了河, 只要这6个人没过完, 都得人回来接, 怎么才能顺利过河呢? 要求任何时候都不得随从数目大于商人数目, 防止他们劫财.
【分析】 第1次：1商1从过河，商回， 第2次：2从过河，1回，第3次：2商过河，1商1从回， 第
4次：2商过河，从回， 第5次：2从过河， 第6次：再回，接最后一个随从过河。
（超常2）小王骑牛赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分，乙牛过河需2 分，丙牛过河需5分，丁牛过河需6分。每次只能赶两头牛过河。问要把这4头牛都赶到对岸去，最少需几分？
【分析】 为了使总时间最少，则过河时用时多的牛要一起赶，返回时要骑用时少的牛，所以在赶牛时要先
把用时少的牛赶到对岸去，这样返回时就可以骑回来。具体方法如下：先将甲、乙两头牛赶到对岸，用时2分钟，然后骑甲牛回来，再赶丙、丁两头牛区对岸，骑乙牛回来，最后骑甲、乙两头牛到对岸，整个过程一共用时2+1+6+2+2=13（分钟）。
（超常1）有4个人要过一座桥。他们都站在桥的某一边，要让他们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。他们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥。不管是谁过桥，不管是一个人还是两个人，必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个人过桥的速度不同，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。
第一个人：过桥需要1分钟； 第二个人：过桥需要2分钟； 第三个人：过桥需要5分钟； 第四个人：过桥需要10分钟。
比如，如果第一个女人与第4个女人首先过桥，等她们过去时，已经过去了10分钟。如果让第4个女人将手电筒送回去，那么等她到达桥的另一端时，总共用去了20分钟，行动也就失败了。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有别的什么方法？
【分析】 第一个人, 第二个人先过桥----用时2分钟
第一个人回来送手电-----------用时1分钟 第三个人, 第四个人再过桥----用时10分钟 第二个人回来送手电-----------用时2分钟 第一个人, 第二个人最后过桥----用时2分钟 共用了17分钟。
【例4】 (超常、超常3) 一个人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3千克水，另一只可盛5千克水，现
在要取4千克水，应该怎样取？
【分析】 先把盛3千克水的小桶盛满水，倒进盛5千克的大桶里，把小桶盛满水，再倒入大桶里，因为大
桶里已经有3千克的水，当倒满5千克时，小桶还剩下1千克的水．把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的1千克水倒进大桶里，再把小桶装满水倒入大桶里，这时大桶里正好有4千克水．
（超常2）有大、中、小3个瓶子，最多分别可装入水1000克，700克和300克，现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线，问最少倒几次水？
6次，详见下表（单位：克）【分析】 ：
（超常1）今有10升果汁一瓶，要用7升和3升的两种容器分成5升一份的两份果汁，怎么分？
【分析】设3个容器分别为A （10升）、B （7升）、C （3升）。
【例5】 (超常) 有9颗珍珠，其中有一颗假珍珠，但外观和真的一样，看不出来是假的，只是假珍珠比真
珍珠轻一些，你能利用天平不用砝码，只称两次就找出假的珍珠吗？怎样称呢？
【分析】 如果每次在每个托盘里只放一颗珍珠的话，那么天平低的那一颗是假的，9颗珍珠，可能需要称
四次才行．如果每个托盘中每次称两颗，那么如果不平衡，取轻的一侧托盘中的两颗珍珠再称，分别置于两个托盘内，较低一侧的为假的．但是这样也有可能要称三次，不合要求． 那么第一次在左右两托盘各放置3颗珍珠：
⑴如果不平衡，那么较高的一侧的3颗中有一颗是假的．从中任取两颗分别放在两托盘内： ①如果不平衡，较低的一侧的那颗珍珠是假的；
②如果平衡，剩下的那颗是假的；
⑵如果平衡，剩下的三颗中必有一颗为假的．从中任取两粒分别放在两托盘内：
①如果不平衡，较高的一侧的那颗珍珠是假的； ②如果平衡，剩下的那颗是假的．
所以只需要称两次就可以找出假的珍珠．
（超常3、超常2、超常1）有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？
【分析】 解决这个问题有一个巧妙的方法：将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，
从2号箱中取2个钢珠……从10号箱中取10个钢珠，共取出1+2+ +10=55个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重550克，如果轻了n (1≤n ≤10) 克，那么第n 号箱就是次品．这是因为每个次品钢珠比正品轻1克，那么轻了n 克说明取出的55个钢珠中有n 个是次品，那么是从第n 号箱中取出的，说明第n 号箱就是次品．在这个方法中，第10号箱也可以不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么第10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品．
【例6】 (超常) 将一根绳子对折、对折再对折，然后从绳子中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？ 【分析】 绳子对折、对折再对折后共被对折成2⨯2⨯2=8（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子
上剪了8刀，所以共被剪成9段。
（超常3）将一根绳子对折5次后从中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？
【分析】 绳子对折5次后被对折成25=32（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子上剪了32刀，所
以共被剪成32+1=33（段）。
（超常2、超常1）将一根绳子对折n 次后从中间剪一刀，绳子被剪成多少段？
【分析】 对折n 次后被对折成2n 段，所以共被剪成2n +1段。
[1**********]450
数所有位于奇数位上的数，再删去所得数中所有位于奇数位上的数字，„„，依此类推，最后删去的是哪个数字？
【分析】 每次留下的应该是2n 位上的数字，28=256，29=512，所以最后剩下的是第256位数，
256÷9=28 4，所以最后删的是4。
（超常2、超常1）把123，„„，1986，1987这1987个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，„„，问：最后剩下哪个数？
【分析】 若正好有3n 个数，则最后剩下的应该是第一个数，36=729，1987-729=1258，所以当划掉1278
6
个数时，此时剩下的数正好是3=729，接下来的第一个数就应该是最后留下的数，为1278÷2⨯3+1=1918。
【例8】 （超常、超常3、超常2、超常1）（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛
趣味数学解题技能展示大赛五年级年级决赛第7题）在下面8个圆圈中分别填入数字1，2，3，
。从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n （n ≤4，5，6，7，8（1已填出）
8
）
，则从这个圆圈开始顺时针走
n
步进入另一个圆圈。依次下去，走
7
次恰好不重复地进入每个
圆圈，最后进入的一个圆圈中写8。请给出两种填法。
【分析】因为从1开始一共要走1+2+3+4+5+6+7=
(1+7)⨯7
2
因为28÷8=3 4，所以数字8在数字1的对面；
=28步，最后一个填入的数字是8；
尝试后可得如下填法。
4
8
7
8
365
7
32
7
42
5
34
6
8
45
8
37
8
2
【补充】柳卡趣题：在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著
名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来? ”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”。
【分析】 “柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x 海里／昼夜，一艘轮船刚
与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么) ，即为x 海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼夜) ，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘) 从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。
【补充】（2005年第三届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级
第9题）图①中有9个围棋子围成一圈，现将同色的相邻两子之间放入一个白子，在不同色的相邻两子之间放入一个黑子，然后将原来的9个棋子拿掉，剩下新放入的9个棋子，如图②，这算一次操作，如果继续这样操作下去，这一圈的9个子中最多有_______个是黑子。
①
②
③
④⑤
【分析】若要出现9个黑子，则前一次操作时，所有的棋子必须是黑白相隔；
因为有9个棋子，所以不可能出现黑白相隔的情况，所以也不可能出现9个黑子的情况； 如图所示，经过4次操作，图⑤出现了8个黑子； 所以这一圈的9个子中最多有8个是黑子。
课后精练
【练习1】 (超常、超常3、超常2、超常1) 有个人去买葱，他问多少钱一斤. 卖葱的人说：“1元1斤”. 买葱
的人说：“我想全买了，不过要从中间切开秤，葱叶2角1斤，葱白8角1斤，你卖不卖？” 卖葱的人一想：“2角+ 8角=1元”正好，他就全卖了. 但是后来发现自己赔了，同学们，你们知道为什么吗？
【分析】 葱叶2角1斤，葱白8角1斤相当于1元钱买2斤葱，卖葱的人当然赔了.
【练习2】 （超常、超常3）（1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）妈妈让小
明给客人烧水沏茶。洗茶壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
【分析】 先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。水开了
就沏茶，总共用了16分钟。又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的。
（超常2、超常1）小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋，有两个炉灶。估计一下，洗锅要用1分钟，洗米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打鸡蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为最合理安排需要几分钟能做好饭菜？
【分析】 做大米饭的时间最长，因此我们应该考虑在煮大米饭的同时做其他事情以节省时间，做大米前
洗锅和洗米是必须的，所以至少需要1+5+30=36（分钟）。
【练习3】 (超常) 红蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，从蓝墨水中吸
一滴滴到红墨水中. 这时红墨水中的蓝墨水多还是蓝墨水中的红墨水多？
【分析】 如果算红蓝墨水的混合比例算不出来. 我们可以这样想 如果红墨水中混进蓝墨水，那么这些蓝
墨水必然挤占了同样体积的红墨水. 所以红墨水中的蓝墨水和蓝墨水中的红墨水一样多. （超常3）（2005年3月13日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第18题）小华和爸爸分享“红、黑甜品”（红豆沙加芝麻糊）。方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多？”。小华的正确答案是_______。 【分析】因为混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样；
所以混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量一样多。
（超常2）甲组有26个男生，乙组有20个女生，从甲乙两组中各选出相同数量的人交换，这样交换10次后，甲组中女生的人数多还是乙组中男生的人数多？
【分析】 一样多.
11
（超常1）欣欣喝一杯牛奶，第一次喝了这杯牛奶的，用水加满；第二次又喝了杯里的，又用
33
1
水加满；第三次又喝了杯里的，又用水加满；之后她把这一杯全部喝完。想想欣欣喝的牛奶多
3
还是水多？
【分析】首先整体上欣欣喝了1杯牛奶；
1
欣欣加了3次水，每次都是整个杯子，一共加了1杯水，所以欣欣一共喝了1杯水；
3
所以欣欣喝的牛奶和水一样多。
【练习4】 (超常、超常3、超常2、超常1) 甲乙两人从相距35千米的两地同时出发相向而行，甲带着一条
狗，甲出发时狗开始在甲乙两人之间来回奔跑，即碰到乙就掉头跑，碰到甲就再掉头跑，如此往复，直至甲、乙相遇为止. 如果狗的速度等于甲乙两人的速度和，掉头时间忽略不计，那么狗跑了多少千米？
【分析】 狗跑的时间与甲乙两人的时间相同，速度等于甲乙的速度和，所以路程应该等于甲乙的路程和，
是35千米。
【练习5】 (超常、超常3、超常2、超常1) 甲、乙、丙三人练习打靶，靶子及环数见下图．每人打了4发，
甲、乙共命中71环，乙、丙共命中75环，甲、丙共命中76环．乙最多命中几个10环？
（71+75+76）÷2=111（环）【分析】 甲、乙、丙共命中，乙命中111-76=35（环）．因为最低为6环，
所以乙最多命中2个10环．
10
【练习6】 (超常) 在中国南方的某个城市，最近连续一周都在下雨，大家都盼着早日雨过天晴. 有一天中午，
小英突然问妈妈：“再过84小时太阳会出来吗？”同学们，你能回答她的问题吗？
【分析】 一天中午再过84小时后是夜里零点，所以不会出太阳.
（超常3、超常2）有60名同学到到河对岸的树林里玩耍．岸边只有一只能载6个人的小船，问最少要分几次才能全部到达对岸？
【分析】 这个题目如果稍不留神，很容易算成60÷6=10次. 除了1人撑船之外每次只能运5个人，最后一
次可以运6个人，前11次运了55个人，最后一次运5个，一共运了12次．
（超常1）有2个砝码，一个重5克，另一个重7克，能用这两个砝码称出9克沙子吗？怎样称？
【分析】 可以．先用7克的砝码称出7克沙子；再从中称出5克沙子，还剩7-5=2(克) ；再称取7克沙
子，与刚才剩下的2克一起，共是2+7=9(克) ．
轻松一刻
有个专爱占小便宜的人到市场上去买葡萄。他在第一个葡萄 摊前停下来，捻了几个放进嘴里。 卖主忙道：“甜不？不甜不要钱！”
他摇了摇头，又来到第二个摊位。吃了几个葡萄，又来到第三 个摊位……
最后他打着饱嗝，来到第十六个摊位： “这葡萄甜不甜？” “不甜不要钱！”
“那就给我来一斤不甜的吧！”
智巧趣题
教学目标
数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。
智巧趣题
本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。
例题精讲
【例1】 (超常、超常3) 集市上有位卖鱼的老人，3条鱼5元，这时来了3个人，准备一起买者3 条鱼，
可是每人都是2元的钱，卖鱼的老人又没有零钱找，最后三个人觉得6元买3条鱼也挺值就每人出2元买了. 卖鱼的老人越想越觉得不合适，怎么能多收1元呢？于是他坐车去追买鱼人，追上时卖鱼的老人说：“多收你们1元，坐车用4角，还剩6角，退给你们每人2角.”可是3个人怎么算也不对，每人出2元，又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐车的4角，一共5元8角，怎么少2角呢？ 你知道为什么吗？
【分析】 其实没少. 应当5元4角加上退回的6角共6元.
(超常2、超常1) 3人去餐馆吃饭，每人出10元，结帐时共花25元，找回5元，用剩下的5元买了2元的水果，剩下3元每人退1元，结果一算账：每人实际出9元，共27元，加上卖水果的2元，共29元，怎么少了1元呢？
【分析】 27元包括25元的餐费和2元的水果，再加上退的3元共30元.
【例2】 (超常、超常3) 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正反
面各需1分钟），问煎3个饼至少需要几分钟？
【分析】 先煎第一个饼和第二个饼的正面用1分钟，再煎第一个饼的反面和第三个饼的正面用1分钟，接着
煎第二个饼和第三个饼的反面用1分钟，共用3分钟。
（超常2）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正反面各需
，问煎2009个饼至少需要几分钟？ 1分钟）
2009是奇数，所以如果两个两个地煎，最后肯定会剩下一个，结合上题煎3个饼的例子，可以先【分析】
两个两个地煎好2006个，最后的3个再用3分钟煎完，因此一共需要2009分钟。 （超常1）（2009年12月6日“数学大王”邀请赛三年级第6题）烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要烤3个烧饼至少需要_______分钟。 【分析】第一次烤①的正面和②的正面，需要3分钟；
第二次烤①的反面和③的正面，需要3分钟； 第三次烤②的反面和③的反面，需要2分钟； 所以要烤3个烧饼至少需要3+3+2=8分钟。
【例3】 (超常) 一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样，可是人不在时，狐狸要
吃鹅，鹅要吃玉米. 那么应该怎样渡河呢？
【分析】 先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船，
第四次再把鹅带过去即可.
（超常3）有3个商人和3个随从在河岸边, 他们都想过河, 只有一艘船, 没有船夫, 而且船一次只能载2个人. 任何时候船过了河, 只要这6个人没过完, 都得人回来接, 怎么才能顺利过河呢? 要求任何时候都不得随从数目大于商人数目, 防止他们劫财.
【分析】 第1次：1商1从过河，商回， 第2次：2从过河，1回，第3次：2商过河，1商1从回， 第
4次：2商过河，从回， 第5次：2从过河， 第6次：再回，接最后一个随从过河。
（超常2）小王骑牛赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分，乙牛过河需2 分，丙牛过河需5分，丁牛过河需6分。每次只能赶两头牛过河。问要把这4头牛都赶到对岸去，最少需几分？
【分析】 为了使总时间最少，则过河时用时多的牛要一起赶，返回时要骑用时少的牛，所以在赶牛时要先
把用时少的牛赶到对岸去，这样返回时就可以骑回来。具体方法如下：先将甲、乙两头牛赶到对岸，用时2分钟，然后骑甲牛回来，再赶丙、丁两头牛区对岸，骑乙牛回来，最后骑甲、乙两头牛到对岸，整个过程一共用时2+1+6+2+2=13（分钟）。
（超常1）有4个人要过一座桥。他们都站在桥的某一边，要让他们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。他们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥。不管是谁过桥，不管是一个人还是两个人，必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个人过桥的速度不同，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。
第一个人：过桥需要1分钟； 第二个人：过桥需要2分钟； 第三个人：过桥需要5分钟； 第四个人：过桥需要10分钟。
比如，如果第一个女人与第4个女人首先过桥，等她们过去时，已经过去了10分钟。如果让第4个女人将手电筒送回去，那么等她到达桥的另一端时，总共用去了20分钟，行动也就失败了。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有别的什么方法？
【分析】 第一个人, 第二个人先过桥----用时2分钟
第一个人回来送手电-----------用时1分钟 第三个人, 第四个人再过桥----用时10分钟 第二个人回来送手电-----------用时2分钟 第一个人, 第二个人最后过桥----用时2分钟 共用了17分钟。
【例4】 (超常、超常3) 一个人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3千克水，另一只可盛5千克水，现
在要取4千克水，应该怎样取？
【分析】 先把盛3千克水的小桶盛满水，倒进盛5千克的大桶里，把小桶盛满水，再倒入大桶里，因为大
桶里已经有3千克的水，当倒满5千克时，小桶还剩下1千克的水．把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的1千克水倒进大桶里，再把小桶装满水倒入大桶里，这时大桶里正好有4千克水．
（超常2）有大、中、小3个瓶子，最多分别可装入水1000克，700克和300克，现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线，问最少倒几次水？
6次，详见下表（单位：克）【分析】 ：
（超常1）今有10升果汁一瓶，要用7升和3升的两种容器分成5升一份的两份果汁，怎么分？
【分析】设3个容器分别为A （10升）、B （7升）、C （3升）。
【例5】 (超常) 有9颗珍珠，其中有一颗假珍珠，但外观和真的一样，看不出来是假的，只是假珍珠比真
珍珠轻一些，你能利用天平不用砝码，只称两次就找出假的珍珠吗？怎样称呢？
【分析】 如果每次在每个托盘里只放一颗珍珠的话，那么天平低的那一颗是假的，9颗珍珠，可能需要称
四次才行．如果每个托盘中每次称两颗，那么如果不平衡，取轻的一侧托盘中的两颗珍珠再称，分别置于两个托盘内，较低一侧的为假的．但是这样也有可能要称三次，不合要求． 那么第一次在左右两托盘各放置3颗珍珠：
⑴如果不平衡，那么较高的一侧的3颗中有一颗是假的．从中任取两颗分别放在两托盘内： ①如果不平衡，较低的一侧的那颗珍珠是假的；
②如果平衡，剩下的那颗是假的；
⑵如果平衡，剩下的三颗中必有一颗为假的．从中任取两粒分别放在两托盘内：
①如果不平衡，较高的一侧的那颗珍珠是假的； ②如果平衡，剩下的那颗是假的．
所以只需要称两次就可以找出假的珍珠．
（超常3、超常2、超常1）有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？
【分析】 解决这个问题有一个巧妙的方法：将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，
从2号箱中取2个钢珠……从10号箱中取10个钢珠，共取出1+2+ +10=55个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重550克，如果轻了n (1≤n ≤10) 克，那么第n 号箱就是次品．这是因为每个次品钢珠比正品轻1克，那么轻了n 克说明取出的55个钢珠中有n 个是次品，那么是从第n 号箱中取出的，说明第n 号箱就是次品．在这个方法中，第10号箱也可以不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么第10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品．
【例6】 (超常) 将一根绳子对折、对折再对折，然后从绳子中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？ 【分析】 绳子对折、对折再对折后共被对折成2⨯2⨯2=8（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子
上剪了8刀，所以共被剪成9段。
（超常3）将一根绳子对折5次后从中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？
【分析】 绳子对折5次后被对折成25=32（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子上剪了32刀，所
以共被剪成32+1=33（段）。
（超常2、超常1）将一根绳子对折n 次后从中间剪一刀，绳子被剪成多少段？
【分析】 对折n 次后被对折成2n 段，所以共被剪成2n +1段。
[1**********]450
数所有位于奇数位上的数，再删去所得数中所有位于奇数位上的数字，„„，依此类推，最后删去的是哪个数字？
【分析】 每次留下的应该是2n 位上的数字，28=256，29=512，所以最后剩下的是第256位数，
256÷9=28 4，所以最后删的是4。
（超常2、超常1）把123，„„，1986，1987这1987个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，„„，问：最后剩下哪个数？
【分析】 若正好有3n 个数，则最后剩下的应该是第一个数，36=729，1987-729=1258，所以当划掉1278
6
个数时，此时剩下的数正好是3=729，接下来的第一个数就应该是最后留下的数，为1278÷2⨯3+1=1918。
【例8】 （超常、超常3、超常2、超常1）（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛
趣味数学解题技能展示大赛五年级年级决赛第7题）在下面8个圆圈中分别填入数字1，2，3，
。从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n （n ≤4，5，6，7，8（1已填出）
8
）
，则从这个圆圈开始顺时针走
n
步进入另一个圆圈。依次下去，走
7
次恰好不重复地进入每个
圆圈，最后进入的一个圆圈中写8。请给出两种填法。
【分析】因为从1开始一共要走1+2+3+4+5+6+7=
(1+7)⨯7
2
因为28÷8=3 4，所以数字8在数字1的对面；
=28步，最后一个填入的数字是8；
尝试后可得如下填法。
4
8
7
8
365
7
32
7
42
5
34
6
8
45
8
37
8
2
【补充】柳卡趣题：在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著
名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来? ”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”。
【分析】 “柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x 海里／昼夜，一艘轮船刚
与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么) ，即为x 海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼夜) ，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘) 从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。
【补充】（2005年第三届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级
第9题）图①中有9个围棋子围成一圈，现将同色的相邻两子之间放入一个白子，在不同色的相邻两子之间放入一个黑子，然后将原来的9个棋子拿掉，剩下新放入的9个棋子，如图②，这算一次操作，如果继续这样操作下去，这一圈的9个子中最多有_______个是黑子。
①
②
③
④⑤
【分析】若要出现9个黑子，则前一次操作时，所有的棋子必须是黑白相隔；
因为有9个棋子，所以不可能出现黑白相隔的情况，所以也不可能出现9个黑子的情况； 如图所示，经过4次操作，图⑤出现了8个黑子； 所以这一圈的9个子中最多有8个是黑子。
课后精练
【练习1】 (超常、超常3、超常2、超常1) 有个人去买葱，他问多少钱一斤. 卖葱的人说：“1元1斤”. 买葱
的人说：“我想全买了，不过要从中间切开秤，葱叶2角1斤，葱白8角1斤，你卖不卖？” 卖葱的人一想：“2角+ 8角=1元”正好，他就全卖了. 但是后来发现自己赔了，同学们，你们知道为什么吗？
【分析】 葱叶2角1斤，葱白8角1斤相当于1元钱买2斤葱，卖葱的人当然赔了.
【练习2】 （超常、超常3）（1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）妈妈让小
明给客人烧水沏茶。洗茶壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
【分析】 先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。水开了
就沏茶，总共用了16分钟。又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的。
（超常2、超常1）小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋，有两个炉灶。估计一下，洗锅要用1分钟，洗米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打鸡蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为最合理安排需要几分钟能做好饭菜？
【分析】 做大米饭的时间最长，因此我们应该考虑在煮大米饭的同时做其他事情以节省时间，做大米前
洗锅和洗米是必须的，所以至少需要1+5+30=36（分钟）。
【练习3】 (超常) 红蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，从蓝墨水中吸
一滴滴到红墨水中. 这时红墨水中的蓝墨水多还是蓝墨水中的红墨水多？
【分析】 如果算红蓝墨水的混合比例算不出来. 我们可以这样想 如果红墨水中混进蓝墨水，那么这些蓝
墨水必然挤占了同样体积的红墨水. 所以红墨水中的蓝墨水和蓝墨水中的红墨水一样多. （超常3）（2005年3月13日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第18题）小华和爸爸分享“红、黑甜品”（红豆沙加芝麻糊）。方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多？”。小华的正确答案是_______。 【分析】因为混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样；
所以混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量一样多。
（超常2）甲组有26个男生，乙组有20个女生，从甲乙两组中各选出相同数量的人交换，这样交换10次后，甲组中女生的人数多还是乙组中男生的人数多？
【分析】 一样多.
11
（超常1）欣欣喝一杯牛奶，第一次喝了这杯牛奶的，用水加满；第二次又喝了杯里的，又用
33
1
水加满；第三次又喝了杯里的，又用水加满；之后她把这一杯全部喝完。想想欣欣喝的牛奶多
3
还是水多？
【分析】首先整体上欣欣喝了1杯牛奶；
1
欣欣加了3次水，每次都是整个杯子，一共加了1杯水，所以欣欣一共喝了1杯水；
3
所以欣欣喝的牛奶和水一样多。
【练习4】 (超常、超常3、超常2、超常1) 甲乙两人从相距35千米的两地同时出发相向而行，甲带着一条
狗，甲出发时狗开始在甲乙两人之间来回奔跑，即碰到乙就掉头跑，碰到甲就再掉头跑，如此往复，直至甲、乙相遇为止. 如果狗的速度等于甲乙两人的速度和，掉头时间忽略不计，那么狗跑了多少千米？
【分析】 狗跑的时间与甲乙两人的时间相同，速度等于甲乙的速度和，所以路程应该等于甲乙的路程和，
是35千米。
【练习5】 (超常、超常3、超常2、超常1) 甲、乙、丙三人练习打靶，靶子及环数见下图．每人打了4发，
甲、乙共命中71环，乙、丙共命中75环，甲、丙共命中76环．乙最多命中几个10环？
（71+75+76）÷2=111（环）【分析】 甲、乙、丙共命中，乙命中111-76=35（环）．因为最低为6环，
所以乙最多命中2个10环．
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【练习6】 (超常) 在中国南方的某个城市，最近连续一周都在下雨，大家都盼着早日雨过天晴. 有一天中午，
小英突然问妈妈：“再过84小时太阳会出来吗？”同学们，你能回答她的问题吗？
【分析】 一天中午再过84小时后是夜里零点，所以不会出太阳.
（超常3、超常2）有60名同学到到河对岸的树林里玩耍．岸边只有一只能载6个人的小船，问最少要分几次才能全部到达对岸？
【分析】 这个题目如果稍不留神，很容易算成60÷6=10次. 除了1人撑船之外每次只能运5个人，最后一
次可以运6个人，前11次运了55个人，最后一次运5个，一共运了12次．
（超常1）有2个砝码，一个重5克，另一个重7克，能用这两个砝码称出9克沙子吗？怎样称？
【分析】 可以．先用7克的砝码称出7克沙子；再从中称出5克沙子，还剩7-5=2(克) ；再称取7克沙
子，与刚才剩下的2克一起，共是2+7=9(克) ．
轻松一刻
有个专爱占小便宜的人到市场上去买葡萄。他在第一个葡萄 摊前停下来，捻了几个放进嘴里。 卖主忙道：“甜不？不甜不要钱！”
他摇了摇头，又来到第二个摊位。吃了几个葡萄，又来到第三 个摊位……
最后他打着饱嗝，来到第十六个摊位： “这葡萄甜不甜？” “不甜不要钱！”
“那就给我来一斤不甜的吧！”